ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.2.1 ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਖੀਕਰਨ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
4.2.2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਖੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
4.2.3 ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
4.2.4 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤਰੁੱਟੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਥਾਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ। ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਆਮ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉੱਚ-ਡਿਗਰੀ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੁਆਰਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ x=a 'ਤੇ ਅਵਕਲਯੋਗ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ a 'ਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=1/x ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ a=2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ f x=2 'ਤੇ ਅਵਕਲਯੋਗ ਹੈ ਅਤੇ f'(x)=−1/x^2, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f'(2)=−1/4। ਇਸ ਲਈ, a=2 'ਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 4.7(a) f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x=2 'ਤੇ f ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਲਈ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਲਈ f(x) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ x=2.1, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y ਮੁੱਲ ਹੈ
f(2.1) ਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸਾਨੂੰ f(2.1) ਦਾ ਕਾਫ਼ੀ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.7(b))। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 2 ਤੋਂ ਦੂਰ x ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ x=10, ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਮੁੱਲ ਹੈ
ਜਦੋਂ ਕਿ x=10 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ f(10)=0.1 ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.7: (a) x=2 'ਤੇ f(x)=1/x ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ 2 ਦੇ ਨੇੜੇ x ਲਈ f ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। (b) x=2.1 'ਤੇ, f(x)=1/x ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ 'ਤੇ y ਦਾ ਮੁੱਲ 0.475 ਹੈ। f(2.1) ਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ 1/2.1 ਹੈ, ਜੋ ਲਗਭਗ 0.47619 ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਅਵਕਲਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, x=a 'ਤੇ f ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ a ਦੇ ਨੇੜੇ x ਲਈ f(x) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ
x=a 'ਤੇ f ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ, ਜਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਅਨੁਮਾਨ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ L ਨੂੰ x=a 'ਤੇ f ਦੇ ਰੇਖੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿੰਨਾ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=9 'ਤੇ f(x)=√x ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.5
√x ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ
x=9 'ਤੇ f(x)=√x ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ 9.1 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ x=9 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ 4.1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਸਾਨੂੰ f(9) ਅਤੇ f'(9) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 4.8 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ 9.19.1 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਲਿਖ ਕੇ
ਚਿੱਤਰ 4.8: x=9 'ਤੇ f(x)=x ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ, x ਦੇ ਨੇੜੇ f ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ 9.19.1 ਦਾ ਮੁੱਲ 3.0166 ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮੁੱਲ, 3.0167, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ x ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਘੱਟੋ-ਘੱਟ x ਦੇ 9.9 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣ 'ਤੇ। ਇਸ ਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 9.1.9.1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਬਟਨ ਦਬਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਜੀਬ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 9.1?9.1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ! ਦਰਅਸਲ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰ ਸਮੇਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਉਹ ਸਿਰਫ਼ ਉੱਚ-ਡਿਗਰੀ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.5
x=8 'ਤੇ f(x)=x^3 ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ 8.13 ਦਾ ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.6
sinx ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ
x=π/3 'ਤੇ f(x)=sinx ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ sin(62°) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ π/3 ਰੇਡੀਅਨ 60° ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, x=π/3 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਵਾਜਬ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, x=π/3 'ਤੇ f ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 4.9 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
L ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin(62°) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ 62° ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ 62° = 62π/180 ਰੇਡੀਅਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ sin(62°) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 4.9: x=π/3 'ਤੇ f(x)=sinx ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ, x ਦੇ π/3 ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣ 'ਤੇ sinx ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.6
x=π/2 'ਤੇ f(x)=cosx ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ।
ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x=0 'ਤੇ f(x)=(1+x)^n ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ 1 ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਹੀ ਵਿਚਾਰ f(x)=(m+x)^n ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆ m ਦੇ ਨੇੜੇ ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.7
ਜੜ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
x=0 'ਤੇ f(x)=(1+x)^n ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭੋ। ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ (1.01)^3 ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
x=0 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
Because
the linear approximation is given by Figure 4.10(a).
We can approximate (1.01)3(1.01)3 by evaluating L(0.01)L(0.01) when n=3.n=3. We conclude that
Figure 4.10: (a) The linear approximation of f(x)f(x) at x=0x=0 is L(x).L(x). (b) The actual value of 1.0131.013 is 1.030301. The linear approximation of f(x)f(x) at x=0x=0 estimates 1.0131.013 to be 1.03.
Checkpoint 4.7
Find the linear approximation of f(x)=(1+x)4f(x)=(1+x)4 at x=0x=0 without using the result from the preceding example.
Differentials
We have seen that linear approximations can be used to estimate function values. They can also be used to estimate the amount a function value changes as a result of a small change in the input. To discuss this more formally, we define a related concept: differentials. Differentials provide us with a way of estimating the amount a function changes as a result of a small change in input values.
When we first looked at derivatives, we used the Leibniz notation dy/dxdy/dx to represent the derivative of yy with respect to x.x. Although we used the expressions dy and dx in this notation, they did not have meaning on their own. Here we see a meaning to the expressions dy and dx. Suppose y=f(x)y=f(x) is a differentiable function. Let dx be an independent variable that can be assigned any nonzero real number, and define the dependent variable dydy by
It is important to notice that dydy is a function of both xx and dx.dx. The expressions dy and dx are called differentials. We can divide both sides of Equation 4.2 by dx,dx, which yields
This is the familiar expression we have used to denote a derivative. Equation 4.2 is known as the differential form of Equation 4.3.
Example 4.8
Computing differentials
For each of the following functions, find dy and evaluate when x=3x=3 and dx=0.1.dx=0.1.
y=x2+2xy=x2+2x
y=cosxy=cosx
Solution
The key step is calculating the derivative. When we have that, we can obtain dy directly.
Since f(x)=x2+2x,f(x)=x2+2x, we know f′(x)=2x+2,f′(x)=2x+2, and therefore dy=(2x+2)dx.dy=(2x+2)dx. When x=3x=3 and dx=0.1,dx=0.1, dy=(2·3+2)(0.1)=0.8.dy=(2·3+2)(0.1)=0.8.
Since f(x)=cosx,f(x)=cosx, f′(x)=−sin(x).f′(x)=−sin(x). This gives us dy=−sinxdx.dy=−sinxdx. When x=3x=3 and dx=0.1,dx=0.1, dy=−sin(3)(0.1)=−0.1sin(3).dy=−sin(3)(0.1)=−0.1sin(3).
Checkpoint 4.8
For y=ex2,y=ex2, find dy.dy.
We now connect differentials to linear approximations. Differentials can be used to estimate the change in the value of a function resulting from a small change in input values. Consider a function ff that is differentiable at point a.a. Suppose the input xx changes by a small amount. We are interested in how much the output yy changes. If xx changes from aa to a+dx,a+dx, then the change in xx is dxdx (also denoted Δx),Δx), and the change in yy is given by
Instead of calculating the exact change in y,y, however, it is often easier to approximate the change in yy by using a linear approximation. For xx near a,a, f(x)f(x) can be approximated by the linear approximation
ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ dxdx ਛੋਟਾ ਹੈ,
ਭਾਵ,
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ xx, aa ਤੋਂ a+dxa+dx ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਤਬਦੀਲੀ L(a+dx)L(a+dx) ਅਤੇ f(a),f(a) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ L(x)L(x) aa 'ਤੇ ff ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। L(x),L(x) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇਹ ਅੰਤਰ f′(a)dx.f′(a)dx ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ yy ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ dy=f′(a)dxdy=f′(a)dx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ xx, x=ax=a ਤੋਂ x=a+dx.x=a+dx ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 4.11: ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ dy=f′(a)dxdy=f′(a)dx ਦੀ ਵਰਤੋਂ yy ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ xx, aa ਤੋਂ a+dx.a+dx ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਉਸ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਸਟੀਕ ਗਣਨਾ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.9
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ
ਮੰਨ ਲਓ y=x2+2x.y=x2+2x. ਜੇਕਰ dx=0.1.dx=0.1 ਹੈ ਤਾਂ x=3x=3 'ਤੇ ΔyΔy ਅਤੇ dy ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ xx, x=3x=3 ਤੋਂ x=3.1x=3.1 ਤੱਕ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਤਾਂ yy ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਤਬਦੀਲੀ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
yy ਵਿੱਚ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਤਬਦੀਲੀ dy=f′(3)dx.dy=f′(3)dx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f′(x)=2x+2,f′(x)=2x+2, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.9
y=x2+2x,y=x2+2x ਲਈ, ਜੇਕਰ dx=0.2.dx=0.2 ਹੈ ਤਾਂ x=3x=3 'ਤੇ ΔyΔy ਅਤੇ dydy ਲੱਭੋ।
ਗਲਤੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਗਲਤੀ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੁਝ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਨੂੰ ਮਾਪ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਗਿਣੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਗਲਤੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਮਾਪੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ a,a ਹੈ, ਪਰ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਮੁੱਲ a+dx.a+dx ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਪ ਗਲਤੀ dx (ਜਾਂ Δx).Δx) ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਗਿਣੇ ਗਏ ਮਾਤਰਾ f(x).f(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਲਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਗਲਤੀ (propagated error) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰੇ ਮਾਪਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਗਲਤੀ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮਾਪੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਗਿਣ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਮਾਪ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਗਲਤੀ Δy.Δy ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ff, aa 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਗਲਤੀ ਹੈ:
ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਮੁੱਲ a.a ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਮਾਪੇ ਗਏ ਮੁੱਲ a+dx,a+dx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.10
ਘਣ ਦਾ ਆਕਾਰ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 5 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ 0.1 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ।
ਘਣ ਦੇ ਗਿਣੇ ਗਏ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (i) 4.9 cm ਅਤੇ (ii) 5.1 cm ਹੈ ਤਾਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਤਰੁੱਟੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਸਲ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰੁੱਟੀ ਨਾਲ ਕਰੋ।
2. ਹੱਲ
3. ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਮਾਪ ±0.1 cm ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, −0.1≤dx≤0.1। ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ V=x3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ dV=3x2dx ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 5 cm ਦੀ ਮਾਪੀ ਗਈ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ −3(5)2(0.1)≤dV≤3(5)2(0.1)। ਇਸ ਲਈ, −7.5≤dV≤7.5।
4. ਜੇ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 4.9 cm ਹੈ, ਤਾਂ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ V(4.9)=(4.9)3=117.649cm3 ਹੈ। ਜੇ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 5.1 cm ਹੈ, ਤਾਂ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ V(5.1)=(5.1)3=132.651cm3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਘਣ ਦਾ ਅਸਲ ਆਇਤਨ 117.649 ਅਤੇ 132.651 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 5 cm ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ, ਗਣਿਤ ਕੀਤਾ ਆਇਤਨ V(5)=53=125 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗਣਿਤ ਕੀਤੇ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ 117.649−125≤ΔV≤132.651−125 ਹੈ। ਭਾਵ, −7.351≤ΔV≤7.651। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਤਰੁੱਟੀ dV ਗਣਿਤ ਕੀਤੇ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਸੰਭਾਵੀ ਤਰੁੱਟੀ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਨੇੜੇ ਹੈ।
5. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.10
6. ਘਣ ਦੇ ਗਣਿਤ ਕੀਤੇ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ ਜੇਕਰ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 6 cm ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ 0.2 cm ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ।
7. ਮਾਪ ਤਰੁੱਟੀ dx (=Δx) ਅਤੇ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਤਰੁੱਟੀ Δy ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਪੀ ਜਾ ਰਹੀ ਜਾਂ ਗਣਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਤਰੁੱਟੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ Δq ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਨੂੰ Δqq ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ q ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਦੀ ਉਚਾਈ 63 ਇੰਚ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸਲ ਉਚਾਈ 62 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ 1 ਇੰਚ ਹੈ ਪਰ ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ 162=0.016, ਜਾਂ 1.6% ਹੈ। ਇਸ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੱਤੇ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 8.25 ਇੰਚ ਮਾਪਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸਲ ਚੌੜਾਈ 8 ਇੰਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੀ ਨਿਰਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ 14 ਇੰਚ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ 0.258=132, ਜਾਂ 3.1% ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗੱਤੇ ਦੇ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ ਵੱਡੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ 0.25 ਇੰਚ 1 ਇੰਚ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 4.11
9. ਸਾਪੇਖ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ
10. ਇੱਕ ਕੈਮਰਾ ਵਰਤਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰੀ ਧਰਤੀ ਦੇ ਘੇਰੇ ਨੂੰ 4000 ਮੀਲ ±80 ਮੀਲ ਦੀ ਤਰੁੱਟੀ ਨਾਲ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਧਰਤੀ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਘੇਰੇ ਦੇ ਮਾਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾਪੇਖ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਭੇਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਗੋਲਾ ਹੈ।
11. ਹੱਲ
12. ਜੇ ਘੇਰੇ ਦਾ ਮਾਪ ±80 ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
13. ਕਿਉਂਕਿ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ V=(43)πr3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
14. 4000 ਮੀਲ ਦੇ ਮਾਪੇ ਗਏ ਘੇਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
15. ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, dVV 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ V ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, V ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਮਾਪੇ ਗਏ ਘੇਰੇ r=4000mi ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ V≈(43)π(4000)3 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ
16. ਜੋ ਕਿ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
17. ਸਾਪੇਖ ਤਰੁੱਟੀ 0.06 ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ 6% ਹੈ।
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.11
19. ਜੇ ਧਰਤੀ ਦਾ ਘੇਰਾ 3950 ਮੀਲ ±100 ਮੀਲ ਦੀ ਤਰੁੱਟੀ ਨਾਲ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਤਰੁੱਟੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
20. ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਮ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ y=mx+b ਲਈ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਕੀ ਹੈ?
21. ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇ। ਆਪਣੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ x ਅਤੇ a ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ ਘੱਟ ਸਹੀ ਕਿਉਂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਤਰਕ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਕਦੋਂ ਸਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ y=f(x) ਦੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ L(x) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
f ( x ) = x + x 4 , a = 0 f ( x ) = x + x 4 , a = 0
f ( x ) = 1 x , a = 2 f ( x ) = 1 x , a = 2
f ( x ) = tan x , a = π 4 f ( x ) = tan x , a = π 4
f ( x ) = sin x , a = π 2 f ( x ) = sin x , a = π 2
f ( x ) = x sin x , a = 2 π f ( x ) = x sin x , a = 2 π
f ( x ) = sin 2 x , a = 0 f ( x ) = sin 2 x , a = 0
For the following exercises, compute the values given within 0.01 by deciding on the appropriate f(x)f(x) and a,a, and evaluating L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Check your answer using a calculator.
[T] (2.001)6(2.001)6
[T] sin(0.02)sin(0.02)
[T] cos(0.03)cos(0.03)
[T] (15.99)1/4(15.99)1/4
[T] 10.9810.98
[T] sin(3.14)sin(3.14)
For the following exercises, determine the appropriate f(x)f(x) and a,a, and evaluate L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Calculate the numerical error in the linear approximations that follow.
[T] (1.01)3(1.01)3
[T] cos(0.01)cos(0.01)
[T] (sin(0.01))2(sin(0.01))2
[T] (1.01)−3(1.01)−3
[T] (1+110)10(1+110)10
[T] 8.998.99
For the following exercises, find the differential of the function.
y = 3 x 4 + x 2 − 2 x + 1 y = 3 x 4 + x 2 − 2 x + 1
y = x cos x y = x cos x
y = 1 + x y = 1 + x
y = x 2 + 2 x − 1 y = x 2 + 2 x − 1
For the following exercises, find the differential and evaluate for the given xx and dx.dx.
y=3x2−x+6,y=3x2−x+6, x=2,x=2, dx=0.1dx=0.1
y=1x+1,y=1x+1, x=1,x=1, dx=0.25dx=0.25
y=tanx,y=tanx, x=0,x=0, dx=π10dx=π10
y=3x2+2x+1,y=3x2+2x+1, x=0,x=0, dx=0.1dx=0.1
y=sin(2x)x,y=sin(2x)x, x=π,x=π, dx=0.25dx=0.25
y=x3+2x+1x,y=x3+2x+1x, x=1,x=1, dx=0.05dx=0.05
For the following exercises, find the change in volume dVdV or in surface area dA.dA.
dVdV if the sides of a cube change from 10 to 10.1.
dAdA if the sides of a cube change from xx to x+dx.x+dx.
dAdA if the radius of a sphere changes from rr by dr.dr.
dVdV if the radius of a sphere changes from rr by dr.dr.
dVdV if a circular cylinder with r=2r=2 changes height from 3 cm to 3.05cm.3.05cm.
dVdV if a circular cylinder of height 3 changes from r=2r=2 to r=1.9cm.r=1.9cm.
A spherical golf ball is measured to have a radius of 5mm,5mm, with a possible measurement error of 0.1mm.0.1mm. What is the possible change in volume?
A pool has a rectangular base of 10 ft by 20 ft and a depth of 6 ft. What is the change in volume if you only fill it up to 5.5 ft?
An ice cream cone has height 4 in. and radius 1 in. If the cone is 0.1 in. thick, what is the difference between the volume of the cone, including the shell, and the volume of the ice cream you can fit inside the shell?
For the following exercises, confirm the approximations by using the linear approximation at x=0.x=0.
1 − x ≈ 1 − 1 2 x 1 − x ≈ 1 − 1 2 x
1 1 − x 2 ≈ 1 1 1 − x 2 ≈ 1
c 2 + x 2 ≈ c c 2 + x 2 ≈ c