ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.2.1 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ (definite integral) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੱਸੋ।
5.2.2 ਅਨੁਕਲਨਯ (integrand), ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ (limits of integration), ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤ (variable of integration) ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
5.2.3 ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ (function) ਕਦੋਂ ਅਨੁਕਲਨਯ (integrable) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5.2.4 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਅਤੇ ਸ਼ੁੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (net area) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
5.2.5 ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.2.6 ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ (average value) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ (Riemann sums) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ (curve) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ:
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਕੁਝ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ (nonnegative) ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖੀ ਸੀ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀਆਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰਾਹੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਆਪਕ ਸਮੂਹ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਸੰਕੇਤ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਿਆਪਕ ਰੂਪ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਲੋੜਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ f(x)f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ a ਤੋਂ b ਤੱਕ f ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਸੀਮਾ (limit) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ f(x)f(x) ਨੂੰ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਅਨੁਕਲਨਯ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਨੁਕਲਨਯ ਫਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ (integral symbol) ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਲੱਗਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ (derivatives) ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ (Applications of Derivatives) ਬਾਰੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਸੰਕੇਤ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (antiderivative) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ (ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ a ਅਤੇ b ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਲਈ ਸੰਕੇਤ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਲਈ ਸੰਕੇਤ ਵਰਗਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੰਕੇਤ ਵੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਜਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅਨੁਕਲਨ ਸੰਕੇਤ ਸਤਾਰ੍ਹਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਖੀਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗੌਟਫ੍ਰਾਈਡ ਵਿਲਹੇਲਮ ਲੀਬਨਿਜ਼ (Gottfried Wilhelm Leibniz) ਦੇ ਯੋਗਦਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ (Isaac Newton) ਦੇ ਨਾਲ ਕੈਲਕੂਲਸ (calculus) ਦਾ ਸਹਿ-ਖੋਜੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ ∫ ਇੱਕ ਲੰਮਾ S ਹੈ, ਜੋ ਸਿਗਮਾ (sigma) ਜਾਂ ਜੋੜ (summation) ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ 'ਤੇ, ਜੋੜ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ, [a,b].[a,b] ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b x-ਮੁੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, a ਹੇਠਲੀ ਹੱਦ ਹੈ ਅਤੇ b ਉੱਪਰਲੀ ਹੱਦ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੀਮਾ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ n→∞.n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜਾ, ਖੇਤਰ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਫਲਨ f(x)f(x) ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨਯ (integrand) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ dx ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)f(x) x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤ (variable of integration) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਸੂਚਕਾਂਕ (index) ਵਾਂਗ, ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤ ਇੱਕ ਡਮੀ ਪਰਿਵਰਤ (dummy variable) ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤ ਵਜੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਵਰਤ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)f(x) [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀਮਾ limn→∞∑i=1nf(xi*)Δxlimn→∞∑i=1nf(xi*)Δx ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ (theorem) ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 5.1
ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਅਨੁਕਲਨਯ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਜੇਕਰ f(x)f(x) [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ f, [a,b].[a,b] 'ਤੇ ਅਨੁਕਲਨਯ ਹੈ।
[a,b][a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਅਜੇ ਵੀ ਅਨੁਕਲਨਯ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ (discontinuities) ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ, ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਜੰਪ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਨੁਕਲਨਯ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਵੀ ਇੱਥੇ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵੰਡ (regular partition) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਾਬੰਦੀ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਿਯਮਤ ਵੰਡ (nonregular partition) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ (subintervals) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲੈਣੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਡੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਕੇਤ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਕੋਈ ਵਾਧੂ ਸਮਝ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮਤ ਵੰਡਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.7
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ ਮੁਲਾਂਕਣ
ਸੰਤੋਖੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫02x2dx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ a=0 ਅਤੇ b=2 ਹੈ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਨੂੰ [0,2] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ। ਫਿਰ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਤੋਖੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ i ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੇ ਸੰਤੋਖੀ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸੰਤੋਖੀ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ xi ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ P ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ,
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੰਤੋਖੀ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਹੈ
ਫਿਰ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
∑i=1ni2, ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.7
ਸੰਤੋਖੀ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫03(2x−1)dx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਗੁੰਝਲਤਾ ਕਾਰਨ ਕਾਫ਼ੀ ਥਕਾਊ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲਏ ਬਿਨਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ 'ਤੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ, ਸੱਚਮੁੱਚ, ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕੀਏ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.8
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
∫369−(x−3)2dx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੱਭਣ ਲਈ
ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [3,6] ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ A=πr2 ਹੈ। ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ A=(12)πr2। ਚਿੱਤਰ 5.16 ਵਿੱਚ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਖੇਤਰ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦਾ ਅੱਧਾ, ਜਾਂ A=(14)πr2 ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,
ਚਿੱਤਰ 5.16: ਅੰਤਰਾਲ [3,6] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.8
∫24(2x+3)dx ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੋੜ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੱਤਾ ਕਿ f(x) ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਪਰ ਅਸੀਂ "ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ" ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ ਜਦੋਂ f(x) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ?
ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ
ਆਓ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2−2x2f(x)=2−2x2 (ਚਿੱਤਰ 5.17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ) ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,2].[0,2] ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। n=8n=8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਨੂੰ {xi*}{xi*} ਵਜੋਂ ਚੁਣੋ। ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ f(xi*)f(xi*) ਉਚਾਈ ਅਤੇ Δx ਚੌੜਾਈ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ। ਜਦੋਂ f(xi*)f(xi*) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ f(xi*)Δxf(xi*)Δx ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਸੀ। ਪਰ, ਜਦੋਂ f(xi*)f(xi*) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ f(xi*)Δxf(xi*)Δx ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.17: ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਰੀਮਨ ਜੋੜ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ n→∞,n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਈਏ, ਤਾਂ ਰੀਮਨ ਜੋੜ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ, ਘਟਾਓ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ,
A1−A2A1−A2 ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.18: ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਖੇਤਰ A1 ਘਟਾਓ ਖੇਤਰ A2, ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.9
ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2xf(x)=2x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [−3,3].[−3,3] ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਇੱਕ x=−3x=−3 ਤੋਂ x=0x=0 ਤੱਕ ਅਤੇ ਦੂਜਾ x=0x=0 ਤੋਂ x=3x=3 ਤੱਕ (ਚਿੱਤਰ 5.19)। ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੂਤਰ, A=12bh,A=12bh, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤ੍ਰਿਕੋਣ A1, ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ 3 ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 2(3)=62(3)=6 ਉਚਾਈ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣ A2, ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ 3 ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 6 ਉਚਾਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.19: ਵਕਰ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ, ਵਕਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜੇਕਰ A1 x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ A2 x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ A1−A2.A1−A2 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.9
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x−2f(x)=x−2 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,6],[0,6] ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ v(t)v(t) ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਸਤੂ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗੱਲਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਸਮਝ ਆ ਸਕੇ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਥਿਰ ਵੇਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਕੇ।
ਜਦੋਂ ਵੇਗ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਿਰਫ਼ ਵੇਗ ਗੁਣਾ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਹੁਤ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਾਰ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ 70 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 2 ਘੰਟੇ ਲਈ ਦੂਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 140 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.20)। ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.20: v(t)=70v(t)=70 ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਕਾਰ ਦੀ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਾਰ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਲਈ 60 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਸਿੱਧੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 120 ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਾਰ ਫਿਰ ਮੁੜ ਕੇ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਲਈ 40 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵੇਗੀ (ਚਿੱਤਰ 5.21)। ਦੁਬਾਰਾ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
1. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
2. ਚਿੱਤਰ 5.21: ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨਡ ਖੇਤਰਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
3. ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਾਰ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਖੇਤਰਫਲ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ, ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ (ਨੈੱਟ ਸਾਈਨਡ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਉਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ)। ਇਸਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਹੈ
5. ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਕੱਠੇ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
6. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
7. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਸਮਾਕਲਨ ਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A1, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਉਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ A2, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਉਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਫਿਰ, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨਡ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
8. f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
9. ਉਦਾਹਰਨ 5.10
10. ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
11. f(x)=x−2 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [0,6] ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ।
12. ਹੱਲ
13. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਨੂੰ (2,0) ਵਜੋਂ ਗਿਣੋ (y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ)। ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [2,6] ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ (ਚਿੱਤਰ 5.22)।
14. ਚਿੱਤਰ 5.22: [0,6] ਉੱਤੇ ਰੇਖਾ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ A2 ਜਮਾ A1 ਹੈ।
15. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
16. ਫਿਰ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
17. ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ, ਫਿਰ, ਹੈ
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.10
19. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [−3,3] ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ।
20. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ
21. ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਗੁਣ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਗੁਣ, ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।
22. ਨਿਯਮ: ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ
23. ∫aaf(x)dx=0 (5.9) ਜੇਕਰ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸਮਾਕਲਨ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਖੇਤਰਫਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
24. ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx (5.10) ਜੇਕਰ ਸੀਮਾਵਾਂ ਉਲਟੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਅੱਗੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਗਾਓ।
∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx (5.11) ਜੋੜ ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx (5.12) ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਘਟਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx (5.13) ਜਿੱਥੇ c ਕੋਈ ਅਚੱਲ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਸੰਕਲਨ, ਉਸ ਅਚੱਲ ਨੂੰ ਫਲਨ ਦੇ ਸੰਕਲਨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx (5.14) ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਸੂਤਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ c, a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਸੂਤਰ a, b, ਅਤੇ c ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ f(x) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਸੰਕਲਿਤ ਹੋਣ ਯੋਗ ਹੋਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.11
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
f(x)=−3x3+2x+2 ਫਲਨ ਦੇ [−2,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸੰਕਲਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ∫−21(−3x3+2x+2)dx ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਗੁਣ 3. ਅਤੇ 5. ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.11
f(x)=6x3−4x2+2x−3 ਫਲਨ ਦੇ [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਨੂੰ ਚਾਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.12
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ∫08f(x)dx=10 ਅਤੇ ∫05f(x)dx=5, ਤਾਂ ∫58f(x)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਗੁਣ 6. ਅਨੁਸਾਰ,
ਇਸ ਲਈ,
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.12
ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ∫15f(x)dx=−3 ਅਤੇ ∫25f(x)dx=4, ਤਾਂ ∫12f(x)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਗੁਣ
ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਬਾਰੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਦੱਸ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਅਕਸਰ ਸੰਕਲਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਨਵੀਂ ਸਮਝ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫਲਨ f(x) ਦੂਜੇ ਫਲਨ g(x) ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, g(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਤੁਲਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਸੱਚ ਹੈ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵੈਧ ਹਨ ਕਿ a<b, a=b, ਜਾਂ a>b। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗੁਣ ਸਿਰਫ਼ a≤b ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 5.2
ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ a≤x≤b ਲਈ f(x)≥0 ਹੈ, ਤਾਂ ∫abf(x)dx≥0।
If f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) for a≤x≤b,a≤x≤b, then ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.
If m and M are constants such that m≤f(x)≤Mm≤f(x)≤M for a≤x≤b,a≤x≤b, then m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).
Example 5.13
Comparing Two Functions over a Given Interval
Compare f(x)=1+x2f(x)=1+x2 and g(x)=1+xg(x)=1+x over the interval [0,1].[0,1].
Solution
Graphing these functions is necessary to understand how they compare over the interval [0,1].[0,1]. Initially, when graphed on a graphing calculator, f(x)f(x) appears to be above g(x)g(x) everywhere. However, on the interval [0,1],[0,1], the graphs appear to be on top of each other. We need to zoom in to see that, on the interval [0,1],g(x)[0,1],g(x) is above f(x).f(x). The two functions intersect at x=0x=0 and x=1x=1 (Figure 5.23).
Figure 5.23: (a) The function f(x)f(x) appears above the function g(x)g(x) except over the interval [0,1][0,1] (b) Viewing the same graph with a greater zoom shows this more clearly.
We can see from the graph that over the interval [0,1],g(x)≥f(x).[0,1],g(x)≥f(x). Comparing the integrals over the specified interval [0,1],[0,1], we also see that ∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx (Figure 5.24). The thin, red-shaded area shows just how much difference there is between these two integrals over the interval [0,1].[0,1].
Figure 5.24: (a) The graph shows that over the interval [0,1],g(x)≥f(x),[0,1],g(x)≥f(x), where equality holds only at the endpoints of the interval. (b) Viewing the same graph with a greater zoom shows this more clearly.
Average Value of a Function
We often need to find the average of a set of numbers, such as an average test grade. Suppose you received the following test scores in your algebra class: 89, 90, 56, 78, 100, and 69. Your semester grade is your average of test scores and you want to know what grade to expect. We can find the average by adding all the scores and dividing by the number of scores. In this case, there are six test scores. Thus,
Therefore, your average test grade is approximately 80.33, which translates to a B− at most schools.
Suppose, however, that we have a function v(t)v(t) that gives us the speed of an object at any time t, and we want to find the object’s average speed. The function v(t)v(t) takes on an infinite number of values, so we can’t use the process just described. Fortunately, we can use a definite integral to find the average value of a function such as this.
Let f(x)f(x) be continuous over the interval [a,b][a,b] and let [a,b][a,b] be divided into n subintervals of width Δx=(b−a)/n.Δx=(b−a)/n. Choose a representative xi*xi* in each subinterval and calculate f(xi*)f(xi*) for i=1,2,…,n.i=1,2,…,n. In other words, consider each f(xi*)f(xi*) as a sampling of the function over each subinterval. The average value of the function may then be approximated as
which is basically the same expression used to calculate the average of discrete values.
But we know Δx=b−an,Δx=b−an, so n=b−aΔx,n=b−aΔx, and we get
Following through with the algebra, the numerator is a sum that is represented as ∑i=1nf(xi*),∑i=1nf(xi*), and we are dividing by a fraction. To divide by a fraction, invert the denominator and multiply. Thus, an approximate value for the average value of the function is given by
This is a Riemann sum. Then, to get the exact average value, take the limit as n goes to infinity. Thus, the average value of a function is given by
Definition
Let f(x)f(x) be continuous over the interval [a,b].[a,b]. Then, the average value of the function f(x)f(x) (or fave) on [a,b][a,b] is given by
Example 5.14
Finding the Average Value of a Linear Function
Find the average value of f(x)=x+1f(x)=x+1 over the interval [0,5].[0,5].
Solution
First, graph the function on the stated interval, as shown in Figure 5.25.
Figure 5.25: The graph shows the area under the function f(x)=x+1f(x)=x+1 over [0,5].[0,5].
The region is a trapezoid lying on its side, so we can use the area formula for a trapezoid A=12h(a+b),A=12h(a+b), where h represents height, and a and b represent the two parallel sides. Then,
Thus the average value of the function is
Checkpoint 5.13
Find the average value of f(x)=6−2xf(x)=6−2x over the interval [0,3].[0,3].
In the following exercises, express the limits as integrals.
limn→∞∑i=1n(xi*)Δxlimn→∞∑i=1n(xi*)Δx over [1,3][1,3]
limn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)Δxlimn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)Δx over [0,2][0,2]
limn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)Δxlimn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)Δx over [0,1][0,1]
limn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)Δxlimn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)Δx over [0,1][0,1]
In the following exercises, given Ln or Rn as indicated, express their limits as n→∞n→∞ as definite integrals, identifying the correct intervals.
L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n
R n = 1 n ∑ i = 1 n i n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n
L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n )
R n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) R n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n )
L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n )
R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 )
In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.
In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.
∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x
∫ 2 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x
∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x
∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x
∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ −2 2 4 − x 2 d x
∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x
∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x
∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x
In the following exercises, use averages of values at the left (L) and right (R) endpoints to compute the integrals of the piecewise linear functions with graphs that pass through the given list of points over the indicated intervals.
{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)} over [0,8][0,8]
{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)} over [0,8][0,8]
{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)} over [−4,4][−4,4]
{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)} over [−4,4][−4,4]
Suppose that ∫04f(x)dx=5∫04f(x)dx=5 and ∫02f(x)dx=−3,∫02f(x)dx=−3, and ∫04g(x)dx=−1∫04g(x)dx=−1 and ∫02g(x)dx=2.∫02g(x)dx=2. In the following exercises, compute the integrals.
∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x
∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x
∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x
In the following exercises, use the identity ∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x)dx∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x)dx to compute the integrals.
∫−ππsint1+t2dt∫−ππsint1+t2dt (Hint:sin(−t)=−sin(t))(Hint:sin(−t)=−sin(t))
∫ − π π t 1 + cos t d t ∫ − π π t 1 + cos t d t
In the following exercises, find the net signed area between f(x)f(x) and the x-axis.
∫13(2−x)dx∫13(2−x)dx (Hint: Look at the graph of f.)
∫24(x−3)3dx∫24(x−3)3dx (Hint: Look at the graph of f.)
In the following exercises, given that ∫01xdx=12,∫01x2dx=13,∫01xdx=12,∫01x2dx=13, and ∫01x3dx=14,∫01x3dx=14, compute the integrals.
∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x
∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x
∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x
∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x
∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x
∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x
In the following exercises, use the comparison theorem.
Show that ∫03(x2−6x+9)dx≥0.∫03(x2−6x+9)dx≥0.
Show that ∫−23(x−3)(x+2)dx≤0.∫−23(x−3)(x+2)dx≤0.
Show that ∫011+x3dx≤∫011+x2dx.∫011+x3dx≤∫011+x2dx.
Show that ∫121+xdx≤∫121+x2dx.∫121+xdx≤∫121+x2dx.
Show that ∫0π/2sintdt≥π4.∫0π/2sintdt≥π4. (Hint:sint≥2tπ(Hint:sint≥2tπ over [0,π2])[0,π2])
Show that ∫−π/4π/4costdt≥π2/4.∫−π/4π/4costdt≥π2/4.
In the following exercises, find the average value fave of f between a and b, and find a point c, where f(c)=fave.f(c)=fave.
f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1
f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1
f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2
f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3
f ( x ) = sin x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = sin x , a = 0 , b = 2 π
f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π
In the following exercises, approximate the average value using Riemann sums L100 and R100. How does your answer compare with the exact given answer?
[T] y=ln(x)y=ln(x) over the interval [1,4];[1,4]; the exact solution is ln(256)3−3.ln(256)3−3.
[T] y=ex/2y=ex/2 over the interval [0,1];[0,1]; the exact solution is 2(e−1).2(e−1).
[T] y=tanxy=tanx over the interval [0,π4];[0,π4]; the exact solution is 2ln(2)π.2ln(2)π.
y=x+14−x2, ਅੰਤਰਾਲ [−1,1]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ π6 ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਖੱਬੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ LN ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ N=1,10,100 ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ?
y=x2−4, ਅੰਤਰਾਲ [0,2]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ −83 ਹੈ।
y=xex2, ਅੰਤਰਾਲ [0,2]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ 14(e4−1) ਹੈ।
y=(12)x, ਅੰਤਰਾਲ [0,4]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ 1564ln(2) ਹੈ।
y=xsin(x2), ਅੰਤਰਾਲ [−π,0]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ cos(π2)−12π ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ A=∫02πsin2tdt ਅਤੇ B=∫02πcos2tdt। ਦਿਖਾਓ ਕਿ A+B=2π ਅਤੇ A=B।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ A=∫−π/4π/4sec2tdt=π ਅਤੇ B=∫−π/4π/4tan2tdt। ਦਿਖਾਓ ਕਿ A−B=π2।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ [0,2π] ਉੱਤੇ sin2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਗਣਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ [0,π] ਉੱਤੇ sin2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ [0,2π] ਉੱਤੇ cos2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਗਣਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ [0,π] ਉੱਤੇ cos2(t) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਪੈਰਾਬੋਲਾ) p(x) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ℓ(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕਿਉਂ ਕੱਟ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ p(a)=ℓ(a) ਅਤੇ p(b)=ℓ(b), ਅਤੇ ਕਿ ∫abp(t)dt>∫abℓ(t)dt। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫cdp(t)>∫cdℓ(t)dt ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ a≤c<d≤b।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ p(x)=ax2+bx+c ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ (a<0) ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਸਿਖਰ y=−b2a>0 ਹੈ। ਕਿਸ ਅੰਤਰਾਲ [A,B] ਲਈ ∫AB(ax2+bx+c)dx ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ [a,b] ਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ a=a0<a1<a2<⋯<aN=b ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਜਾਂ ਤਾਂ [ai−1,ai] ਉੱਤੇ f≥0 ਹੈ ਜਾਂ [ai−1,ai] ਉੱਤੇ f≤0 ਹੈ। Ai=∫ai−1aif(t)dt।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫abf(t)dt=A1+A2+⋯+AN ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਫਿਰ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ |∫abf(t)dt|≤∫ab|f(t)|dt ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਅਤੇ g ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ [a,b] ਦੇ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਲਈ ∫cdf(t)dt≤∫cdg(t)dt ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ f(x)≤g(x) ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ ਅਤੇ [b,c] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ ਜਿੱਥੇ a<c<b। ਦਿਖਾਓ ਕਿ [a,c] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ [a,b] ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ a=a0<a1<⋯<aN=b ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [ai−1,ai] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹਰੇਕ i=1,…,N ਲਈ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਰੇਕ i ਜਿਸ ਲਈ 1≤i≤N ਹੈ, ∫i−1if(t)dt=i ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ∫0Nf(t)dt=N(N+1)2 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਰੇਕ i ਜਿਸ ਲਈ 1≤i≤N ਹੈ, ∫i−1if(t)dt=i2 ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ∫0Nf(t)dt=N(N+1)(2N+1)6 ਹੈ।
f(t)=t2, [0,1] ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ L10 ਅਤੇ R10 ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ L10+R102 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ∫01t2dt=0.33–, L10+R102 ਕਿੰਨੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ?
f(t)=(4−t2), [1,2] ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ, L10 ਅਤੇ R10, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ L10+R102 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ∫12(4−t2)dt=1.66–, L10+R102 ਕਿੰਨੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ?
ਜੇ ∫151+t4dt=41.7133..., ਤਾਂ ∫151+u4du ਕੀ ਹੈ?
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ, ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਆਇਤ ਨਾਲ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01tdt ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ∫01tdt ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
1. t=1/2 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ∫01tdt ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ∫01tdt ਦੇ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
2. ਦਿਖਾਏ ਗਏ sin(2πx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ:
3. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫01sin(2πt)dt=0 ਕਿਉਂ ਹੈ।
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ a ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ∫aa+1sin(2πt)dt=0 ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਜੇ f 1-ਪੀਰੀਅਡਿਕ (f(t+1)=f(t)), ਵਿਸ਼ਮ, ਅਤੇ [0,1] 'ਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ∫01f(t)dt=0 ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੈ?
6. ਜੇ f 1-ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੈ ਅਤੇ ∫01f(t)dt=A ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ∫a1+af(t)dt=A ਸਾਰੇ A ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੱਚ ਹੈ?