ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓਗੇ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋਗੇ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੇ ਪਥ, ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਧਮਾਕੇ, ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀ ਥੰਮ, ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਸਾਂਝਾ ਹੈ? ਇਹ ਸਭ ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਦਮਾ ਤਰੰਗ ਬਣਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤਰੰਗ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਬੂਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਦਮਾ ਤਰੰਗ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਧੁਨੀ ਬੂਮ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦੀ ਹੈ।
ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਧੁਨੀ ਬੂਮ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਪਰ ਮਨੁੱਖ ਪਹਿਲੀ ਸੁਪਰਸੋਨਿਕ ਉਡਾਣ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜ ਰਹੇ ਸਨ। ਇੱਕ ਕੋਰੜੇ ਦੀ ਕ੍ਰੈਕ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਸਿਰਾ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਹਥਿਆਰਾਂ ਤੋਂ ਚਲਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਗੋਲੀਆਂ ਵੀ ਆਵਾਜ਼ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨੂੰ ਤੋੜਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਬੰਦੂਕ ਦੀ ਗਰਜ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਧੁਨੀ ਬੂਮ ਦੀ ਆਵਾਜ਼ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਅੱਧੇ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕਟੌਤੀ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਸੀਮਤ ਵਕਰ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੀਆਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਾਂਗ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ (x,y) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਾਂਗ, ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਦੋ ਅਕਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ ਜੋ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਉਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪਈਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਕਸ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਇਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਅਕਸ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਕੱਟਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਅਸੀਮਤ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਇਹਨਾਂ ਅਸੀਮਤਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ ਹਰ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਨ; ਇਹ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਸੀਮਤਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਅਸੀਮਤਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਵਧਾਓ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਕਸ ਜਾਂ ਤਾਂ x- ਅਤੇ y-ਅਕਸ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ ਜਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣਗੇ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ: ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪੱਤੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ (−c,0) ਅਤੇ (c,0) ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ (x,y) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ (a,0) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਹੈ, ਤਾਂ (−c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ a−(−c)=a+c ਹੈ। (c,0) ਤੋਂ (a,0) ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ c−a ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ (x,y) ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, d₂ - d₁ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ (a,0) ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ 2a ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ d₂ - d₁ = 2a ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪੱਤੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਤਪੱਤੀ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਅਲਜਬਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਤਪੱਤੀ ਦੀ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਉਤਪੱਤੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ (±a,0) ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (0±b) ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ (conjugate axis) ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤੋਪਗਤ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(b/a)x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5a ਵੇਖੋ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,0) ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a) ਹਨ
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਫਾਸਲਾ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c) ਹਨ
ਅਨੁਪ੍ਰਸਤੋਪਗਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(a/b)x ਹਨ
ਚਿੱਤਰ 5b ਵੇਖੋ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ c² = a² + b² ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5: (a) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (b) ਕੇਂਦਰ (0,0) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ (transverse axis) x- ਧੁਰੇ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $a^2$ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ (intercepts) ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਸਿਖਰਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(\pm a, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(\pm c, 0)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸਿਖਰ $(0, \pm a)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨ $a = \sqrt{a^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $a$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ $y^2/49 - x^2/32 = 1$ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਿਖਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, $x=0$ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm c)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ। $c$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਸਿਖਰ $(0, \pm 7)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $(0, \pm 9)$ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
ਸਮੀਕਰਨ $x^2/9 - y^2/25 = 1$ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ
ਬਿਲਕੁਲ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ (ellipses) ਵਾਂਗ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗੀ ਧੁਰਿਆਂ (conjugate axes) ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਇਸਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਾਂਗੇ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ $c^2 = a^2 + b^2$ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates) ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $(0,0)$ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(\pm a, 0)$ ਅਤੇ $(\pm c, 0)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(0, \pm a)$ ਅਤੇ $(0, \pm c)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ $b^2 = c^2 - a^2$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $b^2$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $a^2$ ਅਤੇ $b^2$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
1. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( ±6,0 ) ( ±6,0 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( ±2√10 ,0 ) ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ?
2. ਹੱਲ
3. ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/a² − y²/b² =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ। x²/a² − y²/b² =1.
4. ਸਿਖਰ ( ±6,0 ), ( ±6,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ a=6 a=6 ਅਤੇ a²=36। a²=36.
5. ਨਾਭੀਆਂ ( ±2√10 ,0 ), ( ±2√10 ,0 ) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ c=2√10 c=2√10 ਅਤੇ c²=40। c²=40.
6. b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, b² , ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
7. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ a²=36 a²=36 ਅਤੇ b²=4 b²=4 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, x²/a² − y²/b² =1, ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। x²/a² − y²/b² =1. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x²/36 − y²/4 =1, x²/36 − y²/4 =1, ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
8. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
9. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ ( 0,±2 ) ( 0,±2 ) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ( 0,±2√5 ) ( 0,±2√5 ) ਹਨ?
10. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ
11. ਹੋਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਵੀ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ h h ਇਕਾਈ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ k k ਇਕਾਈ ਲੰਬਵਤ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਪਿਛਲੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ x x ਨੂੰ (x−h) (x−h) ਅਤੇ y y ਨੂੰ (y−k) (y−k) ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ
13. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
14. ਜਿੱਥੇ
15. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
16. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±a,k) (h±a,k) ਹਨ
17. ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b 2b ਹੈ
18. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h,k±b) (h,k±b) ਹਨ
19. ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2c, 2c, ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b² c² = a² + b²
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (h±c,k) (h±c,k) ਹਨ
21. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੀਆਂ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਚੌੜਾਈ 2b 2b ਹੈ। ਵਿਕਰਨਾਂ ਦੇ ਢਲਾਣ ±b/a, ±b/a, ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਕਰਨ ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਸਰਲ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(b/a)(x−h)+k ਹਨ। y=±(b/a)(x−h)+k. ਚਿੱਤਰ 7a ਦੇਖੋ।
22. ਕੇਂਦਰ (h,k) (h,k) ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a 2a ਹੈ
1. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k±a ) ਹਨ।
2. ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ।
3. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h±b,k ) ਹਨ।
4. ਨਾਭੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ 2c ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c² = a² + b²।
5. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ( h,k±c ) ਹਨ।
6. ਉਪਰੋਕਤ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=±(a/b)(x−h)+k ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 7b ਵੇਖੋ।
7. ਚਿੱਤਰ 7: (a) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (b) ਕੇਂਦਰ (h,k) ਵਾਲਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ।
8. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਵਾਂਗ, ਬਿੰਦੂ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ c² = a² + b² ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਜਦੋਂ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ।
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
10. (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਸਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
11. ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਜਾਂ y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (y−k)²/a² − (x−h)²/b² = 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
12. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣੋ।
13. a² ਲੱਭੋ, ਜੋ ਕਿ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਖਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
14. ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ h ਅਤੇ k ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਾਭੀਆਂ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ c² ਲੱਭੋ।
15. ਸਮੀਕਰਨ b² = c² − a² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ b² ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, a², ਅਤੇ b² ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 3
18. ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ (h,k) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ।
19. ਉਸ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−2,−2) ਅਤੇ (8,−2) ਹਨ?
20. ਹੱਲ
21. ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੋਵੇਗਾ
22. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, (h,k), ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੇਂਦਰ ਸਿਖਰਾਂ (0,−2) ਅਤੇ (6,−2) ਦੇ ਅੱਧੇ 'ਤੇ ਹੈ। ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
23. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ a² ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, 2a, ਸਿਖਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਕੇ a² ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
24. ਹੁਣ ਸਾਨੂੰ c² ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (h±c,k) ਹਨ। ਇਸ ਲਈ (h−c,k)=(−2,−2) ਅਤੇ (h+c,k)=(8,−2)। ਅਸੀਂ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂ (8,−2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ h=3 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹੋਏ,
1. b 2 ਦਾ ਮੁੱਲ c 2 − a 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ: b 2 = c 2 − a 2 :
2. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, h, k, a 2 , h, k, a 2 , ਅਤੇ b 2 b 2 ਲਈ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
3. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
4. ਉਸ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ (vertices) (1,−2) (1,−2) ਅਤੇ (1,8) (1,8) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) (1,−10) (1,−10) ਅਤੇ (1,16) (1,16) ਹਨ? (1,16)?
5. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (Hyperbolas) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
6. ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes), ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ (transverse) ਅਤੇ ਸੰਯੁਗੀ (conjugate) ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਸਥਿਤੀਆਂ। ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbolas) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (horizontal hyperbolas) ਲਈ x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (vertical hyperbolas) ਲਈ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. (0,0) (0,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਲਈ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ।
9. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
10. ਪਗ (Step) 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ (transverse axis) ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਸਿਖਰਾਂ (vertices), ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ (co-vertices), ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates); ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 x 2 a 2 − y 2 b 2 =1 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±a,0) (±a,0) ਹਨ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±b) (0,±b) ਹਨ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±c,0) (±c,0) ਹਨ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b a x y=± b a x ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a) (0,±a) ਹਨ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0) (±b,0) ਹਨ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c) (0,±c) ਹਨ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b x y=± a b x ਹਨ।
11. c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 . ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ (coordinate plane) ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (curve) ਖਿੱਚੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 4
14. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ (0, 0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (Hyperbola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
15. y 2 64 − x 2 36 =1 y 2 64 − x 2 36 =1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 y 2 a 2 − x 2 b 2 =1 ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ।
18. ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±a)=(0,±64)=(0,±8) (0,±a)=(0,±64)=(0,±8) ਹਨ।
19. ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (±b,0)=(±36,0)=(±6,0) (±b,0)=(±36,0)=(±6,0) ਹਨ।
20. ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±c), (0,±c) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 . c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, c, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
21. ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (0,±10) (0,±10) ਹਨ।
22. ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b x=± 8 6 x=± 4 3 x y=± a b x=± 8 6 x=± 4 3 x ਹਨ।
23. ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ (central rectangle) ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ। ਆਇਤ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਦੇ ਵਿਕਰਨਾਂ (diagonals) ਦਾ ਖਾਕਾ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਧਾਓ। ਕੇਂਦਰੀ ਆਇਤ ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਢਾਂਚਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ (curve) ਖਿੱਚੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
24. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
x 2 144 − y 2 81 =1 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। x 2 144 − y 2 81 =1। ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਉਤਪੰਨ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਉਤਪੰਨ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ( h,k ) ( h,k ) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ, ਉਤਪੰਨ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1 ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗਿਣ ਅਤੇ ਪਲੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ; ਇਸਦੀਆਂ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ; ਅਤੇ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
( h, k ) ( h, k ) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਆਮ ਰੂਪ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਆਮ ਰੂਪ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਗਏ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ; ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ; ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1, ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±a,k ) ( h±a,k ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±b ) ( h,k±b ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±c,k ) ( h±c,k ) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± b a ( x−h )+k y=± b a ( x−h )+k ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1, ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਕੇਂਦਰ ( h,k ) ( h,k ) ਹੈ, ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±a ) ( h,k±a ) ਹਨ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±b,k ) ( h±b,k ) ਹਨ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±c ) ( h,k±c ) ਹਨ, ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=± a b ( x−h )+k y=± a b ( x−h )+k ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 . ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਤਲ ਤੇ ਪਲੋਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ਤੇ (h, k) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
9 x 2 −4 y 2 −36x−40y−388=0. 9 x 2 −4 y 2 −36x−40y−388=0। ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰਾਂ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜ ਕੇ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰ ਪਦ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1, ( x−h ) 2 a 2 − ( y−k ) 2 b 2 =1 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a 2 =36 a 2 =36 ਅਤੇ b 2 =81, b 2 =81, ਜਾਂ a=6 a=6 ਅਤੇ b=9. b=9। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ( h,k )=( 2,−5 ) ( h,k )=( 2,−5 ) ਹੈ
ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±a,k )=( 2±6,−5 ), ( h±a,k )=( 2±6,−5 ), ਜਾਂ ( −4,−5 ) ( −4,−5 ) ਅਤੇ ( 8,−5 ) ( 8,−5 ) ਹਨ
ਸਹਿ-ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h,k±b )=( 2,−5±9 ), ( h,k±b )=( 2,−5±9 ), ਜਾਂ ( 2,−14 ) ( 2,−14 ) ਅਤੇ ( 2,4 ) ( 2,4 ) ਹਨ
ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( h±c,k ), ( h±c,k ) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c=± a 2 + b 2 . c=± a 2 + b 2 । c, c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 2−3 13 ,−5 ) ( 2−3 13 ,−5 ) ਅਤੇ ( 2+3 13 ,−5 ) ( 2+3 13 ,−5 ) ਹਨ।
y=± b a ( x−h )+k=± 3 2 ( x−2 )−5.
ਅਸੀਂ ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਜੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1 ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ( y+4 ) 2 100 − ( x−3 ) 2 64 =1. ਕੇਂਦਰ, ਸਿਖਰ, ਸਹਿ-ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ। ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਾਯੂਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਕੂੜੇ ਦੀ ਗਰਮੀ ਨੂੰ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਕੁਸ਼ਲਤਾ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਲਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਰੂਪ ਦੇ ਕਾਰਨ, ਇਹ ਢਾਂਚੇ ਆਪਣੀ ਕਿਸਮ ਅਤੇ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੇ ਹੋਏ ਅਤਿਅੰਤ ਹਵਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ 500-ਫੁੱਟ ਟਾਵਰ ਸਿਰਫ 6 ਜਾਂ 8 ਇੰਚ ਚੌੜੀ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕੰਕਰੀਟ ਸ਼ੈੱਲ ਤੋਂ ਬਣਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ!
ਚਿੱਤਰ 10: ਡਰੇਕਸ ਪਾਵਰ ਸਟੇਸ਼ਨ, ਉੱਤਰੀ ਯੌਰਕਸ਼ਾਇਰ, ਯੂਨਾਈਟਿਡ ਕਿੰਗਡਮ ਵਿਖੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਲੇਸ ਹੈਨਜ਼, ਫਲਿੱਕਰ)
ਪਹਿਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਟਾਵਰਾਂ ਨੂੰ 1914 ਵਿੱਚ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹ 35 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਸਨ। ਅੱਜ, ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਫਰਾਂਸ ਵਿੱਚ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ 170 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਾਂਗੇ ਜੋ ਇਸਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਲੇਆਉਟ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਟਾਵਰ 179.6 ਮੀਟਰ ਉੱਚਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਵਿਆਸ 72 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕ, ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸੇ 60 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਕੁਦਰਤੀ ਡਰਾਫਟ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਲਈ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਡਿਜ਼ਾਈਨ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟਾਵਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, x 2 a 2 − y 2 b 2 =1, ਜਿੱਥੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ a 2 a 2 ਅਤੇ b 2 b 2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ a 2 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। a 2 . ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ। 2a. ਇਹ ਲੰਬਾਈ ਉਸ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਾਸੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ 60 60 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 2a=60. 2a=60. ਇਸ ਲਈ, a=30 a=30 ਅਤੇ a 2 =900. a 2 =900.
b 2 , b 2 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x x ਅਤੇ y y ਲਈ ਇੱਕ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ ( x,y ) ( x,y ) ਲੱਭਣ ਲਈ ਟਾਵਰ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸੱਜੇ ਕੋਨੇ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਕਿਉਂਕਿ y-ਧੁਰਾ ਟਾਵਰ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ, ਜਾਂ 36 ਮੀਟਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। y-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 79.6 ਮੀਟਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦਾ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਕੂਲਿੰਗ ਟਾਵਰ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਕੇਂਦਰ—ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ—ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਦਾ ਮੂਲ ਹੈ। ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਭਾਗ 1 ਦਾ 2
ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ: ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਭਾਗ 2 ਦਾ 2
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਮੌਖਿਕ
ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ਕ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ?
ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਅਨੁਪ੍ਰਸਤ ਧੁਰਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਇਸਦੀਆਂ ਨਾਭੀਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਿੱਥੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3 y 2 +2x=6
x 2 36 − y 2 9 =1
5 y 2 +4 x 2 =6x
25 x 2 −16 y 2 =400
−9 x 2 +18x+ y 2 +4y−14=0
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਤਿ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ਕਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
x 2 25 − y 2 36 =1
x 2 100 − y 2 9 =1
y 2 4 − x 2 81 =1
9 y 2 −4 x 2 =1
( x−1 ) 2 9 − ( y−2 ) 2 16 =1
( y−6 ) 2 36 − ( x+1 ) 2 16 =1
( x−2 ) 2 49 − ( y+7 ) 2 49 =1
4 x 2 −8x−9 y 2 −72y+112=0
−9x^2 − 54x + 9y^2 − 54y + 81 = 0
4x^2 − 24x − 36y^2 − 360y + 864 = 0
−4x^2 + 24x + 16y^2 − 128y + 156 = 0
−4x^2 + 40x + 25y^2 − 100y + 100 = 0
x^2 + 2x − 100y^2 − 1000y + 2401 = 0
−9x^2 + 72x + 16y^2 + 16y + 4 = 0
4x^2 + 24x − 25y^2 + 200y − 464 = 0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਾਲ (hyperbola) ਲਈ ਅਨੰਤ-ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ (asymptotes) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
y^2/3^2 − x^2/3^2 = 1
(x−3)^2/5^2 − (y+4)^2/2^2 = 1
(y−3)^2/3^2 − (x+5)^2/6^2 = 1
9x^2 − 18x − 16y^2 + 32y − 151 = 0
16y^2 + 96y − 4x^2 + 16x + 112 = 0
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਾਲ (hyperbola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਸਿਖਰਾਂ (vertices) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
x^2/49 − y^2/16 = 1
x^2/64 − y^2/4 = 1
y^2/9 − x^2/25 = 1
81x^2 − 9y^2 = 1
(y+5)^2/9 − (x−4)^2/25 = 1
(x−2)^2/8 − (y+3)^2/27 = 1
(y−3)^2/9 − (x−3)^2/9 = 1
−4x^2 − 8x + 16y^2 − 32y − 52 = 0
x^2 − 8x − 25y^2 − 100y − 109 = 0
− x 2 +8x+4 y 2 −40y+88=0
64 x 2 +128x−9 y 2 −72y−656=0
16 x 2 +64x−4 y 2 −8y−4=0
−100 x 2 +1000x+ y 2 −10y−2575=0
4 x 2 +16x−4 y 2 +16y+16=0
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਾਰੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤੋਂ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਿਖਰ (Vertices) ( 3,0 ) ਅਤੇ ( −3,0 ) 'ਤੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 5,0 ) 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਿਖਰ (Vertices) ( 0,6 ) ਅਤੇ ( 0,−6 ) 'ਤੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 0,−8 ) 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਿਖਰ (Vertices) ( 1,1 ) ਅਤੇ ( 11,1 ) 'ਤੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਾਭੀ (focus) ( 12,1 ) 'ਤੇ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 0,−13 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 0, 313 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 4,2 ); ਸਿਖਰ: ( 9,2 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 4+ 26 ,2 ).
ਕੇਂਦਰ: ( 3,5 ); ਸਿਖਰ: ( 3,11 ); ਇੱਕ ਨਾਭੀ: ( 3,5+2 10 ).
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (functions) ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ y, x ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ। ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ (axes) 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
x 2 4 − y 2 9 =1
y 2 9 − x 2 1 =1
( x−2 ) 2 16 − ( y+3 ) 2 25 =1
−4 x 2 −16x+ y 2 −2y−19=0
4 x 2 −24x− y 2 −4y+16=0
ਸੱਚੀ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਝਰਨੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੇਜ (hedge) ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚੋ।
ਹੇਜ (hedge) y=x ਅਤੇ y=−x ਦੀਆਂ ਅਸੀਮਟੋਟਸ (asymptotes) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 5 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਹੇਜ (hedge) y=2x ਅਤੇ y=−2x ਦੀਆਂ ਅਸੀਮਟੋਟਸ (asymptotes) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 6 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 1 2 x ਅਤੇ y=− 1 2 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 10 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 2 3 x ਅਤੇ y=− 2 3 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 12 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਵਾੜ ਅਸੀਮਟੋਟਸ y= 3 4 x ਅਤੇ y=− 3 4 x ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰੀ ਝਰਨੇ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੂਰੀ 20 ਗਜ਼ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਸਾਡੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰਾ ਵਸਤੂ ਦੇ ਮਾਰਗ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੋਵੇ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਡਾਣ ਮਾਰਗ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿਓ।
ਵਸਤੂ y=x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au (ਖਗੋਲਿਕ ਇਕਾਈ) ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ ਇਹ y=−x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=2x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 0.5 au ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−2x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=0.5x+2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−0.5x−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y= 1 3 x−1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=− 1 3 x+1 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਸਤੂ y=3x−9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪਹੁੰਚ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ 1 au ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੂਰਜ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਹ y=−3x+9 ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।