ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓਗੇ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ (ਸਿਹਰਾ: ਗ੍ਰੇਗ ਪਾਲਮਰ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਦੂਜੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਇੱਕ ਕਮਰਾ ਹੈ।1 ਇਹ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਕਮਰਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਸ਼ਕਲ ਆਵਾਜ਼ ਨੂੰ ਕੰਧਾਂ ਅਤੇ ਗੁੰਬਦ ਦੇ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਕਿ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਫੁਸਫੁਸਾਹਟ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ, ਜਾਂ ਸ਼ੰਕੂ, ਇੱਕ ਆਕਾਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਲੰਬੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਸ ਕੋਣ 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਉਹ ਸ਼ਕਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਅਤੇ ਚਲ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਕਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਭਾਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪਾਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਹਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਬਹੁਵਚਨ: ਫੋਕਾਈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਗੱਤੇ ਦੇ ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ, ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ, ਇੱਕ ਪੈਨਸਿਲ ਅਤੇ ਧਾਗੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੱਤੇ ਵਿੱਚ ਥੰਬਟੈਕਸ ਲਗਾਓ। ਦੋ ਥੰਬਟੈਕਸ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਲੰਬਾ ਧਾਗੇ ਦਾ ਇੱਕ ਟੁਕੜਾ ਕੱਟੋ (ਧਾਗੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ)। ਧਾਗੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਗੱਤੇ 'ਤੇ ਟੈਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਧਾਗੇ ਦੇ ਤਣਾਅ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਪੈਨਸਿਲ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾਓ। ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਹਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀਆਂ ਦੋ ਧੁਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਲੰਬੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਧੁਰੀ ਨੂੰ ਗੌਣ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਿਖਰ (ਬਹੁਵਚਨ: ਸਿਖਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰੀਆਂ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਧੁਰੀਆਂ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੋਕਾਈ ਹਮੇਸ਼ਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੋਕਾਈ ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ (ਸਥਿਰ ਜੋੜ) ਫੋਕਾਈ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਾਵ, ਧੁਰੀਆਂ ਜਾਂ ਤਾਂ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰੀਆਂ 'ਤੇ ਹੋਣਗੀਆਂ ਜਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜੋ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੋਕਾਈ (−c,0) ਅਤੇ (c,0) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ (x,y) ਤੋਂ ਫੋਕਾਈ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ (a,0) ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ (−c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। (c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−c ਹੈ। ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਫੋਕਾਈ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
ਜੇਕਰ (x,y) ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d1 + d2 ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ 2a ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਸਿੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d1 + d2 = 2a ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਉਤਪਤੀ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਤਪਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਬੀਜਗਣਿਤ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਹੈ। x 2 a 2 + y 2 b 2 =1। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a>b, a>b, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ b>a, b>a, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਾਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਬਾਰੇ ਦੱਸਦੇ ਹਨ। ਕੁਝ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਪਲ ਲਓ: ਰੇਖੀ, ਵਰਗਾਕਾਰ, ਘਣ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਲਘੂਗਣਕ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸਦਾ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ। ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਚਾਰ ਰੂਪ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ (ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ) ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਥਿਤੀ (ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ) ਦੁਆਰਾ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਕਿਵੇਂ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਵਰਣਨ ਦੇ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਮਾਨਸਿਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±a,0 ) ( ±a,0 ) ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±b ) ( 0,±b ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±c,0 ) ( ±c,0 ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6a ਦੇਖੋ
ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±a ) ( 0,±a ) ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( ±b,0 ) ( ±b,0 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( 0,±c ) ( 0,±c ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਚਿੱਤਰ 6b ਦੇਖੋ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 6: (a) ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (b) ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰ
ਕਿਵੇਂ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ( ±a,0 ) ਅਤੇ (±c,0) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ( 0,±a ) ਅਤੇ (0,±c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x^2/b^2 + y^2/a^2 =1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ c^2 = a^2 − b^2, ਦੇ ਨਾਲ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, b^2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪਗ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a^2 ਅਤੇ b^2 ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( ±8,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 ) ਹਨ, ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
ਸਿਖਰ ( ±8,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=8 ਅਤੇ a^2 =64।
ਨਾਭੀਆਂ ( ±5,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=5 ਅਤੇ c^2 =25।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨ c^2 = a^2 − b^2 ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। b^2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a^2 =64 ਅਤੇ b^2 =39 ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x^2/64 + y^2/39 =1 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±4 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,± 15 ) ਹਨ, ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹਾਂ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ( ±a,0 ) ਜਾਂ (0,±a) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ( ±c,0 ) ਜਾਂ (0,±c) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ a ਅਤੇ c, ਸਮੀਕਰਨ c^2 = a^2 − b^2 ਦੇ ਨਾਲ, b^2 ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਾਂਗ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਅਨੁਵਾਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k ਇਕਾਈ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਅਨੁਵਾਦ ਪਿਛਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ પરિણામ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਨੂੰ ( x−h ) ਅਤੇ y ਨੂੰ ( y−k ) ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ (h, k) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
( h±a,k ) ( h±a,k ) ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
( h,k±b ) ( h,k±b ) ਸਹਿ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ
( h±c,k ), ( h±c,k ) ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਚਿੱਤਰ 7a ਵੇਖੋ
ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a>b a>b
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
( h,k±a ) ( h,k±a ) ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ
ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
( h±b,k ) ( h±b,k ) ਸਹਿ-ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ
( h,k±c ), ( h,k±c ) ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਚਿੱਤਰ 7b ਵੇਖੋ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ( h,k ) ( h,k ) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਦੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜਦੋਂ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ।
ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (Horizontal ellipse) (b) ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਵਾਲਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (Vertical ellipse)
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ( x−h ) 2 b 2 + ( y−k ) 2 a 2 =1. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਪਛਾਣੋ।
ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, 2a, ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ a 2 a 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ h h ਅਤੇ k, k, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c 2 c 2 ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 . c 2 = a 2 − b 2 . ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b 2 b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( −2,−7 ) ਅਤੇ ( −2,1 )?
ਹੱਲ
ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ:
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ( h,k ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ, ( −2,−8 ) ਅਤੇ ( −2,2 ) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧਾ ਹੈ। ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a 2 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਕੇ a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ a 2 =25।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ c 2 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਨਾਭੀਆਂ ( h,k±c ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ( h,k−c )=( −2,−7 ) ਅਤੇ ( h,k+c )=( −2,1 )। ਅਸੀਂ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k=−3 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਲਈ c 2 =16।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ h, k, a 2, ਅਤੇ b 2 ਲਈ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਬਿੰਦੂਆਂ ( −3,3 ) ਅਤੇ ( 5,3 ) ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 1−2 3 ,3 ) ਅਤੇ ( 1+2 3 ,3 )?
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1,a>b ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1,a>b ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
( 0, 0 ) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ, ਸ਼ੀਰਸ਼, ਸਹਿ-ਸ਼ੀਰਸ਼, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±a,0 ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±b ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±c,0 ) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±a ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( ±b,0 ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 0,±c ) ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ c 2 = a 2 − b 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰ, ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ, ਸਹਿ-ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ, x 2 9 + y 2 25 =1, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੇਂਦਰ, ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ, ਸਹਿ-ਸ਼ੀਰਸ਼ਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>9, 25>9, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 b 2 + y 2 a 2 =1, x 2 b 2 + y 2 a 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b 2 =9 b 2 =9 ਅਤੇ a 2 =25। a 2 =25। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ:
2. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) (0,0) ਹੈ
3. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±a)=(0,±25)=(0,±5) (0,±a)=(0,±25)=(0,±5) ਹਨ
4. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±b,0)=(±9,0)=(±3,0) (±b,0)=(±9,0)=(±3,0) ਹਨ
5. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±c), (0,±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 c 2 = a 2 − b 2 c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
6. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±4) ਹਨ। (0,±4)।
7. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
8. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
9. ਸਮੀਕਰਨ x 2 36 + y 2 4 =1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। x 2 36 + y 2 4 =1। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 4
11. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਜੋ ਕਿ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ
12. ਸਮੀਕਰਨ 4 x 2 +25 y 2 =100 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 4 x 2 +25 y 2 =100। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 25>4, 25>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 + y 2 b 2 =1, x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =25 a 2 =25 ਅਤੇ b 2 =4। b 2 =4। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ:
16. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) (0,0) ਹੈ
17. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±a,0)=(±25,0)=(±5,0) (±a,0)=(±25,0)=(±5,0) ਹਨ
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (0,±b)=(0,±4)=(0,±2) (0,±b)=(0,±4)=(0,±2) ਹਨ
19. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±c,0), (±c,0) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c 2 = a 2 − b 2 । c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
20. ਇਸ ਲਈ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (±21,0) ਹਨ। (±21,0)।
21. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #4
23. ਸਮੀਕਰਨ 49 x 2 +16 y 2 =784 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। 49 x 2 +16 y 2 =784। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ। ਫਿਰ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
24. ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ, (h,k), 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, a>b, ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਲਈ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, a>b, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰੇ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਂਦਰ, ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k) ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ a>b, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ (h,k) ਹੈ, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±a) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±b,k) ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±c) ਹਨ।
c² = a² − b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨ (x+2)²/4 + (y−5)²/9 = 1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੀਰਘ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 9>4, ਦੀਰਘ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (x−h)²/b² + (y−k)²/a² = 1, ਜਿੱਥੇ b²=4 ਅਤੇ a²=9, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k)=(−2,5) ਹੈ।
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±a)=(−2,5±√9)=(−2,5±3), ਜਾਂ (−2,2) ਅਤੇ (−2,8) ਹਨ।
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±b,k)=(−2±√4,5)=(−2±2,5), ਜਾਂ (−4,5) ਅਤੇ (0,5) ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c² = a² − b²। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (−2,5−√5) ਅਤੇ (−2,5+√5) ਹਨ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਸਮੀਕਰਨ (x−4)²/36 + (y−2)²/20 = 1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
(h, k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪਛਾਣੋ ਕਿ ax² + by² + cx + dy + e = 0 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ। ਸਥਿਰ ਪਦ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਤਿਆਰੀ ਵਿੱਚ x² ਅਤੇ y² ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਹਰੇਕ ਚੱਲ (variable) ਲਈ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਦੋਪਦੀਆਂ (binomials) ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ (constant) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, m 1 ( x−h ) 2 + m 2 ( y−k ) 2 = m 3 , ਜਿੱਥੇ m 1 , m 2 , ਅਤੇ m 3 ਸਥਿਰ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ (constant term) ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
(h, k) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (Ellipse) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ, ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ 4 x 2 +9 y 2 −40x+36y+100=0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ (vertices), ਸਹਿ-ਸਿਖਰ (co-vertices), ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
ਇੱਕੋ ਚੱਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪਦਾਂ (squared terms) ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (coefficients) ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜ ਕੇ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ (perfect squares) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ (major axis) ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ 9>4, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ( x−h ) 2 a 2 + ( y−k ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =9 ਅਤੇ b 2 =4। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k )=( 5,−2 ) ਹੈ।
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates) ( h±a,k )=( 5± 9 ,−2 )=( 5±3,−2 ), ਜਾਂ ( 2,−2 ) ਅਤੇ ( 8,−2 ) ਹਨ।
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±b )=( 5,−2± 4 )=( 5,−2±2 ), ਜਾਂ ( 5,−4 ) ਅਤੇ ( 5,0 ) ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±c,k ), ਜਿੱਥੇ c 2 = a 2 − b 2 । c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 5− 5 ,−2 ) ਅਤੇ ( 5+ 5 ,−2 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (smooth curve) ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਉਪਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਚੰਦਰਮਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਕੱਕੀ (orbits), ਅਤੇ ਕਿਸ਼ਤੀਆਂ ਦੇ ਕੀਲ, ਰੱਡਰ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੇ ਖੰਭਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਲਿਥੋਟ੍ਰਿਪਟਰ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਮੈਡੀਕਲ ਉਪਕਰਣ ਗੁਰਦੇ ਦੇ ਪੱਥਰਾਂ ਨੂੰ ਤੋੜਨ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਇਮਾਰਤਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਚੈਂਬਰ (whispering chambers) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦਾਂ ਨਾਲ ਡਿਜ਼ਾਇਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੇ ਬੋਲਣ ਵਾਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੁਆਰਾ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸੁਣੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਧੁਨੀ ਗੁਣਾਂ ਕਾਰਨ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਚੈਂਬਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੋ ਕੇ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਸ਼ਿਕਾਗੋ ਦੇ ਮਿਊਜ਼ੀਅਮ ਆਫ਼ ਸਾਇੰਸ ਐਂਡ ਇੰਡਸਟਰੀ ਦੇ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਚੈਂਬਰ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵਿਅਕਤੀ ਜੋ ਫੋਕਸ ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ—ਲਗਭਗ 43 ਫੁੱਟ ਦੂਰ—ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਇਹ ਚੈਂਬਰ ਅਚਾਨਕ ਥਾਵਾਂ ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਿਊਸਟਨ ਦੇ ਬੁਸ਼ ਇੰਟਰਨੈਸ਼ਨਲ ਏਅਰਪੋਰਟ ਅਤੇ ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਦੇ ਗ੍ਰੈਂਡ ਸੈਂਟਰਲ ਟਰਮੀਨਲ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਤਾਂ ਉਹ ਯਾਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਪ੍ਰਤੀਕਰਮ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 12: ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਮਰੇ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਚੈਂਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਫੋਕਸਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 7
2. ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ (ਕੇਂਦਰ ਬਿੰਦੂ) ਲੱਭਣਾ
3. ਕਲਾ ਗੈਲਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਕਮਰਾ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਮਾਪ 46 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਅਤੇ 96 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
4. ਕਮਰੇ ਦੀ ਰੂਪ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ।
5. ਜੇ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਸੈਲਾਨੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ (0,0) ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ x²/a² + y²/b² = 1 ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a>b। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ (major axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਨਾਬਾਲਗ ਧੁਰੇ (minor axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2b, ਤੋਂ ਲੰਬੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਕਮਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 96, ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ, 46, ਨਾਬਾਲਗ ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ 2a=96 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=48, ਅਤੇ a²=2304। b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ 2b=46 ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=23, ਅਤੇ b²=529। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/2304 + y²/529 = 1 ਹੈ।
8. ਸੈਨੇਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫੋਕਸ, (±c,0) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਲੱਭਣੀ ਪਵੇਗੀ, ਜਿੱਥੇ c² = a² − b²। c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: c² = a² − b² c² = 2304−529 ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲੋ। c=±√2304−529 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ। c=±√1775 ਘਟਾਓ। c≈±42 ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ। c² = a² − b² c² = 2304−529 ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲੋ। c=±√2304−529 ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲਓ। c=±√1775 ਘਟਾਓ। c≈±42 ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ (±42,0) ਫੋਕਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸੈਨੇਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ 2(42)=84 ਫੁੱਟ ਹੈ।
9. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲਾ ਕਮਰਾ 480 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਅਤੇ 320 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ।
11. ⓐ ਕਮਰੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਕੀ ਹੈ? ਸੰਕੇਤ: ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਮੰਨੋ। ⓑ ਜੇ ਇਸ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਦੋ ਲੋਕ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੋਕ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹਨ? ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਅੰਡਾਕਾਰ
15. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
16. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
17. ਸ਼ਬਦਕ
18. ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
19. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?
20. ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਅਤੇ ਨਾਬਾਲਗ ਧੁਰੇ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
21. ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਲਈ, ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ?
22. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਫੋਕਸ ਵਾਲੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
23. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
4x² + y = 4
4x² + 9y² = 36
4x² - y² = 4
4x² + 9y² = 1
4x² - 8x + 9y² - 72y + 112 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਤੇ ਗੌਣ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
x²/4 + y²/49 = 1
x²/100 + y²/64 = 1
x² + 9y² = 1
4x² + 16y² = 1
(x-2)²/49 + (y-4)²/25 = 1
(x-2)²/81 + (y+1)²/16 = 1
(x+5)²/4 + (y-7)²/9 = 1
(x-7)²/49 + (y-7)²/49 = 1
4x² - 8x + 9y² - 72y + 112 = 0
9x² - 54x + 9y² - 54y + 81 = 0
4x² - 24x + 36y² - 360y + 864 = 0
4x² + 24x + 16y² - 128y + 228 = 0
4x² + 40x + 25y² - 100y + 100 = 0
x² + 2x + 100y² - 1000y + 2401 = 0
4x² + 24x + 25y² + 200y + 336 = 0
9x² + 72x + 16y² + 16y + 4 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਲੱਭੋ।
(x+3)²/25 + (y+1)²/36 = 1
( x+1 ) 2 100 + ( y−2 ) 2 4 =1
x 2 + y 2 =1
x 2 +4 y 2 +4x+8y=1
10 x 2 + y 2 +200x=0
ਚਿੱਤਰਣ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਚਿੱਤਰਣ ਕਰੋ।
x 2 25 + y 2 36 =1
x 2 16 + y 2 9 =1
4 x 2 +9 y 2 =1
81 x 2 +49 y 2 =1
( x−2 ) 2 64 + ( y−4 ) 2 16 =1
( x+3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 9 =1
x 2 2 + ( y+1 ) 2 5 =1
4 x 2 −8x+16 y 2 −32y−44=0
x 2 −8x+25 y 2 −100y+91=0
x 2 +8x+4 y 2 −40y+112=0
64 x 2 +128x+9 y 2 −72y−368=0
16 x 2 +64x+4 y 2 −8y+4=0
100 x 2 +1000x+ y 2 −10y+2425=0
4 x 2 +16x+4 y 2 +16y+16=0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ, ਨਾਭੀ (4,0) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,3)।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ, ਨਾਭੀ (0,−2) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (5,0)।
ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ, x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ, ਨਾਭੀ (3,0) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਕਸ਼ ਛੋਟੇ ਅਕਸ਼ ਤੋਂ ਦੁਗਣਾ ਲੰਬਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ ( 4,2 ) ( 4,2 ) ; ਸਿਖਰ ( 9,2 ) ( 9,2 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+2 6 ,2 ) ( 4+2 6 ,2 ) .
ਕੇਂਦਰ ( 3,5 ) ( 3,5 ) ; ਸਿਖਰ ( 3,11 ) ( 3,11 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+4 2 ) ( 3,5+4 2 )
ਕੇਂਦਰ ( −3,4 ) ( −3,4 ) ; ਸਿਖਰ ( 1,4 ) ( 1,4 ) ; ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( −3+2 3 ,4 ) ( −3+2 3 ,4 )
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, ਉਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ Area=a⋅b⋅π ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। Area=a⋅b⋅π।
( x−3 ) 2 9 + ( y−3 ) 2 16 =1
( x+6 ) 2 16 + ( y−6 ) 2 36 =1
( x+1 ) 2 4 + ( y−2 ) 2 5 =1
4 x 2 −8x+9 y 2 −72y+112=0
9 x 2 −54x+9 y 2 −54y+81=0
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਉਪਯੋਗ
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ 8 ਇਕਾਈ ਚੌੜੇ ਅਤੇ 4 ਇਕਾਈ ਉੱਚੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਉਸ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਆਪਣੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਚੌੜੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫਿੱਟ ਹੋ ਜਾਵੇ। ਉਚਾਈ, h, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕਮਾਨ (arch) ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਹੈ (ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ)। ਕਮਾਨ (arch) ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਪਸਾਰ (span) 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਕਮਾਨ (arch) ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ 0.01 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕਮਾਨ (arch) ਦਾ ਆਕਾਰ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-ellipse) ਹੈ। ਕਮਾਨ (arch) ਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਪਸਾਰ (span) 40 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 6 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਪੁਲ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ (semi-elliptical) ਕਮਾਨ (arch) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਸਾਰ (span) 120 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇਗਾ। ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਕਮਾਨ (arch) ਦੀ ਉਚਾਈ 8 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇਗੀ। ਕਮਾਨ (arch) ਦੀ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨਾਲ ਗੱਲ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਜੋ ਛੱਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਦੂਜੇ ਵਿਅਕਤੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ (reflected) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਦੀ ਲੰਬਾਈ 120 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਛੱਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ (whispering gallery) ਵਿੱਚ ਨੇੜਲੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ (focus) 80 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ (gallery) ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਕੀ ਹੈ?