ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3.1.1 ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ (curve) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent) ਦੇ ਅਰਥ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
3.1.2 ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ (slope) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
3.1.3 ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ (difference quotient) ਦੀ ਸੀਮਾ (limit) ਵਜੋਂ ਅਵਕਲਜ (derivative) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
3.1.4 ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ (function) ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
3.1.5 ਵੇਗ (velocity) ਨੂੰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ (rate of change) ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
3.1.6 ਔਸਤ ਵੇਗ (average velocity) ਅਤੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ (instantaneous velocity) ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਸਪਸ਼ਟ ਕਰੋ।
3.1.7 ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ (table of values) ਤੋਂ ਅਵਕਲਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸੀਮਾ ਦੀ ਸੰਕਲਪਾਤਮਕ ਸਮਝ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਹਾਰਕ ਯੋਗਤਾ ਦੋਵੇਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਕਲਕੂਲਸ (calculus) ਦੇ ਸਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਦੀ ਨੀਂਹ ਰੱਖੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਗਣਿਤ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਜ (integrals) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਇਤਿਹਾਸਕਾਰ ਇਸ ਗੱਲ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹਨ ਕਿ ਕਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਅੰਗਰੇਜ਼ ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ (1643–1727) ਅਤੇ ਜਰਮਨ ਗੌਟਫ੍ਰਾਈਡ ਲੀਬਨਿਜ਼ (1646–1716) ਦੁਆਰਾ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਕਸਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਚਿੱਤਰ 3.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੂੰ ਕਲਕੂਲਸ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦੇ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਅਵਕਲਜ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਜ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਾਲੇ ਪਹਿਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਸਨ। ਦੋਵਾਂ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੂੰ ਬੈਰੋ, ਫਰਮਾਟ ਅਤੇ ਕੈਵਾਲੀਏਰੀ ਵਰਗੇ ਪੂਰਵਜਾਂ ਦੇ ਕੰਮ ਤੋਂ ਲਾਭ ਹੋਇਆ। ਦੋ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਬੰਧ ਸੁਖਾਵਾਂ ਜਾਪਦਾ ਸੀ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਪਹਿਲ ਦਿੱਤੀ ਗਈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਕੌੜਾ ਵਿਵਾਦ ਛਿੜ ਗਿਆ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸੰਭਵ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਊਟਨ ਨੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਲਕੂਲਸ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਦੇ ਉਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (notation) ਦੇ ਰਿਣੀ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅੱਜ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3.2: ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੂੰ ਕਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ
ਅਸੀਂ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ (secant lines) ਅਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖ ਕੇ ਕਲਕੂਲਸ ਦਾ ਆਪਣਾ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)) 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਅਸੀਂ 'x' ਦਾ ਮੁੱਲ 'a' ਦੇ ਨੇੜੇ ਚੁਣ ਕੇ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (a,f(a)) ਅਤੇ (x,f(x)) ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚ ਕੇ ਸੇਕੈਂਟ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ 'a' 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ 'x' ਨੂੰ 'a+h' ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ 'h' 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਬਿੰਦੂਆਂ (a,f(a)) ਅਤੇ (a+h,f(a+h)) ਰਾਹੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਵਾਧੇ 'h' ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ 'f' ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ 'I' 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 'a' ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ 'x' ≠ 'a' 'I' ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ
ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ 'h' ≠ 0 ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ 'a+h' 'I' ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ
ਵਾਧੇ 'h' ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਸ ਐਪਲੇਟ ਨਾਲ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ ਚਿੱਤਰ 3.3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲੱਭਣ ਦੇ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦਾ ਮਹੱਤਵ ਹੈ। ਸੈਟਿੰਗ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਡੀ ਚੋਣ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਚਾਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਨਾ ਦੀ ਸੌਖ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.3: ਅਸੀਂ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 3.4(a) ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ 'x' ਦੇ ਮੁੱਲ 'a' ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ 'a' 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਆਪ ਵੀ 'a' 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਚਿੱਤਰ 3.4(b) ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ 'h' ਦੇ ਮੁੱਲ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ। 'a' 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ 'a' 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.4(c) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.4: ਦੂਜਾ ਬਿੰਦੂ ਪਹਿਲੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (ਹਰੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ।
ਮੀਡੀਆ
ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਾਈਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਵੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੀ ਉਨ੍ਹਾਂ ਕੋਲ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.5 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ f(x)=x ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ (1,1) 'ਤੇ x=1 ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਤੰਗ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅੰਤਰਾਲ ਤੰਗ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਜਾਪਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਮੁੱਲ 1 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਦੇ ਚੋਣਾਂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x=1 ਦੇ ਤੁਰੰਤ ਨੇੜੇ ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਜਾਪਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.5: 1 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, f(x)=x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਜਾਪਦੀ ਹੈ।
ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ a ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। f(x) ਦੀ a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਢਲਾਨ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਬਰਾਬਰ, ਅਸੀਂ f(x) ਦੀ a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (a,f(a)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਢਲਾਨ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਛੇਦਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਚੋਣ ਸੈਟਿੰਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰੇਗੀ। ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.1
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x=3 'ਤੇ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ 3.3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅੱਗੇ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਖਾ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਬਿੰਦੂ (3,f(3)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(3)=9 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂ (3,9) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।
ਢਲਾਨ m=6 ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ (3,9) ਦੇ ਨਾਲ ਰੇਖਾ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ y−9=6(x−3) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y=6x−9 ਹੈ। f(x)=x^2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ 3 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਚਿੱਤਰ 3.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.6: f(x) ਦੀ x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.2
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਨ ਦਾ ਮੁੜ ਵਿਚਾਰ
f(x)=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ x=3 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 3.4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ ਉਦਾਹਰਨ 3.1 ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 3.4 ਦੇਖੋ।
We obtained the same value for the slope of the tangent line by using the other definition, demonstrating that the formulas can be interchanged.
Example 3.3
Finding the Equation of a Tangent Line
Find an equation of the line tangent to the graph of f(x)=1/xf(x)=1/x at x=2.x=2.
Solution
We can use Equation 3.3, but as we have seen, the results are the same if we use Equation 3.4.
We now know that the slope of the tangent line is −14.−14. To find an equation of the tangent line, we also need a point on the line. We know that f(2)=12.f(2)=12. Since the tangent line passes through the point (2,12)(2,12) we can use the point-slope equation of a line to find an equation of the tangent line. Thus the tangent line has the equation y=−14x+1.y=−14x+1. The graphs of f(x)=1xf(x)=1x and y=−14x+1y=−14x+1 are shown in Figure 3.7.
Figure 3.7: The line is tangent to f(x)f(x) at x=2.x=2.
Checkpoint 3.1
Find the slope of the line tangent to the graph of f(x)=xf(x)=x at x=4.x=4.
The Derivative of a Function at a Point
The type of limit we compute in order to find the slope of the line tangent to a function at a point occurs in many applications across many disciplines. These applications include velocity and acceleration in physics, marginal profit functions in business, and growth rates in biology. This limit occurs so frequently that we give this value a special name: the derivative. The process of finding a derivative is called differentiation.
Definition
Let f(x)f(x) be a function defined in an open interval containing a.a. The derivative of the function f(x)f(x) at a,a, denoted by f′(a),f′(a), is defined by
provided this limit exists.
Alternatively, we may also define the derivative of f(x)f(x) at aa as
Example 3.4
Estimating a Derivative
For f(x)=x2,f(x)=x2, use a table to estimate f′(3)f′(3) using Equation 3.5.
Solution
Create a table using values of xx just below 33 and just above 3.3.
row: xx | x2−9x−3x2−9x−3
row: 2.92.9 | 5.95.9
row: 2.992.99 | 5.995.99
row: 2.9992.999 | 5.9995.999
row: 3.0013.001 | 6.0016.001
row: 3.013.01 | 6.016.01
row: 3.13.1 | 6.16.1
After examining the table, we see that a good estimate is f′(3)=6.f′(3)=6.
Checkpoint 3.2
For f(x)=x2,f(x)=x2, use a table to estimate f′(3)f′(3) using Equation 3.6.
Example 3.5
Finding a Derivative
For f(x)=3x2−4x+1,f(x)=3x2−4x+1, find f′(2)f′(2) by using Equation 3.5.
Solution
Substitute the given function and value directly into the equation.
Example 3.6
Revisiting the Derivative
For f(x)=3x2−4x+1,f(x)=3x2−4x+1, find f′(2)f′(2) by using Equation 3.6.
Solution
Using this equation, we can substitute two values of the function into the equation, and we should get the same value as in Example 3.5.
The results are the same whether we use Equation 3.5 or Equation 3.6.
Checkpoint 3.3
For f(x)=x2+3x+2,f(x)=x2+3x+2, find f′(1).f′(1).
Velocities and Rates of Change
Now that we can evaluate a derivative, we can use it in velocity applications. Recall that if s(t)s(t) is the position of an object moving along a coordinate axis, the average velocity of the object over a time interval [a,t][a,t] if t>at>a or [t,a][t,a] if t<at<a is given by the difference quotient
As the values of tt approach a,a, the values of vavevave approach the value we call the instantaneous velocity at a.a. That is, instantaneous velocity at a,a, denoted v(a),v(a), is given by
To better understand the relationship between average velocity and instantaneous velocity, see Figure 3.8. In this figure, the slope of the tangent line (shown in red) is the instantaneous velocity of the object at time t=at=a whose position at time tt is given by the function s(t).s(t). The slope of the secant line (shown in green) is the average velocity of the object over the time interval [a,t].[a,t].
Figure 3.8: The slope of the secant line is the average velocity over the interval [a,t].[a,t]. The slope of the tangent line is the instantaneous velocity.
We can use Equation 3.5 to calculate the instantaneous velocity, or we can estimate the velocity of a moving object by using a table of values. We can then confirm the estimate by using Equation 3.7.
Example 3.7
Estimating Velocity
A lead weight on a spring is oscillating up and down. Its position at time tt with respect to a fixed horizontal line is given by s(t)=sints(t)=sint (Figure 3.9). Use a table of values to estimate v(0).v(0). Check the estimate by using Equation 3.5.
Figure 3.9: A lead weight suspended from a spring in vertical oscillatory motion.
Solution
We can estimate the instantaneous velocity at t=0t=0 by computing a table of average velocities using values of tt approaching 0,0, as shown in Table 3.1.
row: tt | sint−sin0t−0=sinttsint−sin0t−0=sintt
row: −0.1−0.1 | 0.9983341660.998334166
row: −0.01−0.01 | 0.99998333330.9999833333
row: −0.001−0.001 | 0.9999998330.999999833
row: 0.0010.001 | 0.9999998330.999999833
row: 0.010.01 | 0.99998333330.9999833333
row: 0.10.1 | 0.9983341660.998334166
From the table we see that the average velocity over the time interval [−0.1,0][−0.1,0] is 0.998334166,0.998334166, the average velocity over the time interval [−0.01,0][−0.01,0] is 0.9999833333,0.9999833333, and so forth. Using this table of values, it appears that a good estimate is v(0)=1.v(0)=1.
By using Equation 3.5, we can see that
Thus, in fact, v(0)=1.v(0)=1.
Checkpoint 3.4
A rock is dropped from a height of 6464 feet. Its height above ground at time tt seconds later is given by s(t)=−16t2+64,0≤t≤2.s(t)=−16t2+64,0≤t≤2. Find its instantaneous velocity 11 second after it is dropped, using Equation 3.5.
As we have seen throughout this section, the slope of a tangent line to a function and instantaneous velocity are related concepts. Each is calculated by computing a derivative and each measures the instantaneous rate of change of a function, or the rate of change of a function at any point along the function.
Definition
The instantaneous rate of change of a function f(x)f(x) at a value aa is its derivative f′(a).f′(a).
Example 3.8
1. ਵੇਗ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ
3.10 ਚਿੱਤਰ: (ਸਿਹਰਾ: Codex41, Flickr ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
270.49270.49 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਸਿਖਰਲੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀ, ਹੈਨੇਸੀ ਵੇਨਮ ਜੀ.ਟੀ. ਦੁਨੀਆ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਟੈਸਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਹ 3.053.05 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ 00 ਤੋਂ 6060 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ, 5.885.88 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ 0 ਤੋਂ 1000 ਤੋਂ 100 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ, 14.5114.51 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ 0 ਤੋਂ 2000 ਤੋਂ 200 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ, ਅਤੇ 19.9619.96 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ 0 ਤੋਂ 229.90 ਤੋਂ 229.9 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਤੱਕ ਗਈ। ਇਸ ਡਾਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੇਗ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ (ਭਾਵ, ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ) ਬਾਰੇ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ 229.9229.9 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਕਾਰ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦੀ ਦਰ ਵਧਦੀ, ਘਟਦੀ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਜਾਪਦੀ ਹੈ?
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਵੇਖੋ ਕਿ 6060 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ = 8888 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ, 100100 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ≈146.67 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ, 200200 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ≈293.33 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ, ਅਤੇ 229.9229.9 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ≈337.19 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਸਤਰ: ਟੀਟੀ | ਵੇਖਣਾ(ਟੀਟੀ) ਵੇਖਣਾ(ਟੀਟੀ)
1. ਕਤਾਰ: 00 | 00
1. ਕਤਾਰ: 3.053.05 | 8888
1. ਕਤਾਰ: 5.885.88 | 146.67146.67
1. ਕਤਾਰ: 14.51 | 293.33
1. ਸਤਰ: ੧੯.੯੬੧੯.੯੬ | ੩੩੭.੧੯੩੩੭.੧੯
1. ਹੁਣ ਕਾਰ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਰ (acceleration) ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ [t,19.96] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ ਗਿਣੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ t, 19.96, 19.96 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਕਤਾਰ: ਟੀਟੀ | ਵੀ(ਟੀ)−ਵੀ(19.96)ਟੀ−19.96=ਵੀ(ਟੀ)−337.19ਟੀ−19.96ਵੀ(ਟੀ)−ਵੀ(19.96)ਟੀ−19.96=ਵੀ(ਟੀ)−337.19ਟੀ−19.96
1. ਕਤਾਰ: 0.00 | 16.89
1. ਕਤਾਰ: 3.053.05 | 14.7414.74
1. ਕਤਾਰ: 5.885.88 | 13.5313.53
1. ਕਤਾਰ: 14.5114.51 | 8.058.05
ਗੱਡੀ ਦੀ ਗਤੀ ਵਧਣ ਦੀ ਦਰ ਘਟ ਰਹੀ ਹੈ ਜਿਉਂ ਜਿਉਂ ਇਸਦਾ ਵੇਗ 229.9229.9 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ (337.19(337.19 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ) ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
3.9. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਰਫ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਚੀਜ਼ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ।
ਤਾਪਮਾਨ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ
1. ਘਰ ਦਾ ਮਾਲਕ ਥਰਮੋਸਟੈਟ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੈੱਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰਾਤ 9 ਵਜੇ ਤੋਂ ਘਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 70°F ਤੋਂ ਘਟਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਜਾਵੇ, ਰਾਤ ਦੌਰਾਨ 60° ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਆ ਜਾਵੇ, ਅਤੇ ਅਗਲੀ ਸਵੇਰ 7 ਵਜੇ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ 70° ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਘਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ T(t)=0.4t2−4t+70 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਰਾਤ 9 ਵਜੇ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਅੱਧੀ ਰਾਤ ਨੂੰ ਤਾਪਮਾਨ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਕਿਉਂਕਿ ਅੱਧੀ ਰਾਤ 99 ਪੀ.ਐਮ. ਤੋਂ 33 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ T′(3) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ 3.5 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਲਓ।
ਰਾਤ ਦੇ ਬਾਰਾਂ ਵਜੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਦਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ −1.6°F ਹੈ।
1. ਉਦਾਹਰਨ 3.10
2. ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ
3. ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਕੰਪਨੀ xx ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨਿਕ ਗੇਮਿੰਗ ਸਿਸਟਮ p=−0.01x+400 ਡਾਲਰ ਪ੍ਰਤੀ ਗੇਮਿੰਗ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਵੇਚ ਸਕਦੀ ਹੈ। xx ਸਿਸਟਮ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਲਾਗਤ C(x)=100x+10,000 ਡਾਲਰ ਹੈ। ਜਦੋਂ 10,000 ਗੇਮਾਂ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਖਿਡੌਣਾ ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦਨ ਵਧਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
4. ਹੱਲ
5. xx ਗੇਮਿੰਗ ਸਿਸਟਮ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਕਮਾਇਆ ਗਿਆ ਮੁਨਾਫ਼ਾ P(x)R(x)−C(x) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ R(x) xx ਗੇਮਾਂ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਾਲੀਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੰਪਨੀ xx ਗੇਮਾਂ p=−0.01x+400 ਪ੍ਰਤੀ ਗੇਮ 'ਤੇ ਵੇਚ ਸਕਦੀ ਹੈ,
6. ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ,
7. ਇਸ ਲਈ, ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ P′(10,000)>0 ਅਤੇ P(10,000)>0 ਹੈ, ਕੰਪਨੀ ਨੂੰ ਉਤਪਾਦਨ ਵਧਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
9. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.5
10. ਇੱਕ ਕੌਫੀ ਸ਼ਾਪ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕੋਨ ss ਡਾਲਰ ਚਾਰਜ ਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਕੋਨਾਂ 'ਤੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਮੁਨਾਫ਼ਾ P(s)=−20s2+150s−10 ਹੈ। ਕੌਫੀ ਸ਼ਾਪ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕੋਨ $3.25 ਚਾਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। P′(3.25), ਜਦੋਂ ਕੀਮਤ $3.25 ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰੋ ਕਿ ਕੌਫੀ ਸ਼ਾਪ ਨੂੰ ਆਪਣੀਆਂ ਸਕੋਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਵਧਾਉਣ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 3.1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ x1 ਅਤੇ x2 ਵਿਚਕਾਰ ਸੇਕੰਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. f ( x ) = 4 x + 7 ; x 1 = 2 , x 2 = 5
13. f ( x ) = 8 x − 3 ; x 1 = −1 , x 2 = 3
14. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ; x 1 = 3 , x 2 = 3.5
15. f ( x ) = − x 2 + x + 2 ; x 1 = 0.5 , x 2 = 1.5
16. f ( x ) = 4 3 x − 1 ; x 1 = 1 , x 2 = 3
17. f ( x ) = x − 7 2 x + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 2
18. f ( x ) = x ; x 1 = 1 , x 2 = 16
19. f ( x ) = x − 9 ; x 1 = 10 , x 2 = 13
20. f ( x ) = x 1 / 3 + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 8
21. f ( x ) = 6 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 ; x 1 = 1 , x 2 = 27
22. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ,
23. ਸਮੀਕਰਨ 3.4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ mtan=f′(a) ਅਤੇ
24. x=a 'ਤੇ f ਦੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x) = 3 − 4x, a = 2
f(x) = x⁵ + 6, a = −1
f(x) = x² + x, a = 1
f(x) = 1 − x − x², a = 0
f(x) = 7x, a = 3
f(x) = x + 8, a = 1
f(x) = 2 − 3x², a = −2
f(x) = −3x − 1, a = 4
f(x) = 2x + 3, a = −4
f(x) = 3x², a = 3
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫਲਨਾਂ y=f(x) ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 3.5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f′(a) ਪਤਾ ਕਰੋ।
f(x) = 5x + 4, a = −1
f(x) = −7x + 1, a = 3
f(x) = x² + 9x, a = 2
f(x) = 3x² − x + 2, a = 1
f(x) = x, a = 4
f(x) = x − 2, a = 6
f(x) = 1/x, a = 2
f(x) = 1/(x − 3), a = −1
f(x) = 1/x³, a = 1
f(x) = 1/x, a = 4
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨ y=f(x) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ,
ਮੇਲ ਰੇਖਾ PQ ਦਾ ਢਲਾਣ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ Q(x,f(x)) ਲਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ x ਮੁੱਲ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
a. ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ P 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
Use the answer from b. to find an equation of the tangent line to ff at point P.P.
[T] f(x)=x2+3x+4,P(1,8)f(x)=x2+3x+4,P(1,8) (Round to 66 decimal places.)
row: x | Slope mPQmPQ | x | Slope mPQmPQ
row: 1.1 | (i) | 0.9 | (vii)
row: 1.01 | (ii) | 0.99 | (viii)
row: 1.001 | (iii) | 0.999 | (ix)
row: 1.0001 | (iv) | 0.9999 | (x)
row: 1.00001 | (v) | 0.99999 | (xi)
row: 1.000001 | (vi) | 0.999999 | (xii)
[T] f(x)=x+1x2−1,P(0,−1)f(x)=x+1x2−1,P(0,−1)
row: x | Slope mPQmPQ | x | Slope mPQmPQ
row: 0.1 | (i) | −0.1−0.1 | (vii)
row: 0.01 | (ii) | −0.01−0.01 | (viii)
row: 0.001 | (iii) | −0.001−0.001 | (ix)
row: 0.0001 | (iv) | −0.0001−0.0001 | (x)
row: 0.00001 | (v) | −0.00001−0.00001 | (xi)
row: 0.000001 | (vi) | −0.000001−0.000001 | (xii)
[T] f(x)=10e0.5x,P(0,10)f(x)=10e0.5x,P(0,10) (Round to 44 decimal places.)
row: x | Slope mPQmPQ
row: −0.1−0.1 | (i)
row: −0.01−0.01 | (ii)
row: −0.001−0.001 | (iii)
row: −0.0001−0.0001 | (iv)
row: −0.00001−0.00001 | (v)
row: −0.000001 | (vi)
[T] f(x)=tan(x),P(π,0)f(x)=tan(x),P(π,0)
row: x | Slope mPQmPQ
row: 3.1 | (i)
row: 3.14 | (ii)
row: 3.141 | (iii)
row: 3.1415 | (iv)
row: 3.14159 | (v)
row: 3.141592 | (vi)
[T] For the following position functions y=s(t),y=s(t), an object is moving along a straight line, where tt is in seconds and ss is in meters. Find
the simplified expression for the average velocity from t=2t=2 to t=2+h;t=2+h;
the average velocity between t=2t=2 and t=2+h,t=2+h, where (i)h=0.1,(i)h=0.1, (ii)h=0.01,(ii)h=0.01, (iii)h=0.001,(iii)h=0.001, and (iv)h=0.0001;(iv)h=0.0001; and
use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at t=2t=2 second.
s ( t ) = 1 3 t + 5 s ( t ) = 1 3 t + 5
s ( t ) = t 2 − 2 t s ( t ) = t 2 − 2 t
s ( t ) = 2 t 3 + 3 s ( t ) = 2 t 3 + 3
s ( t ) = 16 t 2 − 4 t s ( t ) = 16 t 2 − 4 t
Use the following graph to evaluate a. f′(1)f′(1) and b. f′(6).f′(6).
Use the following graph to evaluate a. f′(−3)f′(−3) and b. f′(1.5).f′(1.5).
For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at x=ax=a for each of the given functions.
f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0 f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0
f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0 f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0
f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x ≥ 1 , x = 1 f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x ≥ 1 , x = 1
f ( x ) = | x | x , x = 0 f ( x ) = | x | x , x = 0
1. [T] ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲੀਹ 'ਤੇ ਦੌੜ ਰਹੀ ਕਾਰ ਦੀ tt ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t)=8t2−116t3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਵਾਹਨ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ (ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ) ਪਤਾ ਕਰੋ: [4, 4.1] [4, 4.01] [4, 4.001] [4, 4.0001]
3. t=4 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਵਾਹਨ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਬਾਰੇ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣ ਲਈ a. ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. [T] ਇੱਕ ਢਲਾਣ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਰੋਲ ਕਰਦੇ ਗੇਂਦ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ (ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਫੰਕਸ਼ਨ s(t)=14t2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਗੇਂਦ ਦੇ ਰੋਲ ਹੋਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਹੈ।
5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ: [5, 5.1] [5, 5.01] [5, 5.001] [5, 5.0001]
6. a. ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ t=5 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ ਬਾਰੇ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢੋ।
7. ਦੋ ਵਾਹਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ, s=f(t) ਅਤੇ s=g(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ s ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
8. t=2 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਕਿਹੜੇ ਵਾਹਨ ਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਹੈ?
9. t=3 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਵਾਹਨ ਦਾ ਲਗਭਗ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ?
10. t=4 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਕਿਹੜਾ ਵਾਹਨ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ?
11. t=4 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਵਾਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਸੱਚ ਹੈ?
12. [T] ਮੇਅਨੀਜ਼ ਦੇ xx ਹਜ਼ਾਰ ਜਾਰ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ C(x), ਸੈਂਕੜੇ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ, C(x)=0.000003x3+4x+300 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਜਾਰ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: [100, 100.1] [100, 100.01] [100, 100.001] [100, 100.0001]
14. a. ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 100,000 ਜਾਰ ਮੇਅਨੀਜ਼ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਔਸਤ ਲਾਗਤ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
15. [T] ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3−2x2−11x+12 ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਕੰਮ ਕਰੋ।
16. ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
17. mtan=f′(a)=0 ਲਈ x=a ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ZOOM ਫੀਚਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. [T] ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x1+x2 ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਕੰਮ ਕਰੋ।
19. ਇੱਕ ਉਚਿਤ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. mtan=f′(a)=0 ਲਈ x=a ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ZOOM ਫੀਚਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ N(x) xx ਮੀਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਾਹਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਤੇ ਗਏ ਗੈਲਨ ਗੈਸ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਵਾਹਨ 30 mpg ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
22. N(x) ਲਈ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
23. N(100) ਕੀ ਹੈ? ਭੌਤਿਕ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
24. N′(100) ਕੀ ਹੈ? ਭੌਤਿਕ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x4−5x2+4 ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕੰਮ ਕਰੋ।
2. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
3. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ nDeriv ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੱਭਦਾ ਹੈ, f′(−2),f′(−0.5),f′(1.7), ਅਤੇ f′(2.718) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ।
4. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x2x2+1 ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕੰਮ ਕਰੋ।
5. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਵਿਊਇੰਗ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ f ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
6. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ nDeriv ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f′(−4),f′(−2),f′(2), ਅਤੇ f′(4) ਪਤਾ ਕਰੋ।