ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੋ।
ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ, ਸੈੱਲ ਵਾਧਾ, ਅਤੇ ਵਿੱਤੀ ਵਾਧਾ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਘਾਟ, ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਪਤਨ, ਅਤੇ ਸਰੋਤ ਦੀ ਖਪਤ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਹਨਾਂ ਕੁਝ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਹੀ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਰਿਦਮਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ
ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਕੁਸ਼ਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, y=ex,y=ex, ਇਹ ਆਪਣਾ ਹੀ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਆਪਣਾ ਹੀ ਸਮਾਕਲਨ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਾਕਲਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.37
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ e−x ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, u=−x,u=−x, ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ du=−1dx.du=−1dx। du ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ −du=dx.−du=dx ਹੋਵੇ। ਫਿਰ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.31
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ: x2e−2x3.x2e−2x3.
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ ਇੱਕ ਆਮ ਗਲਤੀ e ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੰਨਣਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ e ਉੱਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਲਈ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਇਹ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਭੰਬਲਭੂਸੇ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਘਾਤ ਅੰਕ ਅਤੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ ਵਿੱਚ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਕਰਨ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.38
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ex1+ex.ex1+ex. ਦਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਸ਼ਨਲ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ:
ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, u=1+ex.u=1+ex, ਚੁਣੋ। ਫਿਰ, du=exdx.du=exdx। ਸਾਡੇ ਕੋਲ (ਚਿੱਤਰ 5.37) ਹੈ
ਫਿਰ
ਚਿੱਤਰ 5.37: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦਾ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪੜਾਅ 5.32
$e^x(3e^x-2)^2$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.39
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ∫3x²e²x³dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ $e$ ਦੇ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ $u$ ਮੰਨਣ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ $u=2x^3$ ਅਤੇ $du=6x^2dx$। ਦੁਬਾਰਾ, $du$ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਘੱਟ ਹੈ; ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ $3x^2$ ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ $6x^2$। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $\frac{1}{2}$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ $u$ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਜ $x$ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
$u$ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ $u$ ਸਮਾਕਲਜ ਵਿੱਚ $x$ ਦੇ ਮੂਲ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ:
ਪੜਾਅ 5.33
ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ∫2x³eˣ⁴dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਸੰਖਿਆ $e$ ਅਕਸਰ ਸੰਯੁਕਤ ਜਾਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜ ਬਾਰੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਵਕਲਜ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਜਾਂ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਸਮਾਕਲ ਕੁੱਲ ਪਰਿਵਰਤਨ ਜਾਂ ਕੁੱਲ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕ ਆਮ ਵਪਾਰਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਮੰਗੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਅਤੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਕੀਮਤ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਮੰਗੀ ਗਈ ਮਾਤਰਾ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਕੀਮਤ ਘਟਦੀ ਹੈ। ਸੀਮਾਂਤ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਤਪਾਦਨ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਕੀਮਤ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਪਾਰ ਵਿੱਚ ਮੰਗ ਦੀ ਕੀਮਤ-ਲਚਕਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਤੇ ਕੰਪਨੀਆਂ ਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਉਤਪਾਦਨ ਦੇ ਪੱਧਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.40
ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਚੇਨ ਵਿੱਚ ਟੂਥਪੇਸਟ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬ੍ਰਾਂਡ ਲਈ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 50 ਟਿਊਬਾਂ ਦੀ ਮੰਗ ਹੋਵੇ, $2.35 ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ, ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ $x$ ਟਿਊਬਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਸੀਮਾਂਤ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ, $p'(x)$, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਜੇ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਚੇਨ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਵੇਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਕੀਮਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸੀਮਾਂਤ ਕੀਮਤ-ਮੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਵੇਰਵਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਬਦਲਵੀਂ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਮੰਨ ਲਓ $u=-0.01x$ ਅਤੇ $du=-0.01dx$। ਫਿਰ, $du$ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $-0.01$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ:
ਅਗਲਾ ਕਦਮ $C$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੀਮਤ $2.35 ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੰਗ 50 ਟਿਊਬਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ:
ਹੁਣ, ਸਿਰਫ਼ $C$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਜੇ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਟੂਥਪੇਸਟ ਵੇਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀਮਤ ਹੋਵੇਗੀ:
ਜੇ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 100 ਟਿਊਬਾਂ ਵੇਚ ਰਹੀ ਹੈ ਤਾਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਨੂੰ $1.99 ਪ੍ਰਤੀ ਟਿਊਬ ਵਸੂਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
5.41 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ
∫12e1−xdx.∫12e1−xdx. ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਦੁਬਾਰਾ, ਬਦਲਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u=1−x,u=1−x, ਇਸ ਲਈ du=−1dxdu=−1dx ਜਾਂ −du=dx.−du=dx. ਫਿਰ ∫e1−xdx=−∫eudu.∫e1−xdx=−∫eudu. ਅੱਗੇ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲੋ। ਸਮੀਕਰਨ u=1−x,u=1−x ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇੰਟੀਗਰਲ ਫਿਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 5.38 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 5.38: ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.34
∫02e2xdx.∫02e2xdx. ਦਾ ਮੂਲਯਾਂਕਨ ਕਰੋ।
5.42 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਕਲਚਰ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦਾ ਵਾਧਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਟਰੀ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ q(t)=3t,q(t)=3t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ q(t)q(t) ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਕਲਚਰ 10,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ Q(t)Q(t) ਲੱਭੋ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਪੈਟਰੀ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। 2 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਫਿਰ, t=0t=0 'ਤੇ ਅਸੀਂ Q(0)=10=1ln3+C,Q(0)=10=1ln3+C ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ C≈9.090C≈9.090 ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਮਾਂ t=2,t=2 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
2 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ 17,282 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.35
ਮਿਸਾਲ 5.42 ਤੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬੈਕਟੀਰੀਆ q(t)=2t.q(t)=2t ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕਲਚਰ ਅਜੇ ਵੀ 10,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। Q(t).Q(t) ਲੱਭੋ। 3 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹਨ?
5.43 ਦੀ ਮਿਸਾਲ
ਫਲ ਮੱਖੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਵਾਧਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫਲ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ ਫਲਾਈਆਂ ਵਿੱਚ g(t)=2e0.02t,g(t)=2e0.02t ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫਲ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ 100 ਫਲਾਈਆਂ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਫਲਾਈਆਂ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ G(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
10 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ 122 ਮੱਖੀਆਂ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.36
ਮੰਨ ਲਓ ਮੱਖੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ g(t)=e0.01t,g(t)=e0.01t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੱਖੀ ਆਬਾਦੀ 100 ਮੱਖੀਆਂ ਹੈ। 15 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀਆਂ ਮੱਖੀਆਂ ਹਨ?
ਉਦਾਹਰਨ 5.44
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∫12e1/xx2dx.∫12e1/xx2dx.
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, e 'ਤੇ ਘਾਤ ਨੂੰ x ਦੇ ਘਾਤ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਫਿਰ ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ x2 ਨੂੰ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਲਿਆਓ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
u=x−1,u=x−1 ਮੰਨ ਲਓ, ਜੋ ਕਿ e 'ਤੇ ਘਾਤ ਹੈ। ਫਿਰ
ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਲਿਆਉਣ 'ਤੇ, ਸਮੱਸਿਆ ਹੁਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੜ੍ਹੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਅੱਗੇ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਬਦਲੋ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹੁਣ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.37
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ: ∫121x3e4x−2dx.∫121x3e4x−2dx.
ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ
f(x)=x−1f(x)=x−1 ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ, ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੋਰ ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)=lnxf(x)=lnx ਅਤੇ f(x)=logax,f(x)=logax, ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵੀ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਨਿਯਮ: ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਘੂ ਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.45
lnxlnx ਵਾਲਾ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ 3x−10.3x−10 ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ 3 ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। ਫਿਰ u−1 ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
5.39 ਅੰਕ ਵੇਖੋ।
5.39 ਅੰਕ: ਇਸ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ x≠10 ਹੈ।
ਚੌਕੀ 5.38
1x+2 ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.46
ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣਾ
2x3+3xx4+3x2 ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ∫(2x3+3x)(x4+3x2)−1dx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਥਾਨਾਪਤੀ ਵਰਤੋ। ਮੰਨ ਲਓ u=x4+3x2, ਤਾਂ du=4x3+6x। du ਨੂੰ 2 ਸਾਂਝਾ ਕੱਢ ਕੇ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ:
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.47
ਲਘੂਰੂਪੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣਾ
ਲਘੂਰੂਪੀ ਫਲਨ log2x ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਲਘੂਰੂਪੀ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਾਰਮੈਟ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਫਾਰਮੈਟ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੌਕੀ 5.39
log3x ਦਾ ਪ੍ਰਤਿ-ਅਵਕਲਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.48 ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਹੈ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਗੁਣ ਜਾਂ ਪਛਾਣ ਲਾਗੂ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੱਭਣਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੁਚਾਰੂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਕੁੰਜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.48
ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
∫0π/2sinx1+cosxdx ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਥਾਨਾਪਤੀ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ u=1+cosx,, ਤਾਂ du=−sinxdx। ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ u ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
Then
In the following exercises, compute each indefinite integral.
∫ e 2 x d x ∫ e 2 x d x
∫ e −3 x d x ∫ e −3 x d x
∫ 2 x d x ∫ 2 x d x
∫ 3 − x d x ∫ 3 − x d x
∫ 1 2 x d x ∫ 1 2 x d x
∫ 2 x d x ∫ 2 x d x
∫ 1 x 2 d x ∫ 1 x 2 d x
∫ 1 x d x ∫ 1 x d x
In the following exercises, find each indefinite integral by using appropriate substitutions.
∫ ln x x d x ∫ ln x x d x
∫ d x x ( ln x ) 2 ∫ d x x ( ln x ) 2
∫ d x x ln x ( x > 1 ) ∫ d x x ln x ( x > 1 )
∫ d x x ln x ln ( ln x ) ∫ d x x ln x ln ( ln x )
∫ tan θ d θ ∫ tan θ d θ
∫ cos x − x sin x x cos x d x ∫ cos x − x sin x x cos x d x
∫ ln ( sin x ) tan x d x ∫ ln ( sin x ) tan x d x
∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x
∫ x e − x 2 d x ∫ x e − x 2 d x
∫ x 2 e − x 3 d x ∫ x 2 e − x 3 d x
∫ e sin x cos x d x ∫ e sin x cos x d x
∫ e tan x sec 2 x d x ∫ e tan x sec 2 x d x
∫ e ln x d x x ∫ e ln x d x x
∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t ∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t
In the following exercises, verify by differentiation that ∫lnxdx=x(lnx−1)+C,∫lnxdx=x(lnx−1)+C, then use appropriate changes of variables to compute the integral.
∫x lnxdx∫x lnxdx (Hint:∫x lnxdx=12∫x ln(x2)dx)(Hint:∫x lnxdx=12∫x ln(x2)dx)
∫ x 2 ln( x 2 ) d x ∫ x 2 ln( x 2 ) d x
∫lnxx2dx∫lnxx2dx (Hint:Setu=1x.)(Hint:Setu=1x.)
∫lnxxdx∫lnxxdx (Hint:Setu=x.)(Hint:Setu=x.)
Write an integral to express the area under the graph of y=1ty=1t from t=1t=1 to ex and evaluate the integral.
Write an integral to express the area under the graph of y=ety=et between t=0t=0 and t=lnx,t=lnx, and evaluate the integral.
In the following exercises, use appropriate substitutions to express the trigonometric integrals in terms of compositions with logarithms.
∫ tan ( 2 x ) d x ∫ tan ( 2 x ) d x
∫ sin ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sin ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x ∫ sin ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sin ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x
∫ x sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x ∫ x sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x
∫ x csc ( x 2 ) d x ∫ x csc ( x 2 ) d x
∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x
∫ ln ( csc x ) cot x d x ∫ ln ( csc x ) cot x d x
∫ e x − e − x e x + e − x d x ∫ e x − e − x e x + e − x d x
In the following exercises, evaluate the definite integral.
∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x ∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x
∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 4 tan x d x
∫ 0 π / 3 sin x − cos x sin x + cos x d x ∫ 0 π / 3 sin x − cos x sin x + cos x d x
∫ π / 6 π / 2 csc x d x ∫ π / 6 π / 2 csc x d x
∫ π / 4 π / 3 cot x d x ∫ π / 4 π / 3 cot x d x
In the following exercises, integrate using the indicated substitution.
∫ x x − 100 d x ; u = x − 100 ∫ x x − 100 d x ; u = x − 100
∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1 ∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1
∫ 1 − x 2 3 x − x 3 d x ; u = 3 x − x 3 ∫ 1 − x 2 3 x − x 3 d x ; u = 3 x − x 3
∫ sin x + cos x sin x − cos x d x ; u = sin x − cos x ∫ sin x + cos x sin x − cos x d x ; u = sin x − cos x
∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x ∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x
∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x ∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x
In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R50 and solve for the exact area.
[T] y=exy=ex over [0,1][0,1]
[T] y=e−xy=e−x over [0,1][0,1]
[T] y=ln(x)y=ln(x) over [1,2][1,2]
[T] y=x+1x2+2x+6y=x+1x2+2x+6 over [0,1][0,1]
[T] y=2xy=2x over [−1,0][−1,0]
[T] y=−2−xy=−2−x over [0,1][0,1]
In the following exercises, f(x)≥0f(x)≥0 for a≤x≤b.a≤x≤b. Find the area under the graph of f(x)f(x) between the given values a and b by integrating.
f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100
f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64
f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2
f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4 f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4
Find the area under the graph of the function f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=0x=0 and x=5.x=5.
Compute the integral of f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 and find the smallest value of N such that the area under the graph f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=Nx=N and x=N+1x=N+1 is, at most, 0.01.
Find the limit, as N tends to infinity, of the area under the graph of f(x)=xe−x2f(x)=xe−x2 between x=0x=0 and x=N.x=N.
Show that ∫abdtt=∫1/b1/adtt∫abdtt=∫1/b1/adtt when 0<a≤b.0<a≤b.
Suppose that f(x)>0f(x)>0 for all x and that f and g are differentiable. Use the identity fg=eglnffg=eglnf and the chain rule to find the derivative of fg.fg.
Use the previous exercise to find the antiderivative of h(x)=xx(1+lnx)h(x)=xx(1+lnx) and evaluate ∫23xx(1+lnx)dx.∫23xx(1+lnx)dx.
Show that if c>0,c>0, then the integral of 1/x1/x from ac to bc (0<a<b)(0<a<b) is the same as the integral of 1/x1/x from a to b.
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਦਾ ਮਕਸਦ ln(x) = ∫1x(1/t)dt ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
2. ln(1/x) = -ln(x) ਦੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ln(x) = ∫1x(1/t)dt ਦੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. ∫1xy(1/t)dt ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਦਿਖਾਓ ਕਿ x, y > 0 ਲਈ ln(xy) = lnx + lny ਹੈ।
4. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ln(x) [0, ∞) 'ਤੇ x ਦਾ ਇੱਕ ਵਧਦਾ ਹੋਇਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, lnx = ∫1x(1/t)dt ਦੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ln(x) ਦੀ ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਧਾਰਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢੋ ਕਿ ln(x) ਦਾ (−∞, ∞) 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
5. ਇਸ ਪਲ ਲਈ, ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਕਿ ex, ln(x) ਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ln(x) ਦਾ (−∞, ∞) 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ E ਕਹੋ। ln(xy) = lnx + lny ਦੀ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a, b ਲਈ E(a+b) = E(a)E(b) ਹੈ।
6. ਇਸ ਪਲ ਲਈ, ਇਹ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ ਕਿ ex, lnx ਦਾ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ lnx ਦਾ (−∞, ∞) 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ E ਕਹੋ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ E'(t) = E(t) ਹੈ।
7. ਸਾਈਨ ਇੰਟੈਗਰਲ, ਜਿਸਨੂੰ S(x) = ∫0x(sin(t)/t)dt ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਸਧਾਰਨ ਬੰਦ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਵੱਡੇ x ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ k ≥ 1 ਲਈ, |S(2πk) - S(2π(k+1))| ≤ 1/(k(2k+1)π) ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: sin(t+π) = -sin(t))
8. ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਆਮ ਵੰਡ p(x) = (1/(σ√(2π)))e^-(x-μ)²/(2σ²) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ σ ਸਟੈਂਡਰਡ ਡਿਵੀਏਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ μ ਔਸਤ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਸਟੈਂਡਰਡ ਨਾਰਮਲ ਵੰਡ, ps, μ=0 ਅਤੇ σ=1 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ। ∫-11(1/(√(2π)))e^-x²/2 dx ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤਮ ਅਨੁਮਾਨ R10 ਅਤੇ R100 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
9. ∫-3512(1/(2√(2π)))e^-(x-1)²/8 dx ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤਮ ਅਨੁਮਾਨ R50 ਅਤੇ R100 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।