ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
2. 4.1.1 ਬਦਲਦੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
3. 4.1.2 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਲੱਭੋ।
4. 4.1.3 ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
5. ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ, ਜਿਸ ਦਰ 'ਤੇ ਇਹ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇ ਦੋ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਜਿਸ ਦਰ 'ਤੇ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ ਇੱਕ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਹਵਾ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਘੇਰਾ ਅਤੇ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਦੋਵੇਂ ਵਧ ਰਹੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਦਲ ਰਹੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਸਬੰਧਤ-ਦਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ
7. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਬੰਧਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇ ਅਸੀਂ ਗੁਬਾਰੇ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਇਤਨ, V,V, ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ, ਘੇਰੇ, r.r, ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ dVdtdVdt ਅਤੇ drdtdrdt ਸਬੰਧਤ ਦਰਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ V, r ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੀਆਂ ਸਬੰਧਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 4.1
9. ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਫੁਲਾਉਣਾ
10. ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ 2cm3/sec2cm3/sec ਦੀ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਹਵਾ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.2)। ਜਦੋਂ ਘੇਰਾ 3cm3cm ਹੈ ਤਾਂ ਘੇਰਾ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ?
11. ਚਿੱਤਰ 4.2: ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਹਵਾ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਘੇਰਾ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੇ ਹਨ।
12. ਹੱਲ
13. ਘੇਰੇ rr ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
14. ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ ਹਵਾ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਘੇਰਾ ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫਲਨ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਗੁਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਭਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਦੇ tt ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਗੁਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
15. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਘੇਰੇ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੈ
16. ਗੁਬਾਰੇ ਨੂੰ 2 cm3/sec ਦੀ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਹਵਾ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ V′(t)=2cm3/sec.V′(t)=2cm3/sec. ਇਸ ਲਈ,
17. ਜੋ ਕਿ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ
18. ਜਦੋਂ ਘੇਰਾ r=3cm,r=3cm,
19. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.1
20. ਜਦੋਂ r=6cm,r=6cm ਹੈ ਤਾਂ ਘੇਰੇ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਕੀ ਹੈ?
21. ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ ਬਣਾਈਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਬੰਧਤ-ਦਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਾਂਗੇ।
22. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
23. ਸਬੰਧਤ-ਦਰਾਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
24. ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸਾਰੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਲਾਗੂ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ।
1. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਵਿੱਚ, ਵੇਰੀਏਬਲ (variables) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸ ਦਰ (rate) ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
2. ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ (equation) ਲੱਭੋ।
3. ਚੇਨ ਰੂਲ (chain rule) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤੀਜੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (independent variable) ਦੇ ਸਤਿਕਾਰ ਨਾਲ ਵੱਖਰਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਨਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ (derivatives) ਨੂੰ ਜੋੜੇਗਾ।
4. ਚੌਥੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ (known values) ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਅਣਜਾਣੀ ਦਰ (unknown rate of change) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸੰਬੰਧਿਤ-ਦਰਾਂ (related-rates) ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਬਹੁਤ ਜਲਦੀ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਕੀਮਤਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਬਦਲਣ ਵਾਲੀ ਮਾਤਰਾ (changing quantity) ਲਈ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਮਾਤਰਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ (constant) ਵਾਂਗ ਵਿਹਾਰ ਕਰੇਗੀ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚੌਥੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਲੱਭੇ ਗਏ ਨਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਨਹੀਂ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸੰਭਾਵੀ ਗਲਤੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
6. ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ
7. ਆਓ ਹੁਣ ਵਰਣਿਤ ਰਣਨੀਤੀ ਨੂੰ ਕਈ ਸੰਬੰਧਿਤ-ਦਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਿਸ ਸਬੰਧ ਦਾ ਅਸੀਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਉਹ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 4.2
9. ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਜਹਾਜ਼
10. ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਦਮੀ ਇੱਕ ਰੇਡੀਓ ਟਾਵਰ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ 3000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਜਹਾਜ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਆਦਮੀ ਤੋਂ ਖਿਤਿਜੀ (horizontally) ਦੂਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇ ਜਹਾਜ਼ 600 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਦੋਂ ਜਹਾਜ਼ ਰੇਡੀਓ ਟਾਵਰ ਦੇ ਉੱਪਰੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ?
11. ਹੱਲ
12. ਕਦਮ 1. ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
13. ਚਿੱਤਰ 4.3: ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਵਿਅਕਤੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਵਿਅਕਤੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸਥਾਨ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ s ਅਤੇ x, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
14. ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, x ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸਥਾਨ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵੇਰੀਏਬਲ s ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x ਅਤੇ s ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ (functions) ਹਨ। ਅਸੀਂ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਈ ਕੋਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਵਸਤੂ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ x ਫੁੱਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਲੰਬਵਤ (perpendicular) ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ (right triangle) ਬਣਦਾ ਹੈ।
15. ਕਦਮ 2. ਕਿਉਂਕਿ x ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਵਿਚਕਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, dx/dt ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ 600 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, dx/dt = 600 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੇਂ ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ ਜਹਾਜ਼ ਰੇਡੀਓ ਟਾਵਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ds/dt ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਦੋਂ x = 3000 ਫੁੱਟ।
16. ਕਦਮ 3. ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ s ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ (Pythagorean theorem) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
17. ਕਦਮ 4. ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਤਿਕਾਰ ਨਾਲ ਵੱਖਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ
18. ਕਦਮ 5. ਉਸ ਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਨਾਲ ਆਦਮੀ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਜਹਾਜ਼ ਰੇਡੀਓ ਟਾਵਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭਾਵ, ds/dt ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ x = 3000 ਫੁੱਟ। ਕਿਉਂਕਿ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਗਤੀ 600 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ dx/dt = 600 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ। ਸਾਨੂੰ s ਲਈ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ds/dt ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ x = 3000 ਫੁੱਟ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ s ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ x = 3000 ਅਤੇ ਉਚਾਈ 4000 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
19. s ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦਿਲਚਸਪੀ ਦੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ s = 5000 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ds/dt ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ
20. ਇਸ ਲਈ,
21. ਨੋਟ: ਜਦੋਂ ਸੰਬੰਧਿਤ-ਦਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਜਲਦੀ ਬਦਲਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਦਮ 3 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮਾਤਰਾਵਾਂ x(t) ਅਤੇ s(t) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ
22. ਕਿਉਂਕਿ ਜਹਾਜ਼ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਚਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸਥਿਰ 4000 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੋਰ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਬਦਲ ਰਹੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਵੇਰੀਏਬਲ x(t) = 3000 ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ, ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ
23. ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਹ ਬਣ ਜਾਵੇਗਾ
24. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਾਂਗੇ ਕਿ ds/dt = 0।
Checkpoint 4.2
What is the speed of the plane if the distance between the person and the plane is increasing at the rate of 300ft/sec?300ft/sec?
We now return to the problem involving the rocket launch from the beginning of the chapter.
Example 4.3
Chapter Opener: A Rocket Launch
Figure 4.4: (credit: modification of work by Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)
A rocket is launched so that it rises vertically. A camera is positioned 5000ft5000ft from the launch pad. When the rocket is 1000ft1000ft above the launch pad, its velocity is 600ft/sec.600ft/sec. Find the necessary rate of change of the camera’s angle as a function of time so that it stays focused on the rocket.
Solution
Step 1. Draw a picture introducing the variables.
Figure 4.5: A camera is positioned 5000 ft from the launch pad of the rocket. The height of the rocket and the angle of the camera are changing with respect to time. We denote those quantities with the variables hh and θ,θ, respectively.
Let hh denote the height of the rocket above the launch pad and θθ be the angle between the camera lens and the ground.
Step 2. We are trying to find the rate of change in the angle of the camera with respect to time when the rocket is 1000 ft off the ground. That is, we need to find dθdtdθdt when h=1000ft.h=1000ft. At that time, we know the velocity of the rocket is dhdt=600ft/sec.dhdt=600ft/sec.
Step 3. Now we need to find an equation relating the two quantities that are changing with respect to time: hh and θ.θ. How can we create such an equation? Using the fact that we have drawn a right triangle, it is natural to think about trigonometric functions. Recall that tanθtanθ is the ratio of the length of the opposite side of the triangle to the length of the adjacent side. Thus, we have
This gives us the equation
Step 4. Differentiating this equation with respect to time t,t, we obtain
Step 5. We want to find dθdtdθdt when h=1000ft.h=1000ft. At this time, we know that dhdt=600ft/sec.dhdt=600ft/sec. We need to determine sec2θ.sec2θ. Recall that secθsecθ is the ratio of the length of the hypotenuse to the length of the adjacent side. We know the length of the adjacent side is 5000ft.5000ft. To determine the length of the hypotenuse, we use the Pythagorean theorem, where the length of one leg is 5000ft,5000ft, the length of the other leg is h=1000ft,h=1000ft, and the length of the hypotenuse is cc feet as shown in the following figure.
We see that
and we conclude that the hypotenuse is
Therefore, when h=1000,h=1000, we have
Recall from step 4 that the equation relating dθdtdθdt to our known values is
When h=1000ft,h=1000ft, we know that dhdt=600ft/secdhdt=600ft/sec and sec2θ=2625.sec2θ=2625. Substituting these values into the previous equation, we arrive at the equation
Therefore, dθdt=326rad/sec.dθdt=326rad/sec.
Checkpoint 4.3
What rate of change is necessary for the elevation angle of the camera if the camera is placed on the ground at a distance of 4000ft4000ft from the launch pad and the velocity of the rocket is 500 ft/sec when the rocket is 2000ft2000ft off the ground?
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਫਨਲ ਵਿੱਚੋਂ ਨਿਕਲਦੇ ਪਾਣੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਸ ਦਰ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦਾ ਪੱਧਰ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਉਸ ਦਰ ਨਾਲ ਜਿਸ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਘੱਟ ਰਹੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.4
ਫਨਲ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਦਾ ਨਿਕਾਸ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ-ਆਕਾਰ ਦੇ ਫਨਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ 0.03ft3/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਨਿਕਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਫਨਲ ਦੀ ਉਚਾਈ 2 ft ਹੈ ਅਤੇ ਫਨਲ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1ft ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ 12ft ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਫਨਲ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1: ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 4.6: 2 ft ਉਚਾਈ ਅਤੇ 1 ft ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਫਨਲ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਨਿਕਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ hh ਅਤੇ r ਚਲਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ hh ਫਨਲ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ, r ਇਸਦੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ, ਅਤੇ VV ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 2: ਸਾਨੂੰ h=12ft ਹੋਣ 'ਤੇ dhdt ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ dVdt=−0.03ft3/sec ਹੈ।
ਕਦਮ 3: ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, rh=12 ਜਾਂ r=h2। ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਕਦਮ 4: ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਮੇਂ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਚੇਨ ਰੂਲ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਕਦਮ 5: ਅਸੀਂ h=12ft ਹੋਣ 'ਤੇ dhdt ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਣੀ 0.03ft3/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਨਿਕਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ dVdt=−0.03ft3/sec ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਜੋ ਕਿ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.4
ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ 14ft ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
x=1 ਅਤੇ y=x2+3 ਹੋਣ 'ਤੇ dydt ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ dxdt=4 ਹੈ।
x=−2 ਹੋਣ 'ਤੇ dxdt ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ y=2x2+1 ਜੇਕਰ dydt=−1 ਹੈ।
(x,y)=(1,3) ਅਤੇ z2=x2+y2 ਹੋਣ 'ਤੇ dzdtdzdt ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ dxdt=4 ਅਤੇ dydt=3 ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
[T] ਜੇਕਰ ਦੋ ਬਿਜਲਈ ਰੋਧਕ ਸਮਾਂਤਰ ਵਿੱਚ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ (ਓਮਜ਼ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ, ਯੂਨਾਨੀ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰ ਓਮੇਗਾ, Ω ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਸਮੀਕਰਨ 1R=1R1+1R2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ R1 0.5Ω/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ R2 1.1Ω/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ R1=20Ω ਅਤੇ R2=50Ω ਹੈ?
ਇੱਕ 10-ft ਪੌੜੀ ਇੱਕ ਕੰਧ ਦੇ ਸਹਾਰੇ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ। ਜੇ ਪੌੜੀ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਸਿਰਾ 2 ft/sec ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਕੰਧ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਸਿਰਾ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚਲ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੌੜੀ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਸਿਰਾ ਕੰਧ ਤੋਂ 5 ft ਦੂਰ ਹੈ?
1. ਇੱਕ 25-ਫੁੱਟੀ ਪੌੜੀ ਕੰਧ ਦੇ ਸਹਾਰੇ ਖੜ੍ਹੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਪੌੜੀ ਨੂੰ 1 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਕੰਧ ਵੱਲ ਧੱਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪੌੜੀ ਦਾ ਹੇਠਲਾ ਸਿਰਾ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕੰਧ ਤੋਂ 20 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਧੱਕਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ 5 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਪੌੜੀ ਕੰਧ ਉੱਤੇ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਚੜ੍ਹੇਗੀ?
2. ਦੋ ਜਹਾਜ਼ ਇੱਕੋ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਡ ਰਹੇ ਹਨ: ਜਹਾਜ਼ ਏ 250 ਮੀਲ/ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਬੀ 300 ਮੀਲ/ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਹਵਾਈ ਅੱਡੇ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੇ ਹਨ, ਜੋ ਜਹਾਜ਼ ਏ ਦੇ ਪੂਰਬ ਵਿੱਚ 30 ਮੀਲ ਅਤੇ ਜਹਾਜ਼ ਬੀ ਦੇ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ 40 ਮੀਲ ਦੂਰ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਜਹਾਜ਼ਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?
3. ਤੁਸੀਂ ਅਤੇ ਤੁਹਾਡਾ ਦੋਸਤ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਵੱਲ ਸਾਈਕਲ ਚਲਾ ਰਹੇ ਹੋ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਪੂਰਬ ਵਿੱਚ ਹੈ; ਤੁਹਾਡਾ ਦੋਸਤ ਸੋਚਦਾ ਹੈ ਕਿ ਰੈਸਟੋਰੈਂਟ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਰਵਾਨਾ ਹੁੰਦੇ ਹੋ, ਤੁਸੀਂ 16 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਅਤੇ ਤੁਹਾਡਾ ਦੋਸਤ 12 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। 4 ਮੀਲ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਹਾਡੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?
4. ਦੋ ਬੱਸਾਂ 5 ਮੀਲ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਫ੍ਰੀਵੇਅ 'ਤੇ ਚੱਲ ਰਹੀਆਂ ਹਨ, ਇੱਕ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬੱਸ 55 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਬੱਸਾਂ 13 ਮੀਲ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵੱਲ ਆ ਰਹੀਆਂ ਹੋਣ ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
5. ਇੱਕ 6-ਫੁੱਟ-ਉੱਚਾ ਵਿਅਕਤੀ 10-ਫੁੱਟੇ ਲੈਂਪਪੋਸਟ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਸਥਿਰ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਦੂਰ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਪੋਲ ਤੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦਾ ਸਿਰਾ ਪੋਲ ਤੋਂ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਦੂਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
6. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜਦੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਪੋਲ ਤੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦਾ ਸਿਰਾ ਵਿਅਕਤੀ ਤੋਂ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਦੂਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
7. ਇੱਕ 5-ਫੁੱਟ-ਉੱਚਾ ਵਿਅਕਤੀ 2 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਕੰਧ ਵੱਲ ਚੱਲਦਾ ਹੈ। ਕੰਧ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਾਟਲਾਈਟ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ?
8. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜਦੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 10 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੀ ਦਰ ਕੀ ਹੈ ਜੇ ਵਿਅਕਤੀ 2 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਕੰਧ ਤੋਂ ਦੂਰ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ?
9. ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਹੈਲੀਕਾਪਟਰ 25 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਉੱਠ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ 10 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਹੈਲੀਕਾਪਟਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਦੌੜ ਰਹੇ ਹੋ। 5 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਹੈਲੀਕਾਪਟਰ ਅਤੇ ਤੁਹਾਡੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜਦੋਂ ਹੈਲੀਕਾਪਟਰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ 60 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਅਤੇ ਹੈਲੀਕਾਪਟਰ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਤੁਹਾਡੇ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਸੀ?
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ-ਦਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਲੇਬਲ ਕਰੋ।
12. ਇੱਕ ਘਣ ਦਾ ਪਾਸਾ 12 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਘਣ ਦਾ ਪਾਸਾ 4 ਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਇੱਕ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ 10 ਮੀ³/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਘਣ ਦਾ ਪਾਸਾ 2 ਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਘਣ ਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
14. ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 22 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 5 ਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 33 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 10 ਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗੋਲੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਘਟਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 11 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 20 ਮੀਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 9 ਸੈਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਇੱਕੋ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੇ ਹੋਣ।
18. ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਆਧਾਰ 1 ਸੈਮੀ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸੁੰਗੜ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ 5 ਸੈਮੀ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਚਾਈ 22 ਸੈਮੀ ਅਤੇ ਆਧਾਰ 10 ਸੈਮੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਥਿਰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 3 ਫੁੱਟ ਅਤੇ 5 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ 0.1 ਰੇਡੀਅਨ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ π/6 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
20. ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ 2 ਸੈਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 4 ਸੈਮੀ²/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਸੈਮੀ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ 20 ਸੈਮੀ² ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਕੋਨ (right cone) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਪਾਣੀ ਲੀਕ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਟੈਂਕ ਦੇ ਮਾਪ 16 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ 5 ਫੁੱਟ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹਨ।
22. ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 10 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ ਜੇ ਸ਼ੰਕੂ 10 ਫੁੱਟ³/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਲੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ?
23. ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 10 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸ਼ੰਕੂ 10 ਫੁੱਟ³/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਲੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ।
1. ਜੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਪੱਧਰ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ 3 ਇੰਚ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਨਿਕਲਣ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ 1 ਫੁੱਟ³/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਲੀਕ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 10 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਤਾਂ 6 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?
3. ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਲੀਕ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ ਪਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 2 ਮੀਟਰ ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 2 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ ਪਾਣੀ ਦੇ ਨਿਕਲਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ 1 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਘਟਣ ਦੀ ਦਰ 10 ਸੈਮੀ/ਮਿੰਟ ਹੈ।
4. ਇੱਕ ਖੂਹ ਦੇ ਸਿਰੇ ਆਇਸੋਸੈਲਸ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦੀ ਚੌੜਾਈ 3 ਮੀਟਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 4 ਮੀਟਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਖੂਹ 10 ਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਖੂਹ ਵਿੱਚ 5 ਮੀ³/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਪਾਇਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 1 ਮੀਟਰ ਡੂੰਘਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ?
5. ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਵਰਗ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਉਲਟੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਧਾਰ 4 ਮੀਟਰ ਗੁਣਾ 4 ਮੀਟਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 12 ਮੀਟਰ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 2 ਮੀਟਰ ਡੂੰਘਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜੇ 2323 ਮੀ³/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪਾਣੀ ਪਾਇਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ?
6. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਪੂਲ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ 25 ਫੁੱਟ³/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪੂਲ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 10 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਅੰਸ਼ਕ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਸੂਤਰ V=πh6(3r2+h2)V=πh6(3r2+h2) ਹੈ ਜਿੱਥੇ h ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ r ਪਾਣੀ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹੈ।
7. ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 5 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਜਦੋਂ ਪਾਣੀ 1 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਜੇ 2 ਫੁੱਟ ਦੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ ਉਚਾਈ 1 ਇੰਚ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਪਾਉਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਇੱਕ ਟਰੱਕ ਵਿੱਚੋਂ ਬੱਜਰੀ ਉਤਾਰੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ 10 ਫੁੱਟ³/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਢੇਰ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਢੇਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 5 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਬੱਜਰੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. ਪਿਛਲੇ ਸਵਾਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸਥਾਪਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬੱਜਰੀ ਦੇ ਉਤਾਰਨ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਢੇਰ 5 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 4 ਇੰਚ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ।
12. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ-ਦਰਾਂ ਵਾਲੇ ਸਵਾਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਵਾਲ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
13. ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੰਛੀ ਨੂੰ 1010 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਉਡਾਣ ਭਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹੋ। ਪੰਛੀ ਤੁਹਾਡੇ ਸਿਰ ਤੋਂ 40 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਅਤੇ ਪੰਛੀ ਵਿਚਕਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ 9 ਮੀਟਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਚਾਈ ਦਾ ਕੋਣ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ?
14. ਤੁਸੀਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬੋਤਲ ਰਾਕੇਟ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 20 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਉਡਾਣ ਭਰਦੇ ਹੋਏ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹੋ। ਜਦੋਂ ਰਾਕੇਟ 30 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਚਾਈ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਇੱਕ ਲਾਈਟਹਾਊਸ, L, ਇੱਕ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਹੈ ਜੋ ਬੀਚ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਬਿੰਦੂ, P, ਤੋਂ 4 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਜੇ ਲਾਈਟਹਾਊਸ ਦੀ ਰੋਸ਼ਨੀ 10 ਰੈਵੋਲਿਊਸ਼ਨ/ਮਿੰਟ ਦੀ ਸਥਿਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਬੀਚ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 2 ਮੀਲ ਦੂਰ ਬੀਚ 'ਤੇ ਰੋਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚਲਦੀ ਹੈ?
16. ਪਿਛਲੇ ਸਵਾਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸਥਾਪਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਬੀਚ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ 1 ਮੀਲ ਦੂਰ ਬੀਚ 'ਤੇ ਰੋਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਚਲਦੀ ਹੈ।
17. ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਬੱਸ ਸਟਾਪ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਵਾਲੇ ਮੋੜ 'ਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਹੋ। ਤੁਸੀਂ 2 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੇ ਹੋ ਅਤੇ ਚੌਰਾਹੇ ਤੋਂ 20 ਮੀਟਰ ਦੱਖਣ ਵਿੱਚ ਹੋ। ਬੱਸ ਚੌਰਾਹੇ ਤੋਂ 10 ਮੀ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਪੱਛਮ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ – ਤੁਸੀਂ ਬੱਸ ਖੁੰਝ ਗਏ ਹੋ! ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਚੌਰਾਹੇ ਤੋਂ 20 ਮੀਟਰ ਦੱਖਣ ਵਿੱਚ ਹੋ ਅਤੇ ਬੱਸ ਚੌਰਾਹੇ ਤੋਂ 10 ਮੀਟਰ ਪੱਛਮ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਡੇ ਅਤੇ ਬੱਸ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦੇ ਬਦਲਣ ਦੀ ਦਰ ਕੀ ਹੈ?
18. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਬੇਸਬਾਲ ਡਾਇਮੰਡ ਦੇ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਲਓ, ਜਿਸਦੇ ਪਾਸੇ 90 ਫੁੱਟ ਹਨ।
19. [T] ਇੱਕ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ 75 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਤੀਜੀ ਬੇਸ ਵੱਲ ਗੇਂਦ ਮਾਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 24 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪਹਿਲੀ ਬੇਸ ਵੱਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ 2 ਸੈਕਿੰਡ ਬੀਤ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਗੇਂਦ ਅਤੇ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ?
20. [T] ਇੱਕ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ 80 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਦੂਜੀ ਬੇਸ ਵੱਲ ਗੇਂਦ ਮਾਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 30 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪਹਿਲੀ ਬੇਸ ਵੱਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੌੜਾਕ ਨੇ ਪਹਿਲੀ ਬੇਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਇੱਕ-ਤਿਹਾਈ ਹਿੱਸਾ ਤੈਅ ਕਰ ਲਿਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੇਂਦ ਅਤੇ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ।)
21. [T] ਇੱਕ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਗੇਂਦ ਮਾਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 22 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਪਹਿਲੀ ਬੇਸ ਵੱਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੌੜਾਕ 30 ਫੁੱਟ ਦੌੜ ਚੁੱਕਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਦੌੜਾਕ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਬੇਸ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਕਿਸ ਦਰ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ?
1. ਦੌੜਾਕ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬੇਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਬੇਸਬਾਲ ਮਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਹਿਲੇ ਬੇਸ 'ਤੇ ਦੌੜਾਕ ਦੂਜੇ ਬੇਸ ਵੱਲ 18 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬੇਸ 'ਤੇ ਦੌੜਾਕ ਤੀਜੇ ਬੇਸ ਵੱਲ 20 ਫੁੱਟ/ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਮਾਰਨ ਤੋਂ 1 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਦੌੜਾਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲ ਰਹੀ ਹੈ?