ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ (indefinite integrals) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ।
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ (definite integrals) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ।
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਨੇ ਸਾਨੂੰ ਰੀਮਨ ਜੋੜਾਂ (Riemann sums) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੱਤਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਵਿਧੀ ਦਾ ਨੁਕਸ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (antiderivative) ਲੱਭਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ, ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ (integration by substitution) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਹੋ ਸਕੇ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਵਿਧੀ ਸਾਨੂੰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਚੇਨ-ਰੂਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (chain-rule derivative) ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ (substitution procedure) ਦਾ ਪਹੁੰਚ ਬਹੁਤ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਾ ਲੱਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਕਾਰਜ ਹੈ—ਯਾਨੀ, ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ; ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਤਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਦੇਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ f[g(x)]g′(x)dx ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ∫(x2−3)32xdx ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)=x3, g(x)=x2−3, ਅਤੇ g′(x)=2x ਹੈ। ਫਿਰ,
ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ u ਨਾਲ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ du ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਬਦਲਾਅ (change of variables) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 5.7
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ
ਮੰਨ ਲਓ u=g(x), ਜਿੱਥੇ g′(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x) g ਦੀ ਸੰਗਤ ਰੇਂਜ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ F(x) f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (antiderivative) ਹੈ। ਫਿਰ,
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ f, g, u, ਅਤੇ F ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ। ਫਿਰ
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ u=g(x), ਅਤੇ du=g'(x)dx ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
□
ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਦੇਖੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ u=x2−3 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ du=2xdx। ਸਮਾਕਲਨ (integral) ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ:
ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਨਿਯਮ (power rule for integrals) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
x ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ:
ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ (Problem-Solving Strategy) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ
ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ g(x) ਚੁਣੋ ਜਿਸਨੂੰ u ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਆਓ g(x) ਚੁਣੀਏ ਤਾਂ ਜੋ g′(x) ਵੀ ਸਮਾਕਲਨ (integrand) ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੋਵੇ।
ਸਮਾਕਲਨ (integral) ਵਿੱਚ u=g(x) ਅਤੇ du=g′(x)dx ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ u ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ (integral) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਾਕਲਨ (integral) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ u ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜਾ x ਅਤੇ g(x).g(x) ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.30
ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∫6x(3x2+4)4dx ਲੱਭੋ।∫6x(3x2+4)4dx।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ u ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ u=3x2+4u=3x2+4 ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਫਿਰ du=6xdx,du=6xdx, ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ du ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ:
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ du, u ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। C ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਚੁਣਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ y=15(3x2+4)5+1 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।y=15(3x2+4)5+1। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਉਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.25
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∫3x2(x3−3)2dx ਲੱਭੋ।∫3x2(x3−3)2dx।
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਐਡਜਸਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲੇ ਜਾ ਰਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.31
ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫zz2−5dz ਲੱਭੋ।∫zz2−5dz।
ਹੱਲ
ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ∫z(z2−5)1/2dz ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।∫z(z2−5)1/2dz। ਮੰਨ ਲਓ u=z2−5u=z2−5 ਅਤੇ du=2zdz।du=2zdz। ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ du=2zdzdu=2zdz ਅਤੇ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ zdz.zdz ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ du ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ ਜਾਂ u ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ ਜਿੰਨਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ du ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 12.12 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਪੱਖੋਂ ਲਿਖੋ, ਪਰ 1212 ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਖਿੱਚੋ:
u ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.26
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫x2(x3+5)9dx ਲੱਭੋ।∫x2(x3+5)9dx।
5.32 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫sintcos3tdt ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cost ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ −sint ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ u=cost ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ du=−sintdt। ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜਵਾਬ ਨੂੰ t ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਰੱਖ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.27
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫costsin2tdt ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ਼ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ u ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਇਕੱਲਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਨਾ। ਇਹ ਤਕਨੀਕ ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।
5.33 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
u-ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ∫xx−1dx ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ u=x−1 ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ du=dx। ਪਰ ਇਹ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ x ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਸਾਨੂੰ x ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜੇਕਰ u=x−1, ਤਾਂ x=u+1। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, u ਨੂੰ ਮੂਲ ਪਦ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.28
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫cos3tsintdt ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੀ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 5.8
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਨਾਲ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ
ਮੰਨ ਲਓ u=g(x) ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ g′ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ f, u=g(x) ਦੀ ਰੇਂਜ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਇਸਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲਜ਼ ਲਈ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਤੋਂ, ਜੇਕਰ F(x), f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਤਾਂ
ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਲੋੜੀਦਾ ਨਤੀਜਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.34
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2(1+2x3)5dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ u=1+2x3, ਇਸ ਲਈ du=6x2dx। ਕਿਉਂਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ x2 ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਅਤੇ du=6x2dx, du ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 1/6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ,
ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ x=0, u=1+2(0)=1, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1, u=1+2(1)=3। ਫਿਰ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.29
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ∫−10y(2y2−3)5dy ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.35
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01xe4x2+3dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ u=4x2+3। ਫਿਰ, du=8xdx। ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x=0, u=3, ਅਤੇ ਜਦੋਂ x=1, u=7। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੀ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.30
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫01x2cos(π2x3)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਅਤੇ ਨਿਯਮ ਸੁਤੰਤਰ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ u ਲਈ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਵਿਕਲਪ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਪਹੁੰਚਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.36 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.36
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
∫0π/2cos2θdθ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਤ੍ਰਿਕ ਪਛਾਣ cos2θ=1+cos2θ2 ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ
Then,
We can evaluate the first integral as it is, but we need to make a substitution to evaluate the second integral. Let u=2θ.u=2θ. Then, du=2dθ,du=2dθ, or 12du=dθ.12du=dθ. Also, when θ=0,u=0,θ=0,u=0, and when θ=π/2,u=π.θ=π/2,u=π. Expressing the second integral in terms of u, we have
Why is u-substitution referred to as change of variable?
2. If f=g∘h,f=g∘h, when reversing the chain rule, ddx(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x),ddx(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x), should you take u=g(x)u=g(x) or u=h(x)?u=h(x)?
In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form ∫f(u)du.∫f(u)du.
∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1 ∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1
For x>1:∫x2x−1dx=215x−1(3x2+4x+8)+C;u=x−1x>1:∫x2x−1dx=215x−1(3x2+4x+8)+C;u=x−1
∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9
∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9
∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9
In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.
∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1 ∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1
∫ ( x − 1 ) 5 d x ; u = x − 1 ∫ ( x − 1 ) 5 d x ; u = x − 1
∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3 ∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3
∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2 ∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2
∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1 ∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1
∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2 ∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2
∫ ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x ∫ ( x − 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x
∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2 ∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2
∫cos3θdθ;u=sinθ∫cos3θdθ;u=sinθ (Hint:cos2θ=1−sin2θ)(Hint:cos2θ=1−sin2θ)
∫sin3θdθ;u=cosθ∫sin3θdθ;u=cosθ (Hint:sin2θ=1−cos2θ)(Hint:sin2θ=1−cos2θ)
In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.
∫ x ( 1 − x ) 99 d x ∫ x ( 1 − x ) 99 d x
∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t ∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t
∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x ∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x
∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x ∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x
∫ cos 3 θ sin θ d θ ∫ cos 3 θ sin θ d θ
∫ sin 7 θ cos θ d θ ∫ sin 7 θ cos θ d θ
∫ cos 2 ( π t ) sin ( π t ) d t ∫ cos 2 ( π t ) sin ( π t ) d t
∫sin2xcos3xdx∫sin2xcos3xdx (Hint:sin2x+cos2x=1)(Hint:sin2x+cos2x=1)
∫ t sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t ∫ t sin ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t
∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sin ( t 3 ) d t ∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sin ( t 3 ) d t
∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x ∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x
∫ x 3 1 − x 2 d x ∫ x 3 1 − x 2 d x
∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y ∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y
∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sin θ d θ ∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sin θ d θ
∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sin θ d θ ∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sin θ d θ
∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sin θ d θ ∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sin θ d θ
∫ ( sin 2 θ − 2 sin θ ) ( sin 3 θ − 3 sin 2 θ ) 3 cos θ d θ ∫ ( sin 2 θ − 2 sin θ ) ( sin 3 θ − 3 sin 2 θ ) 3 cos θ d θ
In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve using left Riemann sums with 50 terms, then use substitution to solve for the exact answer.
[T] y=3(1−x)2y=3(1−x)2 over [0,2][0,2]
[T] y=x(1−x2)3y=x(1−x2)3 over [−1,2][−1,2]
[T] y=sinx(1−cosx)2y=sinx(1−cosx)2 over [0,π][0,π]
[T] y=x(x2+1)2y=x(x2+1)2 over [−1,1][−1,1]
In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.
∫ 0 1 x 1 − x 2 d x ∫ 0 1 x 1 − x 2 d x
∫ 0 1 x 1 + x 2 d x ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x
∫ 0 2 t 5 + t 2 d t ∫ 0 2 t 5 + t 2 d t
∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t ∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t
∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ
∫ 0 π / 4 sin θ cos 4 θ d θ ∫ 0 π / 4 sin θ cos 4 θ d θ
In the following exercises, evaluate the indefinite integral ∫f(x)dx∫f(x)dx with constant C=0C=0 using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral F(x)=∫axf(t)dt,F(x)=∫axf(t)dt, with a the left endpoint of the given interval.
[T] ∫(2x+1)ex2+x−6dx∫(2x+1)ex2+x−6dx over [−3,2][−3,2]
[T] ∫cos(ln(2x))xdx∫cos(ln(2x))xdx on [0,2][0,2]
[T] ∫3x2+2x+1x3+x2+x+4dx∫3x2+2x+1x3+x2+x+4dx over [−1,2][−1,2]
[T] ∫sinxcos3xdx∫sinxcos3xdx over [−π3,π3][−π3,π3]
[T] ∫(x+2)e−x2−4x+3dx∫(x+2)e−x2−4x+3dx over [−5,1][−5,1]
[T] ∫3x22x3+1dx∫3x22x3+1dx over [0,1][0,1]
If h(a)=h(b)h(a)=h(b) in ∫abg′(h(x))h′(x)dx,∫abg′(h(x))h′(x)dx, what can you say about the value of the integral?
Is the substitution u=1−x2u=1−x2 in the definite integral ∫02x1−x2dx∫02x1−x2dx okay? If not, why not?
In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.
∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) d θ ∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) d θ
∫ 0 π t cos ( t 2 ) sin ( t 2 ) d t ∫ 0 π t cos ( t 2 ) sin ( t 2 ) d t
∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t ∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t
∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t ∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t
∫ 0 π sin ( ( t − π 2 ) 3 ) cos ( t − π 2 ) d t ∫ 0 π sin ( ( t − π 2 ) 3 ) cos ( t − π 2 ) d t
∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t ∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t
∫ π / 4 3 π / 4 sin 2 t cos t d t ∫ π / 4 3 π / 4 sin 2 t cos t d t
Show that the average value of f(x)f(x) over an interval [a,b][a,b] is the same as the average value of f(cx)f(cx) over the interval [ac,bc][ac,bc] for c>0.c>0.
Find the area under the graph of f(t)=t(1+t2)af(t)=t(1+t2)a between t=0t=0 and t=xt=x where a>0a>0 and a≠1a≠1 is fixed, and evaluate the limit as x→∞.x→∞.
Find the area under the graph of g(t)=t(1−t2)ag(t)=t(1−t2)a between t=0t=0 and t=x,t=x, where 0<x<10<x<1 and a>0a>0 is fixed. Evaluate the limit as x→1.x→1.
The area of a semicircle of radius 1 can be expressed as ∫−111−x2dx.∫−111−x2dx. Use the substitution x=costx=cost to express the area of a semicircle as the integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.
1. ਇੱਕ ਅੰਡ-ਅਕ੍ਰਿਤੀ (ellipse) ਦੇ ਉੱਪਰੀ ਅੱਧੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ ਅਤੇ x=−ax=−a ਤੋਂ x=ax=a ਤੱਕ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਗੌਣ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ ਅਤੇ y=−by=−b ਤੋਂ y=by=b ਤੱਕ ਹੈ, ਨੂੰ ∫−aab1−x2a2dx.∫−aab1−x2a2dx. ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫਲਨ (trigonometric function) ਦੇ ਸੰਕਲਨ (integral) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ x=acostx=acost ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੰਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
2. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(t)=asin(nt)+bsin(mt).f(t)=asin(nt)+bsin(mt). ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ a ਅਤੇ b, ਅਤੇ ਆਵ੍ਰਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (frequency parameters) n ਅਤੇ m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ∫0πf(t)dt.∫0πf(t)dt. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
3. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x)=acos(nt)+bcos(mt).f(x)=acos(nt)+bcos(mt). ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਹੈ। ਗੁਣਾਂਕ a ਅਤੇ b ਅਤੇ ਆਵ੍ਰਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (frequency parameters) n ਅਤੇ m ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ∫0π2f(t)dt.∫0π2f(t)dt. ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।