ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.4.1 ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1.4.2 ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.4.3 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1.4.4 ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1.4.5 ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸਨੂੰ ਅਨਡੂ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ $y=f(x)$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਮੁੱਲ $x$ ਨੂੰ $f$ ਦੁਆਰਾ $y$ 'ਤੇ ਮੈਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^3+4$ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਆਉਟਪੁੱਟ $y=x^3+4$ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $x$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪਤਾ ਲੱਗੇ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ $x=\sqrt[3]{y-4}$ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ $x$ ਨੂੰ $y$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ $f^{-1}$ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ $x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-4}$ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ $x$ ਲਈ, $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x^3+4)=x$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਹ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ, $f^{-1}$, ਨੇ ਉਹ ਕੰਮ "ਅਨਡੂ" ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜੋ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਨੇ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਗੁਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਡੋਮੇਨ $D$ ਅਤੇ ਰੇਂਜ $R$ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ) $f^{-1}$ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $R$ ਅਤੇ ਰੇਂਜ $D$ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $f^{-1}(y)=x$ ਜੇਕਰ $f(x)=y$ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ $f^{-1}$ ਲਈ,
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $f^{-1}$ ਨੂੰ "f ਇਨਵਰਸ" ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, $-1$ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $f^{-1}(x) \neq 1/f(x)$ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.37 $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਅਤੇ $f^{-1}$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.37: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ $f^{-1}$ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, $f^{-1}(y)=x$ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ $f(x)=y$ ਹੈ। $f$ ਦੀ ਰੇਂਜ $f^{-1}$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ $f$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ $f^{-1}$ ਦੀ ਰੇਂਜ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ 'ਤੇ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਆਓ $f(x)=x^2$ ਲਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ। ਸਮੀਕਰਨ $y=x^2$ ਨੂੰ $x$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ $x=\pm\sqrt{y}$ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ $x$ ਨੂੰ $y$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ $y>0$ ਲਈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਹੱਲ ਹਨ। $f(x)=x^2$ ਲਈ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਹਰ $y>0$ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ ਦੋ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕੋ ਆਉਟਪੁੱਟ 'ਤੇ ਭੇਜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^3+4$ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਹਰ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ 'ਤੇ ਭੇਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਹਰ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ 'ਤੇ ਭੇਜਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f$ ਇੱਕ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ $x_1 \neq x_2$ ਹੋਣ 'ਤੇ $f(x_1) \neq f(x_2)$ ਹੈ।
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕੋ ਆਉਟਪੁੱਟ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਭੇਜੇ ਜਾ ਸਕਦੇ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $xy$-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਤੇ ਵੀ ਇੱਕ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਕੱਟ ਸਕਦੀ। ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.38)।
ਨਿਯਮ: ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਹਰ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ $f$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.38: (a) ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^2$ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (b) ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^3$ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.28
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੀਜੱਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ y=ny=n (ਜਿੱਥੇ n ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ≥0 ਹੈ) ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ (ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ) ਕੱਟਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.23
ਕੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ?
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ f ਦੇ ਰੇਂਜ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨੂੰ f ਦੇ ਰੇਂਜ ਤੋਂ ਵਾਪਸ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤੱਤ ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, f ਦੇ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ y ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜਾ x, f(x)=y ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੀ ਮੁੱਲ x ਹੈ। ਅਸੀਂ x=f(x)=y ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਉਹ ਮੁੱਲ x ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ x ਨੂੰ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ f ਦਾ ਰੇਂਜ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਂਜ f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ x=f−1(y) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ x ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ y ਨੂੰ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ x ਅਤੇ y ਦੀਆਂ ਭੂਮਿਕਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ y=f−1(x) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ f−1 ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਐਕਸਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਾ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ y=f(x) ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਵੇਰੀਏਬਲ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ y=f−1(x) ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.29
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=3x−4 ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ। ਤਸਦੀਕ ਕਰੋ ਕਿ f−1(f(x))=x।
ਹੱਲ
ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਜੇਕਰ y=3x−4 ਹੈ, ਤਾਂ 3x=y+4 ਅਤੇ x=13y+43।
ਕਦਮ 2. y=13x+43 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਅਤੇ y=f−1(x) ਮੰਨੋ।
ਇਸ ਲਈ, f−1(x)=13x+43।
ਕਿਉਂਕਿ f ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ, f−1 ਦਾ ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f ਦਾ ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੈ, f−1 ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਲਿਖ ਕੇ ਤਸਦੀਕ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ f−1(f(x))=x
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f−1(x) ਦੇ f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਅੰਦਰਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f−1(f(x))=x ਅਤੇ f(f−1(x))=x ਦੋਵੇਂ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.24
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=3x/(x−2) ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭੋ। ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੱਸੋ।
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
Let’s consider the relationship between the graph of a function ff and the graph of its inverse. Consider the graph of ff shown in Figure 1.39 and a point (a,b)(a,b) on the graph. Since b=f(a),b=f(a), then f−1(b)=a.f−1(b)=a. Therefore, when we graph f−1,f−1, the point (b,a)(b,a) is on the graph. As a result, the graph of f−1f−1 is a reflection of the graph of ff about the line y=x.y=x.
Figure 1.39: (a) The graph of this function ff shows point (a,b)(a,b) on the graph of f.f. (b) Since (a,b)(a,b) is on the graph of f,f, the point (b,a)(b,a) is on the graph of f−1.f−1. The graph of f−1f−1 is a reflection of the graph of ff about the line y=x.y=x.
Example 1.30
Sketching Graphs of Inverse Functions
For the graph of ff in the following image, sketch a graph of f−1f−1 by sketching the line y=xy=x and using symmetry. Identify the domain and range of f−1.f−1.
Solution
Reflect the graph about the line y=x.y=x. The domain of f−1f−1 is [0,∞).[0,∞). The range of f−1f−1 is [−2,∞).[−2,∞). By using the preceding strategy for finding inverse functions, we can verify that the inverse function is f−1(x)=x2−2,f−1(x)=x2−2, as shown in the graph.
Checkpoint 1.25
Sketch the graph of f(x)=2x+3f(x)=2x+3 and the graph of its inverse using the symmetry property of inverse functions.
Restricting Domains
As we have seen, f(x)=x2f(x)=x2 does not have an inverse function because it is not one-to-one. However, we can choose a subset of the domain of ff such that the function is one-to-one. This subset is called a restricted domain. By restricting the domain of f,f, we can define a new function gg such that the domain of gg is the restricted domain of ff and g(x)=f(x)g(x)=f(x) for all xx in the domain of g.g. Then we can define an inverse function for gg on that domain. For example, since f(x)=x2f(x)=x2 is one-to-one on the interval [0,∞),[0,∞), we can define a new function gg such that the domain of gg is [0,∞)[0,∞) and g(x)=x2g(x)=x2 for all xx in its domain. Since gg is a one-to-one function, it has an inverse function, given by the formula g−1(x)=x.g−1(x)=x. On the other hand, the function f(x)=x2f(x)=x2 is also one-to-one on the domain (−∞,0].(−∞,0]. Therefore, we could also define a new function hh such that the domain of hh is (−∞,0](−∞,0] and h(x)=x2h(x)=x2 for all xx in the domain of h.h. Then hh is a one-to-one function and must also have an inverse. Its inverse is given by the formula h−1(x)=−xh−1(x)=−x (Figure 1.40).
Figure 1.40: (a) For g(x)=x2g(x)=x2 restricted to [0,∞),g−1(x)=x.[0,∞),g−1(x)=x. (b) For h(x)=x2h(x)=x2 restricted to (−∞,0],h−1(x)=−x.(−∞,0],h−1(x)=−x.
Example 1.31
Restricting the Domain
Consider the function f(x)=(x+1)2.f(x)=(x+1)2.
Sketch the graph of ff and use the horizontal line test to show that ff is not one-to-one.
Show that ff is one-to-one on the restricted domain [−1,∞).[−1,∞). Determine the domain and range for the inverse of ff on this restricted domain and find a formula for f−1.f−1.
Solution
The graph of ff is the graph of y=x2y=x2 shifted left 1 unit. Since there exists a horizontal line intersecting the graph more than once, ff is not one-to-one.
On the interval [−1,∞),f[−1,∞),f is one-to-one. The domain and range of f−1f−1 are given by the range and domain of f,f, respectively. Therefore, the domain of f−1f−1 is [0,∞)[0,∞) and the range of f−1f−1 is [−1,∞).[−1,∞). To find a formula for f−1,f−1, solve the equation y=(x+1)2y=(x+1)2 for x.x. If y=(x+1)2,y=(x+1)2, then x=−1±y.x=−1±y. Since we are restricting the domain to the interval where x≥−1,x≥−1, we need ±y≥0.±y≥0. Therefore, x=−1+y.x=−1+y. Interchanging xx and y,y, we write y=−1+xy=−1+x and conclude that f−1(x)=−1+x.f−1(x)=−1+x.
Checkpoint 1.26
Consider f(x)=1/x2f(x)=1/x2 restricted to the domain (−∞,0).(−∞,0). Verify that ff is one-to-one on this domain. Determine the domain and range of the inverse of ff and find a formula for f−1.f−1.
Inverse Trigonometric Functions
The six basic trigonometric functions are periodic, and therefore they are not one-to-one. However, if we restrict the domain of a trigonometric function to an interval where it is one-to-one, we can define its inverse. Consider the sine function (Figure 1.34). The sine function is one-to-one on an infinite number of intervals, but the standard convention is to restrict the domain to the interval [−π2,π2].[−π2,π2]. By doing so, we define the inverse sine function on the domain [−1,1][−1,1] such that for any xx in the interval [−1,1],[−1,1], the inverse sine function tells us which angle θθ in the interval [−π2,π2][−π2,π2] satisfies sinθ=x.sinθ=x. Similarly, we can restrict the domains of the other trigonometric functions to define inverse trigonometric functions, which are functions that tell us which angle in a certain interval has a specified trigonometric value.
Definition
The inverse sine function, denoted sin−1sin−1 or arcsin, and the inverse cosine function, denoted cos−1cos−1 or arccos, are defined on the domain D={x|−1≤x≤1}D={x|−1≤x≤1} as follows:
The inverse tangent function, denoted tan−1tan−1 or arctan, and inverse cotangent function, denoted cot−1cot−1 or arccot, are defined on the domain D={x|−∞<x<∞}D={x|−∞<x<∞} as follows:
The inverse cosecant function, denoted csc−1csc−1 or arccsc, and inverse secant function, denoted sec−1sec−1 or arcsec, are defined on the domain D={x||x|≥1}D={x||x|≥1} as follows:
To graph the inverse trigonometric functions, we use the graphs of the trigonometric functions restricted to the domains defined earlier and reflect the graphs about the line y=xy=x (Figure 1.41).
Figure 1.41: The graph of each of the inverse trigonometric functions is a reflection about the line y=xy=x of the corresponding restricted trigonometric function.
Media
Go to the following site for more comparisons of functions and their inverses.
When evaluating an inverse trigonometric function, the output is an angle. For example, to evaluate cos−1(12),cos−1(12), we need to find an angle θθ such that cosθ=12.cosθ=12. Clearly, many angles have this property. However, given the definition of cos−1,cos−1, we need the angle θθ that not only solves this equation, but also lies in the interval [0,π].[0,π]. We conclude that cos−1(12)=π3.cos−1(12)=π3.
We now consider a composition of a trigonometric function and its inverse. For example, consider the two expressions sin(sin−1(22))sin(sin−1(22)) and sin−1(sin(π)).sin−1(sin(π)). For the first one, we simplify as follows:
For the second one, we have
The inverse function is supposed to “undo” the original function, so why isn’t sin−1(sin(π))=π?sin−1(sin(π))=π? Recalling our definition of inverse functions, a function ff and its inverse f−1f−1 satisfy the conditions f(f−1(y))=yf(f−1(y))=y for all yy in the domain of f−1f−1 and f−1(f(x))=xf−1(f(x))=x for all xx in the domain of f,f, so what happened here? The issue is that the inverse sine function, sin−1,sin−1, is the inverse of the restricted sine function defined on the domain [−π2,π2].[−π2,π2]. Therefore, for xx in the interval [−π2,π2],[−π2,π2], it is true that sin−1(sinx)=x.sin−1(sinx)=x. However, for values of xx outside this interval, the equation does not hold, even though sin−1(sinx)sin−1(sinx) is defined for all real numbers x.x.
What about sin(sin−1y)?sin(sin−1y)? Does that have a similar issue? The answer is no. Since the domain of sin−1sin−1 is the interval [−1,1],[−1,1], we conclude that sin(sin−1y)=ysin(sin−1y)=y if −1≤y≤1−1≤y≤1 and the expression is not defined for other values of y.y. To summarize,
and
Similarly, for the cosine function,
and
Similar properties hold for the other trigonometric functions and their inverses.
Example 1.32
Evaluating Expressions Involving Inverse Trigonometric Functions
Evaluate each of the following expressions.
sin−1(−32)sin−1(−32)
tan(tan−1(−13))tan(tan−1(−13))
cos−1(cos(5π4))cos−1(cos(5π4))
sin−1(cos(2π3))sin−1(cos(2π3))
Solution
Evaluating sin−1(−3/2)sin−1(−3/2) is equivalent to finding the angle θθ such that sinθ=−3/2sinθ=−3/2 and −π/2≤θ≤π/2.−π/2≤θ≤π/2. The angle θ=−π/3θ=−π/3 satisfies these two conditions. Therefore, sin−1(−3/2)=−π/3.sin−1(−3/2)=−π/3.
First we use the fact that tan−1(−1/3)=−π/6.tan−1(−1/3)=−π/6. Then tan(-π/6)=−1/3.tan(-π/6)=−1/3. Therefore, tan(tan−1(−1/3))=−1/3.tan(tan−1(−1/3))=−1/3.
To evaluate cos−1(cos(5π/4)),cos−1(cos(5π/4)), first use the fact that cos(5π/4)=−2/2.cos(5π/4)=−2/2. Then we need to find the angle θθ such that cos(θ)=−2/2cos(θ)=−2/2 and 0≤θ≤π.0≤θ≤π. Since 3π/43π/4 satisfies both these conditions, we have cos-1(cos(5π/4))=cos−1(−2/2)=3π/4.cos-1(cos(5π/4))=cos−1(−2/2)=3π/4.
Since cos(2π/3)=−1/2,cos(2π/3)=−1/2, we need to evaluate sin−1(−1/2).sin−1(−1/2). That is, we need to find the angle θθ such that sin(θ)=−1/2sin(θ)=−1/2 and −π/2≤θ≤π/2.−π/2≤θ≤π/2. Since −π/6−π/6 satisfies both these conditions, we can conclude that sin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.sin−1(cos(2π/3))=sin−1(−1/2)=−π/6.
Student Project
The Maximum Value of a Function
In many areas of science, engineering, and mathematics, it is useful to know the maximum value a function can obtain, even if we don’t know its exact value at a given instant. For instance, if we have a function describing the strength of a roof beam, we would want to know the maximum weight the beam can support without breaking. If we have a function that describes the speed of a train, we would want to know its maximum speed before it jumps off the rails. Safe design often depends on knowing maximum values.
This project describes a simple example of a function with a maximum value that depends on two equation coefficients. We will see that maximum values can depend on several factors other than the independent variable x.
Consider the graph in Figure 1.42 of the function y=sinx+cosx.y=sinx+cosx. Describe its overall shape. Is it periodic? How do you know? Figure 1.42 The graph of y=sinx+cosx.y=sinx+cosx. Using a graphing calculator or other graphing device, estimate the xx- and yy-values of the maximum point for the graph (the first such point where x > 0). It may be helpful to express the xx-value as a multiple of π.
Now consider other graphs of the form y=Asinx+Bcosxy=Asinx+Bcosx for various values of A and B. Sketch the graph when A = 2 and B = 1, and find the xx- and y-values for the maximum point. (Remember to express the x-value as a multiple of π, if possible.) Has it moved?
Repeat for A = 1, B = 2. Is there any relationship to what you found in part (2)?
Complete the following table, adding a few choices of your own for A and B: A B x y A B x y 0 1 33 1 1 0 1 33 1 1 12 5 1 2 5 12 2 1 2 2 3 4 4 3
Try to figure out the formula for the y-values.
The formula for the xx-values is a little harder. The most helpful points from the table are (1,1),(1,3),(3,1).(1,1),(1,3),(3,1). (Hint: Consider inverse trigonometric functions.)
If you found formulas for parts (5) and (6), show that they work together. That is, substitute the xx-value formula you found into y=Asinx+Bcosxy=Asinx+Bcosx and simplify it to arrive at the yy-value formula you found.
For the following exercises, use the horizontal line test to determine whether each of the given graphs is one-to-one.
For the following exercises, a. find the inverse function, and b. find the domain and range of the inverse function.
f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0 f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0
f ( x ) = x − 4 3 f ( x ) = x − 4 3
f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = x 3 + 1
f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , x ≤ 1 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 , x ≤ 1
f ( x ) = x − 1 f ( x ) = x − 1
f ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = 1 x + 2
For the following exercises, use the graph of ff to sketch the graph of its inverse function.
For the following exercises, use composition to determine which pairs of functions are inverses.
f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8 f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8
f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8 f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8
f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7 f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7
f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3 f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3
f ( x ) = 1 x − 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0 f ( x ) = 1 x − 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0
f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x − 1 ) 1 / 3 f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x − 1 ) 1 / 3
f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0
f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2
For the following exercises, evaluate the functions. Give the exact value.
tan −1 ( 3 3 ) tan −1 ( 3 3 )
cos −1 ( − 2 2 ) cos −1 ( − 2 2 )
cot −1 ( 1 ) cot −1 ( 1 )
sin −1 ( −1 ) sin −1 ( −1 )
cos −1 ( 3 2 ) cos −1 ( 3 2 )
cos ( tan −1 ( 3 ) ) cos ( tan −1 ( 3 ) )
sin ( cos −1 ( 2 2 ) ) sin ( cos −1 ( 2 2 ) )
sin −1 ( sin ( π 3 ) ) sin −1 ( sin ( π 3 ) )
tan −1 ( tan ( − π 6 ) ) tan −1 ( tan ( − π 6 ) )
The function C=T(F)=(5/9)(F−32)C=T(F)=(5/9)(F−32) converts degrees Fahrenheit to degrees Celsius.
Find the inverse function F=T−1(C)F=T−1(C)
What is the inverse function used for?
[T] The velocity V (in centimeters per second) of blood in an artery at a distance x cm from the center of the artery can be modeled by the function V=f(x)=500(0.04−x2)V=f(x)=500(0.04−x2) for 0≤x≤0.2.0≤x≤0.2.
Find x=f−1(V).x=f−1(V).
Interpret what the inverse function is used for.
Find the distance from the center of an artery with a velocity of 15 cm/sec, 10 cm/sec, and 5 cm/sec.
A function that converts dress sizes in the United States to those in Europe is given by D(x)=2x+24.D(x)=2x+24.
Find the European dress sizes that correspond to sizes 6, 8, 10, and 12 in the United States.
Find the function that converts European dress sizes to U.S. dress sizes.
Use part b. to find the dress sizes in the United States that correspond to 46, 52, 62, and 70.
[T] The cost to remove a toxin from a lake is modeled by the function
C(p)=75p/(85−p),C(p)=75p/(85−p), where CC is the cost (in thousands of dollars) and pp is the amount of toxin in a small lake (measured in parts per billion [ppb]). This model is valid only when the amount of toxin is less than 85 ppb.
Find the cost to remove 25 ppb, 40 ppb, and 50 ppb of the toxin from the lake.
Find the inverse function. c. Use part b. to determine how much of the toxin is removed for $50,000.
[T] A race car is accelerating at a velocity given by
v(t)=254t+54,v(t)=254t+54, where v is the velocity (in feet per second) at time t.
Find the velocity of the car at 10 sec.
Find the inverse function.
Use part b. to determine how long it takes for the car to reach a speed of 150 ft/sec.
[T] An airplane’s Mach number M is the ratio of its speed to the speed of sound. When a plane is flying at a constant altitude, then its Mach angle is given by μ=2sin−1(1M).μ=2sin−1(1M).
Find the Mach angle (to the nearest degree) for the following Mach numbers.
M=1.4M=1.4
M=2.8M=2.8
M=4.3M=4.3
[T] Using μ=2sin−1(1M),μ=2sin−1(1M), find the Mach number M for the following angles.
μ=π6μ=π6
μ=2π7μ=2π7
μ=3π8μ=3π8
[T] The average temperature (in degrees Celsius) of a city in the northern United States can be modeled by the function
T(x)=5+18sin[π6(x−4.6)],T(x)=5+18sin[π6(x−4.6)], where xx is time in months and x=1.00x=1.00 corresponds to January 1. Determine the day(s) (month and day) when the average temperature is 21°C.21°C. Use the integer portion of your answer(s) as the month and calculate the day of the month from the decimal portion.
[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. It is modeled by the function
D(t)=5sin(π6t−7π6)+8,D(t)=5sin(π6t−7π6)+8, where tt is the number of hours after midnight. Determine the first time after midnight when the depth is 11.75 ft.
[T] An object moving in simple harmonic motion is modeled by the function
s(t)=−6cos(πt2),s(t)=−6cos(πt2), where ss is measured in inches and tt is measured in seconds. Determine the first time when the distance moved is 4.5 in.
[T] A local art gallery has a portrait 3 ft in height that is hung 2.5 ft above the eye level of an average person. The viewing angle θθ can be modeled by the function
θ=tan−15.5x−tan−12.5x,θ=tan−15.5x−tan−12.5x, where xx is the distance (in feet) from the portrait. Find the viewing angle when a person is 4 ft from the portrait.
[T] Use a calculator to evaluate tan−1(tan(2.1))tan−1(tan(2.1)) and cos−1(cos(2.1)).cos−1(cos(2.1)). Explain the results of each.
[T] Use a calculator to evaluate sin(sin−1(−2))sin(sin−1(−2)) and tan(tan−1(−2)).tan(tan−1(−2)). Explain the results of each.