ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕੋਨਿਕਸ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਕਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗਾਂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: NASA Blueshift, Flickr)
ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤੇ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਗਤੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਮਾਣੂ ਨਿਊਕਲੀਅਸ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਦੀ ਗਤੀ। ਗ੍ਰਹਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਵੱਡੇ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ, ਐਸਟੇਰੋਇਡਾਂ ਅਤੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੀਆਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਅਕਸਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਧੂਮਕੇਤੂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਅਪਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਤੇ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀਆਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਉਸ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਪਿੰਡ ਤੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਜਾਂ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਕਾਲ-ਗਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਵਿੱਚ, ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਪੋਐਪਸਿਸ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਵੇਗ ਪੈਰੀਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਵਧਣ ਅਤੇ ਅਪੋਐਪਸਿਸ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ 'ਤੇ ਘਟਣ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕ ਬਚਣ ਵਾਲੇ ਵੇਗ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਸਤੂਆਂ ਕਿਸੇ ਪਿੰਡ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ; ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਸਵਰਗੀ ਪਿੰਡ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਫਾਇਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਕਾਲ-ਗਤੀ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਕੋਈ ਵੀ ਕੋਨਿਕ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੋਕਸ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ। ਪੈਰਾਬੋਲਾ x=2+ y 2 x=2+ y 2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
'ਦ ਪੈਰਾਬੋਲਾ' ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਫੋਕਸ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ) ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਪੋਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ P(r,θ) P(r,θ) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਜੋ ਕਿ ਪੋਲਰ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ F F ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਫੋਕਸ, ਅਤੇ D D ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ e e ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦਾ ਸੈੱਟ ਜਿਸ ਲਈ e= PF PD e= PF PD ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ P P ਦੇ ਸੈੱਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ ਕਿ F F ਤੋਂ P P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ D D ਤੱਕ P P ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਥਿਰ e ਹੈ। e.
ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e, e ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਲਈ,
ਜੇਕਰ 0≤e<1, 0≤e<1, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ
ਜੇਕਰ e=1, e=1, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੈ
ਜੇਕਰ e>1, e>1, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ
ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ, x=±p, x=±p, ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e, e, ਅਤੇ ਕੋਣ θ, θ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ r r ਅਤੇ θ, θ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=±p, x=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=±p, y=±p ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p p ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ e, e ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕੋਨਿਕ ਲਈ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਕੋਨਿਕ ਦੀ ਕਿਸਮ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਡੇਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ e e ਨੂੰ ਡੇਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
e e ਦੀ ਤੁਲਨਾ 1 ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਦਾ ਰੂਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਕੋਸਾਈਨ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) ਨੂੰ x=p ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਾਈਨ ਹਰ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ ਤਾਂ y=p ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। x ਜਾਂ y ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ (numerator) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ep ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੋਲਰ ਰੂਪ (Polar Form) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ (Conic) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ (origin) ਉੱਤੇ ਫੋਕਸ (focus) ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
r= 6 3+2sinθ
r= 12 4+5cosθ
r= 7 2−2sinθ
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਸ਼ੰਕੂਆਂ (conics) ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤਿੰਨਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) 1/c ਨਾਲ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c ਉਹ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 6 3+2sinθ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6( 1 3 ) 3( 1 3 )+2( 1 3 )sinθ = 2 1+ 2 3 sinθ ਕਿਉਂਕਿ sinθ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ e= 2/3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 2=ep 2= 2 3 p ( 3 2 )2=( 3 2 ) 2 3 p 3=p ਕਿਉਂਕਿ e<1, ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) e= 2/3 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=3 ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 12 4+5cosθ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) r= 12( 1 4 ) 4( 1 4 )+5( 1 4 )cosθ r= 3 1+ 5 4 cosθ ਕਿਉਂਕਿ cosθ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, e= 5/4 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 3=ep 3= 5 4 p ( 4 5 )3=( 4 5 ) 5 4 p 12/5 =p ਕਿਉਂਕਿ e>1, ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) e= 5/4 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 12/5 =2.4 ਹੈ।
ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। r= 7 2−2sinθ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) r= 7( 1 2 ) 2( 1 2 )−2( 1 2 )sinθ r= 7 2 1−sinθ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ (sine) ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਹੈ, ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, e=1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ (numerator) ਤੋਂ, 7/2 =ep 7/2 =( 1 )p 7/2 =p ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਹੈ। ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) e=1 ਹੈ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=− 7/2 =−3.5 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਮੂਲ (origin) ਉੱਤੇ ਫੋਕਸ (focus) ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ (conic), ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ (directrix) ਅਤੇ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ r= 2 3−cosθ ਲਈ।
ਸ਼ੰਕੂਆਂ (Conics) ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (Polar Equations) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (Cartesian coordinates) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ (conic section) ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਵੇਲੇ ਇਹ ਸਥਿਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ (conic section) ਦੀ ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ (eccentricity) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਵਕਰ (curve) ਬਣਾਉਣੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀਆਂ ਪੈਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰ (denominator) 1 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ e ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰ (curve) ਦਾ ਰੂਪ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ θ ਲਈ ਮੁੱਲ ਬਦਲਣਾ ਅਤੇ r ਲਈ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। θ ਨੂੰ 0, π/2, π, ਅਤੇ 3π/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਿਖਰ (vertices) ਮਿਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਮੋਟਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾ ਸਕੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਪੋਲਰ ਰੂਪ (Polar Form) ਵਿੱਚ ਪਰਵਲਯ (Parabola) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 5 3+3cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ 3 ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) 1/3 ਨਾਲ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੰਕੂ (conic) ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ (standard form) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ e=1, ਅਸੀਂ ਮੂਲ (origin) ਉੱਤੇ ਫੋਕਸ (focus) ਵਾਲਾ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ cosθ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x= 5/3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 3 ਵੇਖੋ।
ਪੰਕਤੀ: A | B | C | D
ਪੰਕਤੀ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਪੰਕਤੀ: r= 5/(3+3cosθ) | 5/6 ≈0.83 | 5/3 ≈1.67 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | 5/3 ≈1.67
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਨਾਲ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 4 ਵੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 8/(2−3sinθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 1/2 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 3/2, e>1, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ sinθ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=− 8/3 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵੇਖੋ।
ਪੰਕਤੀ: A | B | C | D
ਪੰਕਤੀ: θ | 0 | π/2 | π | 3π/2
ਪੰਕਤੀ: r= 8/(2−3sinθ) | 4 | -8 | 4 | 8/5 =1.6
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
r= 10/(5−4cosθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਨਿਕ ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ 5 ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ 1/5 ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ।
ਕਿਉਂਕਿ e= 4/5, e<1, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਵਾਂਗੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ cosθ ਪਦ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−p ਹੈ।
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=− 5/2 ਹੈ।
ਮੇਜ਼ 3 ਵਾਂਗ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖ ਸਕਾਂਗੇ। ਅਨੁਛੇਦ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਤਰ: ਏ | ਬੀ | ਸੀ | ਡੀ
ਸਤਰ: ਥੀਟਾ ਥੀਟਾ | 0 0 | ਪਾਈ 2 ਪਾਈ 2 | ਪਾਈ ਪਾਈ | 3 ਪਾਈ 2 3 ਪਾਈ 2
ਸਤਰ: ਆਰ = 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਆਰ = 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ | 10 10 | 2 2 | 10 9 ≈1.1 10 9 ≈1.1 | 2 2
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਨੁਛੇਦ 7 ਵੇਖੋ।
ਅਨੁਛੇਦ 7: ਆਰ = 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਆਰ = 10 5−4ਕੋਸਥੀਟਾ ਇੱਕ ਵੇਖਣ ਵਾਲੀ ਵਿੰਡੋ [ –3,12,1 ] [ –3,12,1 ] ਵਿੱਚ [–4,4,1],ਥੀਟਾਮਿਨ =0 [–4,4,1],ਥੀਟਾਮਿਨ =0 ਅਤੇ ਥੀਟਾਮੈਕਸ =2ਪਾਈ। ਥੀਟਾਮੈਕਸ =2ਪਾਈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਗ੍ਰਾਫ ਆਰ = 2 4−ਕੋਸਥੀਟਾ। ਆਰ = 2 4−ਕੋਸਥੀਟਾ।
ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੋਨਿਕਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਕਰਵ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਨਿਕਸ ਦੇ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਸੀਂ ਮੂਲ, ਉਤਸਾਰਤਾ, ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਫੋਕਸ, ਉਤਸਾਰਤਾ, ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਨਿਕ ਦਾ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ। ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y, y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਮ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x, x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਮ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਪੀ<0, ਪੀ<0, ਘਟਾਓ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਪੀ>0, ਪੀ>0, ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਉਤਸਾਰਤਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਵਿੱਚ ਪੀ ਪੀ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਣ 5
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ, ਉਤਸਾਰਤਾ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਮੂਲ 'ਤੇ ਫੋਕਸ, ਈ=3 ਈ=3 ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−2। y=−2। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−p, y=−p ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ y=−2,–2<0, y=−2,–2<0, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ ਈ=3 ਈ=3 ਅਤੇ | −2 |=2=ਪੀ। | −2 |=2=ਪੀ।
ਇਸ ਲਈ,
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਾਭੀ, ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੀ ਨਾਭੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ, e= 3/5, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=4 ਹੋਵੇ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=p ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਸਾਈਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ x=4, 4>0, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜੋੜ ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ e= 3/5 ਅਤੇ |4|=4=p।
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੀ ਨਾਭੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇ, e=1, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=−1 ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਸ਼ੰਕੂ r= 1/(5−5sinθ) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਪਛਾਣਾਂ r= √(x² + y²), x=rcosθ, ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਸ਼ੰਕੂ r= 2/(1+2cosθ) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ - 1
ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ - 2
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਿੱਚ sinθ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ (directrix) ਬਾਰੇ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (polar axis) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਅਸੀਂ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਫੋਕਸ/ਫੋਕਸਾਂ (focus/foci) ਬਾਰੇ ਕੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) ਦੱਸੋ।
r= 6 1−2cosθ
r= 3 4−4sinθ
r= 8 4−3cosθ
r= 5 1+2sinθ
r= 16 4+3cosθ
r= 3 10+10cosθ
r= 2 1−cosθ
r= 4 7+2cosθ
r(1−cosθ)=3
r(3+5sinθ)=11
r(4−5sinθ)=1
r(7+8cosθ)=7
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ (rectangular equation) ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
r= 4 1+3sinθ
r= 2 5−3sinθ
r= 8 3−2cosθ
r= 3 2+5cosθ
r= 4 2+2sinθ
r= 3 8−8cosθ
r= 2 6+7cosθ
r= 5 5−11sinθ
r(5+2cosθ)=6
r(2−cosθ)=1
r(2.5−2.5sinθ)=5
r= 6secθ −2+3secθ
r= 6cscθ 3+2cscθ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰ, ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿ ਪਰਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਿਖਰਾਂ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
r= 5 2+cosθ
r= 2 3+3sinθ
r= 10 5−4sinθ
r= 3 1+2cosθ
r= 8 4−5cosθ
r= 3 4−4cosθ
r= 2 1−sinθ
r= 6 3+2sinθ
r(1+cosθ)=5
r(3−4sinθ)=9
r(3−2sinθ)=6
r(6−4cosθ)=5
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੋਨਿਕ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਉਤਪੀੜਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ ਨਾਲ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ: x=4;e= 1 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾ: x=−4;e=5
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: y=2;e=2
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: y=−2;e= 1 2
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=1;e=1
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=−1;e=1
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=− 1 4 ;e= 7 2
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: y= 2 5 ;e= 7 2
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: y=4;e= 3 2
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=−2;e= 8 3
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=−5;e= 3 4
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: y=2;e=2.5
ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ: x=−3;e= 1 3
ਵਿਸਤਾਰ
ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਆਫ਼ ਐਕਸਿਸ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ xy ਟਰਮ ਵਾਲੇ ਕੋਨਿਕਸ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ r ਨੂੰ θ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
xy=2
x 2 +xy+ y 2 =4
2 x 2 +4xy+2 y 2 =9
16 x 2 +24xy+9 y 2 =4
2xy+y=1