Try It
Not a solution.
The solution to the system is the ordered pair ( −5,3 ). ( −5,3 ).
( −2,−5 ) ( −2,−5 )
( −6,−2 ) ( −6,−2 )
( 10,−4 ) ( 10,−4 )
No solution. It is an inconsistent system.
The system is dependent so there are infinite solutions of the form (x,2x+5). (x,2x+5).
700 children, 950 adults
( 1,−1,1 ) ( 1,−1,1 )
No solution.
Infinite number of solutions of the form ( x,4x−11,−5x+18 ). ( x,4x−11,−5x+18 ).
( − 1 2 , 1 2 ) ( − 1 2 , 1 2 ) and ( 2,8 ) ( 2,8 )
( −1,3 ) ( −1,3 )
{ ( 1,3 ),( 1,−3 ),( −1,3 ),( −1,−3 ) } { ( 1,3 ),( 1,−3 ),( −1,3 ),( −1,−3 ) }
3 x−3 − 2 x−2 3 x−3 − 2 x−2
6 x−1 − 5 ( x−1 ) 2 6 x−1 − 5 ( x−1 ) 2
3 x−1 + 2x−4 x 2 +1 3 x−1 + 2x−4 x 2 +1
x−2 x 2 −2x+3 + 2x+1 ( x 2 −2x+3 ) 2 x−2 x 2 −2x+3 + 2x+1 ( x 2 −2x+3 ) 2
A+B=[ 2 1 1 6 0 −3 ]+[ 3 1 −4 −2 5 3 ] A+B=[ 2 1 1 6 0 −3 ]+[ 3 1 −4 −2 5 3 ] =[ 2+3 1+1 1+(−4) 6+(−2) 0+5 −3+3 ]=[ 5 2 −3 4 5 0 ] = [ 2+3 1+1 1+(−4) 6+(−2) 0+5 −3+3 ] = [ 5 2 −3 4 5 0 ]
−2B=[ −8 −2 −6 −4 ] −2B=[ −8 −2 −6 −4 ]
[ 4 −3 3 2 | 11 4 ] [ 4 −3 3 2 | 11 4 ]
x−y+z=5 2x−y+3z=1 y+z=−9 x−y+z=5 2x−y+3z=1 y+z=−9
( 2,1 ) ( 2,1 )
[ 1 − 5 2 5 2 0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ] [ 1 − 5 2 5 2 0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ]
( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )
$150,000 at 7%, $750,000 at 8%, $600,000 at 10%
A −1 =[ 3 5 1 5 − 2 5 1 5 ] A −1 =[ 3 5 1 5 − 2 5 1 5 ]
A −1 =[ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ] A −1 =[ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ]
X=[ 4 38 58 ] X=[ 4 38 58 ]
( 3,−7 ) ( 3,−7 )
−10 −10
( −2, 3 5 , 12 5 ) ( −2, 3 5 , 12 5 )
11.1 Section Exercises
No, you can either have zero, one, or infinitely many. Examine graphs.
This means there is no realistic break-even point. By the time the company produces one unit they are already making profit.
You can solve by substitution (isolating x x or y y ), graphically, or by addition.
Yes
Yes
(−1,2) (−1,2)
(−3,1) (−3,1)
( − 3 5 ,0 ) ( − 3 5 ,0 )
No solutions exist.
( 72 5 , 132 5 ) ( 72 5 , 132 5 )
( 6,−6 ) ( 6,−6 )
( − 1 2 , 1 10 ) ( − 1 2 , 1 10 )
No solutions exist.
( − 1 5 , 2 3 ) ( − 1 5 , 2 3 )
1. ( x, x+3 2 ) ( x, x+3 2 )
1. (−4,4) (−4,4)
1. ( 1 2 , 1 8 ) ( 1 2 , 1 8 )
1. ( ੧੬,੦ ) ( ੧੬,੦ )
( x,2(7x−6) ) ( x,2(7x−6) )
1. ( − 5 6 , 4 3 ) ( − 5 6 , 4 3 )
1. ਇੱਕੋ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸਥਿਰ
1. ਇੱਕ ਸਾਰੀ ਹੋਂਦ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀ ਹੋਂਦ ਹੈ।
ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਨਿਰਭਰ
1. ( −3.08,4.91 ) ( −3.08,4.91 )
1. ( −1.52,2.29 ) ( −1.52,2.29 )
(ਏ+ਬੀ ਦੋ, ਏ−ਬੀ ਦੋ) (ਏ+ਬੀ ਦੋ, ਏ−ਬੀ ਦੋ)
( −1 ਏ−ਬੀ , ਏ ਏ−ਬੀ ) ( −1 ਏ−ਬੀ , ਏ ਏ−ਬੀ )
( CE−BF BD−AE , AF−CD BD−AE ) ( CE−BF BD−AE , AF−CD BD−AE )
ਉਹ ਕਦੇ ਮੁਨਾਫਾ ਨਹੀਂ ਕਮਾਉਂਦੇ।
1. (1,250,100,000) (1,250,100,000)
7.5 ਅਤੇ 20.5
24,000
790 ਦੂਜੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ, 805 ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ
56 ਪੁਰਸ਼, 74 ਔਰਤਾਂ
10 ਗੈਲਨ 10% ਘੋਲ, 15 ਗੈਲਨ 60% ਘੋਲ
ਸਵਾਨ ਪੀਕ: $750,000, ਰਿਵਰਸਾਈਡ: $350,000
ਪਹਿਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $12,500, ਦੂਜੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $10,500।
ਉੱਚੇ ਬੂਟ: 45, ਨੀਵੇਂ ਬੂਟ: 15
ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
11.2 Section Exercises
No, there can be only one, zero, or infinitely many solutions.
Not necessarily. There could be zero, one, or infinitely many solutions. For example, ( 0,0,0 ) ( 0,0,0 ) is not a solution to the system below, but that does not mean that it has no solution.
2x+3y−6z=1 −4x−6y+12z=−2 x+2y+5z=10 2x+3y−6z=1 −4x−6y+12z=−2 x+2y+5z=10
Every system of equations can be solved graphically, by substitution, and by addition. However, systems of three equations become very complex to solve graphically so other methods are usually preferable.
No
Yes
( −1,4,2 ) ( −1,4,2 )
( − 85 107 , 312 107 , 191 107 ) ( − 85 107 , 312 107 , 191 107 )
( 1, 1 2 ,0 ) ( 1, 1 2 ,0 )
( 4,−6,1 ) ( 4,−6,1 )
( x, 1 27 (65−16x), x+28 27 ) ( x, 1 27 (65−16x), x+28 27 )
( − 45 13 , 17 13 ,−2 ) ( − 45 13 , 17 13 ,−2 )
No solutions exist
( 0,0,0 ) ( 0,0,0 )
( 4 7 ,− 1 7 ,− 3 7 ) ( 4 7 ,− 1 7 ,− 3 7 )
( 7,20,16 ) ( 7,20,16 )
( −6,2,1 ) ( −6,2,1 )
( 5,12,15 ) ( 5,12,15 )
( −5,−5,−5 ) ( −5,−5,−5 )
( 10,10,10 ) ( 10,10,10 )
( 1 2 , 1 5 , 4 5 ) ( 1 2 , 1 5 , 4 5 )
( 1 2 , 2 5 , 4 5 ) ( 1 2 , 2 5 , 4 5 )
( 2,0,0 ) ( 2,0,0 )
1. ( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )
2. ( 128 557 , 23 557 , 28 557 ) ( 128 557 , 23 557 , 28 557 )
3. ( 6,−1,0 ) ( 6,−1,0 )
4. 24, 36, 48
5. 70 ਦਾਦੇ-ਦਾਦੀ, 140 ਮਾਤਾ-ਪਿਤਾ, 190 ਬੱਚੇ
6. ਤੁਹਾਡਾ ਹਿੱਸਾ $19.95 ਸੀ, ਸ਼ਨੀ ਦਾ ਹਿੱਸਾ $40 ਸੀ, ਅਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਦੂਜੇ ਰੂਮਮੇਟ ਦਾ ਹਿੱਸਾ $22.05 ਸੀ।
7. ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ; ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ
8. 500 ਵਿਦਿਆਰਥੀ, 225 ਬੱਚੇ, ਅਤੇ 450 ਬਾਲਗ
9. BMW $49,636 ਦੀ ਸੀ, Jeep $42,636 ਦੀ ਸੀ, ਅਤੇ Toyota $47,727 ਦੀ ਸੀ।
10. $400,000 ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਜੋ 3% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, $500,000 ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਜੋ 4% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $100,000 ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਜੋ 2% ਵਿਆਜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
11. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਨੇ 26.3%, ਜਾਪਾਨ ਨੇ 7.1%, ਅਤੇ ਚੀਨ ਨੇ 6.4% ਵਿਸ਼ਵ ਦੇ ਤੇਲ ਦੀ ਖਪਤ ਕੀਤੀ।
12. ਸਾਊਦੀ ਅਰਬ ਨੇ 16.8% ਆਯਾਤ ਕੀਤਾ, ਕੈਨੇਡਾ ਨੇ 15.1% ਆਯਾਤ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਮੈਕਸੀਕੋ ਨੇ 15.0% ਆਯਾਤ ਕੀਤਾ।
13. ਪੰਛੀ 19.3%, ਮੱਛੀਆਂ 18.6%, ਅਤੇ ਥਣਧਾਰੀ ਜੀਵ 17.1% ਖਤਰੇ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਜਾਤੀਆਂ ਸਨ।
14. 11.3 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
15. ਇੱਕ ਅਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਓਵਰਲੈਪ ਅਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਹੱਲ। ਇੱਕ ਅਰੇਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਿਖਰ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵੀ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਤਿੰਨ ਹੱਲ।
16. ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਖੇਤਰ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ ਉੱਪਰਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ; ਦੂਜੀ ਹੇਠਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਤਲ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਇਸ ਲਈ ਕੋਈ ਸੰਭਵ ਖੇਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
17. ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣੋ ਅਤੇ C(x) C(x) ਅਤੇ R(x) R(x) ਵਿੱਚ ਪਲੱਗ ਕਰੋ। ਜੇ C(x)<R(x), C(x)<R(x), ਤਾਂ ਮੁਨਾਫਾ ਹੈ।
18. ( 0,−3 ),( 3,0 ) ( 0,−3 ),( 3,0 )
19. ( − 3 2 2 , 3 2 2 ),( 3 2 2 ,− 3 2 2 ) ( − 3 2 2 , 3 2 2 ),( 3 2 2 ,− 3 2 2 )
20. ( −3,0 ),( 3,0 ) ( −3,0 ),( 3,0 )
21. ( 1 4 ,− 62 8 ),( 1 4 , 62 8 ) ( 1 4 ,− 62 8 ),( 1 4 , 62 8 )
22. ( − 398 4 , 199 4 ),( 398 4 , 199 4 ) ( − 398 4 , 199 4 ),( 398 4 , 199 4 )
23. ( 0,2 ),( 1,3 ) ( 0,2 ),( 1,3 )
24. ( − 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1− 5 ) ),( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1− 5 ) ) ( − 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1− 5 ) ),( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1− 5 ) )
( 5,0 ) ( 5,0 )
( 0,0 ) ( 0,0 )
( 3,0 ) ( 3,0 )
No Solutions Exist
No Solutions Exist
( − 2 2 ,− 2 2 ),( − 2 2 , 2 2 ),( 2 2 ,− 2 2 ),( 2 2 , 2 2 ) ( − 2 2 ,− 2 2 ),( − 2 2 , 2 2 ),( 2 2 ,− 2 2 ),( 2 2 , 2 2 )
(2,0) (2,0)
( − 7 ,−3 ),( − 7 ,3 ),( 7 ,−3 ),( 7 ,3 ) ( − 7 ,−3 ),( − 7 ,3 ),( 7 ,−3 ),( 7 ,3 )
( − 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7− 73 ) ),( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7− 73 ) ) ( − 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7− 73 ) ),( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7− 73 ) )
( −2 70 383 ,−2 35 29 ),( −2 70 383 ,2 35 29 ),( 2 70 383 ,−2 35 29 ),( 2 70 383 ,2 35 29 ) ( −2 70 383 ,−2 35 29 ),( −2 70 383 ,2 35 29 ),( 2 70 383 ,−2 35 29 ),( 2 70 383 ,2 35 29 )
No Solution Exists
x=0,y>0 x=0,y>0 and 0<x<1, x <y< 1 x 0<x<1, x <y< 1 x
12, 288
2–20 computers
11.4 Section Exercises
No, a quotient of polynomials can only be decomposed if the denominator can be factored. For example, 1 x 2 +1 1 x 2 +1 cannot be decomposed because the denominator cannot be factored.
Graph both sides and ensure they are equal.
If we choose x=−1, x=−1, then the B-term disappears, letting us immediately know that A=3. A=3. We could alternatively plug in x=− 5 3 x=− 5 3, giving us a B-value of −2. −2.
8 x+3 − 5 x−8 8 x+3 − 5 x−8
1 x+5 + 9 x+2 1 x+5 + 9 x+2
3 5x−2 + 4 4x−1 3 5x−2 + 4 4x−1
5 2( x+3 ) + 5 2( x−3 ) 5 2( x+3 ) + 5 2( x−3 )
3 x+2 + 3 x−2 3 x+2 + 3 x−2
9 5( x+2 ) + 11 5( x−3 ) 9 5( x+2 ) + 11 5( x−3 )
8 x−3 − 5 x−2
1 x−2 + 2 ( x−2 ) 2
− 6 4x+5 + 3 ( 4x+5 ) 2
− 1 x−7 − 2 ( x−7 ) 2
4 x − 3 2( x+1 ) + 7 2 ( x+1 ) 2
4 x + 2 x 2 − 3 3x+2 + 7 2 ( 3x+2 ) 2
x+1 x 2 +x+3 + 3 x+2
4−3x x 2 +3x+8 + 1 x−1
2x−1 x 2 +6x+1 + 2 x+3
1 x 2 +x+1 + 4 x−1
2 x 2 −3x+9 + 3 x+3
− 1 4 x 2 +6x+9 + 1 2x−3
1 x + 1 x+6 − 4x x 2 −6x+36
x+6 x 2 +1 + 4x+3 ( x 2 +1 ) 2
x+1 x+2 + 2x+3 ( x+2 ) 2
1 x 2 +3x+25 − 3x ( x 2 +3x+25 ) 2
1 8x − x 8( x 2 +4 ) + 10−x 2 ( x 2 +4 ) 2
− 16 x − 9 x 2 + 16 x−1 − 7 ( x−1 ) 2
1 x+1 − 2 ( x+1 ) 2 + 5 ( x+1 ) 3
5 x−2 − 3 10( x+2 ) + 7 x+8 − 7 10( x−8 )
− 5 4x − 5 2( x+2 ) + 11 2( x+4 ) + 5 4( x+4 )
11.5 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਨਹੀਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਪ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਪਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲਾ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ 2×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। [ 1 2 3 4 ]+[ 6 5 4 3 2 1 ] ਦਾ ਕੋਈ ਜੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹਾਂ, ਜੇਕਰ A ਦੇ ਮਾਪ m×n ਹਨ ਅਤੇ B ਦੇ ਮਾਪ n×m ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਣਗੇ।
ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ। AB ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ AB ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ A ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਤਾਰ ਨੂੰ B ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। AB। BA ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ BA ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ B ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਤਾਰ ਨੂੰ A ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। BA। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਉਹ ਅਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।
[ 11 19 15 94 17 67 ] [ 11 19 15 94 17 67 ]
[ −4 2 8 1 ] [ −4 2 8 1 ]
ਅਣਪਛਾਣਿਆ; ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ
[ 9 27 63 36 0 192 ] [ 9 27 63 36 0 192 ]
[ −64 −12 −28 −72 −360 −20 −12 −116 ] [ −64 −12 −28 −72 −360 −20 −12 −116 ]
[ 1,800 1,200 1,300 800 1,400 600 700 400 2,100 ] [ 1,800 1,200 1,300 800 1,400 600 700 400 2,100 ]
[ 20 102 28 28 ] [ 20 102 28 28 ]
[ 60 41 2 −16 120 −216 ] [ 60 41 2 −16 120 −216 ]
[ −68 24 136 −54 −12 64 −57 30 128 ] [ −68 24 136 −54 −12 64 −57 30 128 ]
ਅਣਪਛਾਣਿਆ; ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
[ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ] [ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ]
[ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ] [ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ]
[ −350 1,050 350 350 ] [ −350 1,050 350 350 ]
ਅਣਪਛਾਣਿਆ; ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
[ 1,400 700 −1,400 700 ] [ 1,400 700 −1,400 700 ]
[ 332,500 927,500 −227,500 87,500 ] [ 332,500 927,500 −227,500 87,500 ]
[ 490,000 0 0 490,000 ] [ 490,000 0 0 490,000 ]
[ −2 3 4 −7 9 −7 ] [ −2 3 4 −7 9 −7 ]
[ −4 29 21 −27 −3 1 ] [ −4 29 21 −27 −3 1 ]
[ −3 −2 −2 −28 59 46 −4 16 7 ] [ −3 −2 −2 −28 59 46 −4 16 7 ]
[ 1 −18 −9 −198 505 369 −72 126 91 ] [ 1 −18 −9 −198 505 369 −72 126 91 ]
[ 0 1.6 9 −1 ] [ 0 1.6 9 −1 ]
[ 2 24 −4.5 12 32 −9 −8 64 61 ] [ 2 24 −4.5 12 32 −9 −8 64 61 ]
[ 0.5 3 0.5 2 1 2 10 7 10 ] [ 0.5 3 0.5 2 1 2 10 7 10 ]
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
B n ={ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ], neven, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ], nodd. B n ={ [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ], neven, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ], nodd.
11.6 Section Exercises
Yes. For each row, the coefficients of the variables are written across the corresponding row, and a vertical bar is placed; then the constants are placed to the right of the vertical bar.
No, there are numerous correct methods of using row operations on a matrix. Two possible ways are the following: (1) Interchange rows 1 and 2. Then R 2 = R 2 −9 R 1 . R 2 = R 2 −9 R 1 . (2) R 2 = R 1 −9 R 2 . R 2 = R 1 −9 R 2 . Then divide row 1 by 9.
No. A matrix with 0 entries for an entire row would have either zero or infinitely many solutions.
[ 0 16 9 −1 | 4 2 ] [ 0 16 9 −1 | 4 2 ]
[ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 19 4 −7 ] [ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 19 4 −7 ]
−2x+5y=5 6x−18y=26 −2x+5y=5 6x−18y=26
3x+2y=3 −x−9y+4z=−1 8x+5y+7z=8 3x+2y=3 −x−9y+4z=−1 8x+5y+7z=8
4x+5y−2z=12 y+58z=2 8x+7y−3z=−5 4x+5y−2z=12 y+58z=2 8x+7y−3z=−5
No solutions
(−1,−2) (−1,−2)
( 6,7 ) ( 6,7 )
( 3,2 ) ( 3,2 )
( 1 5 , 1 2 ) ( 1 5 , 1 2 )
( x, 4 15 (5x+1) ) ( x, 4 15 (5x+1) )
( 3,4 ) ( 3,4 )
( 196 39 ,− 5 13 ) ( 196 39 ,− 5 13 )
( 31,−42,87 ) ( 31,−42,87 )
( 21 40 , 1 20 , 9 8 ) ( 21 40 , 1 20 , 9 8 )
( 18 13 , 15 13 ,− 15 13 ) ( 18 13 , 15 13 ,− 15 13 )
( x,y, 1 2 (1−2x−3y) ) ( x,y, 1 2 (1−2x−3y) )
( x,− x 2 ,−1 ) ( x,− x 2 ,−1 )
( 125,−25,0 ) ( 125,−25,0 )
( 8,1,−2 ) ( 8,1,−2 )
( 1,2,3 ) ( 1,2,3 )
( x, 31 28 − 3x 4 , 1 28 (−7x−3) ) ( x, 31 28 − 3x 4 , 1 28 (−7x−3) )
No solutions exist.
860 red velvet, 1,340 chocolate
4% for account 1, 6% for account 2
$126
Banana was 3%, pumpkin was 7%, and rocky road was 2%
100 almonds, 200 cashews, 600 pistachios
11.7 Section Exercises
If A −1 A −1 is the inverse of A, A, then A A −1 =I, A A −1 =I, the identity matrix. Since A A is also the inverse of A −1 , A −1 A=I. A −1 , A −1 A=I. You can also check by proving this for a 2×2 2×2 matrix.
No, because ad ad and bc bc are both 0, so ad−bc=0, ad−bc=0, which requires us to divide by 0 in the formula.
Yes. Consider the matrix [ 0 1 1 0 ]. [ 0 1 1 0 ]. The inverse is found with the following calculation: A −1 = 1 0(0)−1(1) [ 0 −1 −1 0 ]=[ 0 1 1 0 ]. A −1 = 1 0(0)−1(1) [ 0 −1 −1 0 ]=[ 0 1 1 0 ].
AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I
AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 1 ]=I
AB=BA=[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]=I AB=BA=[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]=I
1 29 [ 9 2 −1 3 ] 1 29 [ 9 2 −1 3 ]
1 69 [ −2 7 9 3 ] 1 69 [ −2 7 9 3 ]
There is no inverse
4 7 [ 0.5 1.5 1 −0.5 ] 4 7 [ 0.5 1.5 1 −0.5 ]
1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ] 1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ]
1. 1 209 [ 47 −57 69 10 19 −12 −24 38 −13 ] 1 209 [ 47 −57 69 10 19 −12 −24 38 −13 ]
2. [ 18 60 −168 −56 −140 448 40 80 −280 ] [ 18 60 −168 −56 −140 448 40 80 −280 ]
3. ( −5,6 ) ( −5,6 )
4. ( 2,0 ) ( 2,0 )
5. ( 1 3 ,− 5 2 ) ( 1 3 ,− 5 2 )
6. ( − 2 3 ,− 11 6 ) ( − 2 3 ,− 11 6 )
7. ( 7, 1 2 , 1 5 ) ( 7, 1 2 , 1 5 )
8. ( 5,0,−1 ) ( 5,0,−1 )
9. 1 34 ( −35,−97,−154 ) 1 34 ( −35,−97,−154 )
10. 1 690 ( 65,−1136,−229 ) 1 690 ( 65,−1136,−229 )
11. ( − 37 30 , 8 15 ) ( − 37 30 , 8 15 )
12. ( 10 123 ,−1, 2 5 ) ( 10 123 ,−1, 2 5 )
13. 1 2 [ 2 1 −1 −1 0 1 1 −1 0 −1 1 1 0 1 −1 1 ] 1 2 [ 2 1 −1 −1 0 1 1 −1 0 −1 1 1 0 1 −1 1 ]
14. 1 39 [ 3 2 1 −7 18 −53 32 10 24 −36 21 9 −9 46 −16 −5 ] 1 39 [ 3 2 1 −7 18 −53 32 10 24 −36 21 9 −9 46 −16 −5 ]
15. [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 −1 −1 −1 −1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 −1 −1 −1 −1 1 ]
16. ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ।
17. 50% ਸੰਤਰੇ, 25% ਕੇਲੇ, 20% ਸੇਬ
18. 10 ਤੂਫਾਨੀ ਟੋਪੀਆਂ, 50 ਬੀਨੀਆਂ, 40 ਕਾਊਬੁਆਏ ਟੋਪੀਆਂ
19. ਮਾਈਕਾ ਨੇ 6 ਖਾਧੇ, ਜੋ ਨੇ 3 ਖਾਧੇ, ਅਤੇ ਅਲਬਰਟ ਨੇ 3 ਖਾਧੇ।
20. 124 ਸੰਤਰੇ, 10 ਨਿੰਬੂ, 8 ਅਨਾਰ
21. 11.8 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
22. ਇੱਕ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਉਸ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹੋ—ਭਾਵੇਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਇਹ 0 ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਵੇ।
23. ਉਲਟ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
24. −2 −2
7 7
−4 −4
0 0
−7,990.7 −7,990.7
3 3
−1 −1
224 224
15 15
−17.03 −17.03
( 1,1 ) ( 1,1 )
( 1 2 , 1 3 ) ( 1 2 , 1 3 )
( 2,5 ) ( 2,5 )
( −1,− 1 3 ) ( −1,− 1 3 )
( 15,12 ) ( 15,12 )
( 1,3,2 ) ( 1,3,2 )
( −1,0,3 ) ( −1,0,3 )
( 1 2 ,1,2 ) ( 1 2 ,1,2 )
( 2,1,4 ) ( 2,1,4 )
ਅਨੰਤ ਹੱਲ
24 24
1 1
ਹਾਂ; 18, 38
ਹਾਂ; 33, 36, 37
ਪਹਿਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $7,000, ਦੂਜੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $3,000।
120 children, 1,080 adult
4 gal yellow, 6 gal blue
13 green tomatoes, 17 red tomatoes
Strawberries 18%, oranges 9%, kiwi 10%
100 for movie 1, 230 for movie 2, 312 for movie 3
300 almonds, 400 cranberries, 300 cashews
Review Exercises
No
( −2,3 ) ( −2,3 )
( 4,−1 ) ( 4,−1 )
No solutions exist.
(300,60,000) (300,60,000)
Infinite solutions
No solutions exist.
( −1,−2,3 ) ( −1,−2,3 )
( x, 8x 5 , 14x 5 ) ( x, 8x 5 , 14x 5 )
11, 17, 33
( 2,−3 ),( 3,2 ) ( 2,−3 ),( 3,2 )
No solution
No solution
2 x+2 , −4 x+1 2 x+2 , −4 x+1
7 x+5 , −15 (x+5) 2 7 x+5 , −15 (x+5) 2
3 x−5 , −4x+1 x 2 +5x+25 3 x−5 , −4x+1 x 2 +5x+25
x−4 ( x 2 −2) , 5x+3 ( x 2 −2) 2 x−4 ( x 2 −2) , 5x+3 ( x 2 −2) 2
[ −16 8 −4 −12 ] [ −16 8 −4 −12 ]
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ; ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ; ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ
[ ੧੧੩ ੨੮ ੧੦ ੪੪ ੮੧ −੪੧ ੮੪ ੯੮ −੪੨ ] [ ੧੧੩ ੨੮ ੧੦ ੪੪ ੮੧ −੪੧ ੮੪ ੯੮ −੪੨ ]
[ −127 −74 176 −2 11 40 28 77 38 ] [ −127 −74 176 −2 11 40 28 77 38 ]
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ; ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ
x−3z=7 y+2z=−5 x−3z=7 y+2z=−5 ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ
[ −2 2 1 2 −8 5 19 −10 22 | 7 0 3 ] [ −2 2 1 2 −8 5 19 −10 22 | 7 0 3 ]
[ ੧੦੩੪੦੦੧੨ | ੧੨੦−੭ ] [ ੧੦੩੪੦੦੧੨ | ੧੨੦−੭ ]
ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ।
ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ।
1. ੧ ਞ [ ਞਞਞਞਞਞ ] ੧ ਞ [ ਞਞਞਞਞਞ ]
1. ਕੋਈ ਉਲਟ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
1. ( −20,40 ) ( −20,40 )
1. ( −1,0.2,0.3 ) ( −1,0.2,0.3 )
17% ਸੰਤਰੇ, 34% ਕੇਲੇ, 39% ਸੇਬ
0
6
1. ( 6, 1 2 ) ( 6, 1 2 )
(x, 5x + 3)
( 0,0,− 1 2 ) ( 0,0,− 1 2 )
1. ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
ਹਾਂ
ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ।
1 20 ( 10,5,4 ) 1 20 ( 10,5,4 )
( x, 16x 5 − 13x 5 ) ( x, 16x 5 − 13x 5 )
(−2 2 ,− 17 ),( −2 2 , 17 ),( 2 2 ,− 17 ),( 2 2 , 17 ) (−2 2 ,− 17 ),( −2 2 , 17 ),( 2 2 ,− 17 ),( 2 2 , 17 )
5 3x+1 − 2x+3 (3x+1) 2 5 3x+1 − 2x+3 (3x+1) 2
[ 17 51 −8 11 ] [ 17 51 −8 11 ]
[ 12 −20 −15 30 ] [ 12 −20 −15 30 ]
− 1 8 − 1 8
[ 14 −2 13 −2 3 −6 1 −5 12 | 140 −1 11 ] [ 14 −2 13 −2 3 −6 1 −5 12 | 140 −1 11 ]
ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
( 100,90 ) ( 100,90 )
( 1 100 ,0 ) ( 1 100 ,0 )
32 ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 32 ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੈੱਲ ਫੋਨ