ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.3.1 ਅਖੰਡਾਂ (Integrals) ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ (Mean Value Theorem) ਦੇ ਅਰਥ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
5.3.2 ਕੈਲਕੂਲਸ (Calculus) ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ (Fundamental Theorem), ਭਾਗ 1, ਦੇ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
5.3.3 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਖੰਡਾਂ (Integrals) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivatives) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.3.4 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2, ਦੇ ਅਰਥ ਦੱਸੋ।
5.3.5 ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡਾਂ (definite integrals) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5.3.6 ਵਿਭੇਦਨ (differentiation) ਅਤੇ ਅਖੰਡਨ (integration) ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ (definite integral) ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਫਲਨ (function) ਦੇ ਵਕਰ (curve) ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲ (area) ਨਾਲ ਇਸਦੇ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਹੁਣ ਤੱਕ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਉਪਲਬਧ ਸਾਧਨ ਕੇਵਲ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ (geometric area formulas) ਅਤੇ ਰੀਮਨ ਜੋੜਾਂ (Riemann sums) ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ (limits) ਹਨ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਹੁੰਚ ਬਹੁਤ ਹੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਹ ਨਵੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਭੇਦਨ (differentiation) ਅਤੇ ਅਖੰਡਨ (integration) ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਖੋਜ ਅਤੇ ਪੜਚੋਲ ਸਰ ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ (Sir Isaac Newton) ਅਤੇ ਗੌਟਫ੍ਰਾਈਡ ਵਿਲਹੇਲਮ ਲੀਬਨਿਜ਼ (Gottfried Wilhelm Leibniz) (ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ) ਦੁਆਰਾ 1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਅਤੇ 1700 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਅਤੇ ਇਹ ਉਸ ਵਿੱਚ ਸੰਹਿਤ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ (Fundamental Theorem of Calculus) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦੇ ਦੋ ਭਾਗ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਹੀ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਸਮੁੱਚੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ ਕੇਂਦਰੀਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ (Isaac Newton) ਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਯੋਗਦਾਨ ਨੇ ਦੁਨੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੇ ਸਾਡੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ। ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਬੰਧ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ (Newton’s laws) ਅਤੇ ਸਾਰਵਭੌਮ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ (law of universal gravitation) ਵਜੋਂ ਸੰਹਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅੱਜ ਵੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਮੱਗਰੀ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਪੂਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ, ਮਲਟੀਮੀਡੀਆ ਕਲਿੱਪਾਂ (multimedia clips) ਨਾਲ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਸੰਖੇਪ ਜੀਵਨੀ ਪੜ੍ਹੋ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਥਿਊਰਮ, ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ (Mean Value Theorem for Integrals), ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ, ਜਿਸਦੀ ਲੋੜ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੈ।
ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ
ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ (closed interval) 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ (continuous function) ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ (average value) ਨੂੰ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ c 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ [a,b] ਉੱਤੇ f(x) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਉਸ ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਥਿਊਰਮ 5.3
ਅਖੰਡਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ
ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c∈[a,b] ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ
ਇਸ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸਿੱਧ
ਕਿਉਂਕਿ f(x) [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤਿਮ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (extreme value theorem) (ਦੇਖੋ ਮਹੱਤਮ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ) ਅਨੁਸਾਰ, ਇਹ [a,b] ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ m ਅਤੇ M—ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, [a,b] ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ m≤f(x)≤M ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਲਨਾ ਥਿਊਰਮ (comparison theorem) (ਦੇਖੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ) ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
b−a ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ 1b−a∫abf(x)dx, m ਅਤੇ M ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ [a,b] ਉੱਤੇ m ਅਤੇ M ਮੁੱਲ ਗ੍ਰਹਿਣ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਮੱਧਮਾਨ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (Intermediate Value Theorem) (ਦੇਖੋ ਨਿਰੰਤਰਤਾ) ਅਨੁਸਾਰ, [a,b] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ c ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ
ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
□
1. ਮਿਸਾਲ 5.15
2. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
3. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=8−2xf(x)=8−2x ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,4][0,4] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ [0,4][0,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
4. ਹੱਲ
5. ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)f(x) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
6. ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 5.26 ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੀ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=12(ਆਧਾਰ)(ਉਚਾਈ) ਹੈ।A=12(base)(height). ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
7. ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ 1/(4−0) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।1/(4−0). ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ:
8. ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ f(c)f(c) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. c=2,f(2)=4.c=2,f(2)=4.
10. ਚਿੱਤਰ 5.26: ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਅਨੁਸਾਰ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਾਰ c ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
11. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.14
12. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x2f(x)=x2 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,6][0,6] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ [0,6][0,6] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
13. ਮਿਸਾਲ 5.16
14. ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣਾ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ
15. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ∫03x2dx=9,∫03x2dx=9, c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ f(x)=x2f(x)=x2 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,3][0,3] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
16. ਹੱਲ
17. ਅਸੀਂ c ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਲਈ:
18. f(c)f(c) ਨੂੰ c2 ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
19. ਕਿਉਂਕਿ −3−3 ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਧਨਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਲਓ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, c=3c=3 (ਚਿੱਤਰ 5.27)।
20. ਚਿੱਤਰ 5.27: ਅੰਤਰਾਲ [0,3][0,3] ਉੱਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x2f(x)=x2 ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨੂੰ c=3.c=3 ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
21. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.15
22. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ∫03(2x2−1)dx=15,∫03(2x2−1)dx=15, c ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਦਾ ਮੁੱਲ f(x)=2x2−1f(x)=2x2−1 ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,3][0,3] ਉੱਤੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ।
23. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਭਾਗ 1: ਇੰਟੀਗਰਲ ਅਤੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
24. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ ਜੋ ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਰੀਮੈਨ ਸਮਾਂ ਜਾਂ ਖੇਤਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲਾ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 1, ਇੱਥੇ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਭਾਗ 1 ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 5.4
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1
ਜੇਕਰ f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ F(x) ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ
ਤਾਂ F′(x)=f(x) (a,b) ਉੱਤੇ।
ਸਿੱਧੇ ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਸੂਖਮਤਾਵਾਂ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਟਿੱਪਣੀ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ, F(x), ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(t), ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ x ਤੱਕ। ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ, ਇਹ ਭੰਬਲਭੂਸੇ ਵਾਲਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਇਹ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਂਗ ਜਾਪਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਮੁੱਖ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ F(x) ਹਰੇਕ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ (ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ) ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਨਤੀਜਿਆਂ ਬਾਰੇ ਟਿੱਪਣੀ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿਣ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਏਕੀਕਰਨ ਅਤੇ ਅਵਕਲਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਵੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਏਕੀਕਰਨਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਸਿੱਧ
ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1h∫xx+hf(t)dt ਸਿਰਫ਼ ਅੰਤਰਾਲ [x,x+h] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, [x,x+h] ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ c ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ c, x ਅਤੇ x + h ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਜਦੋਂ h ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਤਾਂ c, x ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਕਿਉਂਕਿ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ limh→0f(c)=limc→xf(c)=f(x) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
□
ਉਦਾਹਰਨ 5.17
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਵਕਲਨ ਲੱਭਣਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਵਕਲਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.16
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g(r)=∫0rx2+4dx ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.18
ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ F(x)=∫1xsintdt। F′(x) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
u(x)=x ਮੰਨ ਕੇ, ਅਸੀਂ F(x)=∫1u(x)sintdt ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੁਆਰਾ,
Checkpoint 5.17
Let F(x)=∫1x3costdt.F(x)=∫1x3costdt. Find F′(x).F′(x).
Example 5.19
Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration
Let F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt. Find F′(x).F′(x).
Solution
We have F(x)=∫x2xt3dt.F(x)=∫x2xt3dt. Both limits of integration are variable, so we need to split this into two integrals. We get
Differentiating the first term, we obtain
Differentiating the second term, we first let u(x)=2x.u(x)=2x. Then,
Thus,
Checkpoint 5.18
Let F(x)=∫xx2costdt.F(x)=∫xx2costdt. Find F′(x).F′(x).
Fundamental Theorem of Calculus, Part 2: The Evaluation Theorem
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, is perhaps the most important theorem in calculus. After tireless efforts by mathematicians for approximately 500 years, new techniques emerged that provided scientists with the necessary tools to explain many phenomena. Using calculus, astronomers could finally determine distances in space and map planetary orbits. Everyday financial problems such as calculating marginal costs or predicting total profit could now be handled with simplicity and accuracy. Engineers could calculate the bending strength of materials or the three-dimensional motion of objects. Our view of the world was forever changed with calculus.
After finding approximate areas by adding the areas of n rectangles, the application of this theorem is straightforward by comparison. It almost seems too simple that the area of an entire curved region can be calculated by just evaluating an antiderivative at the first and last endpoints of an interval.
Theorem 5.5
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2
If f is continuous over the interval [a,b][a,b] and F(x)F(x) is any antiderivative of f(x),f(x), then
We often see the notation F(x)|abF(x)|ab to denote the expression F(b)−F(a).F(b)−F(a). We use this vertical bar and associated limits a and b to indicate that we should evaluate the function F(x)F(x) at the upper limit (in this case, b), and subtract the value of the function F(x)F(x) evaluated at the lower limit (in this case, a).
The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2 (also known as the evaluation theorem) states that if we can find an antiderivative for the integrand, then we can evaluate the definite integral by evaluating the antiderivative at the endpoints of the interval and subtracting.
Proof
Let P={xi},i=0,1,…,nP={xi},i=0,1,…,n be a regular partition of [a,b].[a,b]. Then, we can write
Now, we know F is an antiderivative of f over [a,b],[a,b], so by the Mean Value Theorem (see The Mean Value Theorem) for i=0,1,…,ni=0,1,…,n we can find cici in [xi−1,xi][xi−1,xi] such that
Then, substituting into the previous equation, we have
n→∞,n→∞, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
□
ਉਦਾਹਰਨ 5.20
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 2, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ
ਹੱਲ
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਯਾਦ ਕਰੋ:
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਮੇਯ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਿਖਣ ਵੇਲੇ "+ C" ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਕੋਈ ਵੀ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਅਸੀਂ C=0 ਵਾਲਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚੁਣਿਆ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਚੁਣਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਥਿਰ ਪਦ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ। ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਖੇਤਰ ਜਿਸਦੀ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਚਿੱਤਰ 5.28 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਸਾਰਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਅਜੇ ਵੀ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ (ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ) ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਲਾਭ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੰਪਨੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘਾਟੇ ਵਿੱਚ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.28: ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਖੇਤਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.21
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 2, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 2, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖ ਕੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਡੀਨੋਮੀਨੇਟਰ ਉੱਤੇ ਲਿਖ ਕੇ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
ਹੁਣ, ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਕਰੋ:
ਚਿੱਤਰ 5.29 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 5.29: x=1 ਤੋਂ x=9 ਤੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਪੂਰਨਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.19
∫12x−4dx.∫12x−4dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਭਾਗ 2, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.22
1. ਰੋਲਰ-ਸਕੇਟਿੰਗ ਦੌੜ
2. ਜੇਮਜ਼ ਅਤੇ ਕੈਥੀ ਰੋਲਰ ਸਕੇਟਾਂ 'ਤੇ ਦੌੜ ਲਗਾ ਰਹੇ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਲੰਬੇ, ਸਿੱਧੇ ਟਰੈਕ 'ਤੇ ਦੌੜਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਇਨਾਮ ਜਿੱਤਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜੇਮਜ਼ f(t)=5+2t ft/sec ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਕੇਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੈਥੀ g(t)=10+cos(π2t) ft/sec ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਕੇਟ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੌੜ ਕੌਣ ਜਿੱਤੇਗਾ?
3. ਹੱਲ
4. ਸਾਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ [0,5] ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਦੇਖਣਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਜੇਮਜ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
5. ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
6. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਮਜ਼ ਨੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 50 ਫੁੱਟ ਸਕੇਟ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਕੈਥੀ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
7. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin(t) cos(t) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਉਮੀਦ ਕਰਨਾ ਵਾਜਬ ਹੈ ਕਿ cos(π2t) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ sin(π2t) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ sin(π2t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ π2cos(π2t) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਵਾਧੂ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
8. ਕੈਥੀ ਨੇ 5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਲਗਭਗ 50.6 ਫੁੱਟ ਸਕੇਟ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਕੈਥੀ ਜਿੱਤ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਹੀਂ!
9. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.20
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜੇਮਜ਼ ਅਤੇ ਕੈਥੀ ਦਾ ਮੁੜ ਮੁਕਾਬਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ ਅਧਿਕਾਰੀ ਸਿਰਫ 3 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਮੁਕਾਬਲਾ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਇਸ ਨਾਲ ਨਤੀਜਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ?
11. ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
12. ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟਿਸਟ
13. ਚਿੱਤਰ 5.30: ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਦੌਰਾਨ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਕੇ ਆਪਣੀ ਡਾਈਵ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਜੇਰੇਮੀ ਟੀ. ਲਾਕ)
14. ਜੂਲੀ ਇੱਕ ਉਤਸ਼ਾਹੀ ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਹੈ। ਉਸਨੇ 300 ਤੋਂ ਵੱਧ ਛਾਲਾਂ ਲਗਾਈਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕਲਾ ਵਿੱਚ ਮੁਹਾਰਤ ਹਾਸਲ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਆਪਣੀ ਪਿੱਠ ਨੂੰ ਆਰਚ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣਾ ਪੇਟ ਜ਼ਮੀਨ ਵੱਲ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਲਗਭਗ 120 mph (176 ft/sec) ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਜੇ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਨੂੰ ਸਿਰ ਸਿੱਧਾ ਹੇਠਾਂ ਕਰਕੇ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ, 150 mph (220 ft/sec) ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
15. ਕਿਉਂਕਿ ਜੂਲੀ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗਤੀ ਕਰੇਗੀ (ਡਿੱਗੇਗੀ), ਅਸੀਂ ਆਪਣੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਜੂਲੀ 12,500 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਆਪਣੀ ਛਾਲ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਹ ਤੁਰੰਤ v(t)=32t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਗਤੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਇਸ ਗਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ। ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਦੀ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਨਹੀਂ ਖਿੱਚਦੀ ਅਤੇ ਲੈਂਡ ਕਰਨ ਲਈ ਹੌਲੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ।
16. ਦਿਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਪਹਿਲੀ ਛਾਲ 'ਤੇ, ਜੂਲੀ ਹੌਲੀ "ਬੈਲੀ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ (ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ 176 ft/sec ਹੈ)। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
17. ਜਹਾਜ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਬਾਅਦ ਜੂਲੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
18. ਸਵਾਲ 1 ਦੇ ਤੁਹਾਡੇ ਜਵਾਬ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, 30 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜੂਲੀ ਦੁਆਰਾ ਡਿੱਗੇ ਗਏ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
19. ਜੇਕਰ ਜੂਲੀ 3000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦੀ ਹੈ?
20. ਜੂਲੀ 3000 ਫੁੱਟ 'ਤੇ ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਹੌਲੀ ਹੋਣ ਵਿੱਚ 5 ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਦੌਰਾਨ ਉਹ 400 ਫੁੱਟ ਹੋਰ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਕੈਨੋਪੀ ਦੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਉਸਦੀ ਗਤੀ 16 ft/sec ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਛੱਡਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਉਸਦੇ ਪੈਰ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂਹਣ ਤੱਕ, ਜੂਲੀ ਦੁਆਰਾ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਬਿਤਾਏ ਕੁੱਲ ਸਮੇਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਦਿਨ ਦੀ ਜੂਲੀ ਦੀ ਦੂਜੀ ਛਾਲ 'ਤੇ, ਉਹ ਥੋੜਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਡਿੱਗਣ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ "ਹੈੱਡ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਉਸਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ 220 ft/sec ਹੈ। ਇਸ ਗਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਇਹਨਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦਿਓ:
21. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਜੂਲੀ ਨੂੰ ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
22. ਆਪਣੀ ਰਿਪਕੋਰਡ ਖਿੱਚਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਜੂਲੀ ਆਪਣੇ ਸਰੀਰ ਨੂੰ "ਬੈਲੀ ਡਾਊਨ" ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਸਦਾ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵੇਲੇ ਉਹ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਨਾ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਉਹ 4000 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਇਹ ਮੈਨੂਵਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਮੁੜ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਉਂਦੀ ਹੈ? ਕੁਝ ਜੰਪਰ "ਵਿੰਗਸੂਟ" (ਚਿੱਤਰ 5.31 ਦੇਖੋ) ਪਹਿਨਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸੂਟ ਹੱਥਾਂ ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਫੈਬਰਿਕ ਪੈਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਪਹਿਨਣ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਮੁਫਤ ਪਤਨ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਇੱਕ ਉੱਡਣ ਵਾਲੀ ਗਿਲਹਰੀ ਵਾਂਗ, ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਗਲਾਈਡ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। (ਦਰਅਸਲ, ਸੂਟਾਂ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ "ਫਲਾਇੰਗ ਸਕੁਇਰਲ ਸੂਟ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) ਇਹ ਸੂਟ ਪਹਿਨਣ ਵੇਲੇ, ਟਰਮੀਨਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਲਗਭਗ 30 mph (44 ft/sec) ਤੱਕ ਘੱਟ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਪਹਿਨਣ ਵਾਲੇ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸਮਾਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਵਿੰਗਸੂਟ ਫਲਾਇਰ ਲੈਂਡ ਕਰਨ ਲਈ ਅਜੇ ਵੀ ਪੈਰਾਸ਼ੂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਹਾਲਾਂਕਿ ਵਰਟੀਕਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਸੁਰੱਖਿਆ ਦੇ ਮਾਰਜਿਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹਨ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ 70 mph ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਲੈਂਡ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 5.31: ਵਿੰਗਸੂਟ ਦੇ ਹੱਥਾਂ ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ 'ਤੇ ਫੈਬਰਿਕ ਪੈਨਲ ਸਕਾਈਡਾਈਵਰ ਦੇ ਪਤਨ ਦੀ ਵਰਟੀਕਲ ਵੇਲੋਸਿਟੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਰਿਚਰਡ ਸ਼ਨੀਡਰ)
24. ਵਿੰਗਸੂਟ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ।
If Julie dons a wingsuit before her third jump of the day, and she pulls her ripcord at an altitude of 3000 ft, how long does she get to spend gliding around in the air?
Consider two athletes running at variable speeds v1(t)v1(t) and v2(t).v2(t). The runners start and finish a race at exactly the same time. Explain why the two runners must be going the same speed at some point.
Two mountain climbers start their climb at base camp, taking two different routes, one steeper than the other, and arrive at the peak at exactly the same time. Is it necessarily true that, at some point, both climbers increased in altitude at the same rate?
To get on a certain toll road a driver has to take a card that lists the mile entrance point. The card also has a timestamp. When going to pay the toll at the exit, the driver is surprised to receive a speeding ticket along with the toll. Explain how this can happen.
Set F(x)=∫1x(1−t)dt.F(x)=∫1x(1−t)dt. Find F′(2)F′(2) and the average value of F′F′ over [1,2].[1,2].
In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.
d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e − t 2 d t
d d x ∫ 1 x e cos t d t d d x ∫ 1 x e cos t d t
d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y
d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2 d d x ∫ 3 x d s 16 − s 2
d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ x 2 x t d t
d d x ∫ 0 x t d t d d x ∫ 0 x t d t
d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t d d x ∫ 0 sin x 1 − t 2 d t
d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t
d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t
d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t
d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 0 ln x e t d t
d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u
The graph of y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.
Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?
What are the maximum and minimum values of f?
What is the average value of f?
The graph of y=∫0xf(t)dt,y=∫0xf(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.
Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero?
What are the maximum and minimum values of f?
What is the average value of f?
The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.
Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?
Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant?
What is the average value of ℓ?
The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y=∫0xℓ(t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.
Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero?
Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant?
What is the average value of ℓ?
In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve by computing T10, the average of the left- and right-endpoint Riemann sums using N=10N=10 rectangles. Then, using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, determine the exact area.
[T] y=x2y=x2 over [0,4][0,4]
[T] y=x3+6x2+x−5y=x3+6x2+x−5 over [−4,2][−4,2]
[T] y=x3y=x3 over [0,6][0,6]
[T] y=x+x2y=x+x2 over [1,9][1,9]
[T] ∫(cosx−sinx)dx∫(cosx−sinx)dx over [0,π][0,π]
[T] ∫4x2dx∫4x2dx over [1,4][1,4]
In the following exercises, evaluate each definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.
∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x
∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x
∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t
∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t
∫ 1 2 x 9 d x ∫ 1 2 x 9 d x
∫ 0 1 x 99 d x ∫ 0 1 x 99 d x
∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t
∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x ∫ 1 / 4 4 ( x 2 − 1 x 2 ) d x
∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 2 2 x 3 d x
∫ 1 4 1 2 x d x ∫ 1 4 1 2 x d x
∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 4 2 − t t 2 d t
∫ 1 16 d t t 1 / 4 ∫ 1 16 d t t 1 / 4
∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 2 π cos θ d θ
∫ 0 π / 2 sin θ d θ ∫ 0 π / 2 sin θ d θ
∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ
∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ
∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ
∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ
∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ 1 2 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t
∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 − 1 t 3 ) d t
In the following exercises, use the evaluation theorem to express the integral as a function F(x).F(x).
∫ a x t 2 d t ∫ a x t 2 d t
∫ 1 x e t d t ∫ 1 x e t d t
∫ 0 x cos t d t ∫ 0 x cos t d t
∫ − x x sin t d t ∫ − x x sin t d t
In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.
∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 3 | x | d x
∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t
∫ 0 π | cos t | d t ∫ 0 π | cos t | d t
∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sin t | d t
1. ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਦੀ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ −3.75cos(πt6)+12.25 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ t=0 ਸਰਦ ਰੁੱਤ ਦੇ ਸੰਗਮਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
2. ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਔਸਤ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
3. ਕਿਹੜੇ ਸਮੇਂ t1 ਅਤੇ t2, ਜਿੱਥੇ 0≤t1<t2<12, ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਔਸਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
4. t1 ਅਤੇ t2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਘੰਟਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਿਖੋ।
5. t1 ਅਤੇ t2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਜਿੱਥੇ 0≤t1<t2<12, ਅਤੇ ਫਿਰ t2 ਅਤੇ t1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੀਐਟਲ ਵਿੱਚ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੇ ਔਸਤ ਘੰਟਿਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਦਿਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਗੈਸੋਲੀਨ ਦੀ ਖਪਤ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ (11.21−cos(πt6))×109 ਗੈਲ/ਮਹੀਨਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
7. ਔਸਤ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਖਪਤ ਕਿੰਨੀ ਹੈ, ਅਤੇ t ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਦਰ ਔਸਤ ਦਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?
8. ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਖਪਤ ਹੋਏ ਗੈਸੋਲੀਨ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
9. ਅਪ੍ਰੈਲ (t=3) ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਅਤੇ ਸਤੰਬਰ (t=9) ਦੇ ਅੰਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਾਲ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੌਰਾਨ ਔਸਤ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਯੂ.ਐਸ. ਗੈਸ ਖਪਤ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਿਖੋ।
10. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇ f [a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ c∈[a,b] ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)=1b−a∫abf(t)dt।
11. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇ f [a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ M∈[a,b] ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(M)>1b−a∫abf(t)dt ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ m∈[a,b] ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(m)<1b−a∫abf(t)dt।
12. ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਸ਼ਟ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਹਿ ਕਸ਼ਟ ਦਾ ਸੂਰਜ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ (ਧਰਤੀ ਲਈ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 3 ਜਨਵਰੀ ਨੂੰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਅਫੇਲੀਅਨ (ਧਰਤੀ ਲਈ, ਇਹ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 4 ਜੁਲਾਈ ਨੂੰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਦੂਜਾ ਕਾਨੂੰਨ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਸ਼ਟਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਸਵੀਪ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਦੋ ਆਰਕ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਸਵੀਪ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸਾਲ ਦੇ ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਧਰਤੀ ਆਪਣੀ ਕਸ਼ਟ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ? ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਹੌਲੀ ਕਦੋਂ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ?
13. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਦੀ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਧੁਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ, ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ (acosθ,bsinθ),0≤θ≤2π ਹਨ।
14. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ (−c,0) 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ d(θ)=a+ccosθ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c=a2−b2।
15. ਇਹਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ (−c,0) 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ d–d–, ਕੋਣ θ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, a ਹੈ।
16. ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਅਨੁਸਾਰ, ਧਰਤੀ ਦੀ ਕਸ਼ਟ ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਕਸ਼ਟ ਲਈ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ 147,098,290 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ ਅਤੇ ਅਫੇਲੀਅਨ 152,098,232 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ।
17. ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਨੂੰ x-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਰੱਖ ਕੇ, ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਧਰਤੀ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਲੱਭੋ।
18. ਇੱਕ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਇਕਾਈ (AU) ਦੀ ਕਲਾਸਿਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਸੂਰਜ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ ਅਤੇ ਅਫੇਲੀਅਨ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਔਸਤ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਕੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜਾਇਜ਼ ਹੈ?
19. ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ F(θ)=GmMr2(θ) ਹੈ, ਜਿੱਥੇ m ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, M ਸੂਰਜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, G ਇੱਕ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਅਤੇ r(θ) ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਆਪਣੇ ਕਸ਼ਟ ਦੀ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੀ ਨਾਲ θ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ M, m, ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ a ਅਤੇ b (ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਤੇ ਛੋਟੀ ਧੁਰੀਆਂ ਦੀਆਂ ਅੱਧੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, G,m,M,a,b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਗੁਰੂਤਾ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ—ਪਰ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਕੱਢੋ।
20. ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਪੁੰਜ ਦੇ ਵਿਰਾਮ ਤੋਂ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਧਾਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਗਤੀ ਸਮੀਕਰਨ x(t)=Acos(ωt−ϕ) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ϕ ਇੱਕ ਫੇਜ਼ ਸਥਿਰ ਹੈ, ω ਕੋणीय ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ A ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ। ਪੁੰਜ ਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ, ਔਸਤ ਗਤੀ (ਵੇਗ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ), ਔਸਤ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਅਤੇ ਵਿਰਾਮ ਤੋਂ ਔਸਤ ਦੂਰੀ (ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ) ਲੱਭੋ।