ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.3.1 ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣੋ।
6.3.2 ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ ਹੀ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਡਿਸਕ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀਆਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਤਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਫਾਇਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਨਾਲ ਹੀ, ਠੋਸ ਦੀ ਖਾਸ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਕਈ ਵਾਰ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਆਕਰਸ਼ਕ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜੋ ਵੀ ਵਿਧੀਆਂ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R, R ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਦੀ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x), y=f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੀ, x-ਧੁਰੀ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲਾਈਨਾਂ x=a, x=a ਅਤੇ x=b, x=b ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.25(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.25(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, xx ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੀ x-ਧੁਰੀ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲਾਈਨ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ।
ਚਿੱਤਰ 6.25: (a) xx ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ। (b) ਜਦੋਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ, P={x0,x1,…,xn} P={x0,x1,…,xn} ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] [a,b] ਨੂੰ ਪਾਰਟੀਸ਼ਨ ਕਰੋ ਅਤੇ, i=1,2,…,n, i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਫਿਰ, ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] [xi−1,xi] ਉੱਤੇ f(xi*) f(xi*) ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ Δx Δx ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਓ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤਾਕਾਰ ਚਿੱਤਰ 6.26(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਸ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਿਸਕ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.26: (a) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤਾਕਾਰ। (b) ਜਦੋਂ ਇਸ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨੂੰ y-ਧੁਰੀ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (c) ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਠੋਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 6.27 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 6.27: ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ।
ਸ਼ੈੱਲ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਆਇਤਨ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਐਨੂਲੀ (ਅੰਗੂਠੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ—ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੋਰੀ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ) ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ xixi ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ xi−1.xi−1 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰ πxi2−πxi−12.πxi2−πxi−12 ਹੈ। ਸਿਲੰਡਰ ਦੀ ਉਚਾਈ f(xi*).f(xi*) ਹੈ। ਫਿਰ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ xi−xi−1=Δx,xi−xi−1=Δx, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, xi+xi−12xi+xi−12 ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] [xi−1,xi] ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਔਸਤ ਰੇਡੀਅਸ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ xi* xi* ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੱਟ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਪਲੇਟ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਖੋਲ੍ਹਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਵੇ (ਚਿੱਤਰ 6.28)।
ਚਿੱਤਰ 6.28: (a) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੱਟ ਬਣਾਓ। (b) ਸ਼ੈੱਲ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਪਲੇਟ ਬਣਾਓ।
ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪਿਛਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਪਲੇਟ ਦੇ ਅਗਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਸਮਤਲ ਕੀਤੀ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ f(xi*), f(xi*) ਦੀ ਉਚਾਈ, 2πxi*, 2πxi* ਦੀ ਚੌੜਾਈ, ਅਤੇ Δx Δx ਦੀ ਮੋਟਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਪਲੇਟ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 6.28)। ਫਿਰ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਫਲੈਟ ਪਲੇਟ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਪਲੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲਾ ਹੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ।
ਸਾਰੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਿਣਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇੱਥੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੀਮੈਨ ਸਮ ਹੈ, ਇਸ ਵਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ 2πxf(x).2πxf(x) ਲਈ। ਜਦੋਂ n→∞ n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਿਯਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨਿਯਮ: ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
ਮੰਨ ਲਓ f(x) f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। RR ਨੂੰ f(x), f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, x-ਧੁਰੀ x-ਧੁਰੀ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਲਾਈਨ x=a, x=a ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ, ਅਤੇ ਲਾਈਨ x=b.x=b ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
1. ਮਿਸਾਲ 6.12
2. ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ 1
3. RR ਨੂੰ f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
6. ਤਸਵੀਰ 6.29: (a) f(x)=1/x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ RR, [1,3] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਘਣ ਦਾ ਆਕਾਰ।
7. ਫਿਰ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
8. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.12
9. R ਨੂੰ f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਮਿਸਾਲ 6.13
11. ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ 2
12. R ਨੂੰ f(x)=2x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਪਹਿਲਾਂ ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਤਸਵੀਰ 6.30: (a) f(x)=2x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ RR, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ।
16. ਫਿਰ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.13
18. RR ਨੂੰ f(x)=3x−x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਘਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਨਿਯਮ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਨਿਯਮ: x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
21. ਮੰਨ ਲਓ g(y) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਹੈ। QQ ਨੂੰ g(y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=c ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ y=d ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ, QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
22. ਮਿਸਾਲ 6.14
23. x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਲਈ ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ
24. QQ ਨੂੰ g(y)=2y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y∈[0,4] ਲਈ, ਘਿਰੀ ਹੋਈ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਘਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਖੇਤਰ QQ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
3. ਚਿੱਤਰ 6.31: (a) ਫੰਕਸ਼ਨ g(y)g(y) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਖੇਤਰ QQ, [0,4] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ। [0,4]। (b) QQ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ। x-ਧੁਰਾ।
4. ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ Q.Q. ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
5. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.14
6. QQ ਨੂੰ g(y)=3/yg(y)=3/y ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ, y∈[1,3] ਲਈ। y∈[1,3]। x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। x-ਧੁਰਾ।
7. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੋ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਮੁੜ ਦੇਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਪਾਇਆ ਸੀ
8. ਇਹ xixi ਅਤੇ xi−1xi−1 ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੀ ਸ਼ੈੱਲ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਸੀ। ਜੇਕਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਬਾਹਰੀ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਿ ਅਸੀਂ x=−k,x=−k ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਜਿੱਥੇ kk ਕੋਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਰੇਡੀਅਸ xi+kxi+k ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੇਡੀਅਸ xi−1+k.xi−1+k ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਬਦਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x=−k,x=−k ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
9. ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xi+xi−12xi+xi−12 [xi−1,xi][xi−1,xi] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ xi*.xi* ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਇਤਨ ਹੈ
10. ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਚੱਲਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
11. ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੋਰ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨਾਂ ਦੁਆਲੇ ਵੀ ਘੁੰਮਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੱਜੇ ਅੱਧੇ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ। ਹਰ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ x-ਸ਼ਬਦx-ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 6.15
13. ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਗਿਆ
14. RR ਨੂੰ f(x)=xf(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,2] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ x=−1.x=−1 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
15. ਹੱਲ
16. ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਚਿੱਤਰ 6.32: (a) [1,2] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ RR। (b) RR ਨੂੰ x=−1.x=−1 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ।
18. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ x+1.x+1 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
19. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.15
20. RR ਨੂੰ f(x)=x2f(x)=x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [0,1] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ x=−2.x=−2 ਲਾਈਨ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
21. ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਅੰਤਿਮ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6.16
23. ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ
24. RR ਨੂੰ f(x)=xf(x)=x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=1/xg(x)=1/x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, [1,4] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। RR ਨੂੰ y-ਧੁਰੇy-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ RR ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.33: (a) ਅੰਤਰਾਲ [1,4] ਉੱਤੇ f(x) ਅਤੇ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ RR। (b) y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦਾ ਠੋਸ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਸਿਰਫ਼ x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇੰਟੈਗਰੈਂਡ ਦੇ x-ਪਦ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਿਵਸਥਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਸ਼ੈੱਲ ਦੀ ਉਚਾਈ f(x)−g(x) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰੈਂਡ ਦੇ f(x) ਪਦ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.16
RR ਨੂੰ f(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ g(x)=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,1] ਉੱਤੇ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ RR ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੀਏ?
ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ? ਇਹ ਅਕਸਰ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਇੰਟੈਗਰਲ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6.34 x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਹੁੰਚਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸਾਂ ਲਈ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਕੁਝ ਵਾਧੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.17
ਸਰਵੋਤਮ ਵਿਧੀ ਦੀ ਚੋਣ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ, ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੈਗਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ (ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਾ ਕਰੋ)।
y=x, y=2−x, ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ।
y=4x−x^2 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 6.35 (a) ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ RR। (b) RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦਾ ਠੋਸ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੈਗਰੇਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੂੰ ਦੋ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਪਵੇਗਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ [0,1] ਅਤੇ [1,2] ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ V=∫01(πx^2)dx+∫12(π(2−x)^2)dx ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ V=∫01(2πy[(2−y)−y])dy=∫01(2πy[2−2y])dy ਬਣੇਗਾ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੰਟੈਗਰਲ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਔਖਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੰਟੈਗਰੈਂਡ ਨੂੰ ਘੱਟ ਸਰਲੀਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਕੈਚ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 6.36 (a) ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ RR। (b) RR ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦਾ ਠੋਸ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਣਾ ਸਮੱਸਿਆਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ; ਖੇਤਰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਠੋਸ ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਖੋਖਲਾਪਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡਿਸਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ V=∫04π(4x−x^2)^2dx।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.17
ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਿਧੀ ਚੁਣੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੈਗਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ (ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਨਾ ਕਰੋ): y=2−x^2 ਅਤੇ y=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਖੇਤਰ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਬਣੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਅਤੇ ਹੱਥ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਮ ਟੁਕੜਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
[T] y=3x, x=0, ਅਤੇ y=3 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਵਕਰਾਂ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ।
[T] y=3x, y=0, ਅਤੇ x=3 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਵਕਰਾਂ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ।
[T] y=3x, y=0, ਅਤੇ y=3 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਵਕਰਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ।
[T] y=3x, y=0, ਅਤੇ x=3 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਵਕਰਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਏ ਗਏ।
[T] Bounded by the curves y=2x3,y=0,andx=2y=2x3,y=0,andx=2 rotated around the y-axis.y-axis.
[T] Bounded by the curves y=2x3,y=0,andx=2y=2x3,y=0,andx=2 rotated around the x-axis.x-axis.
For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the x-axisx-axis and are rotated around the y-axis.y-axis.
y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1
y = 5 x 3 , x = 0 , and x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , and x = 1
y = 1 x , x = 1 , and x = 100 y = 1 x , x = 1 , and x = 100
y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 y = 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1
y = 1 1 + x 2 , x = 0 , and x = 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , and x = 3
y = sin x 2 , x = 0 , and x = π y = sin x 2 , x = 0 , and x = π
y = 1 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 2 y = 1 1 − x 2 , x = 0 , and x = 1 2
y = x , x = 0 , and x = 1 y = x , x = 0 , and x = 1
y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , and x = 1 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , and x = 1
y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , and x = 2 y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , and x = 2
For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and y=0y=0 around the x-axis.x-axis.
y=1−x2,x=0,x=1y=1−x2,x=0,x=1 and the x-axis
y=x2,x=0,x=2y=x2,x=0,x=2 and the x-axis
y=x32,x=0,x=2,y=x32,x=0,x=2, and the x-axis
y=2x2,x=1,x=2,y=2x2,x=1,x=2, and the x-axis
x = 1 1 + y 2 , y = 4 x = 1 1 + y 2 , y = 4
x=1+y2y,y=1,y=4,x=1+y2y,y=1,y=4, and the y-axis
x = 4 - y 2 , x = 0 , y = 0 x = 4 - y 2 , x = 0 , y = 0
x=y3-2y2,x=0,x=9x=y3-2y2,x=0,x=9
x=y+1,x=1,x=3,x=y+1,x=1,x=3, and the x-axis
x = 27 y 3 and x = 3 y 4 x = 27 y 3 and x = 3 y 4
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਆਇਤਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
2. y=3−x, y=0, x=0, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
3. y=x3, x=0, ਅਤੇ y=8 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
4. y=x2, y=x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
5. y=x, y=0, ਅਤੇ x=1 ਨੂੰ x=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
6. y=14−x, x=1, x=2, ਅਤੇ y=0 ਨੂੰ x=4 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
7. y=x ਅਤੇ y=x2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
8. y=x ਅਤੇ y=x2 ਨੂੰ x=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
9. x=y3, x=1, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
10. x=y2 ਅਤੇ y=x ਨੂੰ y=2 ਰੇਖਾ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
11. x=sin(πy) ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, y=x ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ।
12. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਲੱਗਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ 'ਤੇ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕੇ। ਫਿਰ, ਆਪਣੀ ਚੁਣੀ ਹੋਈ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. y=x2 ਅਤੇ y=4x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
14. y=cos(πx), y=sin(πx), x=1/4, ਅਤੇ x=5/4 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ। ਇਸ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਉੱਨਤ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
15. y=x2−2x, x=2, ਅਤੇ x=4 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
16. y=x2−2x, x=2, ਅਤੇ x=4 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
17. y=3x3−2, y=x, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
18. y=3x3−2, y=x, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
19. x=sin(πy2) ਅਤੇ x=2y ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
20. x=y2, x=y2−2y+1, ਅਤੇ x=2 ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ।
21. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੁਝ ਆਮ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜੋ ਨਾਲ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
22. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
23. r ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ h ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
24. (x2/a2)+(y2/b2)=1 ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਜਿਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਅਤੇ ਉਚਾਈ $h$ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਡੋਨਟ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਕਿ ਚੱਕਰ $x^2+y^2=4$ ਨੂੰ ਰੇਖਾ $x=4$ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
3. $y=f(x)$, $y=1+f(x)$, $x=0$, $y=0$, ਅਤੇ $x=a>0$ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਕੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $[0,a]$ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।
4. ਫੰਕਸ਼ਨ $y=f(x)$ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ $f(0)=b$ ਤੋਂ $f(1)=0$ ਤੱਕ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਖੇਤਰ, $x=0$ ਅਤੇ $y=0$ ਨਾਲ, ਨੂੰ $y$-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਣਨ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੰਟੀਗਰਲ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਵਿਧੀਆਂ ਇੱਕੋ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਹੜੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਕਿਉਂਕਿ $f(x)$ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਲਟਾ $f^{-1}(y)$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।)