ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.6.1 ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵੰਡੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
6.6.2 ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
6.6.3 ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
6.6.4 ਆਇਤਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਮੂਲ ਵਿਚਾਰ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤਿਆਂ ਨੇ ਕਲਾਕਾਰਾਂ ਨੂੰ ਡੰਡਿਆਂ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਪਲੇਟਾਂ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ। ਕਲਾਕਾਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਡਿੱਗਣ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਕਈਆਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਕੱਲੀ ਪਲੇਟ (ਇਸਨੂੰ ਘੁਮਾਏ ਬਿਨਾਂ) ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਡੰਡੇ ਨੂੰ ਉਸ ਸਥਾਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਤੇ ਹੋਰ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਪਲੇਟ ਸੰਤੁਲਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। (ਇਸੇ ਲਈ ਕਲਾਕਾਰ ਪਲੇਟਾਂ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਨ; ਘੁਮਾਉਣ ਨਾਲ ਪਲੇਟਾਂ ਨੂੰ ਡਿੱਗਣ ਤੋਂ ਰੋਕਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਡੰਡਾ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਜਗ੍ਹਾ 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਵੇ।) ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਉਸ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਠੋਸਾਂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਮੋਮੈਂਟ
ਆਓ ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਲੰਬੀ, ਪਤਲੀ ਤਾਰ ਜਾਂ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਨਿਗੂਣਾ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਫੁਲਕਰਮ 'ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.62(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ d1d1 ਅਤੇ d2d2 ਦੂਰੀਆਂ 'ਤੇ m1m1 ਅਤੇ m2m2 ਪੁੰਜ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਫੁਲਕਰਮ ਤੋਂ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 6.62(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.62: (a) ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਡੰਡਾ ਫੁਲਕਰਮ 'ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। (b) ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੁੰਜ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਅਸਲ-ਜੀਵਨ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਖੇਡ ਦੇ ਮੈਦਾਨ ਦਾ ਸੀ-ਸਾਅ, ਜਾਂ ਟੇਟਰ-ਟੋਟਰ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਭਾਰਾਂ ਵਾਲੇ ਬੱਚੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ 'ਤੇ ਬੈਠੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸੀ-ਸਾਅ 'ਤੇ, ਜੇ ਇੱਕ ਬੱਚਾ ਹਰੇਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬੈਠਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਭਾਰਾ ਬੱਚਾ ਹੇਠਾਂ ਡੁੱਬ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਲਕਾ ਬੱਚਾ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਉੱਠ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇ ਭਾਰਾ ਬੱਚਾ ਕੇਂਦਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀ-ਸਾਅ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਡੰਡੇ 'ਤੇ ਪੁੰਜਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ m1d1=m2d2.m1d1=m2d2.
ਸੀ-ਸਾਅ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੁੰਜਾਂ (ਬੱਚਿਆਂ) ਨੂੰ ਫੁਲਕਰਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹਿਲਾ ਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕੀਤਾ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਸੀਂ ਫੁਲਕਰਮ ਨੂੰ ਹਿਲਾ ਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ, m1m1 ਅਤੇ m2,m2 ਹਨ, ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1x1 ਅਤੇ x2,x2 ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 6.63)। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ, x–,x–, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫੁਲਕਰਮ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.63: ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ x–x– ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਅੰਸ਼ ਜੋ ਨਿਊਮਰੇਟਰ ਵਿੱਚ ਹੈ, m1x1+m2x2,m1x1+m2x2, ਨੂੰ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਮੋਮੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਪਹਿਲਾ ਸ਼ਬਦ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼, m1+m2,m1+m2, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਮੋਮੈਂਟ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ n ਪੁੰਜ, m1,m2,…,mn,m1,m2,…,mn, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1,x2,…,xn,x1,x2,…,xn ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਪ੍ਰਮੇਯ 6.9
ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ m1,m2,…,mnm1,m2,…,mn ਕ੍ਰਮਵਾਰ x1,x2,…,xn,x1,x2,…,xn ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ m=∑i=1nmim=∑i=1nmi ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.29
ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ:
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਹੁਣ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 1/2 ਮੀਟਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.29
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ:
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ m1m1 ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹੈ ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (x1,y1)(x1,y1) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਲ MxMx ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ Mx=m1y1.Mx=m1y1। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ MyMy ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ My=m1x1.My=m1x1। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਤੋਂ y-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.64: ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ m1m1 ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (x1,y1)(x1,y1) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.10
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ m1,m2,…,mnm1,m2,…,mn ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਹਨ ਜੋ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ m=∑i=1nmim=∑i=1nmi ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪਲ MxMx ਅਤੇ MyMy ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ
ਨਾਲ ਹੀ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–)(x–,y–) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਨ
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.30
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ):
ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (1,1/3),(1,1/3), ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਚੌਕੀ 6.30
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ (ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ):
ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਪਤਲੀਆਂ ਪਲੇਟਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ, ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਪੁੰਜ ਸਮੱਗਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਚਾਦਰ ਵਿੱਚ ਨਿਰੰਤਰ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚਾਦਰ ਇੰਨੀ ਪਤਲੀ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਚਾਦਰ ਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ।
ਲੈਮੀਨਾ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਸੈਂਟਰੋਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕੇਵਲ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਘਣਤਾ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੈਂਟਰੋਇਡ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਾਂਗ, ਸਾਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਲੈਮੀਨਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਲੈਮੀਨਾ ਸੰਤੁਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਇਤ ਲਈ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਆਇਤ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕੇਂਦਰ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮਝ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵਿਕਰਨ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਥੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 6.11
ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਖੇਤਰ R ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ l ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ R ਦਾ ਸੈਂਟਰੋਇਡ l 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਆਪਾਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਲੈਮੀਨਾ ਵੱਲ ਮੁੜੀਏ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x),f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ x=ax=a ਅਤੇ x=b,x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.65: ਇੱਕ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਜੋ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਾਂਗ, ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ ਅਤੇ ਆਇਤਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
i=0,1,2,…,n,i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi}P={xi} ਨੂੰ [a,b].[a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਡੇ xi*.xi* ਵਜੋਂ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi][xi−1,xi] ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ xi*xi* ਸਾਡੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਸੈਂਟਰੋਇਡ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, i=1,2,…,n,i=1,2,…,n ਲਈ, ਅਸੀਂ xi*∈[xi−1,xi]xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ xi*xi* ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ। ਭਾਵ, xi*=(xi−1+xi)/2.xi*=(xi−1+xi)/2। ਹੁਣ, i=1,2,…,n,i=1,2,…,n ਲਈ, [xi−1,xi].[xi−1,xi] 'ਤੇ f(xi*)f(xi*) ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ। ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*))/2),(xi*,(f(xi*))/2) ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.66: ਲੈਮੀਨਾ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤ।
ਅੱਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਆਇਤ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ρρ ਨੂੰ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿਓ (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ρρ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ)। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ρρ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ ਖੇਤਰ ਪੁੰਜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਇਤ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ρ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।ρ। ਫਿਰ, ਆਇਤ ਦਾ ਪੁੰਜ ρf(xi*)Δx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ρf(xi*)Δx।
ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਸੱਮ ਹੈ। ਜਦੋਂ n→∞n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਸਹੀ ਪੁੰਜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹੋਏ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*))/2).(xi*,(f(xi*))/2) ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਆਇਤ ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਾਂਗ ਮੰਨਣ ਨਾਲ ਮੋਮੈਂਟ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਦਲਾਅ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਇਤ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ, ਆਇਤ ਦੇ ਪੁੰਜ, ρf(xi*)Δx,ρf(xi*)Δx, ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ: (f(xi*))/2.(f(xi*))/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਆਇਤ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ρ([f(xi*)]2/2)Δx.ρ([f(xi*)]2/2)Δx ਹੈ। ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਸ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਰੀਮੈਨ ਸੱਮ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਹੈ
ਅਸੀਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ਨੂੰ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਇਤ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ y-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ xi*.xi* ਹੈ। ਫਿਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਸ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨਾਲ ਭਾਗ ਦੇ ਕੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ x–=My/mandy–=Mx/m.x–=My/mandy–=Mx/m ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ Mx,My,andm,Mx,My,andm ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ x–x– ਅਤੇ y–y– ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਸਥਿਰ ρρ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਪ੍ਰਮੇਯ 6.12
2. xy-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
3. ਮੰਨ ਲਓ R ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ, x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ρ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
4. ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ m=ρ∫abf(x)dx ਹੈ। (6.18)
5. ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ Mx ਅਤੇ My ਕ੍ਰਮਵਾਰ Mx=ρ∫ab[f(x)]22dx ਅਤੇ My=ρ∫abxf(x)dx ਹਨ। (6.19)
6. ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ x–=My/m ਅਤੇ y–=Mx/m ਹਨ। (6.20)
7. ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 6.31
9. ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
10. ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫਲਨ f(x)=x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,4] ਉੱਤੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
11. ਹੱਲ
12. ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
13. ਚਿੱਤਰ 6.67: ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ।
14. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੈਮੀਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਜਾਂ ਮੋਮੈਂਟ ਬਾਰੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ρ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸੁਵਿਧਾ ਲਈ, ਆਓ ρ=1 ਮੰਨ ਲਈਏ।
15. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
16. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
17. ਅਤੇ
18. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ (12/5, 3/4) ਹੈ।
20. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.31
21. ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਫਲਨ f(x)=x² ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
22. ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਜਟਿਲ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ, ਪਰ ਹੁਣ, ਖੇਤਰ ਲਈ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ x-ਧੁਰਾ ਹੋਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
23. ਚਿੱਤਰ 6.68: ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ।
24. ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
6.69: ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਆਇਤ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (xi*,(f(xi*)+g(xi*))/2) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵੇਰਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਜਾਵਾਂਗੇ, ਪਰ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਲਾਮਿਨਾ ਦੇ ਪੁੰਜ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ f(xi*)−g(xi*) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੰਟਿਗਰੈਂਡਜ਼ ਵਿੱਚ f(x)−g(x) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ, ρ[f(xi*)−g(xi*)]Δx, ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਦੂਰੀ, (f(xi*)+g(xi*))/2, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ρ(1/2){[f(xi*)]2−[g(xi*)]2}Δx ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.13
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਲਾਮਿਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ
ਮੰਨ ਲਓ R ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ, ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ x=a ਅਤੇ x=b ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ρ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲਾਮਿਨਾ ਦਾ ਘਣਤਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਲਾਮਿਨਾ ਦਾ ਪੁੰਜ m=ρ∫ab[f(x)−g(x)]dx ਹੈ। (6.21)
ਲਾਮਿਨਾ ਦੇ Mx ਅਤੇ My ਮੋਮੈਂਟ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, Mx=ρ∫ab12([f(x)]2−[g(x)]2)dx ਅਤੇ My=ρ∫abx[f(x)−g(x)]dx ਹਨ। (6.22)
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ x–=Mym ਅਤੇ y–=Mxm ਹਨ। (6.23)
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.32
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=x−1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
6.70: ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (−2,−3) ਅਤੇ (1,0) 'ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ −2 ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਇੰਟਿਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ρ=1 ਮੰਨ ਲਓ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅਤੇ
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (−(1/2),−(3/5)) ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.32
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=6−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=3−2x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਰਹੇ ਸਾਂ। ਸਮਰੂਪ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣ ਵੇਲੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਬਹੁਤ ਸਹਾਈ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.33
ਸਮਰੂਪ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=4−x2f(x)=4−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.71: ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਖੇਤਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੇਂਦਰ ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ y–.y– ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ρ=1.ρ=1।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਮੋਮੈਂਟਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ Mx:Mx ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ (0,8/5).(0,8/5) ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.33
ਮੰਨ ਲਓ R ਉਹ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1−x2f(x)=1−x2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ
ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ 28 ਮਾਰਚ, 2007 ਨੂੰ ਜਨਤਾ ਲਈ ਖੋਲ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜੂਬਾ ਹੈ ਜੋ ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਪੱਛਮੀ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਕੋਲੋਰਾਡੋ ਨਦੀ ਤੋਂ 4000 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਲਟਕਿਆ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਘੋੜੇ ਦੀ ਨਾੜ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਿਸਟਲ-ਕਲੀਅਰ ਗਲਾਸ ਫਲੋਰ ਹੇਠਾਂ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.72: ਗ੍ਰੈਂਡ ਕੈਨਿਯਨ ਸਕਾਈਵਾਕ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: 10da_ralta, Wikimedia Commons)
ਸਕਾਈਵਾਕ ਇੱਕ ਕੈਂਟੀਲਿਵਰ ਡਿਜ਼ਾਈਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਹਾਇਤਾ ਦਾ ਕੋਈ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲਾ ਸਾਧਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਸਹਾਇਤਾ ਪੋਸਟਾਂ ਜਾਂ ਸਟਰੱਟਾਂ ਦੀ ਘਾਟ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਕੈਂਟੀਲਿਵਰ ਢਾਂਚੇ ਬਹੁਤ ਸਥਿਰ ਹੋਣ ਲਈ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ ਅਤੇ ਸਕਾਈਵਾਕ ਕੋਈ ਅਪਵਾਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਸਹਾਇਤਾ ਪੋਸਟਾਂ ਨਾਲ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜੋ ਬੈਡਰੌਕ ਵਿੱਚ 46 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਢਾਂਚਾ 50 ਮੀਲ ਦੇ ਅੰਦਰ 100-mph ਹਵਾਵਾਂ ਅਤੇ 8.0-ਮੈਗਨੀਚਿਊਡ ਭੂਚਾਲ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਤੇ 70,000,000 ਪੌਂਡ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਹਾਇਤਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੈ।
ਸਕਾਈਵਾਕ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਕਾਰਕ ਢਾਂਚੇ ਦਾ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਕਾਈਵਾਕ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸੈਲਾਨੀ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ U-ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ। U ਦੇ ਪੈਰ 10 ਫੁੱਟ ਚੌੜੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ, ਵਿਜ਼ਿਟਰਾਂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ, ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ 48 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਕੈਨਿਯਨ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ 70 ਫੁੱਟ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਢਾਂਚੇ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਪਹਿਲਾ ਖੇਤਰ, ਜਿਸਨੂੰ R1,R1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, U ਦੇ ਵਕਰੇ ਹੋਏ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ R1R1 ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰੀ ਐਨੂਲਸ (semicircular annulus) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 25 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਬਾਹਰੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 35 ਫੁੱਟ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ (origin) 'ਤੇ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.73: ਅਸੀਂ ਸਕਾਈਵਾਕ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
1. ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੈਰ, ਜੋ ਕਿ R1R1 ਅਤੇ ਖੱਡ ਦੀ ਕੰਧ ਵਿਚਕਾਰ 35 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਦੂਜੇ ਉਪ-ਖੇਤਰ, R2.R2 ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਂ ਦੇ ਸਿਰੇ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 48 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਤੀਜੇ ਉਪ-ਖੇਤਰ, R3.R3 ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਲੈਮੀਨਾ ਦੀ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦਾ ਕੁੱਲ ਭਾਰ 1,200,000 ਪੌਂਡ ਹੈ (ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦੇ ਭਾਰ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ; ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ)। g=32ft/sec2.g=32ft/sec2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ R2R2 ਅਤੇ R3R3 ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਪੈਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਨਾ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖਾਲੀ ਜਗ੍ਹਾ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜਲੇ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
3. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪੁੰਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
5. ਹੁਣ, ਤਿੰਨਾਂ ਉਪ-ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਪ-ਖੇਤਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਜੋਂ ਮੰਨੋ। ਇਸ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪੂਰੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਦਾ ਭਾਰ 2,200,000 ਪੌਂਡ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ R3.R3 ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਵਜੋਂ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੀ ਮੁੜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ?
7. ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਕਾਈਵਾਕ ਨੂੰ ਨਿਰੀਖਣ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 120 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਪਲੇਟਫਾਰਮ 200 ਪੌਂਡ ਭਾਰ ਵਾਲੇ 800 ਲੋਕਾਂ ਤੱਕ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਰੱਥ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ 800 ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਪਲੇਟਫਾਰਮ 'ਤੇ ਆਉਣ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ, ਅਤੇ ਉਹ ਸਾਰੇ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਜਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਕੀ ਅਸਰ ਪੈਂਦਾ? (ਵਿਜ਼ਟਰ ਸੈਂਟਰ ਨੂੰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਖੱਡ ਦੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 70 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਦੂਰ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਓ।)
8. ਪੱਪੁਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
9. ਇਹ ਭਾਗ ਪੱਪੁਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਚਰਚਾ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। (ਸਤਹ ਖੇਤਰ ਲਈ ਪੱਪੁਸ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਆਇਤਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।)
10. ਪ੍ਰਮੇਯ 6.14
11. ਆਇਤਨ ਲਈ ਪੱਪੁਸ ਦਾ ਪ੍ਰਮੇਯ
12. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ l ਹੈ ਜੋ R ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ। ਫਿਰ, R ਨੂੰ l ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ, R ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ R ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ d ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
13. ਸਿੱਧ
14. ਅਸੀਂ ਉਸ ਕੇਸ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸ ਲਈ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=∫ab[f(x)−g(x)]dx.A=∫ab[f(x)−g(x)]dx ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਧੁਰਾ y-ਧੁਰਾ ਹੈ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਸਿਰਫ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੇ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, x–,x–, 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਹੈ
15. ਜਿੱਥੇ
16. ਫਿਰ,
17. ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ
18. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਿਲੰਡਰ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਇਸ ਲਈ,
20. ਅਤੇ ਸਿੱਧ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. □
22. ਉਦਾਹਰਨ 6.34
23. ਆਇਤਨ ਲਈ ਪੱਪੁਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
24. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ R (4,0) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 2 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। (4,0)। R ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣੇ ਟੋਰਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਇਤਨ ਲਈ ਪੱਪੁਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Solution
The region and torus are depicted in the following figure.
Figure 6.74: Determining the volume of a torus by using the theorem of Pappus. (a) A circular region R in the plane; (b) the torus generated by revolving R about the y-axis.
The region R is a circle of radius 2, so the area of R is A=4πA=4π units2. By the symmetry principle, the centroid of R is the center of the circle. The centroid travels around the y-axis in a circular path of radius 4, so the centroid travels d=8πd=8π units. Then, the volume of the torus is A·d=32π2A·d=32π2 units3.
Checkpoint 6.34
Let R be a circle of radius 1 centered at (3,0).(3,0). Use the theorem of Pappus for volume to find the volume of the torus generated by revolving R around the y-axis.
For the following exercises, calculate the center of mass for the collection of masses given.
m1=2m1=2 at x1=1x1=1 and m2=4m2=4 at x2=2x2=2
m1=1m1=1 at x1=−1x1=−1 and m2=3m2=3 at x2=2x2=2
m=3m=3 at x=0,1,2,6x=0,1,2,6
Unit masses at (x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)(x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)
m1=1m1=1 at (1,0)(1,0) and m2=4m2=4 at (0,1)(0,1)
m1=1m1=1 at (1,0)(1,0) and m2=3m2=3 at (2,2)(2,2)
For the following exercises, compute the center of mass x–.x–.
ρ=1ρ=1 for x∈(−1,3)x∈(−1,3)
ρ=x2ρ=x2 for x∈(0,L)x∈(0,L)
ρ=1ρ=1 for x∈(0,1)x∈(0,1) and ρ=2ρ=2 for x∈(1,2)x∈(1,2)
ρ=sinxρ=sinx for x∈(0,π)x∈(0,π)
ρ=cosxρ=cosx for x∈(0,π2)x∈(0,π2)
ρ=exρ=ex for x∈(0,2)x∈(0,2)
ρ=x3+xe−xρ=x3+xe−x for x∈(0,1)x∈(0,1)
ρ=xsinxρ=xsinx for x∈(0,π)x∈(0,π)
ρ=xρ=x for x∈(1,4)x∈(1,4)
ρ=lnxρ=lnx for x∈(1,e)x∈(1,e)
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. ਵਰਗ 0≤x≤1, 0≤y≤1 ਵਿੱਚ ρ=7
3. ਸਿਖਰ (0,0), (a,0), ਅਤੇ (0,b) ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ρ=3
4. y=cos(x), y=−cos(x), x=−π2, ਅਤੇ x=π2 ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ρ=2
5. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫਿਰ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. [T] y=cos(2x), x=−π4, ਅਤੇ x=π4 ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਖੇਤਰ
7. [T] y=2x², y=0, x=0, ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
8. [T] y=54x² ਅਤੇ y=5 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
9. [T] y=x, y=ln(x), x=1, ਅਤੇ x=4 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰ
10. [T] y=0 ਅਤੇ x²/4+y²/9=1 ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਖੇਤਰ
11. [T] y=0, x=0, ਅਤੇ x²/4+y²/9=1 ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਖੇਤਰ
12. [T] ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ y=x² ਅਤੇ y=x⁴ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਖੇਤਰ
13. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਕਾਰ ਦਾ ਆਇਤਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਪਸ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. x=0 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ y=mx ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣਾ
15. x=0 ਅਤੇ x=1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ y=mx ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣਾ
16. y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ (0,0), (a,0), ਅਤੇ (0,b) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਆਮ ਕੋਨ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਕੋਨ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
17. y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ (0,0), (a,0), (0,b), ਅਤੇ (a,b) ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਆਇਤ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਆਮ ਸਿਲੰਡਰ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
18. y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ 'a' ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਵਰਤੁਲ ਨੂੰ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਗੋਲਾ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ?
19. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਕਾਰਾਂ ਲਈ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਖੇਤਰ MM ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਲੱਭੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. [T] ਚੌਥਾਈ-ਵਰਤੁਲ: y=1−x², y=0, ਅਤੇ x=0
21. [T] ਤ੍ਰਿਕੋਣ: y=x, y=2−x, ਅਤੇ y=0
22. [T] ਲੈਂਸ: y=x² ਅਤੇ y=x
23. [T] ਰਿੰਗ: y²+x²=1 ਅਤੇ y²+x²=4
24. [T] ਅੱਧਾ-ਰਿੰਗ: y²+x²=1, y²+x²=4, ਅਤੇ y=0
1. y=xay=xa ਅਤੇ y=xby=xb ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤੰਗ ਖੇਤਰ ਦਾ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ a>b ਹੈ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
2. y=a2−x2, x=0, ਅਤੇ y=0 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. y=bsin(ax), x=0, ਅਤੇ x=πa ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਆਮ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ, y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੋਏ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਟੋਰਸ (ਇੱਥੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਦੇ ਘਣਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ radius 'a' ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਨੂੰ x=b, b>0 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਨਾਲ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
5. ਇਕਾਈ ਪੁੰਜ ਵਾਲੀ ਅਰਧ-ਚੱਕਰੀ y=1−x2 ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਤਾਰ ਲਈ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (x–,y–) ਲੱਭੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)