Try It
α= 98 ∘ a=34.6 β= 39 ∘ b=22 γ= 43 ∘ c=23.8 α= 98 ∘ a=34.6 β= 39 ∘ b=22 γ= 43 ∘ c=23.8
Solution 1
Solution 2
β≈5.7°,γ≈94.3°,c≈101.3 β≈5.7°,γ≈94.3°,c≈101.3
two
about 8.2 8.2 square feet
161.9 yd.
a≈14.9, a≈14.9, β≈23.8°,β≈23.8°, γ≈126.2°. γ≈126.2°.
α≈27.7°, α≈27.7°, β≈40.5°,β≈40.5°, γ≈111.8° γ≈111.8°
Area = 552 square feet
about 8.15 square feet
( x,y )=( 1 2 ,− 3 2 ) ( x,y )=( 1 2 ,− 3 2 )
r= 3 r= 3
x 2 + y 2 =2y x 2 + y 2 =2y or, in the standard form for a circle, x 2 + ( y−1 ) 2 =1 x 2 + ( y−1 ) 2 =1
The equation fails the symmetry test with respect to the line θ= π 2 θ= π 2 and with respect to the pole. It passes the polar axis symmetry test.
Tests will reveal symmetry about the polar axis. The zero is ( 0, π 2 ), ( 0, π 2 ), and the maximum value is (3,0). (3,0).
The graph is a rose curve, n n even
Rose curve, n n odd
13
| z |= 50 =5 2 | z |= 50 =5 2
z=3( cos( π 2 )+isin( π 2 ) ) z=3( cos( π 2 )+isin( π 2 ) )
z=2( cos( π 6 )+isin( π 6 ) ) z=2( cos( π 6 )+isin( π 6 ) )
z=2 3 −2i z=2 3 −2i
z 1 z 2 =−4 3 ; z 1 z 2 =− 3 2 + 3 2 i z 1 z 2 =−4 3 ; z 1 z 2 =− 3 2 + 3 2 i
z 0 =2(cos(30°)+isin(30°)) z 0 =2(cos(30°)+isin(30°))
z 1 =2(cos(120°)+isin(120°)) z 1 =2(cos(120°)+isin(120°))
z 2 =2(cos(210°)+isin(210°)) z 2 =2(cos(210°)+isin(210°))
z 3 =2(cos(300°)+isin(300°)) z 3 =2(cos(300°)+isin(300°))
row: t t | x( t ) x( t ) | y( t ) y( t )
row: −1 −1 | −4 −4 | 2 2
row: 0 0 | −3 −3 | 4 4
row: 1 1 | −2 −2 | 6 6
row: 2 2 | −1 −1 | 8 8
x(t)= t 3 −2t y(t)=t x(t)= t 3 −2t y(t)=t
y=5− 1 2 x−3 y=5− 1 2 x−3
y=ln x y=ln x
x 2 4 + y 2 9 =1 x 2 4 + y 2 9 =1
y= x 2 y= x 2
The graph of the parametric equations is in red and the graph of the rectangular equation is drawn in blue dots on top of the parametric equations.
3u=〈 15,12 〉 3u=〈 15,12 〉
u=8i−11j u=8i−11j
v= 34 cos(59°)i+ 34 sin(59°)j v= 34 cos(59°)i+ 34 sin(59°)j
Magnitude = 34 34
θ= tan −1 ( 5 3 )=59.04° θ= tan −1 ( 5 3 )=59.04°
10.1 Section Exercises
The altitude extends from any vertex to the opposite side or to the line containing the opposite side at a 90° angle.
When the known values are the side opposite the missing angle and another side and its opposite angle.
ਦੋ ਦਿੱਤੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸ਼ਾਮਲ ਕੋਣ ਵਾਲਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ।
β=72°,a≈12.0,b≈19.9
γ=20°,b≈4.5,c≈1.6
b≈3.78
c≈13.70
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ, α≈50.3°,β≈16.7°,a≈26.7
ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣ, γ≈54.3°,β≈90.7°,b≈20.9 ਜਾਂ γ ′ ≈125.7°, β ′ ≈19.3°, b ′ ≈6.9
ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣ, β≈75.7°,γ≈61.3°,b≈9.9 ਜਾਂ β ′ ≈18.3°, γ ′ ≈118.7°, b ′ ≈3.2
ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣ, α≈143.2°,β≈26.8°,a≈17.3 ਜਾਂ α ′ ≈16.8°, β ′ ≈153.2°, a ′ ≈8.3
ਕੋਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ
A≈47.8° ਜਾਂ A ′ ≈ 132.2°
8.6
370.9
12.3
12.2
16.0
29.7°
x=76.9° ਜਾਂ x=103.1°
110.6°
A≈39.4,C≈47.6,BC≈20.7 A≈39.4,C≈47.6,BC≈20.7
57.1
42.0
430.2
10.1
AD≈13.8 AD≈13.8
AB≈2.8 AB≈2.8
L≈49.7,N≈56.3,LN≈5.8 L≈49.7,N≈56.3,LN≈5.8
51.4 ਫੁੱਟ
ਉਪਗ੍ਰਹਿ ਤੋਂ ਸਟੇਸ਼ਨ ਏ ਏ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲਗਭਗ 1716 ਮੀਲ ਹੈ। ਉਪਗ੍ਰਹਿ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 1706 ਮੀਲ ਉੱਪਰ ਹੈ।
2.6 ਫੁੱਟ
5.6 ਕਿਲੋਮੀਟਰ
371 ਫੁੱਟ
5936 ਫੁੱਟ
24.1 ਫੁੱਟ
19,056 ਵਰਗ ਫੁੱਟ
445,624 ਵਰਗ ਮੀਲ
8.65 ਵਰਗ ਫੁੱਟ
10.2 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਅਤੇ ਗੁੰਮ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਕੋਣ।
s, ਅਰਧ-ਪਰਿਮਾਪ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਪਰਿਮਾਪ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿਰਛੇ (ਗੈਰ-ਸਿੱਧੇ) ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
11.3
34.7
26.7
c=257.3,96.7
ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ
95.5°
26.9°
B≈45.9°,C≈99.1°,a≈6.4
A≈20.6°,B≈38.4°,c≈51.1
A≈37.8°,B≈43.8,C≈98.4° A≈37.8°,B≈43.8,C≈98.4°
177.56 ਵਰਗ ਇੰਚ
0.04 ਵਰਗ ਮੀਟਰ
0.83 ਵਰਗ ਮੀਟਰ
3.0
29.1
0.5
70.7°
77.4°
25.0
9.3
43.52
1.41
0.14
18.3
48.98
7.62
85.1
24.0 ਕਿਲੋਮੀਟਰ
30.2 ਮੀਟਰ
59.7 ਕਿਲੋਮੀਟਰ
3816 ਕਿਲੋਮੀਟਰ
470.6 ਕਿਲੋਮੀਟਰ
65.4 ਵਰਗ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ
43.5 ਵਰਗ ਮੀਟਰ
10.3 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਲਈ, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਕੋਣ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਧਰੁਵੀ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਅਨੰਤ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਪਹਿਲਾਂ ਬਿੰਦੂ ਲਈ θ θ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਧਰੁਵ ਤੋਂ r r ਇਕਾਈਆਂ ਚੱਲ ਕੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ r r ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਧਰੁਵ ਤੋਂ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਪਰ ਉਸੇ ਕੋਣ 'ਤੇ r r ਇਕਾਈਆਂ ਚੱਲੋ। ਬਿੰਦੂ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ θ θ ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ r r ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ ( −3, π 2 ) ( −3, π 2 ) ਦਾ ਕੋਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਪਰ ਰੇਡੀਅਸ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ π 2 π 2 ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਚੱਲ ਕੇ ਪਲਾਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ( 3,− π 2 ) ( 3,− π 2 ) ਦਾ ਕੋਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਸ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ − π 2 − π 2 ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਚੱਲ ਕੇ ਪਲਾਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣ ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਵੀ ਹੈ।
( −5,0 )
( − 3 3 2 ,− 3 2 )
( 2 5 ,0.464 )
( 34 ,5.253 )
( 8 2 , π 4 )
r=4cscθ
r= sinθ 2co s 4 θ 3
r=3cosθ
r= 3sinθ cos( 2θ )
r= 9sinθ cos 2 θ
r= 1 9cosθsinθ
x 2 + y 2 =4x ਜਾਂ ( x−2 ) 2 4 + y 2 4 =1; ਚੱਕਰ
3y+x=6; ਰੇਖਾ
y=3; ਰੇਖਾ
xy=4; ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ
x 2 + y 2 =4; ਚੱਕਰ
x−5y=3; ਰੇਖਾ
( 3, 3π 4 )
( 5,π )
r= 6 5cosθ−sinθ
r=2sinθ
r= 2 cosθ
r=3cosθ
x^2 + y^2 = 16
y=x
x^2 + (y+5)^2 = 25
(1.618, -1.176)
(10.630, 131.186°)
(2, 3.14) ਜਾਂ (2, π)
y-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 'a' ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ।
x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 'a' ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ।
10.4 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ, x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ; ਧਰੁਵ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ; ਅਤੇ θ = π/2 ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ, y-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਪਰਖ ਕਰੋ; ਸਿਫ਼ਰ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡ, ਅਤੇ ਮਹੱਤਮ ਲੱਭੋ; ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ, ਕਾਰਡੀਓਇਡ, ਲਿਮਾਸ਼ਨ, ਲੇਮਨਿਸਕੇਟ, ਆਦਿ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਫਿਰ θ=0, π/2, π ਅਤੇ 3π/2 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਧਰੁਵੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਕਾਰ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ, θ = π/2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ, ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ
θ=π/2 ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ
θ=π/2 ਰੇਖਾ (y-ਧੁਰੇ) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ
ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ
ਚੱਕਰ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ
ਕਾਰਡੀਓਇਡ
ਇੱਕ-ਲੂਪ/ਡਿਮਪਲਡ ਲਿਮਾਸ਼ਨ
ਇੱਕ-ਲੂਪ/ਡਿਮਪਲਡ ਲਿਮਾਸ਼ਨ
ਅੰਦਰੂਨੀ ਲੂਪ/ਦੋ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸ਼ਨ
ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ/ਦੋ-ਚੱਕਰੀ ਲਿਮਾਸਨ
ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ/ਦੋ-ਚੱਕਰੀ ਲਿਮਾਸਨ
ਲੈਮਨਿਸਕੇਟ
ਲੈਮਨਿਸਕੇਟ
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ
ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਦਾ ਸਰਪ
ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਦਾ ਸਰਪ
ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਰਪ ਹਨ, ਪਰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ।
ਦੋਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ 2 ਚੱਕਰਾਂ ਵਾਲੇ ਵਕਰ ਹਨ। θ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਚੱਕਰ ਹਨ, 2 ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਚੱਕਰ ਪਾਸੇ-ਪਾਸੇ ਹਨ। ਬਿਹਤਰ ਤਸਵੀਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ 0 ਤੋਂ 4π ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੁੱਲ ਦੀਆਂ ਵਧੇਰੇ ਪੰਖੜੀਆਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿੰਨ-ਪੰਖੜੀ, ਗੁਲਾਬ ਵਕਰ ਹਨ। ਗੁਣਾਂਕ ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਵਕਰ ਦੀ ਖੰਭੇ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਓਨੀ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇਗੀ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਰਪ ਹਨ। ਗੁਣਾਂਕ ਜਿੰਨਾ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਸਰਪ ਓਨਾ ਹੀ ਤੰਗ ਹੋਵੇਗਾ।
( 4, π 3 ),( 4, 5π 3 )
( 3 2 , π 3 ),( 3 2 , 5π 3 )
( 0, π 2 ),( 0,π ),( 0, 3π 2 ),( 0,2π )
= π 4 ਅਤੇ sin π 4 = 2 2 = 84 2
10.5 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
a ਅਸਲ ਭਾਗ ਹੈ, b ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਹੈ, ਅਤੇ i= −1
ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਜਟਿਲ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਸਲ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
z n = r n ( cos( nθ )+isin( nθ ) ) ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ।
5 2
38
14.45
4 5 cis( 333.4° ) 4 5 cis( 333.4° )
2cis( π 6 ) 2cis( π 6 )
7 3 2 +i 7 2 7 3 2 +i 7 2
−2 3 −2i −2 3 −2i
−1.5−i 3 3 2 −1.5−i 3 3 2
4 3 cis( 198° ) 4 3 cis( 198° )
3 4 cis( 180° ) 3 4 cis( 180° )
5 3 cis( 17π 24 ) 5 3 cis( 17π 24 )
7cis( 70° ) 7cis( 70° )
5cis( 80° ) 5cis( 80° )
5cis( π 3 ) 5cis( π 3 )
125cis( 135° ) 125cis( 135° )
9cis( 240° ) 9cis( 240° )
cis( 3π 4 ) cis( 3π 4 )
3cis( 80° ),3cis( 200° ),3cis( 320° ) 3cis( 80° ),3cis( 200° ),3cis( 320° )
2 4 3 cis( 2π 9 ),2 4 3 cis( 8π 9 ),2 4 3 cis( 14π 9 ) 2 4 3 cis( 2π 9 ),2 4 3 cis( 8π 9 ),2 4 3 cis( 14π 9 )
2 2 cis( 7π 8 ),2 2 cis( 15π 8 ) 2 2 cis( 7π 8 ),2 2 cis( 15π 8 )
3.61 e −0.59i 3.61 e −0.59i
−2+3.46i −2+3.46i
−4.33−2.50i −4.33−2.50i
10.6 Section Exercises
A pair of functions that is dependent on an external factor. The two functions are written in terms of the same parameter. For example, x=f( t ) x=f( t ) and y=f( t ). y=f( t ).
Choose one equation to solve for t, t, substitute into the other equation and simplify.
Some equations cannot be written as functions, like a circle. However, when written as two parametric equations, separately the equations are functions.
y=−2+2x y=−2+2x
y=3 x−1 2 y=3 x−1 2
x=2 e 1−y 5 x=2 e 1−y 5 or y=1−5ln( x 2 ) y=1−5ln( x 2 )
x=4log( y−3 2 ) x=4log( y−3 2 )
x= ( y 2 ) 3 − y 2 x= ( y 2 ) 3 − y 2
y= x 3 y= x 3
( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 =1 ( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 =1
y 2 =1− 1 2 x y 2 =1− 1 2 x
y= x 2 +2x+1 y= x 2 +2x+1
y= ( x+1 2 ) 3 −2 y= ( x+1 2 ) 3 −2
y=−3x+14 y=−3x+14
y=x+3 y=x+3
{ x( t )=t y( t )=2sint+1 { x( t )=t y( t )=2sint+1
{ x( t )= t +2t y( t )=t { x( t )= t +2t y( t )=t
{ x( t )=4cost y( t )=6sint ; { x( t )=4cost y( t )=6sint ; Ellipse
{ x( t )= 10 cost y( t )= 10 sint ; { x( t )= 10 cost y( t )= 10 sint ; Circle
{ x( t )=−1+4t y( t )=−2t { x( t )=−1+4t y( t )=−2t
{ x( t )=4+2t y( t )=1−3t { x( t )=4+2t y( t )=1−3t
yes, at t=2 t=2
row: t t | x x | y y
row: 1 | -3 | 1
row: 2 | 0 | 7
row: 3 | 5 | 17
answers may vary: { x( t )=t−1 y( t )= t 2 and { x( t )=t+1 y( t )= ( t+2 ) 2 { x( t )=t−1 y( t )= t 2 and { x( t )=t+1 y( t )= ( t+2 ) 2
answers may vary: , { x( t )=t y( t )= t 2 −4t+4 and { x( t )=t+2 y( t )= t 2 { x( t )=t y( t )= t 2 −4t+4 and { x( t )=t+2 y( t )= t 2
10.7 Section Exercises
plotting points with the orientation arrow and a graphing calculator
The arrows show the orientation, the direction of motion according to increasing values of t. t.
The parametric equations show the different vertical and horizontal motions over time.
There will be 100 back-and-forth motions.
Take the opposite of the x( t ) x( t ) equation.
The parabola opens up.
{ x( t )=5cost y( t )=5sint { x( t )=5cost y( t )=5sint
a=4, a=4, b=3,b=3, c=6,c=6, d=1 d=1
a=4, a=4, b=2,b=2, c=3,c=3, d=3 d=3
The y y-intercept changes.
y( x )=−16 ( x 15 ) 2 +20( x 15 ) y( x )=−16 ( x 15 ) 2 +20( x 15 )
{ x(t)=64tcos( 52° ) y(t)=−16 t 2 +64tsin( 52° ) { x(t)=64tcos( 52° ) y(t)=−16 t 2 +64tsin( 52° )
approximately 3.2 seconds
1.6 seconds
10.8 Section Exercises
lowercase, bold letter, usually u,v,w u,v,w
They are unit vectors. They are used to represent the horizontal and vertical components of a vector. They each have a magnitude of 1.
The first number always represents the coefficient of the i, i, and the second represents the j. j.
〈 7,−5 〉 〈 7,−5 〉
not equal
equal
equal
−7i−3j −7i−3j
−6i−2j −6i−2j
u+v=〈 −5,5 〉,u−v=〈 −1,3 〉,2u−3v=〈 0,5 〉 u+v=〈 −5,5 〉,u−v=〈 −1,3 〉,2u−3v=〈 0,5 〉
−10i–4j −10i–4j
− 2 29 29 i+ 5 29 29 j − 2 29 29 i+ 5 29 29 j
− 2 229 229 i+ 15 229 229 j − 2 229 229 i+ 15 229 229 j
− 7 2 10 i+ 2 10 j − 7 2 10 i+ 2 10 j
| v |=7.810,θ=39.806° | v |=7.810,θ=39.806°
| v |=7.211,θ=236.310° | v |=7.211,θ=236.310°
−6 −6
−12 −12
〈 4,1 〉 〈 4,1 〉
v=−7i+3j v=−7i+3j
3 2 i+3 2 j 3 2 i+3 2 j
i− 3 j i− 3 j
ⓐ 58.7
ⓑ 12.5
x=7.13 x=7.13 pounds, y=3.63 y=3.63 pounds
x=2.87 x=2.87 pounds, y=4.10 y=4.10 pounds
4.635 miles, 17.764° N of E
17 miles. 10.318 miles
Distance: 2.868. Direction: 86.474° North of West, or 3.526° West of North
4.924°. 659 km/hr
4.424°
( 0.081,8.602 ) ( 0.081,8.602 )
21.801°, relative to the car’s forward direction
parallel: 16.28, perpendicular: 47.28 pounds
19.35 pounds, 231.54° from the horizontal
5.1583 pounds, 75.8° from the horizontal
Review Exercises
Not possible
C=120°,a=23.1,c=34.1 C=120°,a=23.1,c=34.1
distance of the plane from point A: A: 2.2 km, elevation of the plane: 1.6 km
b=71.0°,C=55.0°,a=12.8 b=71.0°,C=55.0°,a=12.8
40.6 km
( 0,2 ) ( 0,2 )
( 9.8489,203.96° ) ( 9.8489,203.96° )
r=8 r=8
x 2 + y 2 =7x x 2 + y 2 =7x
y=−x y=−x
symmetric with respect to the line θ= π 2 θ= π 2
5
cis( − π 3 ) cis( − π 3 )
2.3+1.9i 2.3+1.9i
60cis( π 2 ) 60cis( π 2 )
3cis( 4π 3 ) 3cis( 4π 3 )
25cis( 3π 2 ) 25cis( 3π 2 )
5cis( 3π 4 ),5cis( 7π 4 ) 5cis( 3π 4 ),5cis( 7π 4 )
x 2 + 1 2 y=1 x 2 + 1 2 y=1
{ x( t )=−2+6t y( t )=3+4t { x( t )=−2+6t y( t )=3+4t
y=−2 x 5 y=−2 x 5
{ x( t )=( 80cos( 40° ) )t y( t )=−16 t 2 +( 80sin( 40° ) )t+4 { x( t )=( 80cos( 40° ) )t y( t )=−16 t 2 +( 80sin( 40° ) )t+4
The ball is 14 feet high and 184 feet from where it was launched.
3.3 seconds
not equal
4i
− 3 10 10 − 3 10 10 i − 10 10 − 10 10 j
Magnitude: 3 2 , 3 2 , Direction: 225° 225°
16 16
Practice Test
α=67.1°,γ=44.9°,a=20.9 α=67.1°,γ=44.9°,a=20.9
1712 miles 1712 miles
( 1, 3 ) ( 1, 3 )
y=−3 y=−3
106 106
−5 2 +i 5 3 2 −5 2 +i 5 3 2
4cis( 21° ) 4cis( 21° )
2 2 cis( 18° ),2 2 cis( 198° ) 2 2 cis( 18° ),2 2 cis( 198° )
y=2 ( x−1 ) 2 y=2 ( x−1 ) 2
−4i − 15j
2 13 13 i+ 3 13 13 j 2 13 13 i+ 3 13 13 j