Try It
ⓐyes
ⓑ yes (Note: If two players had been tied for, say, 4th place, then the name would not have been a function of rank.)
w=f(d) w=f(d)
yes
g( 5 )=1g( 5 )=1
m=8m=8
y=f( x )= x 3 2 y=f( x )= x 3 2
g( 1 )=8 g( 1 )=8
x=0 x=0 or x=2 x=2
ⓐ yes, because each bank account has a single balance at any given time;
ⓑ no, because several bank account numbers may have the same balance;
ⓒ no, because the same output may correspond to more than one input.
ⓐ Yes, letter grade is a function of percent grade;
ⓑ No, it is not one-to-one. There are 100 different percent numbers we could get but only about five possible letter grades, so there cannot be only one percent number that corresponds to each letter grade.
yes
No, because it does not pass the horizontal line test.
{−5,0,5,10,15} {−5,0,5,10,15}
( −∞,∞ ) ( −∞,∞ )
( −∞, 1 2 )∪( 1 2 ,∞ ) ( −∞, 1 2 )∪( 1 2 ,∞ )
[ − 5 2 ,∞ ) [ − 5 2 ,∞ )
ⓐ values that are less than or equal to –2, or values that are greater than or equal to –1 and less than 3
ⓑ { x|x≤−2or−1≤x<3 } { x|x≤−2or−1≤x<3 }
ⓒ (−∞,−2]∪[−1,3) (−∞,−2]∪[−1,3)
domain =[1950,2002] range = [47,000,000,89,000,000]
domain: ( −∞,2 ]; ( −∞,2 ]; range: ( −∞,0 ] ( −∞,0 ]
$2.84−$2.31 5years = $0.53 5years =$0.106 $2.84−$2.31 5years = $0.53 5years =$0.106 per year.
1 2 1 2
a+7 a+7
The local maximum appears to occur at (−1,28), (−1,28), and the local minimum occurs at (5,−80). (5,−80). The function is increasing on (−∞,−1)∪(5,∞) (−∞,−1)∪(5,∞) and decreasing on (−1,5). (−1,5).
( fg )( x )=f( x )g( x )=( x−1 )( x 2 −1 )= x 3 − x 2 −x+1 ( f−g )( x )=f( x )−g( x )=( x−1 )−( x 2 −1 )=x− x 2 ( fg )( x )=f( x )g( x )=( x−1 )( x 2 −1 )= x 3 − x 2 −x+1 ( f−g )( x )=f( x )−g( x )=( x−1 )−( x 2 −1 )=x− x 2
No, the functions are not the same.
A gravitational force is still a force, so a( G(r) ) a( G(r) ) makes sense as the acceleration of a planet at a distance r from the Sun (due to gravity), but G( a(F) ) G( a(F) ) does not make sense.
f(g(1))=f(3)=3 f(g(1))=f(3)=3 and g(f(4))=g(1)=3 g(f(4))=g(1)=3
g(f(2))=g(5)=3 g(f(2))=g(5)=3
ⓐ 8
ⓑ 20
[ −4,0 )∪( 0,∞ ) [ −4,0 )∪( 0,∞ )
Possible answer:
g( x )= 4+ x 2 h( x )= 4 3−x f=h∘g g( x )= 4+ x 2 h( x )= 4 3−x f=h∘g
The graphs of f(x) f(x) and g(x) g(x) are shown below. The transformation is a horizontal shift. The function is shifted to the left by 2 units.
g( x )= 1 x-1 +1 g( x )= 1 x-1 +1
ⓐ
ⓑ
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) x x -2 0 2 4 g(x) g(x) −5 −5 −10 −10 −15 −15 −20 −20
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x) x x -2 0 2 4 h(x) h(x) 15 10 5 unknown
Notice: g(x)=f(−x) g(x)=f(−x) looks the same as f(x) f(x) .
even
1. ਪੰਕਤੀ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
2. ਪੰਕਤੀ: g(x) g(x) | 9 | 12 | 15 | 0
3. g(x)=3x-2 g(x)=3x-2
4. g(x)=f( 1 3 x ) g(x)=f( 1 3 x ) ਸੋ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਨੂੰ g(x)= 1 3 x g(x)= 1 3 x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
5. p ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, p ਪਾਸ ਕਰਨ ਲਈ, | p−80 |≤20 | p−80 |≤20
6. f(x)=−| x+2 |+3 f(x)=−| x+2 |+3
7. x=−1 x=−1 ਜਾਂ x=2 x=2
8. h(2)=6 h(2)=6
9. ਹਾਂ
10. ਹਾਂ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ f −1 ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,−2) (−∞,−2) ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f −1 ਦਾ ਰੇਂਜ (1,∞) ਹੈ। (1,∞)।
12. ⓐ f(60)=50. f(60)=50. 60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, 50 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
13. ⓑ f −1 (60)=70. f −1 (60)=70. 60 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਲਈ, 70 ਮਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ।
14. ⓐ 3
15. ⓑ 5.6
16. x=3y+5 x=3y+5
17. f −1 (x)= ( 2−x ) 2 ; f −1 (x)= ( 2−x ) 2 ; f ਦਾ ਡੋਮੇਨ:[ 0,∞ ); f ਦਾ ਡੋਮੇਨ:[ 0,∞ ); f −1 ਦਾ ਡੋਮੇਨ:( −∞,2 ] f −1 ਦਾ ਡੋਮੇਨ:( −∞,2 ]
18. 3.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
19. ਇੱਕ ਸਬੰਧ (relation) ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਬੰਧ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ ਇੱਕੋ ਪਹਿਲੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
20. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਲੰਬਤ ਰੇਖਾ ਕਿਸੇ ਸਬੰਧ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਉਟਪੁਟ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਾਸ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ 'ਤੇ, ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਬੰਧ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ।
21. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਆਉਟਪੁਟ ਲਈ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇਨਪੁਟ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁਟ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਫੰਕਸ਼ਨ
23. ਫੰਕਸ਼ਨ
24. ਫੰਕਸ਼ਨ
function
function
function
function
function
function
not a function
f(−3)=−11; f(−3)=−11; f(2)=−1; f(2)=−1; f(−a)=−2a−5; f(−a)=−2a−5; −f(a)=−2a+5;−f(a)=−2a+5; f(a+h)=2a+2h−5 f(a+h)=2a+2h−5
f(−3)= 5 +5; f(−3)= 5 +5; f(2)=5; f(2)=5; f(−a)= 2+a +5; f(−a)= 2+a +5; −f(a)=− 2−a −5;−f(a)=− 2−a −5;f(a+h)= 2−a−h +5 f(a+h)= 2−a−h +5
f(−3)=2;f(−3)=2; f(2)=1−3=−2; f(2)=1−3=−2; f(−a)=| −a−1 |−| −a+1 |; f(−a)=|−a−1|−|−a+1|; −f(a)=−| a−1 |+| a+1 |;−f(a)=−|a−1|+|a+1|; f(a+h)=| a+h−1 |−| a+h+1 | f(a+h)=|a+h−1|−|a+h+1|
g(x)−g(a) x−a =x+a+2,x≠a g(x)−g(a) x−a =x+a+2,x≠a
a. f(−2)=14;f(−2)=14; b. x=3x=3
a. f(5)=10;f(5)=10; b. x=−1 x=−1 or x=4 x=4
ⓐ f(t)=6− 2 3 t;f(t)=6− 2 3 t;
ⓑ f(−3)=8;f(−3)=8;
ⓒt=6t=6
not a function
function
function
function
function
function
ⓐ f(0)=1;f(0)=1;
ⓑ f(x)=−3,x=−2 f(x)=−3,x=−2 or x=2 x=2
ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨ, ਪਰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ
ਫੰਕਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨ
ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ
f(x)=1, x=2
f(−2)=14; f(−1)=11; f(0)=8; f(1)=5; f(2)=2
f(−2)=4; f(−1)=4.414; f(0)=4.732; f(1)=5; f(2)=5.236
f(−2)= 1/9; f(−1)= 1/3; f(0)=1; f(1)=3; f(2)=9
20
[0,100]
[−0.001,0.001]
[−1,000,000,1,000,000]
[0,10]
[−0.1,0.1]
[−100,100]
ⓐ g(5000)=50
ⓑ 100 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਦੇ ਬਾਗ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਮਿੱਟੀ ਦੇ ਘਣ ਗਜ਼ਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 1 ਹੈ।
ⓐ 1 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 200 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ⓑ 2 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 350 ਫੁੱਟ ਹੈ।
3.2 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਨਡਿਫਾਈਂਡ ਜਾਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
f(x)= x³ ਲਈ x 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, (−∞,∞) ਹੈ। ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ, ਤੁਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ f(x)= √x ਲਈ x-ਮੁੱਲ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਪੀਸਵਾਈਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਲਈ ਇੱਕੋ ਪੈਮਾਨਾ ਵਰਤੋ। ਸ਼ਾਮਲ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਠੋਸ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਅਤੇ ਬਾਹਰਲੇ ਸਿਰਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਦਰਸਾਓ। −∞ ਜਾਂ ∞ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤੀਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਪੀਸਵਾਈਜ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
(−∞,∞)
(−∞,3]
(−∞,∞)
(−∞,∞)
(−∞,− 1 2 )∪(− 1 2 ,∞)
(−∞,−11)∪(−11,2)∪(2,∞)
(−∞,−3)∪(−3,5)∪(5,∞)
(−∞,5)
[6,∞)
( −∞,−9 )∪( −9,9 )∪( 9,∞ )
ਡੋਮੇਨ: (2,8], ਰੇਂਜ [6,8)
ਡੋਮੇਨ: [−4,4], ਰੇਂਜ: [0,2]
ਡੋਮੇਨ: [−5,3), ਰੇਂਜ: [ 0,2 ]
ਡੋਮੇਨ: (−∞,1], ਰੇਂਜ: [0,∞)
ਡੋਮੇਨ: [ −6,− 1 6 ]∪[ 1 6 ,6 ]; ਰੇਂਜ: [ −6,− 1 6 ]∪[ 1 6 ,6 ]
ਡੋਮੇਨ: [−3,∞); ਰੇਂਜ: [0,∞)
ਡੋਮੇਨ: (−∞,∞)
ਡੋਮੇਨ: (−∞,∞)
ਡੋਮੇਨ: (−∞,∞)
ਡੋਮੇਨ: (−∞,∞)
f(−3)=1; f(−2)=0; f(−1)=0; f(0)=0
f(−1)=−4; f(0)=6; f(2)=20; f(4)=34
f(−1)=−5; f(0)=3; f(2)=3; f(4)=16
ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, 1 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ।
ਖਿੜਕੀ: [−0.5,−0.1]; ਪਰਾਸ: [4,100]
ਖਿੜਕੀ: [0.1,0.5]; ਪਰਾਸ: [4,100]
[0,8]
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਜਵਾਬ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ f(x)= 1 x−2 ।
ⓐ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਗਤ $500 ਹੈ।
ⓑ 25 ਵਸਤੂਆਂ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ $750 ਹੈ।
ⓒ ਡੋਮੇਨ [0, 100] ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਾਸ [500, 1500] ਹੈ।
3.3 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਰਮ ਮਾਪ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਰੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ।
4( b+1 )
3
4x+2h
−1 13( 13+h )
3 h 2 +9h+9
4x+2h−3
4 3
( −∞,−2.5 )∪( 1,∞ ) 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, (−2.5,1) 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
( −∞,1 )∪( 3,4 ) 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ( 1,3 )∪( 4,∞ ) 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: (−3,60), ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: (3,−60)
ਲਗਭਗ (7,150) 'ਤੇ ਪਰਮ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, ਲਗਭਗ (−7.5,−220) 'ਤੇ ਪਰਮ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
ⓐ –3000
ⓑ –1250
-4
27
–0.167
Local minimum at (3,−22), (3,−22), decreasing on (−∞,3), (−∞,3), increasing on (3,∞) (3,∞)
Local minimum at (−2,−2), (−2,−2), decreasing on (−3,−2), (−3,−2), increasing on (−2,∞) (−2,∞)
Local maximum at (−0.39,5.98), (−0.39,5.98), local minima at (−3.15,−47.62) (−3.15,−47.62) and (2.04,-32.04), (2.04,-32.04), decreasing on (−∞,−3.15)∪ (−0.39,2.04), (−∞,−3.15)∪ (−0.39,2.04), increasing on (−3.15,−0.39)∪ (2.04,∞) (−3.15,−0.39)∪ (2.04,∞)
A
b=5 b=5
2.7 gallons per minute
approximately –0.6 milligrams per day
3.4 Section Exercises
Find the numbers that make the function in the denominator g g equal to zero, and check for any other domain restrictions on f f and g, g, such as an even-indexed root or zeros in the denominator.
Yes. Sample answer: Let f(x)=x+1and g(x)=x−1. f(x)=x+1and g(x)=x−1. Then f(g(x))=f(x−1)=(x−1)+1=x f(g(x))=f(x−1)=(x−1)+1=x and g(f(x))=g(x+1)=(x+1)−1=x. g(f(x))=g(x+1)=(x+1)−1=x. So f∘g=g∘f. f∘g=g∘f.
(f+g)( x )=2x+6, (f+g)( x )=2x+6, domain: (−∞,∞) (−∞,∞)
(f−g)( x )=2 x 2 +2x−6, (f−g)( x )=2 x 2 +2x−6, domain: (−∞,∞) (−∞,∞)
(fg)( x )=− x 4 −2 x 3 +6 x 2 +12x, (fg)( x )=− x 4 −2 x 3 +6 x 2 +12x, domain: (−∞,∞) (−∞,∞)
( f g )( x )= x 2 +2x 6− x 2 , ( f g )( x )= x 2 +2x 6− x 2 , domain: (−∞,− 6 )∪(− 6 , 6 )∪( 6 ,∞) (−∞,− 6 )∪(− 6 , 6 )∪( 6 ,∞)
(f+g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 +1 2x , (f+g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 +1 2x , domain: (−∞,0)∪(0,∞) (−∞,0)∪(0,∞)
(f−g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 −1 2x , (f−g)( x )= 4 x 3 +8 x 2 −1 2x , domain: (−∞,0)∪(0,∞) (−∞,0)∪(0,∞)
(fg)( x )=x+2, (fg)( x )=x+2, domain: (−∞,0)∪(0,∞) (−∞,0)∪(0,∞)
( f g )( x )=4 x 3 +8 x 2 , ( f g )( x )=4 x 3 +8 x 2 , domain: (−∞,0)∪(0,∞) (−∞,0)∪(0,∞)
(f+g)(x)=3 x 2 + x−5 , (f+g)(x)=3 x 2 + x−5 , domain: [5,∞) [5,∞)
(f−g)(x)=3 x 2 − x−5 , (f−g)(x)=3 x 2 − x−5 , domain: [5,∞) [5,∞)
(fg)(x)=3 x 2 x−5 , (fg)(x)=3 x 2 x−5 , domain: [5,∞) [5,∞)
( f g )(x)= 3 x 2 x−5 , ( f g )(x)= 3 x 2 x−5 , domain: (5,∞) (5,∞)
ⓐ 3= 2(9x2 – 30x + 25) + 1 = 18x2 – 60x + 513= 2(9x2 – 30x + 25) + 1 = 18x2 – 60x + 51
ⓑ f( g( x ) )=2 ( 3x−5 ) 2 +1 f( g( x ) )=2 ( 3x−5 ) 2 +1
ⓒ g( f( x ) )=3(2 x 2 +1)-5=6x2-2 g( f( x ) )=3(2 x 2 +1)-5=6x2-2
ⓓ( g∘g )(x)=3(3x−5)−5=9x−20 ( g∘g )(x)=3(3x−5)−5=9x−20
ⓔ ( f∘f )( −2 )=163 ( f∘f )( −2 )=163
f(g(x))= x 2 +3 +2,g(f(x))=x+4 x +7 f(g(x))= x 2 +3 +2,g(f(x))=x+4 x +7
f(g(x))= x+1 x 3 3 = x+1 3 x ,g(f(x))= x 3 +1 x f(g(x))= x+1 x 3 3 = x+1 3 x ,g(f(x))= x 3 +1 x
( f∘g )(x)= 1 2 x +4−4 = x 2 ,( g∘f )(x)=2x−4 ( f∘g )(x)= 1 2 x +4−4 = x 2 ,( g∘f )(x)=2x−4
f(g(h(x)))= ( 1 x+3 ) 2 +1 f(g(h(x)))= ( 1 x+3 ) 2 +1
ⓐ (g∘f)(x)=− 3 2−4x (g∘f)(x)=− 3 2−4x
ⓑ ( −∞, 1 2 ) ( −∞, 1 2 )
ⓐ (0,2)∪(2,∞); (0,2)∪(2,∞);
ⓑ(−∞,−2)∪(2,∞); (−∞,−2)∪(2,∞);
ⓒ (0,∞) (0,∞)
(1,∞) (1,∞)
sample: f(x)= x 3 g(x)=x−5 f(x)= x 3 g(x)=x−5
sample: f(x)= 4 x g(x)= (x+2) 2 f(x)= 4 x g(x)= (x+2) 2
sample: f(x)= x 3 g(x)= 1 2x−3 f(x)= x 3 g(x)= 1 2x−3
sample: f(x)= x 4 g(x)= 3x−2 x+5 f(x)= x 4 g(x)= 3x−2 x+5
sample: f(x)= x g(x)=2x+6 f(x)= x g(x)=2x+6
sample: f(x)= x 3 g(x)=(x−1) f(x)= x 3 g(x)=(x−1)
sample: f(x)= x 3 g(x)= 1 x−2 f(x)= x 3 g(x)= 1 x−2
sample: f(x)= x g(x)= 2x−1 3x+4 f(x)= x g(x)= 2x−1 3x+4
2
5
4
0
2
1
4
4
9
4
2
3
11
0
7
f(g(0))=27,g(f(0))=−94
f(g(0))= 1 5 ,g(f(0))=5
18 x 2 +60x+51
g∘g(x)=9x+20
2
(−∞,∞)
False
(f∘g)(6)=6 ; (g∘f)(6)=6
(f∘g)(11)=11,(g∘f)(11)=11
1. ਸ
2. ਏ(ਟੀ)=ਪਾਈ (25 ਟੀ+2 ) 2 ਅਤੇ ਏ(2)=ਪਾਈ (25 4 ) 2 =2500ਪਾਈ ਵਰਗ ਇੰਚ
3. ਏ(5)=ਪਾਈ (2(5)+1 ) 2 =121ਪਾਈ ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ
4. ਏਨ(ਟੀ(ਟੀ))=23 (5ਟੀ+1.5) 2 −56(5ਟੀ+1.5)+1
5. 3.38 ਘੰਟੇ
6. 3.5 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
7. ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਸ਼ਿਫਟ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ 1 ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਸੰਕੁਚਨ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
9. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, f(x) ਵਿੱਚ (x) ਲਈ (−x) ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, f(−x)=f(x), ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਤੀਜਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, f(−x)=−f(x), ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ।
10. ਜੀ(ਐਕਸ)=|ਐਕਸ-1|−3
11. ਜੀ(ਐਕਸ)= 1 (ਐਕਸ+4) 2 +2
12. ਐਫ(ਐਕਸ+43) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਐਫ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 43 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
13. ਐਫ(ਐਕਸ-4) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਐਫ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
14. ਐਫ(ਐਕਸ)+8 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਐਫ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ 8 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਲੰਬਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
15. ਐਫ(ਐਕਸ)−7 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਐਫ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ 7 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਲੰਬਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
16. ਐਫ(ਐਕਸ+4)−1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਐਫ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ 1 ਇਕਾਈ ਦਾ ਲੰਬਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
17. (−∞,−3) ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ (−3,∞) ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ
18. (0,∞) ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ
19. ਜੀ(ਐਕਸ)=ਐਫ(ਐਕਸ-1), ਐਚ(ਐਕਸ)=ਐਫ(ਐਕਸ)+1
20. ਐਫ(ਐਕਸ)=|ਐਕਸ-3|−2
21. ਐਫ(ਐਕਸ)= ਐਕਸ+3 −1
22. ਐਫ(ਐਕਸ)= (ਐਕਸ-2) 2
23. ਐਫ(ਐਕਸ)=|ਐਕਸ+3|−2
24. ਐਫ(ਐਕਸ)=− ਐਕਸ
f(x)=− (x+1) 2 +2
f(x)= −x +1
ਸਮ
ਟਾਂਕ
ਸਮ
g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਧਰਤੀਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ 4 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਧਰਤੀਵੀਂ ਖਿੱਚ ਹੈ।
g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ 1/5 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਵੀਂ ਸੰਕੋਚ ਹੈ।
g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਵੀਂ ਖਿੱਚ ਹੈ।
g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਖਿਤਵੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਅਤੇ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਧਰਤੀਵੀਂ ਖਿੱਚ ਹੈ।
g(x)=|−4x|
g(x)= 1 3 (x+2) 2 −3
g(x)= 1 2 (x-5) 2 +1
f(x)= x 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, 4 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਧਰਤੀਵੀਂ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ 5 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)=|x| ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਧਰਤੀਵੀਂ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, 4 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਖਿਤਵੀਂ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= x 3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 1/2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਧਰਤੀਵੀਂ ਸੰਕੋਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਵੀਂ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
3.6 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ |A|=B ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਵਿਅੰਜਨ, A, ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ, B, ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ। ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ A ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦੇ ਉਲਟ, −B, ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ ਜਾਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
x ਤੋਂ 8 ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਕਥਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ∣ x − 8 ∣ = 4।
∣ x − 10 ∣ ≥ 15
ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ।
(−4, 0) and (2, 0)
(0,−4),(4,0),(−2,0) (0,−4),(4,0),(−2,0)
(0,7),(25,0),(−7,0) (0,7),(25,0),(−7,0)
range: [–400,100][–400,100]
There is no solution for a a that will keep the function from having a y y -intercept. The absolute value function always crosses the y y -intercept when x=0. x=0.
| p−0.08 |≤0.015 | p−0.08 |≤0.015
| x−5.0 |≤0.01 | x−5.0 |≤0.01
3.7 Section Exercises
Each output of a function must have exactly one output for the function to be one-to-one. If any horizontal line crosses the graph of a function more than once, that means that y y -values repeat and the function is not one-to-one. If no horizontal line crosses the graph of the function more than once, then no y y -values repeat and the function is one-to-one.
Yes. For example, f(x)= 1 x f(x)= 1 x is its own inverse.
Given a function y=f(x), y=f(x), solve for x x in terms of y. y. Interchange the x x and y. y. Solve the new equation for y. y. The expression for y y is the inverse, y= f −1 (x). y= f −1 (x).
f −1 (x)=x−3 f −1 (x)=x−3
f −1 (x)=2−x f −1 (x)=2−x
f −1 (x)= −2x x−1 f −1 (x)= −2x x−1
domain of f(x):[−7,∞); f −1 (x)= x −7 f(x):[−7,∞); f −1 (x)= x −7
domain of f(x):[0,∞); f −1 (x)= x+5 f(x):[0,∞); f −1 (x)= x+5
ⓐf(g(x))=x f(g(x))=x and g(f(x))=x. g(f(x))=x.
ⓑThis tells us that f f and g g are inverse functions
f(g(x))=x,g(f(x))=x f(g(x))=x,g(f(x))=x
one-to-one
one-to-one
not one-to-one
3 3
2 2
[ 2,10 ] [ 2,10 ]
6 6
−4 −4
0 0
1 1
row: x x | 1 | 4 | 7 | 12 | 16
row: f −1 (x) f −1 (x) | 3 | 6 | 9 | 13 | 14
f −1 (x)= (1+x) 1/3 f −1 (x)= (1+x) 1/3
f −1 (x)= 5 9 ( x−32 ). f −1 (x)= 5 9 ( x−32 ). Given the Fahrenheit temperature, x, x, this formula allows you to calculate the Celsius temperature.
t(d)= d 50 , t(d)= d 50 , t(180)= 180 50 . t(180)= 180 50 . The time for the car to travel 180 miles is 3.6 hours.
Review Exercises
function
not a function
f(−3)=−27; f(−3)=−27; f(2)=−2; f(2)=−2; f(−a)=−2 a 2 −3a; f(−a)=−2 a 2 −3a; −f(a)=2 a 2 −3a; −f(a)=2 a 2 −3a; f(a+h)=−2 a 2 +3a−4ah+3h−2 h 2 f(a+h)=−2 a 2 +3a−4ah+3h−2 h 2
one-to-one
function
function
2 2
x=−1.8 x=−1.8 or or x=1.8 or x=1.8
−64+80a−16 a 2 −1+a =−16a+64 −64+80a−16 a 2 −1+a =−16a+64
( −∞,−2 )∪( −2,6 )∪( 6,∞ ) ( −∞,−2 )∪( −2,6 )∪( 6,∞ )
31 31
increasing ( 2,∞ ); ( 2,∞ ); decreasing (−∞,2) (−∞,2)
increasing ( −3,1 ); ( −3,1 ); constant (−∞,−3)∪( 1,∞ ) (−∞,−3)∪( 1,∞ )
local minimum ( −2,−3 ); ( −2,−3 ); local maximum ( 1,3 ) ( 1,3 )
( −1.8,10 ) ( −1.8,10 )
( f∘g )(x)=17−18x;( g∘f )(x)=−7−18x ( f∘g )(x)=17−18x;( g∘f )(x)=−7−18x
( f∘g )(x)= 1 x +2 ;( g∘f )(x)= 1 x+2 ( f∘g )(x)= 1 x +2 ;( g∘f )(x)= 1 x+2
(f∘g)(x)= 1+x 1+4x , x≠0, x≠− 1 4 (f∘g)(x)= 1+x 1+4x , x≠0, x≠− 1 4
( f∘g )(x)= 1 x ,x>0 ( f∘g )(x)= 1 x ,x>0
sample: g(x)= 2x−1 3x+4 ;f(x)= x g(x)= 2x−1 3x+4 ;f(x)= x
f(x)=| x−3 | f(x)=| x−3 |
even
odd
even
f(x)= 1 2 | x+2 |+1 f(x)= 1 2 | x+2 |+1
f(x)=−3| x−3 |+3 f(x)=−3| x−3 |+3
f −1 (x) = x-9 10 f −1 (x) = x-9 10
f −1 (x) = x-1 f −1 (x) =x-1
The function is one-to-one.
5 5
Practice Test
The relation is a function.
−16
The graph is a parabola and the graph fails the horizontal line test.
2 a 2 −a 2 a 2 −a
−2(a+b)+1 −2(a+b)+1
2 2
even even
odd odd
f −1 (x)= x+5 3 f −1 (x)= x+5 3
(−∞,−1.1)and (1.1,∞) (−∞,−1.1)and (1.1,∞)
( 1.1,−0.9 ) ( 1.1,−0.9 )
f(2)=2 f(2)=2
f(x)={ | x |ifx≤2 3ifx>2 f(x)={ | x |ifx≤2 3ifx>2
x=2 x=2
yes
f −1 (x)=− x−11 2 f −1 (x)=− x−11 2