ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (focus) (ਬਹੁਵਚਨ: foci) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਫੋਕਸਾਂ, ਅਤੇ ਦੀਰਘ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਿਆਂ (major and minor axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ (key features) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮੁੱਖ ਲੱਛਣਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ, ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ (hyperbola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਫੋਕਸਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਫੋਕਸਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਫੋਕਸਾਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਫੋਕਸਾਂ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਗੀ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਬਿੰਦੂਆਂ ( x,y ) ( x,y ) ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਫੋਕਸ) ਜੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ (axis of symmetry) ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ( 0,0 ) ( 0,0 ) ਵਾਲੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
( h,k ) ( h,k ) ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
( h,k ) ( h,k ) ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਮੰਨਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ p>0, p>0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ p<0, p<0, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਦੋ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨਾਂ (right circular cones) ਜੋ ਪੂਛ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਦੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਛੇਦ (intersection) ਤੋਂ ਚਾਰ ਮੁੱਢਲੇ ਆਕਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ, ਚੱਕਰ, ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ, ਅਤੇ ਪਰਵਲੈ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਇੱਕ ਗੈਰ-ਅਪਭ੍ਰੰਸ਼ (nondegenerate) ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (conic section) ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ A x 2 +Bxy+C y 2 +Dx+Ey+F=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ A,B A,B ਅਤੇ C C ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। A,B, A,B, ਅਤੇ C C ਦੇ ਮੁੱਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
xy xy ਪਦ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ x ′ x ′ ਅਤੇ y ′ y ′ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x ′ y ′ x ′ y ′ ਪਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ (expression) ਨੂੰ ਅਟੱਲ (invariant) ਦੱਸਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਦਲਿਆ ਨਾ ਰਹੇ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) ਅਟੱਲ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਕੋਈ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਇਕੱਲੇ ਫੋਕਸ, ਸੰਗਤ ਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਫੋਕਸ P(r,θ) P(r,θ) ਧਰੁਵ (pole) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ, ਜੋ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (polar axis) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ e = PF/PD, ਜਿੱਥੇ ਵਿਲੱਖਣਤਾ (eccentricity) e ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ (polar equation) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
2. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
3. ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ (focus), ਇੱਕ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix), ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣਤਾ (eccentricity) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
4. ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ (rectangular form) ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ r = √(x² + y²), x = rcosθ, ਅਤੇ y = rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।