ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.1.1 ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.1.2 ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.1.3 ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਉਤਸੁਕ ਸੀ—ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਥਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ। ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜੋ ਕਿ ਵਿਨਾਸ਼ ਦੀ ਵਿਧੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਸਹੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਸੀ, ਇੱਕ ਅਨਿਯਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਭਰਨ ਲਈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਆਇਤਾਂ, ਤਿਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਵਕਰਿਤ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ (ਯਾਨੀ, ਆਇਤਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਛੋਟੀਆਂ ਅਤੇ ਛੋਟੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਨੂੰ ਢਿੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਨਿਯਮਿਤ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਸਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਲੰਬੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਨਵੇਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਾਨੀ ਵੱਡਾ ਅੱਖਰ Σ, ਸਿਗਮਾ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਲੰਬੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 1 ਤੋਂ 20 ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ
ਅਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਛੱਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜੋ ਕਿ ਬਿਹਤਰ ਹੈ, ਪਰ ਅਜੇ ਵੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ। ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਖੇਪ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ aᵢi ਉਹ ਸ਼ਬਦ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ i ਨੂੰ ਇੰਡੈਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, i=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ i=n 'ਤੇ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ∑ᵢ=2⁷sᵢ ਵਰਗੀ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ s₂+s₃+s₄+s₅+s₆+s₇ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੰਡੈਕਸ ਸਿਰਫ ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭੂਮਿਕਾ ਨਹੀਂ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇੰਡੈਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡਮੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੰਡੈਕਸ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਅੱਖਰ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇੰਡੈਕਸ ਲਈ i, j, k, m, ਅਤੇ n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਆਓ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.1
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ 3i, ਜਿੱਥੇ i=1,2,3,4,5, ਦਾ ਜੋੜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ: 1+1/4+1/9+1/16+1/25।
ਹੱਲ
∑ᵢ=₁⁵ 3ᵢ = 3+3²+3³+3⁴+3⁵ = 363 ਲਿਖੋ।
ਹਰੇਕ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਹਰ (denominator) ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ∑ᵢ=₁⁵ 1/i² ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.1
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸ਼ਬਦਾਂ 2i, ਜਿੱਥੇ i=3,4,5,6, ਦਾ ਜੋੜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
The properties associated with the summation process are given in the following rule.
Rule: Properties of Sigma Notation
Let a1,a2,…,ana1,a2,…,an and b1,b2,…,bnb1,b2,…,bn represent two sequences of terms and let c be a constant. The following properties hold for all positive integers n and for integers m, with 1≤m≤n.1≤m≤n.
∑i=1nc=nc∑i=1nc=nc (5.1)
∑i=1ncai=c∑i=1nai∑i=1ncai=c∑i=1nai (5.2)
∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi (5.3)
∑i=1n(ai−bi)=∑i=1nai−∑i=1nbi∑i=1n(ai−bi)=∑i=1nai−∑i=1nbi (5.4)
∑i=1nai=∑i=1mai+∑i=m+1nai∑i=1nai=∑i=1mai+∑i=m+1nai (5.5)
Proof
We prove properties 2. and 3. here, and leave proof of the other properties to the Exercises.
2. We have
3. We have
□
A few more formulas for frequently found functions simplify the summation process further. These are shown in the next rule, for sums and powers of integers, and we use them in the next set of examples.
Rule: Sums and Powers of Integers
The sum of n integers is given by ∑i=1ni=1+2+⋯+n=n(n+1)2.∑i=1ni=1+2+⋯+n=n(n+1)2.
The sum of consecutive integers squared is given by ∑i=1ni2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.∑i=1ni2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.
The sum of consecutive integers cubed is given by ∑i=1ni3=13+23+⋯+n3=n2(n+1)24.∑i=1ni3=13+23+⋯+n3=n2(n+1)24.
Example 5.2
Evaluation Using Sigma Notation
Write using sigma notation and evaluate:
The sum of the terms (i−3)2(i−3)2 for i=1,2,…,200.i=1,2,…,200.
The sum of the terms (i3−i2)(i3−i2) for i=1,2,3,4,5,6.i=1,2,3,4,5,6.
Solution
(i−3)2 ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ∑i=1200(i−3)2=∑i=1200(i2−6i+9)=∑i=1200i2−∑i=12006i+∑i=12009=∑i=1200i2−6∑i=1200i+∑i=12009=200(200+1)(400+1)6−6[200(200+1)2]+9(200)=2,686,700−120,600+1800=2,567,900
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਗੁਣ iv. ਅਤੇ ਵਰਗ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਣ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਲਈ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ∑i=16(i3−i2)=∑i=16i3−∑i=16i2=62(6+1)24−6(6+1)(2(6)+1)6=17644−5466=350
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.2
4+3i4+3i ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ i=1,2,…,100।
ਉਦਾਹਰਨ 5.3
ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
f(x)=x3f(x)=x3 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x ਪੂਰਨ ਅੰਕ 1,2,3,…,10 ਹਨ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.3
∑k=120(2k+1) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਹੱਥ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਸਮੱਸਿਆ, ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ A ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ f(x)f(x) ਦੁਆਰਾ, ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=ax=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ x=bx=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.2)।
ਚਿੱਤਰ 5.2: ਇੱਕ ਖੇਤਰ (ਛਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ) ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਵਕਰ f(x)f(x) ਦੁਆਰਾ, ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=ax=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ x=bx=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ? ਪਹੁੰਚ ਭੂਗੋਲਿਕ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪਤਾ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਸੱਚੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚੌੜਾਈ ਦੇ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, b−an। ਅਸੀਂ ਇਹ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ x0,x1,x2,…,xn ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ x0=a,xn=b, ਅਤੇ
i=1,2,3,…,n ਲਈ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ Δx ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ Δx=b−anΔx=b−an ਅਤੇ
i=1,2,3,…,n ਲਈ। ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦੀ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਾਫੀ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਆਓ ਕੁਝ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ P={xi} i=0,1,2,…,n ਲਈ ਜਿੱਥੇ a=x0<x1<x2<⋯<xn=b, ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ [x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn] ਰੂਪ ਦੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਸਾਰਿਆਂ ਦੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੇ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਇਸ ਨਿਯਮਤ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ।
ਨਿਯਮ: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ
ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] (i=1,2,3,…,n ਲਈ), Δx ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ f(xi−1) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਉਚਾਈ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ, ਜੋ ਕਿ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ f(xi−1)Δx ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ A ਦਾ ਇੱਕ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 5.3)। ਅਸੀਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ Ln ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ A ਦਾ ਇੱਕ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.3: ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅੰਦਾਜ਼ੇ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਹ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਣ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ
ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਓ, ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਵਾਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ f(xi) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ f(xi)Δx ਹੈ ਅਤੇ A ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
Rn ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ A (ਚਿੱਤਰ 5.4) ਲਈ ਇੱਕ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.4: ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 5.3 ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ f(x)=x^2 ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ (a) ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ [0,3] ਅੰਤਰਾਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਛੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 0.5 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, Δx=0.5। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ, xi−1, ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚ ਕੇ ਛੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ i=1,2,3,4,5,6 ਲਈ f(xi−1) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤਰਾਲ [0,0.5],[0.5,1],[1,1.5],[1.5,2],[2,2.5],[2.5,3] ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚਿੱਤਰ 5.5: (a) ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ (b) ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 5.5(b) ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ xi ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ xi ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸੱਜਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,3,4,5,6 ਲਈ f(xi) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰੇਕ f(xi) ਨੂੰ Δx ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ f(x) ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਉਦਾਹਰਨ 5.4
ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
f(x)=x^2 ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ [0,2] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ; n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, Δx=(2−0)/4=0.5। ਇਹ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [0,0.5],[0.5,1],[1,1.5],[1.5,2] ਚਿੱਤਰ 5.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਉਚਾਈਆਂ f(0)=0, f(0.5)=0.25, f(1)=1, f(1.5)=2.25 ਹਨ। ਫਿਰ,
ਚਿੱਤਰ 5.6: ਗ੍ਰਾਫ 0 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ f(x)=x^2 ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 5.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ ਉਹੀ ਹਨ, Δx=0.5, ਪਰ ਹੁਣ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.7: ਗ੍ਰਾਫ 0 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ f(x)=x^2 ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ 1.75 ਹੈ; ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ 3.75 ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.4
[1,2] 'ਤੇ f(x)=1/x ਲਈ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ; n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਦੋਵਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 5.5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5.4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਾ ਤਾਂ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਤਰਕਪੂਰਨ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਡੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A ਦਾ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ ਸੁਧਰੇਗਾ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਧੇਰੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੋਣਗੇ, ਪਰ ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਤਲਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੁਧਰੇ ਹੋਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ n ਵਧਾਉਣ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੀਏ, ਪਹਿਲਾਂ ਚਾਰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ ਅੱਠ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 32 ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ। ਫਿਰ, ਆਓ ਉਸੇ ਵਕਰ ਖੇਤਰ ਦੇ, ਉਸੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰੀਏ। ਚਿੱਤਰ 5.8 [0,2] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ f(x)=(x−1)^3+4 ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ n=4 ਦੇ ਨਾਲ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ
ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ
ਚਿੱਤਰ 5.8: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੇ ਨਾਲ ਅਤੇ a ਤੋਂ b ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.9 ਉਸੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5.8 ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਅੱਠ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ n=8 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਘੱਟ ਚਿੱਟੀ ਜਗ੍ਹਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਚਿੱਟੀ ਜਗ੍ਹਾ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸਮਰੱਥ ਹਾਂ। ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
1. ਚਿੱਤਰ 5.9: ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਖੇਤਰ n=8 ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ।
2. ਚਿੱਤਰ 5.10 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਉਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਬਣਾਏ 32 ਆਇਤਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਬਚੀ ਹੈ। ਆਇਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਬਜ਼ਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਖੇਤਰ ਹੈ
3. ਚਿੱਤਰ 5.10: ਇੱਥੇ, ਖੱਬੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ 32 ਆਇਤਾਂ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
4. ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਧੀ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹੀ ਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਾਰ ਆਇਤਾਂ (ਚਿੱਤਰ 5.11) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਉਸੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ, ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
5. ਚਿੱਤਰ 5.11: ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ।
6. ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਨਾਲ Δx=2−08=0.25 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 5.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਹੈ
7. ਚਿੱਤਰ 5.12: ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਅੱਠ ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
8. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, n=32 ਨਾਲ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਅਸਲ ਖੇਤਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.13)। ਖੇਤਰ ਲਗਭਗ ਹੈ
9. ਚਿੱਤਰ 5.13: ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਖੇਤਰ ਨੂੰ 32 ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
10. ਇਹਨਾਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਰਸਤੇ 'ਤੇ ਹਾਂ; ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਆਇਤਾਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਜਾਪਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵਧਦਾ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਸਿਰੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਮਾਨ 8 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ 5.1 ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੁਲਨਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਪੜਚੋਲਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਤਾਰ: n ਦੇ ਮੁੱਲ | ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਖੇਤਰ Ln | ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਖੇਤਰ Rn
12. ਕਤਾਰ: n=4 | 7.5 | 8.5
13. ਕਤਾਰ: n=8 | 7.75 | 8.25
14. ਕਤਾਰ: n=32 | 7.94 | 8.06
15. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਗਠਨ
16. ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਆਇਤਾਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੇ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ xi* 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਡੀ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਜੋਂ f(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
17. ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਜੋੜ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਰਨਹਾਰਡ ਰੀਮੈਨ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ।
18. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
19. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ P, [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ Δx ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ i ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ xi* [xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
20. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਸਿਰੇ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਨੁਮਾਨ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵੱਡੇ n ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ।
21. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
22. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ∑i=1nf(xi*)Δx, f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ, [a,b] 'ਤੇ ਵਕਰ y=f(x) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਖੇਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
23. ਮੀਡੀਆ
24. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਦੇਖੋ।
ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਸੂਖਮਤਾਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ, ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $x$ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ 'ਤੇ 'ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਲੜੀ' ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੁਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੀਆਂ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ $\{x_i^*\}$ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚੋਣਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਲ ਇਕੱਠਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ $f(x)$ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ (ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ $\{x_i^*\}$ ਦੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ)।
ਅਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਪਰ, ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈ ਰੁਕੀਏ ਅਤੇ $\{x_i^*\}$ ਲਈ ਕੁਝ ਖਾਸ ਚੋਣਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰੀਏ। ਹਾਲਾਂਕਿ $\{x_i^*\}$ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਚੋਣ ਸਾਨੂੰ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਉਹ ਅਨੁਮਾਨ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ (ਵੱਧ-ਅਨੁਮਾਨ) ਹੈ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ (ਘੱਟ-ਅਨੁਮਾਨ)। ਜੇਕਰ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ ਉੱਚਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਨਤੀਜਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ $\{x_i^*\}$ ਲਈ ਆਪਣਾ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਵੱਧ-ਅਨੁਮਾਨ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $\{x_i^*\}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $i=1,2,3,\dots,n$ ਲਈ, $f(x_i^*) \ge f(x)$ ਸਾਰੇ $x \in [x_{i-1}, x_i]$ ਲਈ ਹੋਵੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ $\{x_i^*\}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $i=1,2,3,\dots,n$ ਲਈ, $f(x_i^*)$ ਅੰਤਰਾਲ $[x_{i-1}, x_i]$ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $\{x_i^*\}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ $\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੱਟ-ਅਨੁਮਾਨ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $\{x_i^*\}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $i=1,2,3,\dots,n$ ਲਈ, $f(x_i^*)$ ਅੰਤਰਾਲ $[x_{i-1}, x_i]$ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ $f(x)$ ਅੰਤਰਾਲ $[a,b]$ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਜੋੜ ਸਿਰਫ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.5
ਹੇਠਲੇ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੇ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
$f(x)=10-x^2$ ਲਈ $[1,2]$ 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; $n=4$ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਮੰਨੋ।
ਹੱਲ
$[1,2]$ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ $n=4$ ਦੇ ਨਾਲ, $\Delta x = \frac{1}{4}$ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ $[1, 1.25], [1.25, 1.5], [1.5, 1.75], [1.75, 2]$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ $[1,2]$ 'ਤੇ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਚਿੱਤਰ 5.14 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.14: $f(x)=10-x^2$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ $[1,2]$ 'ਤੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ
7.28 ਦਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘੱਟ-ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.5
$f(x)=10-x^2$ ਲਈ $[1,2]$ 'ਤੇ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; $n=4$ ਮੰਨੋ।
ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.6
$f(x)=\sin x$ ਲਈ ਹੇਠਲੇ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੇ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
$[a,b]=[0, \frac{\pi}{2}]$ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ $f(x)=\sin x$ ਲਈ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; $n=6$ ਮੰਨੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੱਤਰ 5.15 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਵਿਚਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 5.15: $y=\sin x$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਛੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ: $\Delta x = \frac{\pi/2}{6} = \frac{\pi}{12}$।
ਅੰਤਰਾਲ $[0, \frac{\pi}{12}], [\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6}], [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}], [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}], [\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{12}]$, ਅਤੇ $[\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}]$ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $f(x)=\sin x$ ਅੰਤਰਾਲ $[0, \frac{\pi}{2}]$ 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ $\sum_{i=0}^5 \sin x_i (\frac{\pi}{12})$ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.6
$f(x)=\sin x$ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ $[0, \frac{\pi}{2}]$ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; $n=6$ ਮੰਨੋ।
State whether the given sums are equal or unequal.
∑i=110i∑i=110i and ∑k=110k∑k=110k
∑i=110i∑i=110i and ∑i=615(i−5)∑i=615(i−5)
∑i=110i(i−1)∑i=110i(i−1) and ∑j=09(j+1)j∑j=09(j+1)j
∑i=110i(i−1)∑i=110i(i−1) and ∑k=110(k2−k)∑k=110(k2−k)
In the following exercises, use the rules for sums of powers of integers to compute the sums.
∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i
∑ i = 5 10 i 2 ∑ i = 5 10 i 2
Suppose that ∑i=1100ai=15∑i=1100ai=15 and ∑i=1100bi=−12.∑i=1100bi=−12. In the following exercises, compute the sums.
∑ i = 1 100 ( a i + b i ) ∑ i = 1 100 ( a i + b i )
∑ i = 1 100 ( a i − b i ) ∑ i = 1 100 ( a i − b i )
∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i )
∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i )
In the following exercises, use summation properties and formulas to rewrite and evaluate the sums.
∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 )
∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j )
∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j )
∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ]
Let LnLn denote the left-endpoint sum using n subintervals and let RnRn denote the corresponding right-endpoint sum. In the following exercises, compute the indicated left and right sums for the given functions on the indicated interval.
L4 for f(x)=1x−1f(x)=1x−1 on [2,3][2,3]
R4 for g(x)=cos(πx)g(x)=cos(πx) on [0,1][0,1]
L6 for f(x)=1x(x−1)f(x)=1x(x−1) on [2,5][2,5]
R6 for f(x)=1x(x−1)f(x)=1x(x−1) on [2,5][2,5]
R4 for 1x2+11x2+1 on [−2,2][−2,2]
L4 for 1x2+11x2+1 on [−2,2][−2,2]
R8 for x2−2x+1x2−2x+1 on [0,2][0,2]
L8 for x2−2x+1x2−2x+1 on [0,2][0,2]
Compute the left and right Riemann sums—L4 and R4, respectively—for f(x)=(2−|x|)f(x)=(2−|x|) on [−2,2].[−2,2]. Compute their average value and compare it with the area under the graph of f.
Compute the left and right Riemann sums—L6 and R6, respectively—for f(x)=(3−|3−x|)f(x)=(3−|3−x|) on [0,6].[0,6]. Compute their average value and compare it with the area under the graph of f.
Compute the left and right Riemann sums—L4 and R4, respectively—for f(x)=4−x2f(x)=4−x2 on [−2,2][−2,2] and compare their values.
Compute the left and right Riemann sums—L6 and R6, respectively—for f(x)=9−(x−3)2f(x)=9−(x−3)2 on [0,6][0,6] and compare their values.
Express the following endpoint sums in sigma notation but do not evaluate them.
L30 for f(x)=x2f(x)=x2 on [1,2][1,2]
L10 for f(x)=4−x2f(x)=4−x2 on [−2,2][−2,2]
R20 for f(x)=sinxf(x)=sinx on [0,π][0,π]
R100 for lnxlnx on [1,e][1,e]
In the following exercises, graph the function then use a calculator or a computer program to evaluate the following left and right endpoint sums. If the two agree, say "neither."
[T] L100 and R100 for y=x2−x+3y=x2−x+3 on the interval [−1,1][−1,1]
[T] L100 and R100 for y=x2y=x2 on the interval [0,1][0,1]
[T] L50 and R50 for y=x+1x2−1y=x+1x2−1 on the interval [2,4][2,4]
[T] L100 and R100 for y=x3+2y=x3+2 on the interval [−1,1][−1,1]
[T] L50 and R50 for y=tan(x)y=tan(x) on the interval [0,π4][0,π4]
[T] L100 and R100 for y=e2xy=e2x on the interval [−1,1][−1,1]
Let tj denote the time that it took Tejay van Garteren to ride the jth stage of the Tour de France in 2014. If there were a total of 21 stages, interpret ∑j=121tj.∑j=121tj.
Let rjrj denote the total rainfall in Portland on the jth day of the year in 2009. Interpret ∑j=131rj.∑j=131rj.
Let djdj denote the hours of daylight and δjδj denote the increase in the hours of daylight from day j−1j−1 to day j in Fargo, North Dakota, on the jth day of the year. Interpret d1+∑j=2365δj.d1+∑j=2365δj.
To help get in shape, Joe gets a new pair of running shoes. If Joe runs 1 mi each day in week 1 and adds 110110 mi to his daily routine each week, what is the total mileage on Joe’s shoes after 25 weeks?
The following table gives approximate values of the average annual atmospheric rate of increase in carbon dioxide (CO2) each decade since 1960, in parts per million (ppm). Estimate the total increase in atmospheric CO2 between 1964 and 2013.
row: Decade | Ppm/y
row: 1964–1973 | 1.07
row: 1974–1983 | 1.34
row: 1984–1993 | 1.40
row: 1994–2003 | 1.87
row: 2004–2013 | 2.07
Table 5.2: Source: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.
The following table gives the approximate increase in sea level in inches over 20 years starting in the given year. Estimate the net change in mean sea level from 1870 to 2010.
row: Starting Year | 20-Year Change
row: 1870 | 0.3
row: 1890 | 1.5
row: 1910 | 0.2
row: 1930 | 2.8
row: 1950 | 0.7
row: 1970 | 1.1
row: 1990 | 1.5
Table 5.3: Source: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1
The following table gives the approximate increase in dollars in the average price of a gallon of gas per decade since 1950. If the average price of a gallon of gas in 2010 was $2.60, what was the average price of a gallon of gas in 1950?
row: Starting Year | 10-Year Change
row: 1950 | 0.03
row: 1960 | 0.05
row: 1970 | 0.86
row: 1980 | −0.03
row: 1990 | 0.29
row: 2000 | 1.12
Table 5.4: Source: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.
The following table gives the percent growth of the U.S. population beginning in July of the year indicated. If the U.S. population was 281,421,906 in July 2000, estimate the U.S. population in July 2010.
row: Year | % Change/Year
row: 2000 | 1.12
row: 2001 | 0.99
row: 2002 | 0.93
row: 2003 | 0.86
row: 2004 | 0.93
row: 2005 | 0.93
row: 2006 | 0.97
row: 2007 | 0.96
row: 2008 | 0.95
row: 2009 | 0.88
Table 5.5: Source: http://www.census.gov/popest/data.
(Hint: To obtain the population in July 2001, multiply the population in July 2000 by 1.0112 to get 284,573,831.)
In the following exercises, estimate the areas under the curves by computing the left Riemann sums, L8.
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN,LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=1−x2f(x)=1−x2 on [−1,1].[−1,1].
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=11+x2f(x)=11+x2 on [−1,1].[−1,1].
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=sin2xf(x)=sin2x on [0,2π].[0,2π]. Compare these estimates with π.
In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums RN and LN for N=1,10,100.N=1,10,100. How do these estimates compare with the exact answers, which you can find via geometry?
[T] y=cos(πx)y=cos(πx) on the interval [0,1][0,1]
[T] y=3x+2y=3x+2 on the interval [3,5][3,5]
In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums RN and LN for N=1,10,100.N=1,10,100.
1. y=x4−5x2+4, ਅੰਤਰਾਲ [−2,2] ਉੱਤੇ, ਜਿਸਦਾ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ 32153215 ਹੈ।
2. y=lnx, ਅੰਤਰਾਲ [1,2] ਉੱਤੇ, ਜਿਸਦਾ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ 2ln(2)−1 ਹੈ।
3. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(a)≥0 ਅਤੇ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਹੈ।
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(b)≥0 ਅਤੇ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਦਰਸਾਓ ਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, RN−LN=(b−a)×f(b)−f(a)N।
6. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ, ਤਾਂ LN ਜਾਂ RN ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ A ਵਿਚਕਾਰ ਗਲਤੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (b−a)f(b)−f(a)N ਹੈ।
7. ਤਿੰਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ:
8. ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘੇਰੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਜੋੜ ਕੇ, ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ L(A) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
9. L(A) ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੇਰੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ B(A) ਜੋੜ ਕੇ, ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ U(A) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
10. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਚਾਰ ਬਕਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ 'ਤੇ L(A) ਕਿਉਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ ਕਿ U(A) ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਵਧਦਾ।
11. ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ n ਫਾੜਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ ਜੋ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਅੰਦਰਲੇ ਫਾੜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਅੰਦਰਲੇ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ 1 ਇਕਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ sin( 2πn ) ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਆਧਾਰ B=cos( πn )+sin( πn )tan( πn ) ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ H=Bsin( 2πn) ਹੈ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਲੀਲ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ π ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।