2.1 ਚਿੱਤਰ: ਰਾਸ਼ਟਰੀ ਏਰੋਨੌਟਿਕਸ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜ ਪ੍ਰਸ਼ਾਸਨ (NASA) ਦੁਆਰਾ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੇ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਦੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਤੱਕ ਮਨੁੱਖੀ ਖੋਜ ਦੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ, ਉੱਚ ਰਫ਼ਤਾਰਾਂ 'ਤੇ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰਾ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਪਰ, ਕੀ ਪੁਲਾੜ ਯਾਨ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਹੈ? (ਸਿਹਰਾ: NASA)
ਅਧਿਆਇ ਰੂਪਰੇਖਾ
2.1 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਪੂਰਵਦਰਸ਼ਨ
2.2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ
2.3 ਸੀਮਾ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ
2.4 ਨਿਰੰਤਰਤਾ
2.5 ਸੀਮਾ ਦੀ ਸਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਵਿਗਿਆਨ ਕਲਪਨਾ ਲੇਖਕ ਅਕਸਰ ਅਜਿਹੇ ਪੁਲਾੜ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਦੀਆਂ ਗਲੈਕਸੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦੂਰ-ਦੂਰ ਦੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਤੱਕ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, 1905 ਵਿੱਚ, ਐਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਸਤੂ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਓਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਪੁੰਜ (ਊਰਜਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨੁਸਾਰ
ਜਿੱਥੇ m0 ਵਸਤੂ ਦਾ ਵਿਰਾਮ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਹੈ, v ਇਸਦੀ ਗਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ c ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਗਤੀ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ? (ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਉਦਾਹਰਨ 2.12 ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।)
ਸੀਮਾ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਸਾਰੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਕੇਂਦਰੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੀਮਾਵਾਂ ਇੰਨੀਆਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਿਉਂ ਹਨ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੀ ਹੈ, ਇਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਇਹ ਅਧਿਆਇ ਇੱਕ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ, ਅਨੁਭਵੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਰ ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਗਣਿਤਿਕ ਕਥਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦਾ ਆਖਰੀ ਭਾਗ ਸੀਮਾ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।