ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.2.1 ਇੱਕ ਕਾਟ-ਖੰਡ (ਟੁਕੜੇ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ) ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
6.2.2 ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6.2.3 ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਖੋਖਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਪਹੁੰਚਾਂ—ਟੁਕੜੇ ਕਰਨਾ, ਡਿਸਕ, ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ—ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਠੋਸ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਟੁਕੜੇ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ
ਜਿਵੇਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਇਤਨ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਠੋਸ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਨੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਠੋਸਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਲੰਬਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: V=lwh.V=lwh. ਇੱਕ ਗੋਲੇ (V=43πr3),(V=43πr3), ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ (V=13πr2h),(V=13πr2h), ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਿਰਾਮਿਡ (V=13Ah)(V=13Ah) ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਸੂਤਰ ਕੇਵਲ ਭੌਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਵੀ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤੇ ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲਾ ਸਮਝਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੂਪ ਦਾ ਡੱਬਾ ਜਾਂ ਇੱਕ ਧਾਤੂ ਦੀ ਰਾਡ, ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਆਮ ਅਰਥ ਹੈ। ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰਾਂ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਦੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਠੋਸ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਠੋਸ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੇਤਰ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਧੁਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਸਾਰੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6.11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਠੋਸ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਅਧਾਰ ਵਾਲੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: V=A·h.V=A·h. ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸਿਲੰਡਰ (ਸੂਪ ਦਾ ਡੱਬਾ) ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਹ V=πr2h.V=πr2h ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.11: ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਹਰ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੂਜਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਦਾ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਸਥਿਰ ਨਾ ਹੋਵੇ (ਅਤੇ ਇਹ ਹੋਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਠੋਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਾ ਹੋਵੇ), ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸੂਤਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਠੋਸ ਨੂੰ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਹਰ ਟੁਕੜੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੁਕੜੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰਾ ਠੋਸ ਮਿਲਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 6.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਠੋਸ S 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।x-ਧੁਰੇ।
ਚਿੱਤਰ 6.12: ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
ਅਸੀਂ SS ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।x-ਧੁਰੇ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਠੋਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ—ਜਿਵੇਂ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਨਾਲ। ਠੋਸ ਨੂੰ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਫੈਸਲਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਗਲਤ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਸਥਿਤੀਆਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਠੋਸ ਨੂੰ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਟੁਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।x-ਧੁਰੇ।
ਕਿਉਂਕਿ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ x ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ A(x)A(x) ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।x. ਹੁਣ P={x0,x1…,Xn}P={x0,x1…,Xn} ਨੂੰ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ i=1,2,…n ਲਈ,i=1,2,…n, SiSi ਨੂੰ xi−1 ਤੋਂ xi ਤੱਕ ਫੈਲੇ SS ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਓ।xi−1toxi. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ n=3 ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟੇ ਹੋਏ ਠੋਸ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।n=3.
ਚਿੱਤਰ 6.13: ਠੋਸ SS ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਤਿੰਨ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।x-ਧੁਰੇ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, i=1,2,…n ਲਈ,i=1,2,…n, xi*xi* ਨੂੰ [xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ ਮੰਨੋ।[xi−1,xi]. ਫਿਰ ਟੁਕੜੇ SiSi ਦਾ ਆਇਤਨ SiSi ≈ A(xi*)Δx ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।V(Si)≈A(xi*)Δx. ਇਹਨਾਂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੂਰੇ ਠੋਸ SS ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ ਕਦਮ n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ ਹੈ।n→∞. ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਜਿਸ ਤਕਨੀਕ ਦਾ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਟੁਕੜੇ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਟੁਕੜੇ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਠੋਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਠੋਸ ਦੇ ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਤਸਵੀਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ ਤਾਂ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਣਾ ਅਕਸਰ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਾਟ-ਖੰਡ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਆਇਤਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਚਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸੂਤਰ ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ।
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੁਕੜੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ।x-ਧੁਰੇ। ਇਸ ਲਈ, ਖੇਤਰਫਲ ਸੂਤਰ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।x-ਧੁਰੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਠੋਸ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵੈਧ ਹੈ।
1. ਮਿਸਾਲ 6.6
2. ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ
3. ਅਸੀਂ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਸੂਤਰ V=13Ah ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਧਾਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ V=13a2h ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ 'a' ਆਧਾਰ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਪਿਰਾਮਿਡ 'ਤੇ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 6.14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪਿਰਾਮਿਡ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
6. ਚਿੱਤਰ 6.14: (a) ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਵਾਲਾ ਪਿਰਾਮਿਡ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। (b) ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪਾਸਿਓਂ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
7. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਕਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵੀ ਵਰਗ ਹਨ (ਕਦਮ 1)। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਵਰਗ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 6.14(b) ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹਨ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
8. ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
9. ਫਿਰ ਅਸੀਂ 0 ਤੋਂ h ਤੱਕ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਕੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਕਦਮ 3):
10. ਇਹ ਉਹ ਸੂਤਰ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀ ਅਸੀਂ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ।
11. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.6
12. ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ ਲਈ ਸੂਤਰ V=13πr2h ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ
14. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਉਸੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 6.15: (a) ਇਹ ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (b) ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਖੇਤਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਸਵੀਪ ਕਰਦਾ ਹੈ। (c) ਇਹ ਉਹ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਹੈ ਜੋ ਘੁੰਮਾਓ ਪੂਰਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ।
16. ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਮਕੈਨੀਕਲ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਲਾਥ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਮਸ਼ੀਨ ਪਾਰਟਸ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ ਬਿਤਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ।
17. ਮੀਡੀਆ
18. ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ ਇੱਕ ਔਨਲਾਈਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
19. ਮਿਸਾਲ 6.7
20. ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
21. f(x)=x2−4x+5, x=1, ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ, ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
24. ਚਿੱਤਰ 6.16: ਘੁੰਮਾਓ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਖੇਤਰ।
1. ਹੁਣ, ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਓ।
2. ਚਿੱਤਰ 6.17: ਦੋ ਦ੍ਰਿਸ਼, (a) ਅਤੇ (b), ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦੇ ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.16 ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
3. ਕਿਉਂਕਿ ਠੋਸ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚੱਕਰ ਹਨ (ਪਗ 1)। ਫਿਰ, ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖੇਤਰ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ f(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤੋ:
4. ਫਿਰ, ਆਇਤਨ ਹੈ (ਪਗ 3)
5. ਆਇਤਨ 78π/5 ਹੈ।
6. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.7
7. f(x)=1/x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ।
8. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
9. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਨਾਲ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ, ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਲਾਈਸਾਂ ਡਿਸਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਦੇਖਣ ਲਈ, f(x)=(x−1)^2+1 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [−1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ ਚਿੱਤਰ 6.18(a) ਅਤੇ (b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਠੋਸ ਚਿੱਤਰ 6.18(c) ਅਤੇ (d) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
10. ਚਿੱਤਰ 6.18: (a) ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਡਿਸਕ। (c) ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ (d) ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ।
11. ਅਸੀਂ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰਸਮੀ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਿਕਾਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
12. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ; ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਨਿਯਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
13. ਨਿਯਮ: ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
14. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। RR ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, x=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ, ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
15. ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ (ਚਿੱਤਰ 6.18) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
16. ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖੀਏ।
17. ਉਦਾਹਰਨ 6.8
18. ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 1
19. f(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਹੱਲ
21. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
22. ਚਿੱਤਰ 6.19: (a) ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x। (b) f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
23. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
24. ਆਇਤਨ (15π)/2 ਯੂਨਿਟ^3 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.8
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, f(x)=4−x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਡੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਨ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਘਣ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਘਣ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਮਕੈਨਿਕਸ ਲਗਭਗ ਉਹੀ ਹੈ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰਾ ਘੁਮਾਉਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੀ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘਣਾਂ ਦੇ ਘੁਮਾਉਣ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ। QQ ਨੂੰ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਬੰਨ੍ਹਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, QQ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.9
ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 2
ਮੰਨ ਲਓ RR, g(y)=4−y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ y-ਧੁਰੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਬੰਨ੍ਹਿਆ ਹੋਇਆ ਖੇਤਰ ਹੈ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 6.20 ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਡਿਸਕਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਨਾ ਕਿ ਖੜ੍ਹੀਆਂ।
ਚਿੱਤਰ 6.20: (a) ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)=4−y ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। (b) ਆਇਤਾਕਾਰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਡਿਸਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘੁਮਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਪੂਰੇ ਘਣ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.21: (a) y-ਧੁਰੇ ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)=4−y ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਘਣ।
ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਆਇਤਨ 8π3 ਘਣ ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.9
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, g(y)=y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਕੁਝ ਘਣਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਖੋਖਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਉਹ ਘੁਮਾਉਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਠੋਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕਈ ਵਾਰ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਘੁਮਾਉਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਘੁਮਾਉਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਖੋਖਲੇ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਘੁਮਾਉਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ ਜਦੋਂ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਘੁਮਾਉਣ ਵਾਲਾ ਧੁਰਾ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਘਣ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਖੋਖਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਲਾਈਸਾਂ ਡਿਸਕਾਂ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਵਾਸ਼ਰ (ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਮੋਰੀਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਡਿਸਕਾਂ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=1 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਬੰਨ੍ਹੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਖੋਖਲਾ ਘਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਲਾਈਸਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਵਾਸ਼ਰ ਚਿੱਤਰ 6.22(a) ਅਤੇ (b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਘੁਮਾਉਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲਾ ਘਣ ਚਿੱਤਰ 6.22(c) ਅਤੇ (d) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.22: (a) ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਵਾਸ਼ਰ। (c) ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਖੇਤਰ। (d) ਨਤੀਜੇ ਵਾਲਾ ਘਣ।
ਫਿਰ, ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ, ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ:
ਫਿਰ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ:
ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਆਮਕਰਨ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਅਤੇ g(x) ਨਿਰੰਤਰ, ਅਣ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਫਲਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f(x) ≥ g(x)। ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ, x=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਤੋਂ, ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਤਾਂ, R ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ 6.10
ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.23: (a) [1,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੋਖਲਾ ਹਿੱਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.10
f(x)=x ਅਤੇ g(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ u(y) ਅਤੇ v(y) ਨਿਰੰਤਰ, ਅਣ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਫਲਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ y∈[c,d] ਲਈ v(y) ≤ u(y)। ਮੰਨ ਲਓ Q ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ u(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, v(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਤਾਂ, Q ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਦੋਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਹੀ ਆਮ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਆਇਤਨ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.11
ਵੱਖਰੇ ਘੁੰਮਣ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ
f(x)=4−x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ y=−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.24: (a) [0,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=4−x ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ। (b) ਖੇਤਰ ਨੂੰ y=−2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਠੋਸ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਵਰਗਾ ਮੋਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ f(x)+2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਰਲ ਹੋ ਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ:
ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ g(x)=2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
Checkpoint 6.11
Find the volume of a solid of revolution formed by revolving the region bounded above by the graph of f(x)=x+2f(x)=x+2 and below by the x-axisx-axis over the interval [0,3][0,3] around the line y=−1.y=−1.
Derive the formula for the volume of a sphere using the slicing method.
Use the slicing method to derive the formula for the volume of a cone.
Use the slicing method to derive the formula for the volume of a tetrahedron with side length a.a.
Use the disk method to derive the formula for the volume of a trapezoidal cylinder.
Explain when you would use the disk method versus the washer method. When are they interchangeable?
For the following exercises, draw a typical slice and find the volume using the slicing method for the given volume.
A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.
A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.
A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.
A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.
A cone of radius rr and height hh has a smaller cone of radius r/2r/2 and height h/2h/2 removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.
For the following exercises, draw an outline of the solid and find the volume using the slicing method.
The base is a circle of radius a.a. The slices perpendicular to the base are squares.
The base is a triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,0),(1,0), and (0,1).(0,1). Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
The base is the region under the parabola y=1−x2y=1−x2 in the first quadrant. Slices perpendicular to the xy-plane and parallel to the y-axis are squares.
The base is the region under the parabola y=1−x2y=1−x2 and above the x-axis.x-axis. Slices perpendicular to the y-axisy-axis are squares.
The base is the region enclosed by y=x2y=x2 and y=9.y=9. Slices perpendicular to the x-axis are right isosceles triangles. The intersection of one of these slices and the base is the leg of the triangle.
The base is the area between y=xy=x and y=x2.y=x2. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.
x + y = 8 , x = 0 , and y = 0 x + y = 8 , x = 0 , and y = 0
y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , and y = 0 y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , and y = 0
y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , and y = 0 y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , and y = 0
y = x 4 , x = 0 , and y = 1 for x ≥ 0 y = x 4 , x = 0 , and y = 1 for x ≥ 0
y = x , x = 0 , x = 4 , and y = 0 y = x , x = 0 , x = 4 , and y = 0
y = sin x , y = cos x , and x = 0 y = sin x , y = cos x , and x = 0
y = 1 x , x = 2 , and y = 3 y = 1 x , x = 2 , and y = 3
x 2 − y 2 = 9 and x + y = 9 , y = 0 and x = 0 x 2 − y 2 = 9 and x + y = 9 , y = 0 and x = 0
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.
y = 4 − 1 2 x , x = 0 , and y = 0 y = 4 − 1 2 x , x = 0 , and y = 0
y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , and y = 0 y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , and y = 0
y = 3 x 2 , x = 0 , and y = 3 y = 3 x 2 , x = 0 , and y = 3
y = 4 − x 2 , y = 0 , and x = 0 y = 4 − x 2 , y = 0 , and x = 0
y = 1 x + 1 , x = 0 , x = 3 , and y = 0 y = 1 x + 1 , x = 0 , x = 3 , and y = 0
x = sec ( y ) and y = π 4 , y = 0 and x = 0 x = sec ( y ) and y = π 4 , y = 0 and x = 0
y = 1 x + 1 , x = 0 , , x = 2 , and y = 0 y = 1 x + 1 , x = 0 , , x = 2 , and y = 0
y = 4 − x , y = x , and x = 0 y = 4 − x , y = x , and x = 0
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the x-axis.
y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , and x = 5 y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , and x = 5
y = x 2 and y = x + 2 y = x 2 and y = x + 2
x 2 = y 3 and x 3 = y 2 x 2 = y 3 and x 3 = y 2
y = 4 − x 2 and y = 2 − x y = 4 − x 2 and y = 2 − x
[T] y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1.2927y=cosx,y=e−x,x=0,andx=1.2927
y = x and y = x 2 y = x and y = x 2
y = sin x , y = 5 sin x , x = 0 and x = π y = sin x , y = 5 sin x , x = 0 and x = π
y = 1 + x 2 and y = 4 − x 2 y = 1 + x 2 and y = 4 − x 2
For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.
y = x , x = 4 , and y = 0 y = x , x = 4 , and y = 0
y = x + 2 , y = 2 x − 1 , and x = 0 y = x + 2 , y = 2 x − 1 , and x = 0
y = x 3 and y = x 3 y = x 3 and y = x 3
x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , and y = ln ( 2 ) x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , and y = ln ( 2 )
x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , and y = 3 x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , and y = 3
Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line y=1mxy=1mx around the y-axis to find the volume between y=aandy=b.y=aandy=b.
Rotate the ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.
Rotate the ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1(x2/a2)+(y2/b2)=1 around the y-axis to approximate the volume of a football.
A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating y=sinxy=sinx around the x-axis from x=0x=0 to x=π.x=π. What is the volume of this football approximation, as seen here?
What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating y=sinxy=sinx around the y-axis from x=0x=0 to x=π?x=π?
For the following exercises, find the volume of the solid described.
The base is the region between y=xy=x and y=x2.y=x2. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
The base is the region enclosed by the generic ellipse (x2/a2)+(y2/b2)=1.(x2/a2)+(y2/b2)=1. Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.
Bore a hole of radius aa down the axis of a right cone of height bb and radius bb through the base of the cone as seen here.
Find the volume common to two spheres of radius rr with centers that are 2h2h apart, as shown here.
Find the volume of a spherical cap of height hh and radius rr where h<r,h<r, as seen here.
Find the volume of a sphere of radius RR with a cap of height hh removed from the top, as seen here.