ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
3.2.1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ (function) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
3.2.2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
3.2.3 ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ (continuity) ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਦੱਸੋ।
3.2.4 ਉਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ।
3.2.5 ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ (higher-order) ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent line) ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਜਾਂ ਢਲਾਣ (slope) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤੀ ਫਲਨ (position function) ਦਾ ਅਵਕਲਨ (differentiate) ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਵੇਗ (velocity) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣਾ ਵਾਜਬ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫਲਨ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਜਾਣਨਾ ਫਲਨ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਬਾਰੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਹੁਤ ਕਠਿਨ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ, ਅਸਲ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (domain) ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ, ਜਿਸਨੂੰ f′ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਉਹਨਾਂ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸੀਮਾ (limit) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:
ਇੱਕ ਫਲਨ f(x) ਨੂੰ a 'ਤੇ ਅਵਕਲਯੋਗ (differentiable) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f′(a) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ S 'ਤੇ ਅਵਕਲਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸੈੱਟ S ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਅਵਕਲਯੋਗ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਵਕਲਯੋਗ ਫਲਨ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ f′(x) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 3.9 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.11
ਵਰਗਮੂਲ ਫਲਨ (Square-Root Function) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
f(x)=√x ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਲਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ 3.1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.12
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ (Quadratic Function) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
f(x)=x²−2x ਫਲਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇੱਥੇ ਵੀ ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਅਪਣਾਓ, ਪਰ ਸੰਯੁਗਮ (conjugate) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.6
f(x)=x2 ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3.12 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)=x2−2x, ਤਾਂ f′(x)=2x−2। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=x2−2x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ y′=2x−2 ਜਾਂ dydx=2x−2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਅਸੀਂ ddx(x2−2x)=2x−2 ਲਿਖ ਕੇ ਵੀ ਉਹੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, y=f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ f(x) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ:
f′(a) ਦੀ ਥਾਂ ਅਸੀਂ dydx|x=a ਵੀ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। dydx ਨੋਟੇਸ਼ਨ (ਜਿਸਨੂੰ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਆਮ ਹੈ। ਇਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨਾਂ ਦੇ ਢਲਾਣਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੈਕੰਟ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ΔyΔx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ Δy, xx ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ yy ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ Δx (ਚਿੱਤਰ 3.11) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਜਿਸਨੂੰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ y ਦੀ ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 3.11: ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ dydx=limΔx→0ΔyΔx ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਚਰਚਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਉਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋਵੇਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਦੇਖਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਾਂਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ f′(x) ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) (ਜਾਂ f(x) ਤੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਣ) ਦੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.11 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ f(x)=x ਲਈ, f′(x)=12x। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.12 ਵਿੱਚ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x) ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f′(x)>0 ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ xx ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਿਵੇਂ xx ਵਧਦਾ ਹੈ, f(x) ਤੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਘਟ ਰਹੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ f′(x) ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਮੀ ਦੇਖਣ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f′(0) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਅਤੇ limx→0+f′(x)=+∞, 0 'ਤੇ f(x) ਤੱਕ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.12: ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x) ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.12 ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ f(x)=x2−2x ਲਈ, f′(x)=2x−2। ਇਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 3.13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਦੇਖੋ ਕਿ f(x) x<1 ਲਈ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। x ਦੇ ਇਹਨਾਂ ਸਮਾਨ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, f′(x)<0। x>1 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, f(x) ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ f′(x)>0। ਨਾਲ ਹੀ, f(x) ਕੋਲ x=1 'ਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ ਅਤੇ f′(1)=0।
ਚਿੱਤਰ 3.13: ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ f′(x)<0 ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ f′(x)>0 ਜਿੱਥੇ f(x) ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੋਲ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.13
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
f(x) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f′(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਕਿ f(x) (–2,3) 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ f′(x)>0। ਨਾਲ ਹੀ, f(x) (−∞,−2) ਅਤੇ (3,+∞) 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ f′(x)<0। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(x) ਕੋਲ –2 ਅਤੇ 3 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਟੈਂਜੈਂਟ ਹਨ, ਅਤੇ f′(−2)=0 ਅਤੇ f′(3)=0।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.7
f(x)=x2−4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਕਿਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ f′(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ xx-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ?
ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਆਓ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਿਲਟੀ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਥੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੋਵੇ। ਦਰਅਸਲ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਈ ਕਾਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 3.1
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਿਲਟੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ a ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ f(x) a 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ f ਉੱਥੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਜੇਕਰ f(x) a 'ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ f′(a) ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ
ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(x)f(x) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਇਹ ਦਰਸਾ ਕੇ ਕਿ limx→af(x)=f(a)।
ਇਸ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ f(a) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ limx→af(x)=f(a), ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
□
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵਿਚਾਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=|x| ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, f′(0) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਕਰਨ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਆਓ ਹੋਰ ਖੋਜ ਕਰੀਏ। f(x)=|x| ਲਈ,
ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ
ਚਿੱਤਰ 3.14 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 3.14: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=|x| ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਪਰ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਵਾਧੂ ਸਥਿਤੀਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:
ਇਸ ਲਈ f′(0) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। f(x)=x3 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਨਜ਼ਰ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.15)।
ਚਿੱਤਰ 3.15: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x3 ਦਾ x=0 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਪਰ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)={xsin(1x)ਜੇx≠00ਜੇx=0 ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਵਹਾਰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਉਂਕਿ ਸੇਕੈਂਟ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਸਿਫਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵੇਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.16)।
ਚਿੱਤਰ 3.16: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)={xsin(1x)ਜੇx≠00ਜੇx=0 ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ:
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਇਹ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਕਿ f(x)=|x| ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਿਹਾ ਕਿਉਂਕਿ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਸੀਮਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ 0 'ਤੇ ਇੱਕ ਤਿੱਖਾ ਕੋਨਾ ਬਣਿਆ। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ "ਸਮਤਲ" ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x)=x3 ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ f(x)={xsin(1x)ਜੇx≠00ਜੇx=0 ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.14
ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਹੈ
ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਕੰਪਨੀ ਇੱਕ ਖਿਡੌਣਾ ਕਾਰ ਲਈ ਇੱਕ ਟਰੈਕ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.17)। ਟਰੈਕ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ f(x)={110x2+bx+cਜੇx<−10−14x+52ਜੇx≥−10 ਹੋਣਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x ਅਤੇ f(x) ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਕਾਰ ਨੂੰ ਟਰੈਕ ਦੇ ਨਾਲ ਸੁਚਾਰੂ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੱਲਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ −10 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਦੋਵੇਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। bb ਅਤੇ cc ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ f(x) ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਦੋਵੇਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 3.17: ਕਾਰ ਨੂੰ ਟਰੈਕ ਦੇ ਨਾਲ ਸੁਚਾਰੂ ਢੰਗ ਨਾਲ ਚੱਲਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਵਿਭੇਦਨਸ਼ੀਲ ਦੋਵੇਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x=−10 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣ ਲਈ, limx→−10−f(x)=f(−10)। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ
ਅਤੇ f(−10)=5, ਸਾਨੂੰ 10−10b+c=5 ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਬਰਾਬਰ, ਸਾਨੂੰ c=10b−5 ਹੈ।
−10 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੋਣ ਲਈ,
ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹ ਵੀ ਹੈ
ਇਹ ਸਾਨੂੰ b−2=−14 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ b=74 ਅਤੇ c=10(74)−5=252।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.8
aa ਅਤੇ bb ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ f(x)={ax+b ਜੇਕਰ x<3x2 ਜੇਕਰ x≥3 ਨੂੰ 3 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਅਵਕਲਜ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ, ਜਾਂ ਵੇਗ ਹੈ। ਵੇਗ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਵੇਗ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਤਰਨ ਹੈ। ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੂਜਾ ਅਵਕਲਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਤੀਜਾ ਅਵਕਲਜ, ਚੌਥਾ ਅਵਕਲਜ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਵਕਲਜ ਲੈਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੂਹਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਅਵਕਲਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y=f(x) ਦੇ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਅਵਕਲਜ ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ ਕਿ d2ydx2 ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ddx(dydx) ਨੂੰ ਹੋਰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਵਜੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ddx(ddx(dydx))=ddx(d2ydx2)=d3ydx3।
ਉਦਾਹਰਨ 3.15
ਦੂਜਾ ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣਾ
f(x)=2x2−3x+1 ਲਈ, f″(x) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ f′(x) ਲੱਭੋ।
ਅੱਗੇ, f′(x)=4x−3 ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਲੈ ਕੇ f″(x) ਲੱਭੋ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.9
f(x)=x2 ਲਈ f″(x) ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.16
ਤਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਸਮੇਂ t (ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ) 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ s(t)=3t2−4t+1 (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਇਸਦੇ ਤਰਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ v(t)=s′(t) ਅਤੇ a(t)=v′(t)=s″(t), ਅਸੀਂ s(t) ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ,
Thus, a=6m/s2.a=6m/s2.
Checkpoint 3.10
For s(t)=t3,s(t)=t3, find a(t).a(t).
For the following exercises, use the definition of a derivative to find f′(x).f′(x).
f ( x ) = 6 f ( x ) = 6
f ( x ) = 2 − 3 x f ( x ) = 2 − 3 x
f ( x ) = 2 x 7 + 1 f ( x ) = 2 x 7 + 1
f ( x ) = 4 x 2 f ( x ) = 4 x 2
f ( x ) = 5 x − x 2 f ( x ) = 5 x − x 2
f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x
f ( x ) = x − 6 f ( x ) = x − 6
f ( x ) = 9 x f ( x ) = 9 x
f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = x + 1 x
f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x
For the following exercises, use the graph of y=f(x)y=f(x) to sketch the graph of its derivative f′(x).f′(x).
For the following exercises, the given limit represents the derivative of a function y=f(x)y=f(x) at x=a.x=a. Find f(x)f(x) and a.a.
lim h → 0 ( 1 + h ) 2 / 3 − 1 h lim h → 0 ( 1 + h ) 2 / 3 − 1 h
lim h → 0 [ 3 ( 2 + h ) 2 + 2 ] − 14 h lim h → 0 [ 3 ( 2 + h ) 2 + 2 ] − 14 h
lim h → 0 cos ( π + h ) + 1 h lim h → 0 cos ( π + h ) + 1 h
lim h → 0 ( 2 + h ) 4 − 16 h lim h → 0 ( 2 + h ) 4 − 16 h
lim h → 0 [ 2 ( 3 + h ) 2 − ( 3 + h ) ] − 15 h lim h → 0 [ 2 ( 3 + h ) 2 − ( 3 + h ) ] − 15 h
lim h → 0 e h − 1 h lim h → 0 e h − 1 h
For the following functions,
sketch the graph and
use the definition of a derivative to show that the function is not differentiable at x=1.x=1.
f ( x ) = { 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 3 x − 1 , x > 1 f ( x ) = { 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 3 x − 1 , x > 1
f ( x ) = { 3 , x < 1 3 x , x ≥ 1 f ( x ) = { 3 , x < 1 3 x , x ≥ 1
f ( x ) = { − x 2 + 2 , x ≤ 1 x , x > 1 f ( x ) = { − x 2 + 2 , x ≤ 1 x , x > 1
f ( x ) = { 2 x , x ≤ 1 2 x , x > 1 f ( x ) = { 2 x , x ≤ 1 2 x , x > 1
For the following graphs,
determine for which values of x=ax=a the limx→af(x)limx→af(x) exists but ff is not continuous at x=a,x=a, and
determine for which values of x=ax=a the function is continuous but not differentiable at x=a.x=a.
Use the graph of f(x)f(x) shown to evaluate a. f′(−0.5),f′(−0.5), b. f′(0),f′(0), c. f′(1),f′(1), d. f′(2),f′(2), and e. f′(3),f′(3), if it exists.
For the following functions, use f″(x)=limh→0f′(x+h)−f′(x)hf″(x)=limh→0f′(x+h)−f′(x)h to find f″(x).f″(x).
f ( x ) = 2 − 3 x f ( x ) = 2 − 3 x
f ( x ) = 4 x 2 f ( x ) = 4 x 2
f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = x + 1 x
For the following exercises, use a calculator to graph f(x).f(x). Determine the function f′(x),f′(x), then use a calculator to graph f′(x).f′(x).
[T] f(x)=−5xf(x)=−5x
[T] f(x)=3x2+2x+4.f(x)=3x2+2x+4.
[T] f(x)=x+3xf(x)=x+3x
[T] f(x)=12xf(x)=12x
[T] f(x)=1+x+1xf(x)=1+x+1x
[T] f(x)=x3+1f(x)=x3+1
For the following exercises, describe what the two expressions represent in terms of each of the given situations. Be sure to include units.
f(x+h)−f(x)hf(x+h)−f(x)h
f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h
P(x)P(x) denotes the population of a city at time xx in years.
C(x)C(x) denotes the total amount of money (in thousands of dollars) spent on concessions by xx customers at an amusement park.
R(x)R(x) denotes the total cost (in thousands of dollars) of manufacturing xx clock radios.
g(x)g(x) denotes the grade (in percentage points) received on a test, given xx hours of studying.
B(x)B(x) denotes the cost (in dollars) of a sociology textbook at university bookstores in the United States in xx years since 1990.1990.
p(x)p(x) denotes atmospheric pressure in Torrs at an altitude of xx feet.
Sketch the graph of a function y=f(x)y=f(x) with all of the following properties:
f′(x)>0f′(x)>0 for −2≤x<1−2≤x<1
f′(2)=0f′(2)=0
f′(x)>0f′(x)>0 for x>2x>2
f(2)=2f(2)=2 and f(0)=1f(0)=1
limx→−∞f(x)=0limx→−∞f(x)=0 and limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞
f′(1)f′(1) does not exist.
Suppose temperature TT in degrees Fahrenheit at a height xx in feet above the ground is given by y=T(x).y=T(x).
Give a physical interpretation, with units, of T′(x).T′(x).
If we know that T′(1000)=−0.1,T′(1000)=−0.1, explain the physical meaning.
Suppose the total profit of a company is y=P(x)y=P(x) thousand dollars when xx units of an item are sold.
What does P(b)−P(a)b−aP(b)−P(a)b−a for 0<a<b0<a<b measure, and what are the units?
What does P′(x)P′(x) measure, and what are the units?
Suppose that P′(30)=5,P′(30)=5, what is the approximate change in profit if the number of items sold increases from 30to31?30to31?
The graph in the following figure models the number of people N(t)N(t) who have come down with the flu tt weeks after its initial outbreak in a town with a population of 50,00050,000 citizens.
Describe what N′(t)N′(t) represents and how it behaves as tt increases.
What does the derivative tell us about how this town is affected by the flu outbreak?
For the following exercises, use the following table, which shows the height hh of the Saturn VV rocket for the Apollo 1111 mission tt seconds after launch.
row: Time (seconds) | Height (meters)
row: 00 | 00
row: 11 | 22
row: 22 | 44
row: 33 | 1313
row: 44 | 2525
row: 55 | 3232
What is the physical meaning of h′(t)?h′(t)? What are the units?
[T] Construct a table of values for h′(t)h′(t) and graph both h(t)h(t) and h′(t)h′(t) on the same graph. (Hint: for interior points, estimate both the left limit and right limit and average them. An interior point of an interval I is an element of I which is not an endpoint of I.)
[T] The best linear fit to the data is given by H(t)=7.229t−4.905,H(t)=7.229t−4.905, where HH is the height of the rocket (in meters) and tt is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine H′(t).H′(t). Graph H(t)H(t) with the given data and, on a separate coordinate plane, graph H′(t).H′(t).
[T] The best quadratic fit to the data is given by G(t)=1.429t2+0.0857t−0.1429,G(t)=1.429t2+0.0857t−0.1429, where GG is the height of the rocket (in meters) and tt is the time elapsed since takeoff. From this equation, determine G′(t).G′(t). Graph G(t)G(t) with the given data and, on a separate coordinate plane, graph G′(t).G′(t).
[T] The best cubic fit to the data is given by F(t)=0.2037t3+2.956t2−2.705t+0.4683,F(t)=0.2037t3+2.956t2−2.705t+0.4683, where FF is the height of the rocket (in m) and tt is the time elapsed since take off. From this equation, determine F′(t).F′(t). Graph F(t)F(t) with the given data and, on a separate coordinate plane, graph F′(t).F′(t). Does the linear, quadratic, or cubic function fit the data best?
Using the best linear, quadratic, and cubic fits to the data, determine what H″(t),G″(t)andF″(t)H″(t),G″(t)andF″(t) are. What are the physical meanings of H″(t),G″(t)andF″(t),H″(t),G″(t)andF″(t), and what are their units?