ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਮਕਸਦ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓਗੇ।
ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਦੇ ਪਰਵਲਈ ਅਤੇ ਹੋਰ ਕਕਸ਼ੀ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮੋਹਰੀ ਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜ ਨੇ ਅਮਰੀਕੀ ਪੁਲਾੜ ਉਡਾਣ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਈ। (ਸਰੋਤ: NASA)
ਕੈਥਰੀਨ ਜੌਹਨਸਨ ਇੱਕ ਮੋਹਰੀ NASA ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹੈ ਜੋ ਕਈ ਮਨੁੱਖੀ ਮਿਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਸਫਲ ਅਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਉਡਾਣ ਅਤੇ ਵਾਪਸੀ ਲਈ ਅਨਿੱਖੜਵੀਂ ਸੀ। ਫਿਲਮ ਹਿਡਨ ਫਿਗਰਜ਼ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕੰਮ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਉਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਪੁਲਾੜ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਵੱਡਾ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਇਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਮਰਕਰੀ ਮਿਸ਼ਨ ਲਈ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਐਲਨ ਸ਼ੈਪਰਡ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲਾ ਪਹਿਲਾ ਅਮਰੀਕੀ ਬਣਿਆ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਟੇਡ ਸੋਪਿੰਸਕੀ ਨੇ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਟੀਕ ਕਕਸ਼ੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਵਾਪਸ ਲਿਆਉਣ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪੇਪਰ ਲਿਖਿਆ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਈ ਕਕਸ਼ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਬਣੇ ਹੋਏ ਸਨ, ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਉਸਦੀ ਯੋਗਤਾ ਨੇ ਅਣਪਛਾਤੇ ਪੱਧਰ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸਮਰੱਥ ਬਣਾਇਆ। ਜੌਹਨਸਨ ਨੇ ਕਿਹਾ, "ਤੁਸੀਂ ਮੈਨੂੰ ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਦੋਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਉਤਾਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਮੈਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕਰਾਂਗੀ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਾਂਗੀ ਕਿ ਕਦੋਂ ਉਡਾਣ ਭਰਨੀ ਹੈ।"
ਜੌਹਨਸਨ ਦੇ ਪਰਵਲਈ ਕਕਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਗਣਿਤ 'ਤੇ ਕੰਮ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸਫਲ ਕਕਸ਼, ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਉਤਰਨਾ, ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਸ਼ਟਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਹੋਇਆ। ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਵੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ (ਜਾਂ ਰਿਫਲੈਕਟਰ) ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਕੈਪਚਰ ਕਰਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੁਣ ਦੇ ਫਾਇਦੇ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪਰਵਲਈ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸੂਚੀ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਟੈਲੀਸਕੋਪ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਸਪਾਟਲਾਈਟ, ਅਤੇ ਕਾਰ ਹੈੱਡਲਾਈਟ, ਕੁਝ ਨਾਮ ਦੱਸਣ ਲਈ। ਪਰਵਲਈ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਕਲਪਕ ਊਰਜਾ ਉਪਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੋਲਰ ਕੁੱਕਰ ਅਤੇ ਵਾਟਰ ਹੀਟਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਸਸਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘੱਟ ਰੱਖ-ਰਖਾਅ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਿਆਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੋਲਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਦਿ ਐਲਿਪਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉਦੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਕੋਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਕੋਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਵਕਰ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਕਰ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਪਰਵਲਯ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਾਂਗ, ਪਰਵਲਯ ਨੂੰ ਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲਯ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ (ਫੋਕਸ) ਜੋ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਵਾਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਜ਼ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਪਰਵਲਯ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚਰਚਾ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰੇ ਵਕਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਪਰਵਲਯ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ P ਤੋਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਪਰਵਲਯ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਉਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ (x,y) ਪਰਵਲਯ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (0,0), ਫੋਕਸ (0,p), ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (x,−p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ: d=y+p। ਫੋਕਸ (0,p) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੀ d ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
d ਲਈ ਦੋਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ (x,y) ਤੋਂ (0,p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ (x,y) ਤੋਂ (x,−p) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y²=4px ਹਨ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ x²=4py ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ y-ਧੁਰੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਨਾਲ ਹੀ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
ਸਾਰਣੀ 1 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 5 ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ | ਸਮੀਕਰਨ | ਫੋਕਸ | ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ | ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰੇ
row: x-axis | y 2 =4px y 2 =4px | ( p,0 ) ( p,0 ) | x=−p x=−p | ( p,±2p ) ( p,±2p )
row: y-axis | x 2 =4py x 2 =4py | ( 0,p ) ( 0,p ) | y=−p y=−p | ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Figure 5: (a) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens right. (b) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the x-axis, the parabola opens left. (c) When p>0 p>0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens up. (d) When p<0 p<0 and the axis of symmetry is the y-axis, the parabola opens down.
The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.
A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: y 2 =4px y 2 =4px or x 2 =4py. x 2 =4py.
Use the standard form identified in Step 1 to determine the axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form y 2 =4px, y 2 =4px, then the axis of symmetry is the x-axis, y=0 y=0 set 4p 4p equal to the coefficient of x in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use p p to find the coordinates of the focus, ( p,0 ) ( p,0 ) use p p to find the equation of the directrix, x=−p x=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( p,±2p ). ( p,±2p ). Alternately, substitute x=p x=p into the original equation. If the equation is in the form x 2 =4py, x 2 =4py, then the axis of symmetry is the y-axis, x=0 x=0 set 4p 4p equal to the coefficient of y in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use p p to find the coordinates of the focus, ( 0,p ) ( 0,p ) use p p to find equation of the directrix, y=−p y=−p use p p to find the endpoints of the latus rectum, ( ±2p,p ) ( ±2p,p )
Plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 1
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the x-axis as the Axis of Symmetry
Graph y 2 =24x. y 2 =24x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is y 2 =4px. y 2 =4px. Thus, the axis of symmetry is the x-axis. It follows that:
24=4p, 24=4p, so p=6. p=6. Since p>0, p>0, the parabola opens right
the coordinates of the focus are ( p,0 )=( 6,0 ) ( p,0 )=( 6,0 )
the equation of the directrix is x=−p=−6 x=−p=−6
the endpoints of the latus rectum have the same x-coordinate at the focus. To find the endpoints, substitute x=6 x=6 into the original equation: ( 6,±12 ) ( 6,±12 )
Next we plot the focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola. Figure 7
Try It #1
Graph y 2 =−16x. y 2 =−16x. Identify and label the focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Example 2
Graphing a Parabola with Vertex (0, 0) and the y-axis as the Axis of Symmetry
x 2 =−6y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। x 2 =−6y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ x 2 =4py ਹੈ। x 2 =4py ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
−6=4p, −6=4p, ਇਸ ਲਈ p=− 3 2 । p=− 3 2 । ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( 0,p )=( 0,− 3 2 ) ਹਨ ( 0,p )=( 0,− 3 2 )
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=−p= 3 2 ਹੈ y=−p= 3 2
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y= 3 2 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ( ±3,− 3 2 ) ( ±3,− 3 2 )
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
x 2 =8y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। x 2 =8y ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਲਗਾਓ।
ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣਾ
ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਉਲਟਾ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇਸਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਜੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( p,0 ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ( p,0 ) , ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ y 2 =4px ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y 2 =4px। ਜੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ( 0,p ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ( 0,p ) , ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ x 2 =4py ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। x 2 =4py।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 4p।
ਸਟੈਪ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਟੈਪ 2 ਤੋਂ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਸਦੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਫੋਕਸ ( − 1 2 ,0 ) ( − 1 2 ,0 ) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 1 2 ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ? x= 1 2 ?
ਹੱਲ
ਫੋਕਸ ( p,0 ) ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ( p,0 ) , ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ y 2 =4px ਦਾ ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰੇਗਾ। y 2 =4px।
4p ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, 4p, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 4p=4( − 1 2 )=−2 ਹੈ। 4p=4( − 1 2 )=−2।
4p ਲਈ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ, 4p, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y 2 =4px=−2x ਹੈ। y 2 =4px=−2x।
Therefore, the equation for the parabola is y 2 =−2x. y 2 =−2x.
Try It #3
What is the equation for the parabola with focus ( 0, 7 2 ) ( 0, 7 2 ) and directrix y=− 7 2 ? y=− 7 2 ?
Graphing Parabolas with Vertices Not at the Origin
Like other graphs we’ve worked with, the graph of a parabola can be translated. If a parabola is translated h h units horizontally and k k units vertically, the vertex will be ( h,k ). ( h,k ). This translation results in the standard form of the equation we saw previously with x x replaced by ( x−h ) ( x−h ) and y y replaced by ( y−k ). ( y−k ).
To graph parabolas with a vertex ( h,k ) ( h,k ) other than the origin, we use the standard form ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the x-axis, and ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) for parabolas that have an axis of symmetry parallel to the y-axis. These standard forms are given below, along with their general graphs and key features.
Standard Forms of Parabolas with Vertex (h, k)
Table 2 and Figure 9 summarize the standard features of parabolas with a vertex at a point ( h,k ). ( h,k ).
row: Axis of Symmetry | Equation | Focus | Directrix | Endpoints of Latus Rectum
row: y=k y=k | ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) | ( h+p,k ) ( h+p,k ) | x=h−p x=h−p | ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p )
row: x=h x=h | ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ( x−h ) 2 =4p( y−k ) | ( h,k+p ) ( h,k+p ) | y=k−p y=k−p | ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Figure 9: (a) When p>0, p>0, the parabola opens right. (b) When p<0, p<0, the parabola opens left. (c) When p>0, p>0, the parabola opens up. (d) When p<0, p<0, the parabola opens down.
How To
Given a standard form equation for a parabola centered at (h, k), sketch the graph.
Determine which of the standard forms applies to the given equation: ( y−k ) 2 =4p( x−h ) ( y−k ) 2 =4p( x−h ) or ( x−h ) 2 =4p( y−k ). ( x−h ) 2 =4p( y−k ).
Use the standard form identified in Step 1 to determine the vertex, axis of symmetry, focus, equation of the directrix, and endpoints of the latus rectum. If the equation is in the form ( y−k ) 2 =4p( x−h ), ( y−k ) 2 =4p( x−h ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of k k to determine the axis of symmetry, y=k y=k set 4p 4p equal to the coefficient of ( x−h ) ( x−h ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens right. If p<0, p<0, the parabola opens left. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h+p,k ) ( h+p,k ) use h h and p p to find the equation of the directrix, x=h−p x=h−p use h,k, h,k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h+p,k±2p ) ( h+p,k±2p ) If the equation is in the form ( x−h ) 2 =4p( y−k ), ( x−h ) 2 =4p( y−k ), then: use the given equation to identify h h and k k for the vertex, ( h,k ) ( h,k ) use the value of h h to determine the axis of symmetry, x=h x=h set 4p 4p equal to the coefficient of ( y−k ) ( y−k ) in the given equation to solve for p. p. If p>0, p>0, the parabola opens up. If p<0, p<0, the parabola opens down. use h,k, h,k, and p p to find the coordinates of the focus, ( h,k+p ) ( h,k+p ) use k k and p p to find the equation of the directrix, y=k−p y=k−p use h, k, h, k, and p p to find the endpoints of the latus rectum, ( h±2p,k+p ) ( h±2p,k+p )
Plot the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum, and draw a smooth curve to form the parabola.
Example 4
Graphing a Parabola with Vertex (h, k) and Axis of Symmetry Parallel to the x-axis
Graph ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). ( y−1 ) 2 =−16( x+3 ). Identify and label the vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and endpoints of the latus rectum.
Solution
The standard form that applies to the given equation is ( y−k ) 2 =4p( x−h ). ( y−k ) 2 =4p( x−h ). Thus, the axis of symmetry is parallel to the x-axis. It follows that:
the vertex is ( h,k )=( −3,1 ) ( h,k )=( −3,1 )
the axis of symmetry is y=k=1 y=k=1
−16=4p, −16=4p, ਇਸ ਲਈ p=−4। p=−4। ਕਿਉਂਕਿ p<0, p<0, ਪਰਬਲੈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h+p,k )=( −3+( −4 ),1 )=( −7,1 ) ( h+p,k )=( −3+( −4 ),1 )=( −7,1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=h−p=−3−( −4 )=1 x=h−p=−3−( −4 )=1 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h+p,k±2p )=( −3+( −4 ),1±2( −4 ) ), ( h+p,k±2p )=( −3+( −4 ),1±2( −4 ) ), ਜਾਂ ( −7,−7 ) ( −7,−7 ) ਅਤੇ ( −7,9 ) ( −7,9 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਬਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗ੍ਰਾਫ ( y+1 ) 2 =4( x−8 )। ( y+1 ) 2 =4( x−8 )। ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ x 2 −8x−28y−208=0। x 2 −8x−28y−208=0। ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ( x−h ) 2 =4p( y−k ) ਹੈ। ( x−h ) 2 =4p( y−k )। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਪਰਬਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ x x ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ:
ਵਰਟੈਕਸ ( h,k )=( 4,−8 ) ( h,k )=( 4,−8 ) ਹੈ।
ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ x=h=4 x=h=4 ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ p=7,p>0 p=7,p>0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਬਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।
ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k+p )=( 4,−8+7 )=( 4,−1 ) ( h,k+p )=( 4,−8+7 )=( 4,−1 ) ਹਨ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=k−p=−8−7=−15 y=k−p=−8−7=−15 ਹੈ।
ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ( h±2p,k+p )=( 4±2( 7 ),−8+7 ), ( h±2p,k+p )=( 4±2( 7 ),−8+7 ), ਜਾਂ ( −10,−1 ) ( −10,−1 ) ਅਤੇ ( 18,−1 ) ( 18,−1 ) ਹਨ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਰਬਲੈ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਗ੍ਰਾਫ ( x+2 ) 2 =−20( y−3 )। ( x+2 ) 2 =−20( y−3 )। ਵਰਟੈਕਸ, ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਫੋਕਸ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਲੈਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਪਰਬਲੈ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰਬਲੈ ਕਈ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਵਰਤੋਂ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਟੈਲੀਸਕੋਪ, ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ, ਮਾਈਕ੍ਰੋਫੋਨ, ਅਤੇ ਰਾਡਾਰ ਉਪਕਰਨ। ਪਰਬਲੈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਨੂੰ ਜਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਵਿਲੱਖਣ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਰਬਲੈ ਦੀ ਸਿਮਟਰੀ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਤ੍ਹਾ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਿੱਧਾ ਫੋਕਸ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਓਲੰਪਿਕ ਟਾਰਚ ਉਦੋਂ ਜਗਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ ਪਰਬਲੈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਫੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 12: ਪਰਵਲਿਆਂ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ
2. ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਸੂਰਜ ਦੀ ਊਰਜਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਕੁਝ ਹੀ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸੈਂਕੜੇ ਡਿਗਰੀ ਤੱਕ ਤਾਪਮਾਨ ਵਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਘੱਟ-ਲਾਗਤ ਵਾਲੇ, ਊਰਜਾ-ਕੁਸ਼ਲ ਸੂਰਜੀ ਉਤਪਾਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ, ਸੂਰਜੀ ਹੀਟਰ, ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 6
4. ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
5. ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ ਇਗਨਾਈਟਰ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਗਨਾਈਟਰ ਪਰਵਲੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਿਰਨਾਂ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੀ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਜਲਾ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
6. ⓐ ਉਸ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ।
7. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਚਿੱਤਰ 13: ਯਾਤਰਾ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਅੱਗ ਬਾਲਣ ਵਾਲੇ ਯੰਤਰ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ
9. ਹੱਲ
10. ⓐ ਡਿਸ਼ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪਰਵਲਾ x² = 4py, ਜਿੱਥੇ p>0, ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਗਨਾਈਟਰ, ਜੋ ਕਿ ਫੋਕਸ ਹੈ, ਡਿਸ਼ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 1.7 ਇੰਚ ਉੱਪਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ p=1.7 ਹੈ। x² = 4py ਸਿਖਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ। x² = 4(1.7)y p ਲਈ 1.7 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। x² = 6.8y ਗੁਣਾ ਕਰੋ। x² = 4py ਸਿਖਰ (0,0) ਵਾਲੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ। x² = 4(1.7)y p ਲਈ 1.7 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। x² = 6.8y ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
11. ⓑ ਡਿਸ਼ ਮੂਲ ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ 4.5² = 2.25 ਇੰਚ ਤੱਕ ਫੈਲੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਸ਼ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x² = 6.8y ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਲੱਭਿਆ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ। (2.25)² = 6.8y x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। y≈0.74 y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। x² = 6.8y ਭਾਗ (a) ਵਿੱਚ ਲੱਭਿਆ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ। (2.25)² = 6.8y x ਲਈ 2.25 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ। y≈0.74 y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਡਿਸ਼ ਲਗਭਗ 0.74 ਇੰਚ ਡੂੰਘੀ ਹੈ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
13. ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਾਰਾਂ ਲਈ ਬਾਲਕੋਨੀ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇੱਕ ਡਿਸ਼ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਿਆਸ 1600 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੀਆਂ ਕਿਰਨਾਂ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੋ ਕੇ "ਚੁੱਲ੍ਹੇ" ਵੱਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਬੇਸ ਤੋਂ 320 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
14. ⓐ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਸੂਰਜੀ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਰਵਲਈ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਰਵਲਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ਇਸਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ)।
15. ⓑ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੁੱਲ੍ਹੇ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਮੀਡੀਆ
17. ਪਰਵਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
18. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਪਰਵਲਾ ਭਾਗ 1/2
19. ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ: ਪਰਵਲਾ ਭਾਗ 2/2
20. ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਲਾ
21. ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਵਾਲਾ ਪਰਵਲਾ
22. ਸ਼ਬਦਕ
23. ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਰਵਲੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
24. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪਰਵਲੇ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ p ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਅਤੇ p ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix) ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ p ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਧਦੇ ਜਾਣ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਕੀ ਅਸਰ ਪੈਂਦਾ ਹੈ?
ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚੌੜਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਾ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਪਰਵਲੈ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
y^2 = 4 - x^2
y = 4x^2
3x^2 - 6y^2 = 12
(y - 3)^2 = 8(x - 2)
y^2 + 12x - 6y - 51 = 0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰ (V), ਫੋਕਸ (F), ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (d) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = 8y^2
y = (1/4)x^2
y = -4x^2
x = (1/8)y^2
x = 36y^2
x = (1/36)y^2
(x - 1)^2 = 4(y - 1)
(y - 2)^2 = (4/5)(x + 4)
(y - 4)^2 = 2(x + 3)
(x + 1)^2 = 2(y + 4)
(x + 4)^2 = 24(y + 1)
(y + 4)^2 = 16(x + 4)
y^2 + 12x - 6y + 21 = 0
x 2 −4x−24y+28=0
5 x 2 −50x−4y+113=0
y 2 −24x+4y−68=0
x 2 −4x+2y−6=0
y 2 −6y+12x−3=0
3 y 2 −4x−6y+23=0
x 2 +4x+8y−4=0
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਰਬਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
x= 1 8 y 2
y=36 x 2
y= 1 36 x 2
y=−9 x 2
( y−2 ) 2 =− 4 3 ( x+2 )
−5 ( x+5 ) 2 =4( y+5 )
−6 ( y+5 ) 2 =4( x−4 )
y 2 −6y−8x+1=0
x 2 +8x+4y+20=0
3 x 2 +30x−4y+95=0
y 2 −8x+10y+9=0
x 2 +4x+2y+2=0
y 2 +2y−12x+61=0
−2 x 2 +8x−4y−24=0
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਪਰਬਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਸ਼ੀਰਸ਼ (0,0); ਸ਼ੀਰਸ਼ (0,0); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=4, y=4, ਨਾਭੀ (0,−4). (0,−4).
ਸ਼ੀਰਸ਼ (0,0); ਸ਼ੀਰਸ਼ (0,0); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=4, x=4, ਨਾਭੀ (−4,0). (−4,0).
ਸ਼ੀਰਸ਼ (2,2); ਸ਼ੀਰਸ਼ (2,2); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=2−√2, x=2−√2, ਨਾਭੀ (2+√2,2). (2+√2,2).
ਸ਼ੀਰਸ਼ (−2,3); ਸ਼ੀਰਸ਼ (−2,3); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=−7/2, x=−7/2, ਨਾਭੀ (−1/2,3). (−1/2,3).
ਸ਼ੀਰਸ਼ (2,−3); ਸ਼ੀਰਸ਼ (2,−3); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=2√2, x=2√2, ਨਾਭੀ (0,−3). (0,−3).
ਸ਼ੀਰਸ਼ (1,2); ਸ਼ੀਰਸ਼ (1,2); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=11/3, y=11/3, ਨਾਭੀ (1,1/3). (1,1/3).
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸ਼ੀਰਸ਼ ਅਤੇ ਲੇਟਸ ਰੈਕਟਮ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
V(0,0) V(0,0), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (2,1) (2,1), (−2,1) (−2,1)
V(0,0) V(0,0), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−2,4) (−2,4), (−2,−4) (−2,−4)
V(1,2) V(1,2), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−5,5) (−5,5), (7,5) (7,5)
V(−3,−1) V(−3,−1), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,5) (0,5), (0,−7) (0,−7)
V(4,−3) V(4,−3), ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (5,−7/2) (5,−7/2), (3,−7/2) (3,−7/2)
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਦੁਨੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹੈੱਡਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਪਰਵਲੈਅਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਲਬ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੀਮੈਟਿਕ 'ਤੇ, ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²=4y ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਲਬ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ 'ਤੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਨਾਭੀ (0,0.25) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਲੈਅਕ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਰਿਸੀਵਰ ਨੂੰ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਆਪਣੇ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ 4 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਖੁੱਲਣ 'ਤੇ 8 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਾਂਗੇ?
ਇੱਕ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪਰਵਲੈਅਕ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੋਸ਼ਨੀ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਰਚਲਾਈਟ ਦਾ ਖੁੱਲਣਾ 3 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਸਰਚਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਰਿਫਲੈਕਟਰ ਦਾ ਰੋਸ਼ਨੀ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 6 ਇੰਚ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਖੁੱਲਣਾ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਕਮਾਨ ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸਪੈਨ 100 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਕਮਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਤੋਂ ਕਮਾਨ ਦਾ ਸਪੈਨ 160 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 40 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਉਹ ਦੂਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਿਸ 'ਤੇ ਉਚਾਈ 20 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ y=−x²+96x, y=−x²+96x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਵਲੈਅਕ ਮਾਰਗ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇ, ਜਿੱਥੇ x ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਅਤੇ y ਉਚਾਈ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਵਸਤੂ ਨੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ।