ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2.1.1 ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਵੱਲ ਲੈ ਗਈ।
2.1.2 ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ (limit) ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਸ਼ਮੂਲੀਅਤ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
2.1.3 ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ (curve) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ (secant lines) ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
2.1.4 ਤਤਕਾਲੀ ਗਤੀ (instantaneous velocity) ਨੂੰ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਗਤੀ (average velocity) ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
2.1.5 ਖੇਤਰਫਲ ਸਮੱਸਿਆ (area problem) ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ (integral) ਦੁਆਰਾ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।
2.1.6 ਖੇਤਰਫਲ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ (limit) ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਸ਼ਮੂਲੀਅਤ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
2.1.7 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਸੀਮਾ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੇ ਅਨੰਤ ਲੜੀ (infinite series) ਅਤੇ ਬਹੁ-ਚਲ ਕਲਕੂਲਸ (multivariable calculus) ਦੇ ਅਧਿਐਨਾਂ ਵੱਲ ਕਿਵੇਂ ਅਗਵਾਈ ਕੀਤੀ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਲਕੂਲਸ ਦੇ ਆਪਣੇ ਅਧਿਐਨ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਸਦਾ ਵਿਕਾਸ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਭੌਤਿਕੀ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਹਾਰਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਆਮ ਹੱਲਾਂ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਉਭਰਿਆ—ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰਾ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ। ਦੋ ਮੁੱਖ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੇ ਕਲਕੂਲਸ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫਾਰਮੂਲੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ: (1) ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੱਸਿਆ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ (slope) ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਹੈ; ਅਤੇ (2) ਖੇਤਰਫਲ ਸਮੱਸਿਆ, ਜਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦੀ ਕਲਕੂਲਸ (Differential Calculus)
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ (Rate of change) ਕਲਕੂਲਸ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਦਲਾਅ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਜਾਂਚ ਤਿੰਨ ਰੇਖਾਵਾਂ f(x)=−2x−3, g(x)=1/2x+1, ਅਤੇ h(x)=2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2.2: ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਤਾ ਢਲਾਣ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਾਂ, f(x)=−2x−3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹਰ 1 ਇਕਾਈ ਦੀ ਚਾਲ ਲਈ, y-ਸਮਨਵਯ (coordinate) 2 ਇਕਾਈਆਂ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ (−2) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਵਿੱਚ 1/2 ਦੀ ਢਲਾਣ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ x ਵਿੱਚ 1 ਇਕਾਈ ਦੇ ਹਰ ਬਦਲਾਅ ਲਈ y ਵਿੱਚ 1/2 ਇਕਾਈ ਦਾ ਸੰਗਤ ਬਦਲਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ h(x)=2 ਦੀ ਢਲਾਣ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ k(x)=x² (ਚਿੱਤਰ 2.3) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਰੋ। k(x)=x² ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘਟਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਘਟਣਾ ਅਤੇ ਪੱਧਰਾ ਹੋਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਵਧਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ—ਪਹਿਲਾਂ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ, ਫਿਰ ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਵਾਧੇ ਦੀ ਵਧਦੀ ਦਰ ਦੇ ਨਾਲ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ, ਕੋਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੁੱਛਦੇ ਹਾਂ: ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ?
ਚਿੱਤਰ 2.3: ਫੰਕਸ਼ਨ k(x)=x² ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (a, f(a)) 'ਤੇ, f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ (x, f(x)) ਲੈ ਕੇ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚ ਕੇ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਜਿਹੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2.4 ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (a, f(a)) 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.4: ਬਿੰਦੂ (a, f(a)) ਰਾਹੀਂ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਬਿੰਦੂ (a, f(a)) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ (a, f(a)) ਅਤੇ (x, f(x)) ਰਾਹੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਸੇਕੈਂਟ ਉਹ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਢਲਾਣ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ x, a ਦੇ ਕਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2.5 ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਜੇਕਰ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ a 'ਤੇ f(x) ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਮਾਪ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2.5: ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਆਪ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਰੇਖਾ ਵੱਲ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.6)। a 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਜਾਂ a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ f′(a) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਭੇਦੀ ਕਲਕੂਲਸ ਕਲਕੂਲਸ ਦਾ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਇੱਕ ਇੰਟਰਐਕਟਿਵ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਲਈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਖੁਦ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨ ਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਐਪਲੇਟ (ਨੋਟ: ਇਸ ਸਾਈਟ ਲਈ ਜਾਵਾ ਬ੍ਰਾਊਜ਼ਰ ਪਲੱਗਇਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ) ਤੇ ਜਾਓ: ਮੈਥ ਇਨਸਾਈਟ।
ਚਿੱਤਰ 2.6: ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ: ਜਿਵੇਂ x, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.1 ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਢਲਾਨਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜਾਂ, ਬਰਾਬਰ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਢਲਾਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.1
ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਨਾਂ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x² 'ਤੇ x=1 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ (ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ (1,1) ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਰਾਹੀਂ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਨਾਂ ਲੱਭ ਕੇ।
(2,4)
(3/2, 9/4)
ਹੱਲ
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
msec=4−12−1=3
msec=9/4−13/2−1=5/2=2.5
ਭਾਗ b ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (1,1) ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 2.5 ਦੀ ਢਲਾਨ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ 2 ਤੋਂ 2.5 ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ (ਚਿੱਤਰ 2.7)।
ਚਿੱਤਰ 2.7: (1,1) 'ਤੇ f(x)=x² ਲਈ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾਵਾਂ (a) (2,4) ਅਤੇ (b) (3/2, 9/4) ਰਾਹੀਂ (1,1) 'ਤੇ f(x)=x² ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਨੇੜੇ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.1
f(x)=x² 'ਤੇ x=1 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ (ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ, f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ (1,1) ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (5/4, 25/16) ਰਾਹੀਂ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭ ਕੇ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਕੇ ਆਪਣੀ ਜਾਂਚ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਵੇਗ ਨੂੰ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(t), ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ t=a 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੀ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਔਸਤ ਵੇਗ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਰ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ, ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਦਾ, ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਨੂੰ ਉਸਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ s(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [a,t] 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਔਸਤ ਵੇਗ ਜਿੱਥੇ a<t (ਜਾਂ [t,a] ਜੇ t<a) ਹੈ
ਜਿਵੇਂ t, a ਦੇ ਨੇੜੇ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਔਸਤ ਵੇਗ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸੈਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਵਿੱਚ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਣ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੇਂ a 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਔਸਤ ਵੇਗ ਵਿੱਚ t-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਣ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ x ਜਾਂ t ਨੂੰ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਣ ਦੇਣ ਦੀ ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ ਕਹਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਲਈ, ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ t=a 'ਤੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵੱਲ ਔਸਤ ਵੇਗ [a,t] ਅਤੇ [t,a] ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ t ਦੇ ਮੁੱਲ a ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.2 ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.2
ਔਸਤ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ 64 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ (0≤t≤2 ਲਈ) ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ (ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ) s(t)=−16t2+64 ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੇਂ t=0.5 'ਤੇ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
[0.49,0.5]
[0.5,0.51]
ਹੱਲ
ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
vave=s(0.5)−s(0.49)0.5−0.49=−15.84
vave=s(0.51)−s(0.5)0.51−0.5=−16.16
ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ −15.84 ਅਤੇ −16.16 ਫੁੱਟ/ਸੈਕੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਤੇ ਹੈ। ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ −16 ਫੁੱਟ/ਸੈਕੰਡ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.2
ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗਤੀ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=t3 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸਮੇਂ t=2 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ [2,2.001] ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਲਗਾਓ।
ਖੇਤਰ ਸਮੱਸਿਆ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਕੈਲਕੂਲਸ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਇੱਕ ਕਲਾਸਿਕ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕਈ ਮਾਤਰਾਵਾਂ—ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੰਮ ਦੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ—ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਪੁੱਛਣ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 2.8)?
ਚਿੱਤਰ 2.8: ਖੇਤਰ ਸਮੱਸਿਆ: ਅਸੀਂ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ?
ਸਾਡੇ ਪਿਛਲੇ ਵੇਗ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.9)।
ਚਿੱਤਰ 2.9: ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਪਤਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਘੱਟਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦੀ ਹੈ), ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੰਟੀਗਰਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.3
ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਅੰਦਾਜ਼ਾ
ਚਿੱਤਰ 2.10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤਿੰਨ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਉੱਤੇ f(x)=x2+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 2.10: f(x)=x2+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ 1 ਯੂਨਿਟ², 2 ਯੂਨਿਟ², ਅਤੇ 5 ਯੂਨਿਟ² ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ 8 ਯੂਨਿਟ² ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 2.3
1. ਤਿੰਨ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ f(x)=x^2+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿਚਕਾਰ [0,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ:
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਹੋਰ ਪਹਿਲੂ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਚਲ (variable) ਦੇ ਫਲਨਾਂ (functions) ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ (dimensions) ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ (graphs) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਮਾਨ (visually) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਡੀ ਜਾਂਚ ਨੂੰ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਰੱਖਣ ਦਾ ਕੋਈ ਚੰਗਾ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਕਿ ਕਿਸੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਕਸ਼ (coordinate axis) ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ (velocity) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਗੁਲੇਲ (catapult) ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਪੱਥਰ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਡ ਰਹੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਵੇਗ ਦਾ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲ (real-value) ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਚਿੱਤਰ 2.11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸਾਂ (solids) ਦੇ ਆਇਤਨ (volumes) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਕੁਝ ਹੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹਨ ਜੋ ਬਹੁ-ਚਲ ਕੈਲਕੂਲਸ (multivariable calculus) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੁੱਛੇ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਹੁ-ਚਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹਨਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੀਮਾ (limit) ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦ (foundation) ਰੱਖਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
2.11 ਚਿੱਤਰ: ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮਲਟੀਵੇਰੀਏਬਲ ਕੈਲਕਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(1,2)P(1,2) ਅਤੇ Q(x,y)Q(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x2+1.f(x)=x2+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹਨ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ Q(x,y) ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: x | y | Q(x,y)Q(x,y) | ਮਿਲੀਸੈਕਿੰਡ
1. ਕਤਾਰ: ੧.੧ | ਓ. | ਈ. | ਆ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੦੧ | ਬੀ. | ਐਫ. | ਜੇ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੦੦੧ | ਗ. | ਕ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੦੦੦੧ | ਦ. | ਹ. | ਲ.
1. f ਦੇ x=1 ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
P ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x)f(x) ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(1,1) ਅਤੇ Q(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹਨ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ Q(x,y) ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: x | y | Q(x,y)Q(x,y) | ਮਿਲੀਸੈਕਿੰਡ
1. ਕਤਾਰ: ੧.੧ | ਓ. | ਈ. | ਆ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੦੧ | ਬੀ. | ਐਫ. | ਜੇ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੦੦੧ | ਚ. | ਗ. | ਕ.
1. ਸਤਰ: ੧.੦੦੦੧ | ਦ. | ਹ. | ਲ.
1. f ਦੇ x=1 ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਬੇਲੇ ਦੇ ਸੱਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
1. ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। f(x)f(x) ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(4,2) ਅਤੇ Q(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਹਨ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ Q(x,y) ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ। ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: x | y | Q(x,y)Q(x,y) | ਮਿਲੀਸੈਕਿੰਡ
1. ਕਤਾਰ: 4.1 | ਏ। | ਈ। | ਆਈ।
1. ਕਤਾਰ: 4.01 | ਬੀ. | ਐਫ. | ਜੇ.
1. ਕਤਾਰ: 4.001 | ਗ. | ਕ.
1. ਕਤਾਰ: 4.0001 | ਦ. | ਹ. | ਲ.
1. 4 = x 'ਤੇ f ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਸੱਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(1.5,0) ਅਤੇ Q(φ,y) ਫਲਨ f(φ)=cos(πφ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹਨ।
1. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਭਰੋ: ਬਿੰਦੂ Q(φ,y) ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ। ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਸਾਰਥਕ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: φ | y | Q(φ,y)Q(φ,y) | ਮਿਲੀਸੈਕਿੰਡ
1. ਕਤਾਰ: ੧.੪ | ਓ। | ਈ। | ਉ।
1. ਕਤਾਰ: ੧.੪੯ | ਬੀ. | ਐਫ. | ਜੇ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੪੯੯ | ਗ. | ਕ. | ਖ.
1. ਕਤਾਰ: ੧.੪੯੯੯ | ਦ. | ਹ. | ਲ.
1. 1.5 ਉੱਤੇ f ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ P(−1,−1)P(−1,−1) ਅਤੇ Q(x,y)Q(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1xf(x)=1x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਹਨ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਉਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ Q(x,y) ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ। ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
1. ਕਤਾਰ: x | y | Q(x,y)Q(x,y) | ਮਿਲੀਸੈਕਿੰਡ
1. ਕਤਾਰ: −1.05 | ਏ. | ਈ. | ਆਈ.
1. ਕਤਾਰ: −1.01 | ਬੀ. | ਐਫ. | ਜੇ.
1. ਕਤਾਰ: −1.005 | ਗ. | ਚ. | ਕ.
1. ਕਤਾਰ: −1.001 | ਡੀ. | ਐਚ. | ਐਲ.
1. f ਦੇ x=−1 ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਸੱਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
1. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, 200-ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਗੇਂਦ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t)=200−4.9t2,s(t)=200−4.9t2 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਸਥਿਤੀ s ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਸਮਾਂ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਅੱਠ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
3. [T] ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
4. [4.99,5]
5. [5,5.01]
6. [4.999,5]
7. [5,5.001]
8. t=5 ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 15 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਪੱਥਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਮਾਂ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ h(t)=15t−4.9t2.h(t)=15t−4.9t2 ਹੈ।
10. [T] ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਪੱਥਰ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
11. [1,1.05]
12. [1,1.01]
13. [1,1.005]
14. [1,1.001]
15. t=1 ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ ਪੱਥਰ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉਡਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਧਰਤੀ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ h(t)=600+78.4t−4.9t2,h(t)=600+78.4t−4.9t2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. [T] ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਰਾਕੇਟ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
18. [9,9.01]
19. [8.99,9]
20. [9,9.001]
21. [8.999,9]
22. t=9 ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ ਰਾਕੇਟ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, 40-ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੌੜ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਐਥਲੀਟ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਐਥਲੀਟ ਦੀ ਸਥਿਤੀ d(t)=t36+4t,d(t)=t36+4t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ d ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਅਤੇ t ਬੀਤਿਆ ਹੋਇਆ ਸਮਾਂ ਹੈ, ਜੋ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. [T] ਦੌੜਾਕ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਕਰੋ।
[1.95,2.05][1.95,2.05]
[1.995,2.005][1.995,2.005]
[1.9995,2.0005][1.9995,2.0005]
[2,2.00001][2,2.00001]
Use the preceding exercise to guess the instantaneous velocity of the runner at t=2t=2 sec.
For the following exercises, consider the function f(x)=|x|.f(x)=|x|.
Sketch the graph of f over the interval [−1,2][−1,2] and shade the region above the x-axis.
Use the preceding exercise to find the aproximate value of the area between the x-axis and the graph of f over the interval [−1,2][−1,2] using rectangles. For the rectangles, use the square units, and approximate both above and below the lines. Use geometry to find the exact answer.
For the following exercises, consider the function f(x)=1−x2.f(x)=1−x2. (Hint: This is the upper half of a circle of radius 1 positioned at (0,0).)(0,0).)
Sketch the graph of f over the interval [−1,1].[−1,1].
Use the preceding exercise to find the aproximate area between the x-axis and the graph of f over the interval [−1,1][−1,1] using rectangles. For the rectangles, use squares 0.4 by 0.4 units, and approximate both above and below the lines. Use geometry to find the exact answer.
For the following exercises, consider the function f(x)=−x2+1.f(x)=−x2+1.
Sketch the graph of f over the interval [−1,1].[−1,1].
Approximate the area of the region between the x-axis and the graph of f over the interval [−1,1].[−1,1].