ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.1.1 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.1.2 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
1.1.3 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1.1.4 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ (ਸਿਫ਼ਰ) ਲੱਭੋ।
1.1.5 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
1.1.6 ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ।
1.1.7 ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ—ਯਾਨੀ, ਸਾਰਣੀਆਂ, ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਰਾਹੀਂ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਰਸਮੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਮੱਗਰੀ ਦਾ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਹਿੱਸਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ, ਪਰ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਕੁਝ ਬੀਜਗਣਿਤ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਸੰਦਰਭ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ
ਦੋ ਸੈੱਟ AA ਅਤੇ B ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਜਿਸਦੇ ਤੱਤ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (x,y) ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ x, A ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ y, B ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦਾ ਸਬੰਧ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦਾ ਸਬੰਧ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਹਰ ਤੱਤ ਦੂਜੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਤੱਤ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਦੂਜੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਤੱਤ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰ ਸਮੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਊਟਪੁਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਊਟਪੁਟ ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ (ਆਊਟਪੁਟ) ਇਸਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਇਨਪੁਟ) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਦਾ ਵੇਗ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਗੇਂਦ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪੈਕੇਜ ਭੇਜਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪੈਕੇਜ ਦੇ ਭਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਹੋਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟਸ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ, ਆਊਟਪੁਟਸ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ, ਅਤੇ ਹਰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਊਟਪੁਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਯਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਨਪੁਟਸ ਦੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਊਟਪੁਟਸ ਦੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਯਮ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਇਨਪੁਟ x=3 ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ 3^2=9 ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਮੁੱਲ ਵਰਗ ਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਹਰ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਰੇਂਜ ਦੇ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਂਜ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ D ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ x ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ y ਨੂੰ x ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਊਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ x ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਆਸ਼ਰਿਤ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ x 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ y=f(x) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ "y, f(x) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ" ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਰਗੀਕਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)=x^2 ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1.2, ਚਿੱਤਰ 1.3, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 1.4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.2: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ/ਆਊਟਪੁਟ ਡਿਵਾਈਸ ਵਜੋਂ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.3: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਤੱਤ ਨੂੰ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨਾਲ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਹਰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਆਊਟਪੁਟ 'ਤੇ ਭੇਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਇਨਪੁਟਸ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਆਊਟਪੁਟ 'ਤੇ ਭੇਜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.4: ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਡੋਮੇਨ {1,2,3} ਅਤੇ ਰੇਂਜ {1,2} ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਹੈ ਅਤੇ ਆਸ਼ਰਿਤ ਵੇਰੀਏਬਲ y ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇਸ ਐਪਲੇਟ ਲਿੰਕ 'ਤੇ ਜਾਓ।
ਅਸੀਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y) ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਕੇ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ y=f(x) ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ ਡੋਮੇਨ ਸੈੱਟ D={1,2,3} ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਯਮ f(x)=3−x ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.5 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪਲੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 1.5: ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ {1,2,3} ਅਤੇ ਨਿਯਮ f(x)=3−x ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,f(x)) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਹਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)=x^2, ਬਿਨਾਂ ਕੋਈ ਖਾਸ ਡੋਮੇਨ ਦਿੱਤੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ, x, ਦਾ ਸੈੱਟ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਲਈ f(x) ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਡੋਮੇਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ f(x)=x^2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=√x ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੀ ਇੱਕ ਅਸਲ ਆਊਟਪੁਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=√x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਕੁਦਰਤੀ ਡੋਮੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
For the functions f(x)=x2f(x)=x2 and f(x)=x,f(x)=x, the domains are sets with an infinite number of elements. Clearly we cannot list all these elements. When describing a set with an infinite number of elements, it is often helpful to use set-builder or interval notation. When using set-builder notation to describe a subset of all real numbers, denoted ℝ,ℝ, we write
We read this as the set of real numbers xx such that xx has some property. For example, if we were interested in the set of real numbers that are greater than one but less than five, we could denote this set using set-builder notation by writing
A set such as this, which contains all numbers greater than aa and less than b,b, can also be denoted using the interval notation (a,b).(a,b). Therefore,
The numbers 11 and 55 are called the endpoints of this set. If we want to consider the set that includes the endpoints, we would denote this set by writing
We can use similar notation if we want to include one of the endpoints, but not the other. To denote the set of nonnegative real numbers, we would use the set-builder notation
The smallest number in this set is zero, but this set does not have a largest number. Using interval notation, we would use the symbol ∞,∞, which refers to positive infinity, and we would write the set as
It is important to note that ∞∞ is not a real number. It is used symbolically here to indicate that this set includes all real numbers greater than or equal to zero. Similarly, if we wanted to describe the set of all nonpositive numbers, we could write
Here, the notation −∞−∞ refers to negative infinity, and it indicates that we are including all numbers less than or equal to zero, no matter how small. The set
refers to the set of all real numbers.
Some functions are defined using different equations for different parts of their domain. These types of functions are known as piecewise-defined functions. For example, suppose we want to define a function ff with a domain that is the set of all real numbers such that f(x)=3x+1f(x)=3x+1 for x≥2x≥2 and f(x)=x2f(x)=x2 for x<2.x<2. We denote this function by writing
When evaluating this function for an input x,x, the equation to use depends on whether x≥2x≥2 or x<2.x<2. For example, since 5>2,5>2, we use the fact that f(x)=3x+1f(x)=3x+1 for x≥2x≥2 and see that f(5)=3(5)+1=16.f(5)=3(5)+1=16. On the other hand, for x=−1,x=−1, we use the fact that f(x)=x2f(x)=x2 for x<2x<2 and see that f(−1)=1.f(−1)=1.
Example 1.1
Evaluating Functions
For the function f(x)=3x2+2x−1,f(x)=3x2+2x−1, evaluate
f(−2)f(−2)
f(2)f(2)
f(a+h)f(a+h)
Solution
Substitute the given value for x in the formula for f(x).f(x).
f(−2)=3(−2)2+2(−2)−1=12−4−1=7f(−2)=3(−2)2+2(−2)−1=12−4−1=7
f(2)=3(2)2+22−1=6+22−1=5+22f(2)=3(2)2+22−1=6+22−1=5+22
f(a+h)=3(a+h)2+2(a+h)−1=3(a2+2ah+h2)+2a+2h−1=3a2+6ah+3h2+2a+2h−1f(a+h)=3(a+h)2+2(a+h)−1=3(a2+2ah+h2)+2a+2h−1=3a2+6ah+3h2+2a+2h−1
Checkpoint 1.1
For f(x)=x2−3x+5,f(x)=x2−3x+5, evaluate f(1)f(1) and f(a+h).f(a+h).
Example 1.2
Finding Domain and Range
For each of the following functions, determine the i. domain and ii. range.
f(x)=(x−4)2+5f(x)=(x−4)2+5
f(x)=3x+2−1f(x)=3x+2−1
f(x)=3x−2f(x)=3x−2
Solution
Consider f(x)=(x−4)2+5.f(x)=(x−4)2+5. Since f(x)=(x−4)2+5f(x)=(x−4)2+5 is a real number for any real number x,x, the domain of ff is the interval (−∞,∞).(−∞,∞). Since (x−4)2≥0,(x−4)2≥0, we know f(x)=(x−4)2+5≥5.f(x)=(x−4)2+5≥5. Therefore, the range must be a subset of {y|y≥5}.{y|y≥5}. To show that every element in this set is in the range, we need to show that for a given yy in that set, there is a real number xx such that f(x)=(x−4)2+5=y.f(x)=(x−4)2+5=y. Solving this equation for x,x, we see that we need xx such that (x−4)2=y−5.(x−4)2=y−5. This equation is satisfied as long as there exists a real number xx such that x−4=±y−5.x−4=±y−5. Since y≥5,y≥5, the square root is well-defined. We conclude that for x=4±y−5,f(x)=y,x=4±y−5,f(x)=y, and therefore the range is {y|y≥5}.{y|y≥5}.
Consider f(x)=3x+2−1.f(x)=3x+2−1. To find the domain of f,f, we need the expression 3x+2≥0.3x+2≥0. Solving this inequality, we conclude that the domain is {x|x≥−2/3}.{x|x≥−2/3}. To find the range of f,f, we note that since 3x+2≥0,f(x)=3x+2−1≥−1.3x+2≥0,f(x)=3x+2−1≥−1. Therefore, the range of ff must be a subset of the set {y|y≥−1}.{y|y≥−1}. To show that every element in this set is in the range of f,f, we need to show that for all yy in this set, there exists a real number xx in the domain such that f(x)=y.f(x)=y. Let y≥−1.y≥−1. Then, f(x)=yf(x)=y if and only if 3x+2−1=y.3x+2−1=y. Solving this equation for x,x, we see that xx must solve the equation 3x+2=y+1.3x+2=y+1. Since y≥−1,y≥−1, such an xx could exist. Squaring both sides of this equation, we have 3x+2=(y+1)2.3x+2=(y+1)2. Therefore, we need 3x=(y+1)2−2,3x=(y+1)2−2, which implies x=13(y+1)2−23.x=13(y+1)2−23. We just need to verify that xx is in the domain of f.f. Since the domain of ff consists of all real numbers greater than or equal to −2/3,−2/3, and 13(y+1)2−23≥−23,13(y+1)2−23≥−23, there does exist an xx in the domain of f.f. We conclude that the range of ff is {y|y≥−1}.{y|y≥−1}.
Consider f(x)=3/(x−2).f(x)=3/(x−2). Since 3/(x−2)3/(x−2) is defined when the denominator is nonzero, the domain is {x|x≠2}.{x|x≠2}. To find the range of f,f, we need to find the values of yy such that there exists a real number xx in the domain with the property that 3x−2=y.3x−2=y. Solving this equation for x,x, we find that x=3y+2.x=3y+2. Therefore, as long as y≠0,y≠0, there exists a real number xx in the domain such that f(x)=y.f(x)=y. Thus, the range is {y|y≠0}.{y|y≠0}.
Checkpoint 1.2
Find the domain and range for f(x)=4−2x+5.f(x)=4−2x+5.
Representing Functions
Typically, a function is represented using one or more of the following tools:
A table
A graph
A formula
We can identify a function in each form, but we can also use them together. For instance, we can plot on a graph the values from a table or create a table from a formula.
Tables
Functions described using a table of values arise frequently in real-world applications. Consider the following simple example. We can describe temperature on a given day as a function of time of day. Suppose we record the temperature every hour for a 24-hour period starting at midnight. We let our input variable xx be the time after midnight, measured in hours, and the output variable yy be the temperature xx hours after midnight, measured in degrees Fahrenheit. We record our data in Table 1.1.
row: Hours after Midnight | Temperature (°F)(°F) | Hours after Midnight | Temperature (°F)(°F)
row: 0 | 58 | 12 | 84
row: 1 | 54 | 13 | 85
row: 2 | 53 | 14 | 85
1. ਕਤਾਰ: 3 | 52 | 15 | 83
2. ਕਤਾਰ: 4 | 52 | 16 | 82
3. ਕਤਾਰ: 5 | 55 | 17 | 80
4. ਕਤਾਰ: 6 | 60 | 18 | 77
5. ਕਤਾਰ: 7 | 64 | 19 | 74
6. ਕਤਾਰ: 8 | 72 | 20 | 69
7. ਕਤਾਰ: 9 | 75 | 21 | 65
8. ਕਤਾਰ: 10 | 78 | 22 | 60
9. ਕਤਾਰ: 11 | 80 | 23 | 58
10. ਅਸੀਂ ਤਬੀਲ ਤੋਂ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਤਾਪਮਾਨ ਸਮੇਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੁਬਾਰਾ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤਸਵੀਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ।
11. ਗ੍ਰਾਫ
12. ਇੱਕ ਫਲਨ ff ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਤਬੀਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਦੀ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਤਸਵੀਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤਬੀਲ 1.1 ਵਿੱਚ ਦਰਜ ਤਾਪਮਾਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਦਿਨ ਭਰ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਤਰਾਅ-ਚੜ੍ਹਾਅ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਵਿਚਾਰ ਮਿਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.6 ਤਾਪਮਾਨ ਫਲਨ ਦਾ ਪਲਾਟ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
13. ਚਿੱਤਰ 1.6: ਤਬੀਲ 1.1 ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
14. ਚਿੱਤਰ 1.6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਪਲੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਮ ਆਕਾਰ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਕਸਰ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਤਬੀਲ ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਲਈ ਤਾਪਮਾਨ ਕੀ ਸੀ ਜਿਸ ਲਈ ਤਾਪਮਾਨ ਰਿਕਾਰਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਿੱਟਾ ਨਹੀਂ ਕੱਢ ਸਕਦੇ, ਇਕੱਠੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਸ਼ੱਕ ਕਰਨਾ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿ ਹੋਰ ਸਮਿਆਂ 'ਤੇ ਤਾਪਮਾਨਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕੀਤੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1.7 ਵਿੱਚ ਵੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਚਿੱਤਰ 1.7: ਚਿੱਤਰ 1.6 ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਆਮ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
16. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸੂਤਰ
17. ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਤਬੀਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ, ਬਲਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸੂਤਰ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ rr ਹੈ, A(r)=πr2.A(r)=πr2 ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ v0v0 ft/s ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉਸਦੇ ਉੱਪਰ ਉੱਠਣ ਦਾ ਸਮਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂੰਹਦੀ, ਸੂਤਰ s(t)=−16t2+v0t.s(t)=−16t2+v0t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ PP ਡਾਲਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ rr ਨਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਮਾਤਰਾ A(t)=Pert.A(t)=Pert ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸੂਤਰ ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਾਧਨ ਹਨ। ਅਕਸਰ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
18. ਇੱਕ ਫਲਨ f,f ਲਈ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸੂਤਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ff ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,f(x)),(x,f(x)) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ xx ff ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ f(x)f(x) ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੀ ਇੱਕ ਤਬੀਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ff ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਝ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣਾ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਅਕਸਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
19. ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੀ ਇੱਕ ਤਬੀਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਜ਼ੀਰੋ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਹੈ। ਉਹ ਮੁੱਲ xx ਜਿੱਥੇ f(x)=0f(x)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਫਲਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x2−4f(x)=x2−4 ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ x=±2.x=±2 ਹਨ। ਜ਼ੀਰੋ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ xx-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇਹ ਕਈ (ਜਾਂ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਅਨੰਤ) ਵਾਰ ਕੱਟ ਸਕਦਾ ਹੈ।
20. ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ yy-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। yy-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,f(0)).(0,f(0)) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
21. ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਹਰ ਇਨਪੁਟ ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ yy-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x=0x=0 ਇੱਕ ਫਲਨ f,f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ff ਦਾ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ yy-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x=0x=0 f,f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ff ਦਾ ਕੋਈ yy-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ c,c ਲਈ, ਜੇਕਰ cc f,f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ f(c),f(c) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲਾਈਨ x=cx=c ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ cc f,f(c)f,f(c) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ f(c) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਲਾਈਨ x=cx=c f.f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
22. ਨਿਯਮ: ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ
23. ਇੱਕ ਫਲਨ f,f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੋਈ ਵੀ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਜੋ ਖਿੱਚੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ff ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
24. ਅਸੀਂ ਇਹ ਟੈਸਟ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਪਲੋਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਫਲਨ (ਚਿੱਤਰ 1.8) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
Figure 1.8: (a) The set of plotted points represents the graph of a function because every vertical line intersects the set of points, at most, once. (b) The set of plotted points does not represent the graph of a function because some vertical lines intersect the set of points more than once.
Example 1.3
Finding Zeros and yy-Intercepts of a Function
Consider the function f(x)=−4x+2.f(x)=−4x+2.
Find all zeros of f.f.
Find the yy-intercept (if any).
Sketch a graph of f.f.
Solution
To find the zeros, solve f(x)=−4x+2=0.f(x)=−4x+2=0. We discover that ff has one zero at x=1/2.x=1/2.
The yy-intercept is given by (0,f(0))=(0,2).(0,f(0))=(0,2).
Given that ff is a linear function of the form f(x)=mx+bf(x)=mx+b that passes through the points (1/2,0)(1/2,0) and (0,2),(0,2), we can sketch the graph of ff (Figure 1.9). Figure 1.9 The function f(x)=−4x+2f(x)=−4x+2 is a line withxx-intercept (1/2,0)(1/2,0) and yy-intercept (0,2).(0,2).
Example 1.4
Using Zeros and yy-Intercepts to Sketch a Graph
Consider the function f(x)=x+3+1.f(x)=x+3+1.
Find all zeros of f.f.
Find the yy-intercept (if any).
Sketch a graph of f.f.
Solution
To find the zeros, solve x+3+1=0.x+3+1=0. This equation implies x+3=−1.x+3=−1. Since x+3≥0x+3≥0 for all x,x, this equation has no solutions, and therefore ff has no zeros.
The yy-intercept is given by (0,f(0))=(0,3+1).(0,f(0))=(0,3+1).
To graph this function, we make a table of values. Since we need x+3≥0,x+3≥0, we need to choose values of x≥−3.x≥−3. We choose values that make the square-root function easy to evaluate. xx −3−3 −2−2 11 f(x)f(x) 11 22 33 Table 1.2
Making use of the table and knowing that, since the function is a square root, the graph of ff should be similar to the graph of y=x,y=x, we sketch the graph (Figure 1.10).
Figure 1.10: The graph of f(x)=x+3+1f(x)=x+3+1 has ayy-intercept but no xx-intercepts.
Checkpoint 1.3
Find the zeros of f(x)=x3−5x2+6x.f(x)=x3−5x2+6x.
Example 1.5
Finding the Height of a Free-Falling Object
If a ball is dropped from a height of 100100 ft, its height ss at time tt is given by the function s(t)=−16t2+100,s(t)=−16t2+100, where ss is measured in feet and tt is measured in seconds. The domain is restricted to the interval [0,c],[0,c], where t=0t=0 is the time when the ball is dropped and t=ct=c is the time when the ball hits the ground.
Create a table showing the height s(t)s(t) when t=0,0.5,1,1.5,2,and2.5.t=0,0.5,1,1.5,2,and2.5. Using the data from the table, determine the domain for this function. That is, find the time cc when the ball hits the ground.
Sketch a graph of s.s.
Solution
tt 00 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 s(t)s(t) 100100 9696 8484 6464 3636 00 Table 1.3 Height s s as a Function of Time t t Since the ball hits the ground when t=2.5,t=2.5, the domain of this function is the interval [0,2.5].[0,2.5].
Note that for this function and the function f(x)=−4x+2f(x)=−4x+2 graphed in Figure 1.9, the values of f(x)f(x) are getting smaller as xx is getting larger. A function with this property is said to be decreasing. On the other hand, for the function f(x)=x+3+1f(x)=x+3+1 graphed in Figure 1.10, the values of f(x)f(x) are getting larger as the values of xx are getting larger. A function with this property is said to be increasing. It is important to note, however, that a function can be increasing on some interval or intervals and decreasing over a different interval or intervals. For example, using our temperature function in Figure 1.6, we can see that the function is decreasing on the interval (0,4),(0,4), increasing on the interval (4,14),(4,14), and then decreasing on the interval (14,23).(14,23). We make the idea of a function increasing or decreasing over a particular interval more precise in the next definition.
Definition
We say that a function ff is increasing on the interval II if for all x1,x2∈I,x1,x2∈I,
We say ff is strictly increasing on the interval II if for all x1,x2∈I,x1,x2∈I,
We say that a function ff is decreasing on the interval II if for all x1,x2∈I,x1,x2∈I,
We say that a function ff is strictly decreasing on the interval II if for all x1,x2∈I,x1,x2∈I,
For example, the function f(x)=3xf(x)=3x is increasing on the interval (−∞,∞)(−∞,∞) because 3x1<3x23x1<3x2 whenever x1<x2.x1<x2. On the other hand, the function f(x)=−x3f(x)=−x3 is strictly decreasing on the interval (−∞,∞)(−∞,∞) because −x13>−x23−x13>−x23 whenever x1<x2x1<x2 (Figure 1.11).
Figure 1.11: (a) The function f(x)=3xf(x)=3x is increasing on the interval (−∞,∞).(−∞,∞). (b) The function f(x)=−x3f(x)=−x3 is decreasing on the interval (−∞,∞).(−∞,∞).
Combining Functions
Now that we have reviewed the basic characteristics of functions, we can see what happens to these properties when we combine functions in different ways, using basic mathematical operations to create new functions. For example, if the cost for a company to manufacture xx items is described by the function C(x)C(x) and the revenue created by the sale of xx items is described by the function R(x),R(x), then the profit on the manufacture and sale of xx items is defined as P(x)=R(x)−C(x).P(x)=R(x)−C(x). Using the difference between two functions, we created a new function.
Alternatively, we can create a new function by composing two functions. For example, given the functions f(x)=x2f(x)=x2 and g(x)=3x+1,g(x)=3x+1, the composite function f∘gf∘g is defined such that
The composite function g∘fg∘f is defined such that
Note that these two new functions are different from each other.
Combining Functions with Mathematical Operators
To combine functions using mathematical operators, we simply write the functions with the operator and simplify. Given two functions ff and g,g, we can define four new functions:
Example 1.6
Combining Functions Using Mathematical Operations
Given the functions f(x)=2x−3f(x)=2x−3 and g(x)=x2−1,g(x)=x2−1, find each of the following functions and state its domain.
(f+g)(x)(f+g)(x)
(f−g)(x)(f−g)(x)
(f·g)(x)(f·g)(x)
(fg)(x)(fg)(x)
Solution
(f+g)(x)=(2x−3)+(x2−1)=x2+2x−4.(f+g)(x)=(2x−3)+(x2−1)=x2+2x−4. The domain of this function is the interval (−∞,∞).(−∞,∞).
(f−g)(x)=(2x−3)−(x2−1)=−x2+2x−2.(f−g)(x)=(2x−3)−(x2−1)=−x2+2x−2. The domain of this function is the interval (−∞,∞).(−∞,∞).
(f·g)(x)=(2x−3)(x2−1)=2x3−3x2−2x+3.(f·g)(x)=(2x−3)(x2−1)=2x3−3x2−2x+3. The domain of this function is the interval (−∞,∞).(−∞,∞).
(fg)(x)=2x−3x2−1.(fg)(x)=2x−3x2−1. The domain of this function is {x|x≠±1}.{x|x≠±1}.
Checkpoint 1.4
For f(x)=x2+3f(x)=x2+3 and g(x)=2x−5,g(x)=2x−5, find (f/g)(x)(f/g)(x) and state its domain.
Function Composition
When we compose functions, we take a function of a function. For example, suppose the temperature TT on a given day is described as a function of time tt (measured in hours after midnight) as in Table 1.1. Suppose the cost C,C, to heat or cool a building for 1 hour, can be described as a function of the temperature T.T. Combining these two functions, we can describe the cost of heating or cooling a building as a function of time by evaluating C(T(t)).C(T(t)). We have defined a new function, denoted C∘T,C∘T, which is defined such that (C∘T)(t)=C(T(t))(C∘T)(t)=C(T(t)) for all tt in the domain of T.T. This new function is called a composite function. We note that since cost is a function of temperature and temperature is a function of time, it makes sense to define this new function (C∘T)(t).(C∘T)(t). It does not make sense to consider (T∘C)(t),(T∘C)(t), because temperature is not a function of cost.
Definition
Consider the function ff with domain AA and range B,B, and the function gg with domain DD and range E.E. If BB is a subset of D,D, then the composite function (g∘f)(x)(g∘f)(x) is the function with domain AA such that
A composite function g∘fg∘f can be viewed in two steps. First, the function ff maps each input xx in the domain of ff to its output f(x)f(x) in the range of f.f. Second, since the range of ff is a subset of the domain of g,g, the output f(x)f(x) is an element in the domain of g,g, and therefore it is mapped to an output g(f(x))g(f(x)) in the range of g.g. In Figure 1.12, we see a visual image of a composite function.
Figure 1.12: For the composite function g∘f,g∘f, we have (g∘f)(1)=4,(g∘f)(2)=5,(g∘f)(1)=4,(g∘f)(2)=5, and (g∘f)(3)=4.(g∘f)(3)=4.
Example 1.7
Compositions of Functions Defined by Formulas
Consider the functions f(x)=x2+1f(x)=x2+1 and g(x)=1/x.g(x)=1/x.
Find (g∘f)(x)(g∘f)(x) and state its domain and range.
Evaluate (g∘f)(4),(g∘f)(−1/2).(g∘f)(4),(g∘f)(−1/2).
Find (f∘g)(x)(f∘g)(x) and state its domain and range.
Evaluate (f∘g)(4),(f∘g)(−1/2).(f∘g)(4),(f∘g)(−1/2).
Solution
We can find the formula for (g∘f)(x)(g∘f)(x) in two different ways. We could write (g∘f)(x)=g(f(x))=g(x2+1)=1x2+1.(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x2+1)=1x2+1. Alternatively, we could write (g∘f)(x)=g(f(x))=1f(x)=1x2+1.(g∘f)(x)=g(f(x))=1f(x)=1x2+1. Since x2+1≠0x2+1≠0 for all real numbers x,x, the domain of (g∘f)(x)(g∘f)(x) is the set of all real numbers. Since 0<1/(x2+1)≤1,0<1/(x2+1)≤1, the range is, at most, the interval (0,1].(0,1]. To show that the range is this entire interval, we let y=1/(x2+1)y=1/(x2+1) and solve this equation for xx to show that for all yy in the interval (0,1],(0,1], there exists a real number xx such that y=1/(x2+1).y=1/(x2+1). Solving this equation for x,x, we see that x2+1=1/y,x2+1=1/y, which implies that x=±1y−1.x=±1y−1. If yy is in the interval (0,1],(0,1], the expression under the radical is nonnegative, and therefore there exists a real number xx such that 1/(x2+1)=y.1/(x2+1)=y. We conclude that the range of g∘fg∘f is the interval (0,1].(0,1].
(g∘f)(4)=g(f(4))=g(42+1)=g(17)=117(g∘f)(4)=g(f(4))=g(42+1)=g(17)=117 (g∘f)(−12)=g(f(−12))=g((−12)2+1)=g(54)=45(g∘f)(−12)=g(f(−12))=g((−12)2+1)=g(54)=45
We can find a formula for (f∘g)(x)(f∘g)(x) in two ways. First, we could write (f∘g)(x)=f(g(x))=f(1x)=(1x)2+1.(f∘g)(x)=f(g(x))=f(1x)=(1x)2+1. Alternatively, we could write (f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))2+1=(1x)2+1.(f∘g)(x)=f(g(x))=(g(x))2+1=(1x)2+1. The domain of f∘gf∘g is the set of all real numbers xx such that x≠0.x≠0. To find the range of f,f, we need to find all values yy for which there exists a real number x≠0x≠0 such that (1x)2+1=y.(1x)2+1=y. Solving this equation for x,x, we see that we need xx to satisfy (1x)2=y−1,(1x)2=y−1, which simplifies to 1x=±y−1.1x=±y−1. Finally, we obtain x=±1y−1.x=±1y−1. Since 1/y−11/y−1 is a real number if and only if y>1,y>1, the range of f◦ gf◦ g is the set {y|y>1}.{y|y>1}.
(f∘g)(4)=f(g(4))=f(14)=(14)2+1=1716(f∘g)(4)=f(g(4))=f(14)=(14)2+1=1716 (f∘g)(−12)=f(g(−12))=f(−2)=(−2)2+1=5(f∘g)(−12)=f(g(−12))=f(−2)=(−2)2+1=5
In Example 1.7, we can see that (f∘g)(x)≠(g∘f)(x).(f∘g)(x)≠(g∘f)(x). This tells us, in general terms, that the order in which we compose functions matters.
Checkpoint 1.5
Let f(x)=2−5x.f(x)=2−5x. Let g(x)=x.g(x)=x. Find (f∘g)(x).(f∘g)(x).
Example 1.8
Composition of Functions Defined by Tables
Consider the functions ff and gg described by Table 1.4 and Table 1.5.
row: xx | −3−3 | −2−2 | −1−1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
row: f(x)f(x) | 0 | 4 | 2 | 4 | −2−2 | 0 | −2−2 | 4
row: xx | −4−4 | −2−2 | 0 | 2 | 4
row: g(x)g(x) | 1 | 0 | 3 | 0 | 5
Evaluate (g∘f)(3),(g∘f)(0).(g∘f)(3),(g∘f)(0).
State the domain and range of (g∘f)(x).(g∘f)(x).
Evaluate (f∘f)(3),(f∘f)(1).(f∘f)(3),(f∘f)(1).
State the domain and range of (f∘f)(x).(f∘f)(x).
Solution
(g∘f)(3)=g(f(3))=g(−2)=0(g∘f)(3)=g(f(3))=g(−2)=0 (g∘f)(0)=g(4)=5(g∘f)(0)=g(4)=5
The domain of g∘fg∘f is the set {−3,−2,−1,0,1,2,3,4}.{−3,−2,−1,0,1,2,3,4}. Since the range of ff is the set {−2,0,2,4},{−2,0,2,4}, the range of g∘fg∘f is the set {0,3,5}.{0,3,5}.
(f∘f)(3)=f(f(3))=f(−2)=4(f∘f)(3)=f(f(3))=f(−2)=4 (f∘f)(1)=f(f(1))=f(−2)=4(f∘f)(1)=f(f(1))=f(−2)=4
The domain of f∘ff∘f is the set {−3,−2,−1,0,1,2,3,4}.{−3,−2,−1,0,1,2,3,4}. Since the range of ff is the set {−2,0,2,4},{−2,0,2,4}, the range of f∘ff∘f is the set {0,4}.{0,4}.
Example 1.9
Application Involving a Composite Function
A store is advertising a sale of 20%20% off all merchandise. Caroline has a coupon that entitles her to an additional 15%15% off any item, including sale merchandise. If Caroline decides to purchase an item with an original price of xx dollars, how much will she end up paying if she applies her coupon to the sale price? Solve this problem by using a composite function.
Solution
Since the sale price is 20%20% off the original price, if an item is xx dollars, its sale price is given by f(x)=0.80x.f(x)=0.80x. Since the coupon entitles an individual to 15%15% off the price of any item, if an item is yy dollars, the price, after applying the coupon, is given by g(y)=0.85y.g(y)=0.85y. Therefore, if the price is originally xx dollars, its sale price will be f(x)=0.80xf(x)=0.80x and then its final price after the coupon will be g(f(x))=0.85(0.80x)=0.68x.g(f(x))=0.85(0.80x)=0.68x.
Checkpoint 1.6
If items are on sale for 10%10% off their original price, and a customer has a coupon for an additional 30%30% off, what will be the final price for an item that is originally xx dollars, after applying the coupon to the sale price?
Symmetry of Functions
The graphs of certain functions have symmetry properties that help us understand the function and the shape of its graph. For example, consider the function f(x)=x4−2x2−3f(x)=x4−2x2−3 shown in Figure 1.13(a). If we take the part of the curve that lies to the right of the y-axis and flip it over the y-axis, it lays exactly on top of the curve to the left of the y-axis. In this case, we say the function has symmetry about the y-axis. On the other hand, consider the function f(x)=x3−4xf(x)=x3−4x shown in Figure 1.13(b). If we take the graph and rotate it 180°180° about the origin, the new graph will look exactly the same. In this case, we say the function has symmetry about the origin.
Figure 1.13: (a) A graph that is symmetric about the yy-axis. (b) A graph that is symmetric about the origin.
If we are given the graph of a function, it is easy to see whether the graph has one of these symmetry properties. But without a graph, how can we determine algebraically whether a function ff has symmetry? Looking at Figure 1.13 again, we see that since ff is symmetric about the yy-axis, if the point (x,y)(x,y) is on the graph, the point (−x,y)(−x,y) is on the graph. In other words, f(−x)=f(x).f(−x)=f(x). If a function ff has this property, we say ff is an even function, which has symmetry about the y-axis. For example, f(x)=x2f(x)=x2 is even because
In contrast, looking at Figure 1.13 again, if a function ff is symmetric about the origin, then whenever the point (x,y)(x,y) is on the graph, the point (−x,−y)(−x,−y) is also on the graph. In other words, f(−x)=−f(x).f(−x)=−f(x). If ff has this property, we say ff is an odd function, which has symmetry about the origin. For example, f(x)=x3f(x)=x3 is odd because
Definition
If f(x)=f(−x)f(x)=f(−x) for all xx in the domain of f,f, then ff is an even function. An even function is symmetric about the y-axis.
If f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x) for all xx in the domain of f,f, then ff is an odd function. An odd function is symmetric about the origin.
Example 1.10
Even and Odd Functions
Determine whether each of the following functions is even, odd, or neither.
f(x)=−5x4+7x2−2f(x)=−5x4+7x2−2
f(x)=2x5−4x+5f(x)=2x5−4x+5
f(x)=3xx2+1f(x)=3xx2+1
Solution
To determine whether a function is even or odd, we evaluate f(−x)f(−x) and compare it to f(x) and −f(x).−f(x).
f(−x)=−5(−x)4+7(−x)2−2=−5x4+7x2−2=f(x).f(−x)=−5(−x)4+7(−x)2−2=−5x4+7x2−2=f(x). Therefore, ff is even.
f(−x)=2(−x)5−4(−x)+5=−2x5+4x+5.f(−x)=2(−x)5−4(−x)+5=−2x5+4x+5. Now, f(−x)≠f(x).f(−x)≠f(x). Furthermore, noting that −f(x)=−2x5+4x−5,−f(x)=−2x5+4x−5, we see that f(−x)≠−f(x).f(−x)≠−f(x). Therefore, ff is neither even nor odd.
f(−x)=3(−x)/((−x)2+1)=−3x/(x2+1)=−[3x/(x2+1)]=−f(x).f(−x)=3(−x)/((−x)2+1)=−3x/(x2+1)=−[3x/(x2+1)]=−f(x). Therefore, ff is odd.
Checkpoint 1.7
Determine whether f(x)=4x3−5xf(x)=4x3−5x is even, odd, or neither.
One symmetric function that arises frequently is the absolute value function, written as |x|.|x|. The absolute value function is defined as
Some students describe this function by stating that it “makes everything positive.” By the definition of the absolute value function, we see that if x<0,x<0, then |x|=−x>0,|x|=−x>0, and if x>0,x>0, then |x|=x>0.|x|=x>0. However, for x=0,|x|=0.x=0,|x|=0. Therefore, it is more accurate to say that for all nonzero inputs, the output is positive, but if x=0,x=0, the output |x|=0.|x|=0. We conclude that the range of the absolute value function is {y|y≥0}.{y|y≥0}. In Figure 1.14, we see that the absolute value function is symmetric about the y-axis and is therefore an even function.
Figure 1.14: The graph of f(x)=|x|f(x)=|x| is symmetric about the yy-axis.
Example 1.11
Working with the Absolute Value Function
Find the domain and range of the function f(x)=2|x−3|+4.f(x)=2|x−3|+4.
Solution
Since the absolute value function is defined for all real numbers, the domain of this function is (−∞,∞).(−∞,∞). Since |x−3|≥0|x−3|≥0 for all x,x, the function f(x)=2|x−3|+4≥4.f(x)=2|x−3|+4≥4. Therefore, the range is, at most, the set {y|y≥4}.{y|y≥4}. To see that the range is, in fact, this whole set, we need to show that for y≥4y≥4 there exists a real number xx such that
A real number xx satisfies this equation as long as
Since y≥4,y≥4, we know y−4≥0,y−4≥0, and thus the right-hand side of the equation is nonnegative, so it is possible that there is a solution. Furthermore,
Therefore, we see there are two solutions:
The range of this function is {y|y≥4}.{y|y≥4}.
Checkpoint 1.8
For the function f(x)=|x+2|−4,f(x)=|x+2|−4, find the domain and range.
For the following exercises, (a) determine the domain and the range of each relation, and (b) state whether the relation is a function.
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | 9 | 1 | 1
row: −2 | 4 | 2 | 4
row: −1 | 1 | 3 | 9
row: 0 | 0
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | −2 | 1 | 1
row: −2 | −8 | 2 | 8
row: −1 | −1 | 3 | −2
row: 0 | 0
row: xx | yy | xx | yy
row: 1 | −3 | 1 | 1
row: 2 | −2 | 2 | 2
row: 3 | −1 | 3 | 3
row: 0 | 0
row: xx | yy | xx | yy
row: 1 | 1 | 5 | 1
row: 2 | 1 | 6 | 1
row: 3 | 1 | 7 | 1
row: 4 | 1
row: xx | yy | xx | yy
row: 3 | 3 | 15 | 1
row: 5 | 2 | 21 | 2
row: 8 | 1 | 33 | 3
row: 10 | 0
row: xx | yy | xx | yy
row: −7 | 11 | 1 | −2
row: −2 | 5 | 3 | 4
row: −2 | 1 | 6 | 11
row: 0 | −1
For the following exercises, find the values for each function, if they exist, then simplify.
a. f(0)f(0) b. f(1)f(1) c. f(3)f(3) d. f(−x)f(−x) e. f(a)f(a) f. f(a+h)f(a+h)
f ( x ) = 5 x − 2 f ( x ) = 5 x − 2
f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 1 f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 1
f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x
f ( x ) = | x − 7 | + 8 f ( x ) = | x − 7 | + 8
f ( x ) = 6 x + 5 f ( x ) = 6 x + 5
f ( x ) = x − 2 3 x + 7 f ( x ) = x − 2 3 x + 7
f ( x ) = 9 f ( x ) = 9
For the following exercises, find the domain, range, and all zeros/intercepts, if any, of the functions.
f ( x ) = x x 2 − 16 f ( x ) = x x 2 − 16
g ( x ) = 8 x − 1 g ( x ) = 8 x − 1
h ( x ) = 3 x 2 + 4 h ( x ) = 3 x 2 + 4
f ( x ) = −1 + x + 2 f ( x ) = −1 + x + 2
f ( x ) = 1 x − 9 f ( x ) = 1 x − 9
g ( x ) = 3 x − 4 g ( x ) = 3 x − 4
f ( x ) = 4 | x + 5 | f ( x ) = 4 | x + 5 |
g ( x ) = 7 x − 5 g ( x ) = 7 x − 5
For the following exercises, sketch the graph with the aid of the tables given:
f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | 10 | 1 | 2
row: −2 | 5 | 2 | 5
row: −1 | 2 | 3 | 10
row: 0 | 1
f ( x ) = 3 x − 6 f ( x ) = 3 x − 6
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | −15 | 1 | −3
row: −2 | −12 | 2 | 0
row: −1 | −9 | 3 | 3
row: 0 | −6
f ( x ) = 1 2 x + 1 f ( x ) = 1 2 x + 1
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | −12−12 | 1 | 3232
row: −2 | 0 | 2 | 2
row: −1 | 1212 | 3 | 5252
row: 0 | 1
f ( x ) = 2 | x | f ( x ) = 2 | x |
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | 6 | 1 | 2
row: −2 | 4 | 2 | 4
row: −1 | 2 | 3 | 6
row: 0 | 0
f ( x ) = − x 2 f ( x ) = − x 2
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | −9 | 1 | −1
row: −2 | −4 | 2 | −4
row: −1 | −1 | 3 | −9
row: 0 | 0
f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3
row: xx | yy | xx | yy
row: −3 | −27 | 1 | 1
row: −2 | −8 | 2 | 8
row: −1 | −1 | 3 | 27
row: 0 | 0
For the following exercises, use the vertical line test to determine whether each of the given graphs represents a function. Assume that a graph continues at both ends if it extends beyond the given grid. If the graph represents a function, then determine the following for each graph:
Domain and range
xx-intercept, if any (estimate where necessary)
yy-intercept, if any (estimate where necessary)
The intervals for which the function is increasing
The intervals for which the function is decreasing
The intervals for which the function is constant
Symmetry about any axis and/or the origin
Whether the function is even, odd, or neither
For the following exercises, for each pair of functions, find a. f+gf+g b. f−gf−g c. f·gf·g d. f/g.f/g. Determine the domain of each of these new functions.
f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x − 2
f ( x ) = x − 8 , g ( x ) = 5 x 2 f ( x ) = x − 8 , g ( x ) = 5 x 2
f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1 f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1
f ( x ) = 9 − x 2 , g ( x ) = x 2 − 2 x − 3 f ( x ) = 9 − x 2 , g ( x ) = x 2 − 2 x − 3
f ( x ) = x , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = x , g ( x ) = x − 2
f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x
For the following exercises, for each pair of functions, find a. (f∘g)(x)(f∘g)(x) and b. (g∘f)(x)(g∘f)(x) Simplify the results. Find the domain of each of the results.
f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5 f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5
f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x − 1 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x − 1
f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 − 2 f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 − 2
f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 − 3 f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 − 3
f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9 f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9
f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x
f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x − 4 f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x − 4
The table below lists the NBA championship winners for the years 2001 to 2012.
row: Year | Winner
row: 2001 | LA Lakers
row: 2002 | LA Lakers
row: 2003 | San Antonio Spurs
row: 2004 | Detroit Pistons
row: 2005 | San Antonio Spurs
row: 2006 | Miami Heat
row: 2007 | San Antonio Spurs
row: 2008 | Boston Celtics
row: 2009 | LA Lakers
row: 2010 | LA Lakers
row: 2011 | Dallas Mavericks
row: 2012 | Miami Heat
Consider the relation in which the domain values are the years 2001 to 2012 and the range is the corresponding winner. Is this relation a function? Explain why or why not.
Consider the relation where the domain values are the winners and the range is the corresponding years. Is this relation a function? Explain why or why not.
[T] The area AA of a square depends on the length of the side s.s.
Write a function A(s)A(s) for the area of a square.
Find and interpret A(6.5).A(6.5).
Find the exact and the two-significant-digit approximation to the length of the sides of a square with area 56 square units.
[T] The volume of a cube depends on the length of the sides s.s.
Write a function V(s)V(s) for the volume of a cube.
Find and interpret V(11.8).V(11.8).
[T] A rental car company rents cars for a flat fee of $20 and an hourly charge of $10.25. Therefore, the total cost CC to rent a car is a function of the hours tt the car is rented plus the flat fee.
Write the formula for the function that models this situation.
Find the total cost to rent a car for 2 days and 7 hours.
Determine how long the car was rented if the bill is $430.
[T] A vehicle has a 20-gal tank and gets 15 mpg. The number of miles N that can be driven depends on the amount of gas x in the tank.
Write a formula that models this situation.
Determine the number of miles the vehicle can travel on (i) a full tank of gas and (ii) 3/4 of a tank of gas.
Determine the domain and range of the function.
Determine how many times the driver had to stop for gas if she has driven a total of 578 mi.
[T] The volume V of a sphere depends on the length of its radius as V=(4/3)πr3.V=(4/3)πr3. Because Earth is not a perfect sphere, we can use the mean radius when measuring from the center to its surface. The mean radius is the average distance from the physical center to the surface, based on a large number of samples. Find the volume of Earth with mean radius 6.371×1066.371×106 m.
[T] A certain bacterium grows in culture in a circular region. The radius of the circle, measured in centimeters, is given by r(t)=6−[5/(t2+1)],r(t)=6−[5/(t2+1)], where t is time measured in hours since a circle of a 1-cm radius of the bacterium was put into the culture.
Express the area of the bacteria as a function of time.
Find the exact and approximate area of the bacterial culture in 3 hours.
Express the circumference of the bacteria as a function of time.
Find the exact and approximate circumference of the bacteria in 3 hours.
[T] An American tourist visits Paris and must convert U.S. dollars to Euros, which can be done using the function E(x)=0.79x,E(x)=0.79x, where x is the number of U.S. dollars and E(x)E(x) is the equivalent number of Euros. Since conversion rates fluctuate, when the tourist returns to the United States 2 weeks later, the conversion from Euros to U.S. dollars is D(x)=1.245x,D(x)=1.245x, where x is the number of Euros and D(x)D(x) is the equivalent number of U.S. dollars.
Find the composite function that converts directly from U.S. dollars to U.S. dollars via Euros. Did this tourist lose value in the conversion process?
Use (a) to determine how many U.S. dollars the tourist would get back at the end of her trip if she converted an extra $200 when she arrived in Paris.
[T] The manager at a skateboard shop pays his workers a monthly salary S of $750 plus a commission of $8.50 for each skateboard they sell.
Write a function y=S(x)y=S(x) that models a worker’s monthly salary based on the number of skateboards x he or she sells.
Find the monthly salary when a worker sells 25, 40, or 55 skateboards.
Use the INTERSECT feature on a graphing calculator to determine the number of skateboards that must be sold for a worker to earn a monthly income of $1400. (Hint: Find the intersection of the function and the line y=1400.)y=1400.)
[T] Use a graphing calculator to graph the half-circle y=25−(x−4)2.y=25−(x−4)2. Then, use the INTERCEPT feature to find the value of both the xx- and yy-intercepts.