ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.5.1 ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਪਛਾਣੋ।
1.5.2 $x^b$ ਅਤੇ $b^x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ।
1.5.3 ਅੰਕ $e$ ਦੇ ਮਹੱਤਵ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
1.5.4 ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਪਛਾਣੋ।
1.5.5 ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ।
1.5.6 ਵੱਖਰੇ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
1.5.7 ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਅਤੇ ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕੀ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਕ $e$ ਦੇ ਅਰਥ ਅਤੇ ਮਹੱਤਤਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਅਤੇ ਉਲਟ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਬਦਲਵੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਦੋਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।)
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਈ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਨ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਵਾਧਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਆਬਾਦੀ $P_0$ ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 2% ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ 1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ
2 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, $t$ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, $f(x)=b^x$ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿੱਥੇ $b>0, b\neq 1$, ਆਧਾਰ $b$ ਅਤੇ ਘਾਤ $x$ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਿਰ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ $b$ ਲਈ $f(x)=x^b$ ਰੂਪ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਬਲਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਘਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ $y=x^2$ ਅਤੇ $y=2^x$ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਰਣੀ 1.10 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $2^x$ ਅਤੇ $x^2$ ਦੋਵੇਂ $x\to\infty$ ਵਾਂਗ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅੰਤ ਵਿੱਚ, $2^x$, $x^2$ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $x\to\infty$ ਵਾਂਗ ਵਧੇਰੇ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ $x\to-\infty$, $x^2\to\infty$, ਜਦੋਂ ਕਿ $2^x\to 0$। ਰੇਖਾ $y=0$ $y=2^x$ ਲਈ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੈ।
ਸਤਰ: $x$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
ਸਤਰ: $x^2$ | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36
ਸਤਰ: $2^x$ | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64
ਚਿੱਤਰ 1.43 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ $y=x^2$ ਅਤੇ $y=2^x$ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1.43: $2^x$ ਅਤੇ $x^2$ ਦੋਵੇਂ $x\to\infty$ ਵਾਂਗ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਪਰ $2^x$, $x^2$ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ $x\to-\infty$, $x^2\to\infty$, ਜਦੋਂ ਕਿ $2^x\to 0$।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ: ਜੇਕਰ $x$ ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $b^x = b \cdot b \cdots b$ ($b$ ਦੇ $x$ ਗੁਣਕ) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ $x$ ਇੱਕ ਰਿਣ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ $x=-y$ ਕਿਸੇ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $y$ ਲਈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ $b^x = b^{-y} = 1/b^y$ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਨਾਲ ਹੀ, $b^0$ ਨੂੰ 1 ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ $x$ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ $x=p/q$, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ $b^x = b^{p/q} = \sqrt[q]{b^p}$। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ $x$ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਤਾਂ $b^x$ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2^{\sqrt{2}}$ ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ? ਇਹ ਸਾਡੇ ਲਈ ਹੁਣੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਰਣੀ 1.11 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁਝ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ $x$ ਲਈ $2^x$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦਾਅਵਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x$ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ $2^x$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ $L$ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਸ ਸੰਖਿਆ $L$ ਨੂੰ $2^{\sqrt{2}}$ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਤਰ: $x$ | 1.4 | 1.41 | 1.414 | 1.4142 | 1.41421 | 1.414213
1. ਕਤਾਰ: 2x2x | 2.6392.639 | 2.657372.65737 | 2.664752.66475 | 2.6651192.665119 | 2.6651382.665138 | 2.6651432.665143
2. ਉਦਾਹਰਨ 1.33
3. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦਾ ਵਾਧਾ
4. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਆਬਾਦੀ ਹਰ 44 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਕਲਚਰ 1000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 44 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(4)=1000·2 ਹੈ। 88 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(8)=n(4)·2=1000·22 ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, 4m ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(4m)=1000·2m ਹੈ। t=4m ਮੰਨ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ tt ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(t)=1000·2t/4 ਹੈ। 66 ਘੰਟਿਆਂ, 10 ਘੰਟਿਆਂ ਅਤੇ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਹੱਲ
6. 6 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(6)=1000·26/4≈2828 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। 10 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(10)=1000·210/4≈5657 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n(24)=1000·26=64,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
7. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.27
8. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=100·3x/2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, f(4) ਅਤੇ f(10) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਮੀਡੀਆ
10. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਆਬਾਦੀ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਜਾਓ।
11. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
12. ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸ b>0, b≠1 ਲਈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=bx ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ x ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ bx>0। ਇਸ ਲਈ, f(x)=bx ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ। bx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ b>1 ਲਈ, bx, (−∞,∞) 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ x→∞ ਹੋਣ 'ਤੇ bx→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ x→−∞ ਹੋਣ 'ਤੇ bx→0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ 0<b<1, f(x)=bx, (−∞,∞) 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ x→∞ ਹੋਣ 'ਤੇ bx→0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ x→−∞ ਹੋਣ 'ਤੇ bx→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.44)।
13. ਚਿੱਤਰ 1.44: ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ bx, (−∞,∞) 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ bx, (−∞,∞) 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
14. ਮੀਡੀਆ
15. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਹੋਰ ਖੋਜ ਲਈ ਇਸ ਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
16. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਆਮ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਯਮਾਂ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
17. ਨਿਯਮ: ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ
18. ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ a>0, b>0, ਅਤੇ ਸਾਰੇ x ਅਤੇ y ਲਈ,
19. bx·by=bx+y
20. bx/by=bx−y
21. (bx)y=bxy
22. (ab)x=axbx
23. ax/bx=(a/b)x
24. ਉਦਾਹਰਨ 1.34
ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
(2x²/³)³(4x⁻¹/³) ²
(x³y⁻¹) ²(xy²)⁻²
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: (2x²/³)³(4x⁻¹/³)² = 2³(x²/³)³4²(x⁻¹/³)² = 8x²16x⁻²/³ = x²x²/³2 = x⁸/³2।
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: (x³y⁻¹)²(xy²)⁻² = (x³)²(y⁻¹)²x⁻²(y²)⁻² = x⁶y⁻²x⁻²y⁻⁴ = x⁶x²y⁻²y⁴ = x⁸y²।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.28
ਘਾਤਾਂਕ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ (6x⁻³y²)/(12x⁻⁴y⁵) ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਅੰਕ 'ਈ'
ਘਾਤਾਂਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਘਾਤਾਂਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਵਿਆਜ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r ਵਾਲੇ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ PP ਡਾਲਰ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਲਾਨਾ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ
22 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਰਕਮ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਪੈਸੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 2 ਵਾਰ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੱਧੇ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ
11 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ
tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਹੈ
ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਪੈਸੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ nn ਵਾਰ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਦੋਂ n→∞?n→∞? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ m=n/rm=n/r ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ (1+1/m)m(1+1/m)m ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ m→∞,m→∞, ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ (ਸਾਰਣੀ 1.12) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
ਸਤਰ: mm | 1010 | 100100 | 10001000 | 10,00010,000 | 100,000100,000 | 1,000,0001,000,000
ਸਤਰ: (1+1m)m(1+1m)m | 2.59372.5937 | 2.70482.7048 | 2.716922.71692 | 2.718152.71815 | 2.7182682.718268 | 2.7182802.718280
ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ (1+1/m)m(1+1/m)m ਜਿਵੇਂ m→∞.m→∞, 2.72.7 ਅਤੇ 2.82.8 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, (1+1/m)m(1+1/m)m ਜਿਵੇਂ m→∞.m→∞, ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ee ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ,
ਸੰਖਿਆ ee ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ ਦੁਆਰਾ 1720 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੌਰਾਨ ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਯੂਲਰ ਨੇ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਖੋਜ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਉਸਨੇ ee ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਏ। ਅਸੀਂ ਅੱਜ ਵੀ ਯੂਲਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸਨਮਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ee ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਣਿਤ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕਈ ਵਿਹਾਰਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਡੇ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r,r, ਜੋ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਾਲੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ PP ਡਾਲਰ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ A(t)=Pert.A(t)=Pert. ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਬੇਸ ee ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=exf(x)=ex ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤਾਂਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਸਿਰਫ ਸੰਖਿਆ e,e ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਾਰਨ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ, ਬਲਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅੱਗੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ e>1, e^x ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ (−∞,∞) ਉੱਤੇ। ਚਿੱਤਰ 1.45 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ f(x)=e^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x=0 ਉੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ; ਪਰ, ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ x=a ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ f ਦੇ ਸਮਾਨ "ਢਲਾਨ" ਰੱਖਦੀ ਹੈ। f(x)=e^x ਹੀ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ b^x ਹੈ ਜਿਸਦੀ x=0 ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ 1 ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਗੁਣ ਦਾ ਹੋਣਾ ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.45: f(x)=e^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x=0 ਉੱਤੇ ਢਲਾਨ 1 ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.35
ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਵਿਆਜ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $500$ ਰੁਪਏ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r=5.5% ਨਾਲ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ t ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ A(t) ਸਮੇਂ t ਉੱਤੇ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। A(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
10 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਅਤੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ PP ਡਾਲਰ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ r ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ A(t)=Pe^{rt}। ਇੱਥੇ P=$500$ ਅਤੇ r=0.055 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, A(t)=500e^{0.055t}।
10 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ A(10)=500e^{0.055·10}=500e^{0.55}≈$866.63 ਹੈ। 20 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ A(20)=500e^{0.055·20}=500e^{1.1}≈$1,502.08 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.29
ਜੇਕਰ $750$ ਰੁਪਏ 4% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਚੱਕਰਵਰਤੀ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ t ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ। 30 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਪੈਸਿਆਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਲੱਭੋ।
ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਾਡੀ ਸਮਝ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਜੋ ਕਿ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਕੰਮ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਰਤਾਰੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ pH ਜਾਂ ਧੁਨੀ ਪੱਧਰਾਂ ਵਿੱਚ ਡੈਸੀਬਲ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=b^x ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਬੇਸ b ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ b>0, b≠1 ਲਈ, ਬੇਸ b ਦਾ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਿਸਨੂੰ log_b ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਡੋਮੇਨ (0,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ y=log_b(x) ਅਤੇ y=b^x ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ,
ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ log_e ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੁਦਰਤੀ e ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਬੇਸ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ log_e(x) ਦਾ ਮਤਲਬ ln(x) ਜਾਂ ln x ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=e^x ਅਤੇ g(x)=ln(x) ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ,
ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 1.46)।
ਚਿੱਤਰ 1.46: ਫੰਕਸ਼ਨ y=e^x ਅਤੇ y=ln(x) ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹਨ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਸ ਸਾਈਟ 'ਤੇ ਤੁਸੀਂ ਬੇਸ-10 ਲਘੂਗਣਕ ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸ b>0, b≠1 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=log_b(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=b^x ਦੇ ਨਾਲ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਮਿਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ b>1 ਦੇ ਕਈ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ log_b ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 1.47)।
Figure 1.47: Graphs of y=logb(x)y=logb(x) are depicted for b=2,e,10.b=2,e,10.
Before solving some equations involving exponential and logarithmic functions, let’s review the basic properties of logarithms.
Rule: Properties of Logarithms
If a,b,c>0,b≠1,a,b,c>0,b≠1, and rr is any real number, then
Example 1.36
Solving Equations Involving Exponential Functions
Solve each of the following equations for x.x.
5x=25x=2
ex+6e−x=5ex+6e−x=5
Solution
Applying the natural logarithm function to both sides of the equation, we have ln5x=ln2.ln5x=ln2. Using the power property of logarithms, xln5=ln2.xln5=ln2. Therefore, x=ln2/ln5.x=ln2/ln5.
Multiplying both sides of the equation by ex,ex, we arrive at the equation e2x+6=5ex.e2x+6=5ex. Rewriting this equation as e2x−5ex+6=0,e2x−5ex+6=0, we can then rewrite it as a quadratic equation in ex:ex: (ex)2−5(ex)+6=0.(ex)2−5(ex)+6=0. Now we can solve the quadratic equation. Factoring this equation, we obtain (ex−3)(ex−2)=0.(ex−3)(ex−2)=0. Therefore, the solutions satisfy ex=3ex=3 and ex=2.ex=2. Taking the natural logarithm of both sides gives us the solutions x=ln3,ln2.x=ln3,ln2.
Checkpoint 1.30
Solve e2x/(3+e2x)=1/2.e2x/(3+e2x)=1/2.
Example 1.37
Solving Equations Involving Logarithmic Functions
Solve each of the following equations for x.x.
ln(1x)=4ln(1x)=4
log10x+log10x=2log10x+log10x=2
ln(2x)−3ln(x2)=0ln(2x)−3ln(x2)=0
Solution
By the definition of the natural logarithm function, ln(1x)=4if and only ife4=1x.ln(1x)=4if and only ife4=1x. Therefore, the solution is x=1/e4.x=1/e4.
Using the product and power properties of logarithmic functions, rewrite the left-hand side of the equation as log10x+log10x=log10xx=log10x3/2=32log10x.log10x+log10x=log10xx=log10x3/2=32log10x. Therefore, the equation can be rewritten as 32log10x=2orlog10x=43.32log10x=2orlog10x=43. The solution is x=104/3=10103.x=104/3=10103.
Using the power property of logarithmic functions, we can rewrite the equation as ln(2x)−ln(x6)=0.ln(2x)−ln(x6)=0. Using the quotient property, this becomes ln(2x5)=0.ln(2x5)=0. Therefore, 2/x5=1,2/x5=1, which implies x=25.x=25. We should then check for any extraneous solutions.
1. ਚੌਕੀ 1.31
2. ln(x3)−4ln(x)=1 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
3. ਜਦੋਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ log10 ਜਾਂ log, ਜਿਸਨੂੰ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ln, ਜੋ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਹੈ, ਦੇ ਵਿਕਲਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੋੜੀਂਦੇ ਅਧਾਰ b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
4. ਨਿਯਮ: ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ
5. ਮੰਨ ਲਓ a>0,b>0,a≠1,b≠1।
6. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ ax=bxlogba। ਜੇਕਰ b=e, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ax=exlogea=exlna ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
7. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x>0 ਲਈ logax=logbxlogba। ਜੇਕਰ b=e, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ logax=lnxlna ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. ਸਿੱਧ
9. ਪਹਿਲੇ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਘਾਤ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਧਾਰ b>0,b≠1 ਲਈ, logb(ax)=xlogba। ਇਸ ਲਈ,
10. ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ bx ਅਤੇ logb(x) ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ,
11. ਇਨ੍ਹਾਂ ਆਖਰੀ ਦੋ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ax=bxlogba।
12. ਦੂਜੇ ਗੁਣ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
13. ਮੰਨ ਲਓ u=logba,v=logax, ਅਤੇ w=logbx। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ u·v=w। ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ bu=a, av=x, ਅਤੇ bw=x। ਪਿਛਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
14. ਇਸ ਲਈ, buv=bw। ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ u·v=w।
15. □
16. ਉਦਾਹਰਨ 1.38
17. ਅਧਾਰ ਬਦਲਣਾ
18. ਪਹਿਲਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ log37 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਨਾਤਮਕ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ਹੱਲ
20. a=3 ਅਤੇ b=3 ਦੇ ਨਾਲ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
21. log 3 7 = ln 7 ln 3 ≈ 1.77124 ।
22. ਚੌਕੀ 1.32
23. log46 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗਣਨਾਤਮਕ ਉਪਯੋਗਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. ਉਦਾਹਰਨ 1.39
1. ਭੂਚਾਲਾਂ ਲਈ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨਾ
2. ਚਿੱਤਰ 1.48: (ਸਿਹਰਾ: ਰੌਬ ਹੈਨਾਵਾਕਰ, NPS ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
3. 1935 ਵਿੱਚ, ਚਾਰਲਸ ਰਿਕਟਰ ਨੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪੈਮਾਨਾ (ਹੁਣ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨਾ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਪੈਮਾਨਾ ਇੱਕ ਬੇਸ-10 ਲਘੂਗਣਕੀ ਪੈਮਾਨਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਿਆਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੀਬਰਤਾ R1 ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਅਤੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੀਬਰਤਾ R2 ਵਾਲੇ ਦੂਜੇ ਭੂਚਾਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ R1>R2, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਤੀਬਰਤਾ R1 ਵਾਲਾ ਭੂਚਾਲ ਵਧੇਰੇ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਦੂਜੇ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲੋਂ ਕਿੰਨਾ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੈ? ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਭੂਚਾਲ ਦੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਸੀਸਮੋਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਹਿਲੇ ਭੂਚਾਲ ਲਈ ਮਾਪੀ ਗਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ A1 ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਭੂਚਾਲ ਲਈ ਮਾਪੀ ਗਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ A2 ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀਆਂ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਅਤੇ ਤੀਬਰਤਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ:
4. ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 8 ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਭੂਚਾਲ ਅਤੇ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 7 ਮਾਪਣ ਵਾਲੇ ਭੂਚਾਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫਿਰ,
5. ਇਸ ਲਈ,
6. ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ A1/A2=10 ਜਾਂ A1=10A2। ਕਿਉਂਕਿ A1, A2 ਦਾ 10 ਗੁਣਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਭੂਚਾਲ ਦੂਜੇ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲੋਂ 10 ਗੁਣਾ ਵਧੇਰੇ ਤੀਬਰ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਭੂਚਾਲ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ 8 ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ 6 ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀ ਅਨੁਸਾਰੀ ਤੀਬਰਤਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ
7. ਇਸ ਲਈ, A1=100A2। ਭਾਵ, ਪਹਿਲਾ ਭੂਚਾਲ ਦੂਜੇ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲੋਂ 100 ਗੁਣਾ ਵਧੇਰੇ ਤੀਬਰ ਹੈ।
8. ਅਸੀਂ 2011 ਵਿੱਚ ਜਾਪਾਨ ਵਿੱਚ ਆਏ ਤੀਬਰਤਾ 9 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਗੰਭੀਰਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ 2010 ਵਿੱਚ ਹੈਤੀ ਵਿੱਚ ਆਏ ਤੀਬਰਤਾ 7.3 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
9. ਹੱਲ
10. ਜਾਪਾਨ ਅਤੇ ਹੈਤੀ ਦੇ ਭੂਚਾਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
11. 9 − 7.3 = log 10 ( A 1 A 2 ) .
12. ਇਸ ਲਈ, A1/A2=10^1.7, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਾਪਾਨ ਵਿੱਚ ਆਇਆ ਭੂਚਾਲ ਹੈਤੀ ਵਿੱਚ ਆਏ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲੋਂ ਲਗਭਗ 5050 ਗੁਣਾ ਵਧੇਰੇ ਤੀਬਰ ਸੀ।
13. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.33
14. ਤੀਬਰਤਾ 8.4 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਤੀਬਰਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਤੀਬਰਤਾ 7.4 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲ ਕਰੋ।
15. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
16. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ e^x ਅਤੇ e^-x ਦੇ ਕੁਝ ਸੰਜੋਗਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਤਰੰਗਾਂ ਅਤੇ ਲਚਕਦਾਰ ਝਿੱਲੀਆਂ ਦੇ ਕੰਪਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਮ ਉਪਯੋਗ ਲਟਕਦੀ ਹੋਈ ਚੇਨ ਜਾਂ ਕੇਬਲ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੈਟੇਨਰੀ (ਚਿੱਤਰ 1.49) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਪੇਸ਼ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਚੇਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਬਿੰਦੂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
17. ਚਿੱਤਰ 1.49: ਮੱਕੜੀ ਦੇ ਜਾਲ ਵਿੱਚ ਰੇਸ਼ਮ ਦੇ ਧਾਗੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਹੀ ਆਕਾਰ ਦੋ ਸਪੋਰਟਾਂ ਤੋਂ ਸਿਰਫ ਆਪਣੇ ਭਾਰ ਨਾਲ ਲਟਕਦੀ ਚੇਨ ਜਾਂ ਕੇਬਲ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: "Mtpaley", Wikimedia Commons)
18. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
19. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੋਸਾਈਨ
20. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਾਈਨ
21. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਟੈਂਜੈਂਟ
22. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੋਸੀਕੈਂਟ
23. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸੀਕੈਂਟ
24. ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ
The name cosh rhymes with “gosh,” whereas the name sinh is pronounced “cinch.” Tanh, sech, csch, and coth are pronounced “tanch,” “seech,” “coseech,” and “cotanch,” respectively.
Using the definition of cosh(x)cosh(x) and principles of physics, it can be shown that the height of a hanging chain, such as the one in Figure 1.49, can be described by the function h(x)=acosh(x/a)+ch(x)=acosh(x/a)+c for certain constants aa and c.c.
But why are these functions called hyperbolic functions? To answer this question, consider the quantity cosh2t−sinh2t.cosh2t−sinh2t. Using the definition of coshcosh and sinh,sinh, we see that
This identity is the analog of the trigonometric identity cos2t+sin2t=1.cos2t+sin2t=1. Here, given a value t,t, the point (x,y)=(cosht,sinht)(x,y)=(cosht,sinht) lies on the unit hyperbola x2−y2=1x2−y2=1 (Figure 1.50).
Figure 1.50: The unit hyperbola cosh2t−sinh2t=1.cosh2t−sinh2t=1.
Graphs of Hyperbolic Functions
To graph coshxcoshx and sinhx,sinhx, we make use of the fact that both functions approach (1/2)ex(1/2)ex as x→∞,x→∞, since e−x→0e−x→0 as x→∞.x→∞. As x→−∞,coshxx→−∞,coshx approaches 1/2e−x,1/2e−x, whereas sinhxsinhx approaches −1/2e−x.−1/2e−x. Therefore, using the graphs of 1/2ex,1/2e−x,1/2ex,1/2e−x, and −1/2e−x−1/2e−x as guides, we graph coshxcoshx and sinhx.sinhx. To graph tanhx,tanhx, we use the fact that tanh(0)=0,−1<tanh(x)<1tanh(0)=0,−1<tanh(x)<1 for all x,tanhx→1x,tanhx→1 as x→∞,x→∞, and tanhx→−1tanhx→−1 as x→−∞.x→−∞. The graphs of the other three hyperbolic functions can be sketched using the graphs of coshx,sinhx,coshx,sinhx, and tanhxtanhx (Figure 1.51).
Figure 1.51: The hyperbolic functions involve combinations of exex and e−x.e−x.
Identities Involving Hyperbolic Functions
The identity cosh2t−sinh2t,cosh2t−sinh2t, shown in Figure 1.50, is one of several identities involving the hyperbolic functions, some of which are listed next. The first four properties follow easily from the definitions of hyperbolic sine and hyperbolic cosine. Except for some differences in signs, most of these properties are analogous to identities for trigonometric functions.
Rule: Identities Involving Hyperbolic Functions
cosh(−x)=coshxcosh(−x)=coshx
sinh(−x)=−sinhxsinh(−x)=−sinhx
coshx+sinhx=excoshx+sinhx=ex
coshx−sinhx=e−xcoshx−sinhx=e−x
cosh2x−sinh2x=1cosh2x−sinh2x=1
1−tanh2x=sech2x1−tanh2x=sech2x
coth2x−1=csch2xcoth2x−1=csch2x
sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhysinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy
cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhycosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy
Example 1.40
Evaluating Hyperbolic Functions
Simplify sinh(5lnx).sinh(5lnx).
If sinhx=3/4,sinhx=3/4, find the values of the remaining five hyperbolic functions.
Solution
Using the definition of the sinhsinh function, we write sinh(5lnx)=e5lnx−e−5lnx2=eln(x5)−eln(x−5)2=x5−x−52.sinh(5lnx)=e5lnx−e−5lnx2=eln(x5)−eln(x−5)2=x5−x−52.
Using the identity cosh2x−sinh2x=1,cosh2x−sinh2x=1, we see that cosh2x=1+(34)2=2516.cosh2x=1+(34)2=2516. Since coshx≥1coshx≥1 for all x,x, we must have coshx=5/4.coshx=5/4. Then, using the definitions for the other hyperbolic functions, we conclude that tanhx=3/5,cschx=4/3,sechx=4/5,tanhx=3/5,cschx=4/3,sechx=4/5, and cothx=5/3.cothx=5/3.
Checkpoint 1.34
Simplify cosh(2lnx).cosh(2lnx).
Inverse Hyperbolic Functions
From the graphs of the hyperbolic functions, we see that all of them are one-to-one except coshxcoshx and sechx.sechx. If we restrict the domains of these two functions to the interval [0,∞),[0,∞), then all the hyperbolic functions are one-to-one, and we can define the inverse hyperbolic functions. Since the hyperbolic functions themselves involve exponential functions, the inverse hyperbolic functions involve logarithmic functions.
Definition
Inverse Hyperbolic Functions
Let’s look at how to derive the first equation. The others follow similarly. Suppose y=sinh−1x.y=sinh−1x. Then, x=sinhyx=sinhy and, by the definition of the hyperbolic sine function, x=ey−e−y2.x=ey−e−y2. Therefore,
Multiplying this equation by ey,ey, we obtain
This can be solved like a quadratic equation, with the solution
Since ey>0,ey>0, the only solution is the one with the positive sign. Applying the natural logarithm to both sides of the equation, we conclude that
Example 1.41
Evaluating Inverse Hyperbolic Functions
Evaluate each of the following expressions.
Solution
sinh −1 ( 2 ) = ln ( 2 + 2 2 + 1 ) = ln ( 2 + 5 ) ≈ 1.4436 sinh −1 ( 2 ) = ln ( 2 + 2 2 + 1 ) = ln ( 2 + 5 ) ≈ 1.4436
tanh −1 ( 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 1 + 1 / 4 1 − 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 / 4 3 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 3 ) ≈ 0.2554 tanh −1 ( 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 1 + 1 / 4 1 − 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 / 4 3 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 3 ) ≈ 0.2554
Checkpoint 1.35
Evaluate tanh−1(1/2).tanh−1(1/2).
For the following exercises, evaluate the given exponential functions as indicated, accurate to two significant digits after the decimal.
f(x)=5xf(x)=5x a. x=3x=3 b. x=12x=12 c. x=2x=2
f(x)=(0.3)xf(x)=(0.3)x a. x=−1x=−1 b. x=4x=4 c. x=−1.5x=−1.5
f(x)=10xf(x)=10x a. x=−2x=−2 b. x=4x=4 c. x=53x=53
f(x)=exf(x)=ex a. x=2x=2 b. x=−3.2x=−3.2 c. x=πx=π
For the following exercises, match the exponential equation to the correct graph.
y=4−xy=4−x
y=3x−1y=3x−1
y=2x+1y=2x+1
y=(12)x+2y=(12)x+2
y=−3−xy=−3−x
y=1−5xy=1−5x
For the following exercises, sketch the graph of the exponential function. Determine the domain, range, and horizontal asymptote.
f ( x ) = e x + 2 f ( x ) = e x + 2
f ( x ) = − 2 x f ( x ) = − 2 x
f ( x ) = 3 x + 1 f ( x ) = 3 x + 1
f ( x ) = 4 x − 1 f ( x ) = 4 x − 1
f ( x ) = 1 − 2 − x f ( x ) = 1 − 2 − x
f ( x ) = 5 x + 1 + 2 f ( x ) = 5 x + 1 + 2
f ( x ) = e − x − 1 f ( x ) = e − x − 1
For the following exercises, write the equation in equivalent exponential form.
log 3 81 = 4 log 3 81 = 4
log 8 2 = 1 3 log 8 2 = 1 3
log 5 1 = 0 log 5 1 = 0
log 5 25 = 2 log 5 25 = 2
log 0.1 = −1 log 0.1 = −1
ln ( 1 e 3 ) = −3 ln ( 1 e 3 ) = −3
log 9 3 = 0.5 log 9 3 = 0.5
ln 1 = 0 ln 1 = 0
For the following exercises, write the equation in equivalent logarithmic form.
2 3 = 8 2 3 = 8
4 −2 = 1 16 4 −2 = 1 16
10 2 = 100 10 2 = 100
9 0 = 1 9 0 = 1
( 1 3 ) 3 = 1 27 ( 1 3 ) 3 = 1 27
64 3 = 4 64 3 = 4
e x = y e x = y
9 y = 150 9 y = 150
b 3 = 45 b 3 = 45
4 −3 / 2 = 0.125 4 −3 / 2 = 0.125
For the following exercises, sketch the graph of the logarithmic function. Determine the domain, range, and vertical asymptote.
f ( x ) = 3 + ln x f ( x ) = 3 + ln x
f ( x ) = ln ( x − 1 ) f ( x ) = ln ( x − 1 )
f ( x ) = ln ( − x ) f ( x ) = ln ( − x )
f ( x ) = 1 − ln x f ( x ) = 1 − ln x
f ( x ) = log x − 1 f ( x ) = log x − 1
f ( x ) = ln ( x + 1 ) f ( x ) = ln ( x + 1 )
For the following exercises, use properties of logarithms to write the expressions as a sum, difference, and/or product of logarithms.
log x 4 y log x 4 y
log 3 9 a 3 b log 3 9 a 3 b
ln a b 3 ln a b 3
log 5 125 x y 3 log 5 125 x y 3
log 4 x y 3 64 log 4 x y 3 64
ln ( 6 e 3 ) ln ( 6 e 3 )
For the following exercises, solve the exponential equation exactly.
5 x = 125 5 x = 125
e 3 x − 15 = 0 e 3 x − 15 = 0
8 x = 4 8 x = 4
4 x + 1 − 32 = 0 4 x + 1 − 32 = 0
3 x / 14 = 1 10 3 x / 14 = 1 10
10 x = 7.21 10 x = 7.21
4 · 2 3 x − 20 = 0 4 · 2 3 x − 20 = 0
7 3 x − 2 = 11 7 3 x − 2 = 11
For the following exercises, solve the logarithmic equation exactly, if possible.
log 3 x = 0 log 3 x = 0
log 5 x = −2 log 5 x = −2
log 4 ( x + 5 ) = 0 log 4 ( x + 5 ) = 0
log ( 2 x − 7 ) = 0 log ( 2 x − 7 ) = 0
ln x + 3 = 2 ln x + 3 = 2
log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2 log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2
log 4 ( x + 2 ) − log 4 ( x − 1 ) = 0 log 4 ( x + 2 ) − log 4 ( x − 1 ) = 0
ln x + ln ( x − 2 ) = ln 4 ln x + ln ( x − 2 ) = ln 4
For the following exercises, use the change-of-base formula and either base 10 or base e to evaluate the given expressions. Answer in exact form and in approximate form, rounding to four decimal places.
log 5 47 log 5 47
log 7 82 log 7 82
log 6 103 log 6 103
log 0.5 211 log 0.5 211
log 2 π log 2 π
log 0.2 0.452 log 0.2 0.452
Rewrite the following expressions in terms of exponentials and simplify.
a. 2cosh(lnx)2cosh(lnx) b. cosh4x+sinh4xcosh4x+sinh4x c. cosh2x−sinh2xcosh2x−sinh2x d. ln(coshx+sinhx)+ln(coshx−sinhx)ln(coshx+sinhx)+ln(coshx−sinhx)
[T] The number of bacteria N in a culture after t days can be modeled by the function N(t)=1300·(2)t/4.N(t)=1300·(2)t/4. Find the number of bacteria present after 15 days.
[T] The demand D (in millions of barrels) for oil in an oil-rich country is given by the function D(p)=150·(2.7)−0.25p,D(p)=150·(2.7)−0.25p, where p is the price (in dollars) of a barrel of oil. Find the amount of oil demanded (to the nearest million barrels) when the price is between $15 and $20.
[T] The amount A of a $100,000 investment paying continuously and compounded for t years is given by A(t)=100,000·e0.055t.A(t)=100,000·e0.055t. Find the amount A accumulated in 5 years.
[T] An investment is compounded monthly, quarterly, or yearly and is given by the function A=P(1+jn)nt,A=P(1+jn)nt, where AA is the value of the investment at time t,Pt,P is the initial principle that was invested, jj is the annual interest rate, and nn is the number of time the interest is compounded per year. Given a yearly interest rate of 3.5% and an initial principle of $100,000, find the amount AA accumulated in 5 years for interest that is compounded a. daily, b., monthly, c. quarterly, and d. yearly.
[T] The concentration of hydrogen ions in a substance is denoted by [H+],[H+], measured in moles per liter. The pH of a substance is defined by the logarithmic function pH=−log[H+].pH=−log[H+]. This function is used to measure the acidity of a substance. The pH of water is 7. A substance with a pH less than 7 is an acid, whereas one that has a pH of more than 7 is a base.
Find the pH of the following substances. Round answers to one digit.
Determine whether the substance is an acid or a base. Eggs: [H+]=1.6×10−8[H+]=1.6×10−8 mol/L Beer: [H+]=3.16×10−3[H+]=3.16×10−3 mol/L Tomato Juice: [H+]=7.94×10−5[H+]=7.94×10−5 mol/L
[T] Iodine-131 is a radioactive substance that decays according to the function Q(t)=Q0·e−0.08664t,Q(t)=Q0·e−0.08664t, where Q0Q0 is the initial quantity of a sample of the substance and t is in days. Determine how long it takes (to the nearest day) for 95% of a quantity to decay.
[T] According to the World Bank, at the end of 2013 (t=0t=0 ) the U.S. population was 316 million and was increasing according to the following model:
P(t)=316e0.0074t,P(t)=316e0.0074t, where P is measured in millions of people and t is measured in years after 2013.
Based on this model, what will be the population of the United States in 2020?
Determine when the U.S. population will be twice what it is in 2013.
[T] The amount A accumulated after 1000 dollars is invested for t years at an interest rate of 4% is modeled by the function A(t)=1000(1.04)t.A(t)=1000(1.04)t.
Find the amount accumulated after 5 years and 10 years.
Determine how long it takes for the original investment to triple.
[T] A bacterial colony grown in a lab is known to double in number in 12 hours. Suppose, initially, there are 1000 bacteria present.
Use the exponential function Q=Q0ektQ=Q0ekt to determine the value k,k, which is the growth rate of the bacteria. Round to four decimal places.
Determine approximately how long it takes for 200,000 bacteria to grow.
1. ਖੇਡ ਰਿਜ਼ਰਵ ਵਿੱਚ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਹਰ 6 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 120 ਖਰਗੋਸ਼ ਸਨ।
2. ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਸਥਿਰਾਂਕ 'a' ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ P=P0at ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
3. ਲਗਭਗ 3500 ਤੱਕ ਖਰਗੋਸ਼ਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਭਾਗ 'a' ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਵਿੱਚ 1906 ਦੇ ਭੂਚਾਲ ਦੀ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਤੀਬਰਤਾ 8.3 ਸੀ। ਉਸੇ ਸਮੇਂ, ਜਾਪਾਨ ਵਿੱਚ, 4.9 ਤੀਬਰਤਾ ਵਾਲੇ ਭੂਚਾਲ ਨੇ ਕੇਵਲ ਮਾਮੂਲੀ ਨੁਕਸਾਨ ਪਹੁੰਚਾਇਆ। ਸੈਨ ਫਰਾਂਸਿਸਕੋ ਦਾ ਭੂਚਾਲ ਜਾਪਾਨੀ ਭੂਚਾਲ ਨਾਲੋਂ ਲਗਭਗ ਕਿੰਨਾ ਕੁ ਵਧੇਰੇ ਤੀਬਰ ਸੀ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ [ਲਿੰਕ] ਵਿੱਚ ਰਿਕਟਰ ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇਖੋ।