ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
6.5.1 ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਤੋਂ ਉਸਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
6.5.2 ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਚੱਕਰੀ ਵਸਤੂ ਦੇ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਤੋਂ ਉਸਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
6.5.3 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ।
6.5.4 ਇੱਕ ਤਰਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ।
6.5.5 ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਖੜਵੀਂ ਪਲੇਟ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਕਲਨ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਭੌਤਿਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਕੰਮ ਵੱਲ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਘਣਤਾ
ਅਸੀਂ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੰਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਜਾਂ ਤਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਛੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਮਿਲ ਜਾਵੇ, ਛੜ ਦਾ ਖੱਬਾ ਸਿਰਾ x=a 'ਤੇ ਅਤੇ ਛੜ ਦਾ ਸੱਜਾ ਸਿਰਾ x=b 'ਤੇ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 6.48)। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਛੜ ਨੂੰ ਕੁਝ ਮੋਟਾਈ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਗਣਿਤਿਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਛੜ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਵਜੋਂ ਮੰਨਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪਤਲੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.48: ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਦਾ ਸੰਕਲਨ ਕਰਕੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਪੁੰਜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਸਿਰਫ਼ ਘਣਤਾ ਅਤੇ ਛੜ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਹੈ: (b−a)ρ। ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੱਸਿਆ ਥੋੜੀ ਹੋਰ ਚੁਣੌਤੀਪੂਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ, x 'ਤੇ ਛੜ ਦੇ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫਲਨ, ρ(x), ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਇੱਕ ਸੰਕਲਿਤ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਹੈ। ਹੁਣ, i=0,1,2,…,n ਲਈ P={xi} ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਚਿੱਤਰ 6.49 ਛੜ ਦੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਭਾਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.49: ਛੜ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਭਾਗ।
xi−1 ਤੋਂ xi ਤੱਕ ਛੜ ਦੇ ਭਾਗ ਦਾ ਪੁੰਜ mi ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਸਾਰੇ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪੂਰੀ ਛੜ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ। ਜਦੋਂ n→∞, ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਛੜ ਦੇ ਸਹੀ ਪੁੰਜ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.7
ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ-ਘਣਤਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਵਸਥਿਤ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਛੜ ਦੇ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.23
ਰੇਖੀ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [π/2,π] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x)=sinx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
6.10 ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.23
x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [1,3] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਛੜ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਛੜ ਦਾ ਘਣਤਾ ρ(x)=2x2+3 ਹੈ, ਤਾਂ ਛੜ ਦਾ ਪੁੰਜ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਇੱਕ r ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੀ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖੀ ਗਈ ਛੜ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਸਕ ਇੰਨੀ ਪਤਲੀ ਹੈ ਕਿ, ਗਣਿਤਿਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਵਜੋਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰਫਲ (ਖੇਤਰਫਲ ਘਣਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਅੱਗੇ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਣਤਾ ਸਿਰਫ ਡਿਸਕ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ (ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਸਕ ਨੂੰ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਡਿਸਕ ਦੀ ਘਣਤਾ ਨੂੰ x ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ, ρ(x) ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ρ(x) ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਘਣਤਾ x ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ [0,r] ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,r] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਹੁਣ, ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਪਤਲੀਆਂ (ਦੋ-ਅਯਾਮੀ) ਵਾਸ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਲਈ ਵਿਭਾਜਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਵਾਸ਼ਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 6.50: (a) xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਡਿਸਕ। (b) ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਵਾਸ਼ਰ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਪੁੰਜ, mi, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਘਣਤਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਵਾਸ਼ਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਤੁਸੀਂ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੈੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਆਇਤਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਰਹੇ ਸੀ ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸੀ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਉੱਥੇ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੇ ਔਸਤ ਰੇਡੀਅਸ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ xi*≈(xi+xi−1)/2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਵਾਸ਼ਰ ਦੀ ਘਣਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ρ(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਾਸ਼ਰ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਵਾਸ਼ਰਾਂ ਦੇ ਪੁੰਜਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੂਰੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ m, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨਨ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ n→∞ ਤੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 6.8
ਗੋਲਾਕਾਰ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ-ਘਣਤਾ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x) ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ r ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 6.24
ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਤੋਂ ਪੁੰਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x)=x ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। 4 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.24
ਮੰਨ ਲਓ ρ(x)=3x+2 ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਰੇਡੀਅਲ ਘਣਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। 2 ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਦਾ ਪੁੰਜ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੰਮ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਬਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਧੱਕਾ ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਵਜੋਂ ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਬਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੰਮ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਹਿਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੰਮ ਨੂੰ ਬਲ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਦੀ ਇਕਾਈ ਪੌਂਡ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੀ ਇਕਾਈ ਫੁੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਕੰਮ ਫੁੱਟ-ਪੌਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਅਤੇ ਮੀਟਰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਨਿਊਟਨ ਉਹ ਬਲ ਹੈ ਜੋ 1 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਨੂੰ 1 m/sec2 ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਗਤੀ ਦੇਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕੰਮ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਇਕਾਈ ਨਿਊਟਨ-ਮੀਟਰ ਹੈ। ਇਸੇ ਇਕਾਈ ਨੂੰ ਜੂਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਗੁਣਾ ਮੀਟਰ ਵਰਗ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਰਗ (kg·m2/s2) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਲ ਦਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ (ਜਾਂ ਲੰਮਾ ਕਰਨ) ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪਰਿੰਗ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਸੰਕੁਚਿਤ (ਜਾਂ ਖਿੱਚੀ) ਗਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸਪਰਿੰਗਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ F(x) ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ b ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਬਿੰਦੂ xi−1 ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ xi ਤੱਕ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਲਗਭਗ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ F(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲਗਭਗ ਹੈ:
ਜਿਵੇਂ n→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਕੰਮ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੰਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਬਲ F(x) ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ a ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ b ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ F ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੰਟੀਗਰਲ F·(b−a)=F·d ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਸੀ।
ਹੁਣ ਆਓ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਲੰਮਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਇੱਕ ਬਲਾਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬਲਾਕ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਸਪਰਿੰਗ ਖਿੱਚੀ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਸਤਹ 'ਤੇ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਬਲਾਕ ਅਤੇ ਸਤਹ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘਬਰਾਹਟ ਦੇ ਬਲ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਘਬਰਾਹਟ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਲਾਕ ਇੱਕ ਘਬਰਾਹਟ-ਰਹਿਤ ਸਤਹ 'ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਆਪਣੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਆਰਾਮ 'ਤੇ), ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਸੰਤੁਲਨ 'ਤੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ, ਸਪਰਿੰਗ ਨਾ ਤਾਂ ਲੰਮੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੰਕੁਚਿਤ, ਅਤੇ ਇਸ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਬਲਾਕ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਹਿਲਦਾ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕੋਈ ਬਲ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x=0 ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.51: ਸੰਤੁਲਨ, ਸੰਕੁਚਿਤ ਅਤੇ ਲੰਮੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਇੱਕ ਬਲਾਕ।
ਹੁੱਕ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਅਨੁਸਾਰ, ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਲ F(x)=kx, ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ k ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। k ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ k ਨੂੰ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਲੰਮਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.25
ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੰਮ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.2 ਮੀਟਰ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ 10 N (ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਬਲ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 0.5 ਮੀਟਰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰ, k, ਲੱਭੋ। ਜਦੋਂ x=−0.2, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ F(x)=−10, ਇਸ ਲਈ:
ਅਤੇ F(x)=50x। ਫਿਰ, ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ 6.25 J ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.25
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਤੁਲਨ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 6 ਇੰਚ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 8 lb ਬਲ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1 ਫੁੱਟ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਪੰਪਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕੰਮ
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਤੋਂ ਪਾਣੀ (ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਤਰਲ) ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਪਰਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹੀਆਂ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਟੈਂਕ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਮਾਪ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਇੱਕ ਇਕੱਲੇ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਤ ਹੋਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਟੈਂਕ ਦੇ ਤਲ ਤੋਂ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਟੈਂਕ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਲਿਜਾਣ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਕੰਮ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਟੈਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। 4 ਮੀਟਰ ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ 10 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ 8 ਮੀਟਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਤੱਕ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਸਾਰਾ ਪਾਣੀ ਪੰਪ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਸਾਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ xx ਨੂੰ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਹੈ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਗਠਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਮੂਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਅਗਲੀ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ)।
1. ਅੰਕੜਾ 6.52: ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਭਰੀ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ?
2. ਇਸ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਪਾਣੀ x=2 ਤੋਂ x=10 ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [2,10] ਨੂੰ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ "ਪਰਤ" ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [2,10] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਅੰਕੜਾ 6.53 ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
3. ਅੰਕੜਾ 6.53: ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ।
4. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਗੁਰੂਤਾ 'ਤੇ ਕਾਬੂ ਪਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਾਣੀ ਦੇ ਭਾਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 9800 N/m3, ਜਾਂ 62.4 lb/ft3 ਹੈ, ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਾਨੂੰ ਭਾਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
5. ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਤਾਕਤ ਹੈ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰ ਟੈਂਕੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਕਦਮ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
7. ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣਾ ਪਵੇਗਾ। ਸਾਡੇ ਕੋਲਡ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਚੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ xi* ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਪਾਣੀ ਦੀ i-ਵੀਂ ਪਰਤ Wi ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਕੰਮ ਲਗਭਗ ਹੈ
8. ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਲਈ ਕੰਮ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ ਕੰਮ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
9. ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਦੋਂ n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
10. ਟੈਂਕੀ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਕੰਮ ਲਗਭਗ 23,650,000 J ਹੈ।
11. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਗਣਨਾਵਾਂ ਟੈਂਕੀ ਜਾਂ ਕੰਟੇਨਰ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕਦਮ-ਦਰ-ਕਦਮ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੱਸਦੀ ਹੈ।
12. ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
13. ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
14. ਟੈਂਕੀ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਫਰੇਮ ਆਫ ਰੈਫਰੈਂਸ ਚੁਣੋ।
15. ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪਰਤ ਦਾ ਆਇਤਨ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
16. ਤਾਕਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
17. ਪਾਣੀ ਦੀ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
18. ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਾਕਤ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
19. ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰੋ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਪਾਣੀ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
20. n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਓ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸਹੀ ਕੰਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
21. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6.26
23. ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਲੰਡਰ ਟੈਂਕੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ
24. ਇੱਕ ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਟੈਂਕੀ ਮੰਨੋ, ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ 12 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਘੇਰਾ 4 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਟੈਂਕੀ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕੀ ਦੇ ਉੱਪਰੀ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਟੈਂਕੀ ਵਿੱਚ ਬਚੇ ਪਾਣੀ ਦੀ ਉਚਾਈ 4 ਫੁੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦੀ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.54 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਲੰਡਰਿਕਲ ਟੈਂਕ ਵਾਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ ਟੈਂਕ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਕਦਮ 1)।
ਚਿੱਤਰ 6.54: ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਪਾਣੀ ਦਾ ਟੈਂਕ।
ਟੈਂਕ ਪੂਰਾ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 44 ਫੁੱਟ ਪਾਣੀ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,8] ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [0,8] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਰਤ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਡਿਸਕ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.55: ਪਾਣੀ ਦੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ।
ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਫਿਰ ਡਿਸਕ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ
ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 62.462.4 lb/ft3 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਬਲ ਲਗਭਗ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਜਿੰਨੀ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਲਗਭਗ xi*xi* ਫੁੱਟ ਹੈ (ਕਦਮ 4), ਇਸ ਲਈ ਪਰਤ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਲਗਭਗ ਕੰਮ ਹੈ
ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਤਾਂ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੁੱਲ ਕੰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਜਦੋਂ n→∞, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਟੈਂਕ ਨੂੰ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪੱਧਰ ਤੱਕ ਖਾਲੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਭਗ 33,45033,450 ft-lb ਕੰਮ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.26
ਇੱਕ ਟੈਂਕ ਉਲਟੇ ਕੋਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ 1010 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 6 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਟੈਂਕ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 8 ਫੁੱਟ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ ਤੱਕ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਟੈਂਕ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ 3 ਫੁੱਟ ਪਾਣੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ?
ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਅਤੇ ਦਬਾਅ
ਇਸ ਆਖਰੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ ਅਤੇ ਦਬਾਅ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਪੌਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਿਊਟਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਬਾਅ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਖੇਤਰ ਬਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਪੌਂਡ (ਜਾਂ, ਸ਼ਾਇਦ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਵਰਗ ਇੰਚ ਪ੍ਰਤੀ ਪੌਂਡ, ਜਿਸਨੂੰ psi ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਨਿਊਟਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਓ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖੇਤਰ AA ਦੀ ਪਲੇਟ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਕੇਸ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ (ਚਿੱਤਰ 6.56)। ਫਿਰ, ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਬਲ ਸਿਰਫ ਇਸਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ F=ρAs, ਜਿੱਥੇ ρ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ (ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਭਾਰ) ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਦਬਾਅ—ਯਾਨੀ, ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਪਾਣੀ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਦਬਾਅ—ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਲ ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਦਬਾਅ p=F/A=ρs ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.56: ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਖਿਤਿਜੀ ਪਲੇਟ।
ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਡੂੰਘਾਈ 'ਤੇ ਦਬਾਅ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਪਲੇਟ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਵਤ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਡੂੰਘਾਈ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦਬਾਅ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਬੰਨ੍ਹ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬੰਨ੍ਹ, ਜੋ ਕਿ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਵਰਗੀਆਂ ਸਤਹਾਂ 'ਤੇ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ F=ρAs ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬਵਤ ਸਥਿਤ ਸਤਹ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕਈ ਵਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਭਾਜਨ, ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ, ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ x=0 ਇੱਕ ਤਰਕਪੂਰਨ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ s(x) ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ x=0 ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਡੂੰਘਾਈ ਸਿਰਫ s(x)=x ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ x=0 ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨਾ ਚਾਹ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵਿਕਾਸ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ w(x) ਬਿੰਦੂ x 'ਤੇ ਪਲੇਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਲੇਟ ਦਾ ਉੱਪਰਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਬਿੰਦੂ x=ax=a 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਪਲੇਟ ਦਾ ਹੇਠਲਾ ਕਿਨਾਰਾ ਬਿੰਦੂ x=b.x=b 'ਤੇ ਹੈ। ਫਿਰ, i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,…,n ਲਈ, ਇੱਕ ਮਨਮਾਨਾ ਬਿੰਦੂ xi*∈[xi−1,xi] ਚੁਣੋ। ਵਿਭਾਜਨ ਪਲੇਟ ਨੂੰ ਕਈ ਪਤਲੀਆਂ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਪੱਟੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ (ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.57: ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਲੰਬਵਤ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਪਤਲੀ ਪਲੇਟ।
ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧੀ ਪੱਟੀ 'ਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਈਏ। ਜੇ ਪੱਟੀ ਕਾਫ਼ੀ ਪਤਲੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਡੂੰਘਾਈ, s(xi*) 'ਤੇ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਬਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਬਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਰੀਮਨ ਜੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਸਹੀ ਬਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਾਨੂੰ ਪਲੇਟ 'ਤੇ ਬਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਢੁਕਵਾਂ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਚੁਣੋ। (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 6.13 ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ।)
ਡੂੰਘਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x) ਅਤੇ w(x) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤੁਸੀਂ ਜਿਸ ਵੀ ਤਰਲ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋ, ਉਸਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਪਾਣੀ ਦੀ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ 62.462.4 lb/ft3, ਜਾਂ 9800 N/m3 ਹੈ।
ਕੁੱਲ ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.27
ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
15 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਖਾਈ ਦੇ ਸਿਰੇ ਉਲਟੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਧਾਰ 8 ਫੁੱਟ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 3 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਖਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਖਾਈ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਚਿੱਤਰ 6.58 ਖਾਈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 6.58: (a) ਤਿਕੋਣੀ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਖਾਈ। (b) ਪਾਣੀ ਦੀ ਖਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ ਦੇ ਮਾਪ।
ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਚੁਣੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ x-ਧੁਰਾ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਖਾਈ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ x=0 (ਕਦਮ 1) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣੋ। ਫਿਰ, ਡੂੰਘਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x)=x ਹੈ। ਸਮਾਨ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ w(x)=8−(8/3)x (ਕਦਮ 2)। ਹੁਣ, ਪਾਣੀ ਦੀ ਭਾਰ ਘਣਤਾ 62.462.4 lb/ft3 (ਕਦਮ 3) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 6.13 ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਪਾਣੀ ਖਾਈ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ 748.8 lb ਦਾ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਕਦਮ 4)।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.27
12 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਪਾਣੀ ਦੀ ਖਾਈ ਦੇ ਸਿਰੇ ਉਲਟੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਅਧਾਰ 6 ਮੀਟਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ 4 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਖਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਖਾਈ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰੀ ਹੋਈ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.28
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਹਾਈਡਰੋਸਟੈਟਿਕ ਬਲ ਲੱਭਣਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਵਾਪਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਇਸ ਚੈਪਟਰ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਸਲ ਡੈਮ ਚਾਪ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸਮਤਲ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਸਰਲ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਬਣਾਉਣ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਦਾ ਚਿਹਰਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਟ੍ਰੈਪੀਜ਼ੋਇਡ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹੇਠਲਾ ਅਧਾਰ 750750 ਫੁੱਟ, ਉਪਰਲਾ ਅਧਾਰ 12501250 ਫੁੱਟ, ਅਤੇ ਉਚਾਈ 750750 ਫੁੱਟ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
ਜਦੋਂ ਜળાਸ਼ਯ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੇਕ ਮੀਡ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਡੂੰਘਾਈ ਲਗਭਗ 530 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਝੀਲ ਦੀ ਸਤਹ ਡੈਮ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 10 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 6.59: ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰਲ ਮਾਡਲ ਜਿਸਦੇ ਮਾਪ ਧਾਰਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਜળાਸ਼ਯ ਪੂਰਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡੈਮ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਬਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮੀ ਸੰਯੁਕਤ ਰਾਜ ਅਮਰੀਕਾ ਵਿੱਚ ਸੋਕਾ ਪੈ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਲੇਕ ਮੀਡ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ, ਜੇਕਰ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਭਰਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 125 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਬਲ ਲੱਗ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਾਰ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ x=0 ਨੂੰ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਭਰਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ 1010 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ s(x)=x−10 (ਅਗਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)। ਤਸਵੀਰ 6.60 ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਫਰੇਮ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਚੌੜਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਸਵੀਰ 6.61 ਅਸੀਂ ਬੰਨ੍ਹ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। (a) ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਮਾਪੇ ਗਏ ਮਾਪ; (b) ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਨਾ। ਤਸਵੀਰ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ w(x)=750+2r। ਸਮਾਨ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ r=250−(1/3)x ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, w(x)=1250−23x (ਕਦਮ 2)। 62.462.4 lb/ft3 ਦੇ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ (ਕਦਮ 3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 6.13 ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ F=∫abρw(x)s(x)dx=∫1054062.4(1250−23x)(x−10)dx=62.4∫10540−23[x2−1885x+18750]dx=−62.4(23)[x33−1885x22+18750x]|10540≈8,832,245,000lb=4,416,122.5t ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਪੌਂਡ ਤੋਂ ਟਨ ਤੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ (2000(2000 lb = 11 ton) (ਕਦਮ 4)।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸੋਕਾ ਸਾਡੇ ਡੂੰਘਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ, s(x), ਅਤੇ ਸਾਡੀਆਂ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ s(x)=x−135 ਹੈ। ਹੇਠਲੀ ਏਕੀਕਰਨ ਸੀਮਾ 135 ਹੈ। ਉਪਰਲੀ ਸੀਮਾ 540 ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਏਕੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.28
ਜਦੋਂ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਆਪਣੇ ਔਸਤ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਜਲ ਭੰਡਾਰ ਦੇ ਭਰਿਆ ਹੋਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 50 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਬੰਨ੍ਹ ਦੇ ਚਿਹਰੇ 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਬਲ ਲੱਗ ਰਿਹਾ ਹੈ?
ਮੀਡੀਆ
ਹੂਵਰ ਡੈਮ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਨ ਲਈ, ਹਿਸਟਰੀ ਚੈਨਲ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਇਹ ਲੇਖ ਦੇਖੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ F=12 lb ਇੱਕ ਕੁਰਸੀ ਨੂੰ x=0.9 ਤੋਂ x=1.1 ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਹਿਲਾਉਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲੱਭੋ।
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਕਾਮਿਕਸ ਦਾ 50 lb ਬਾਕਸ 3 ਫੁੱਟ ਉੱਚੇ ਟਰੱਕ 'ਤੇ ਚੁੱਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿੰਨਾ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
2020 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਬੱਚੇ ਨੂੰ ਫਰਸ਼ ਤੋਂ 22 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਕੀ ਹੈ? (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਨੇੜੇ 1 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ 9.8 N ਦਾ ਭਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।)
ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ 22 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਨੂੰ ਫਰਸ਼ ਦੇ ਨਾਲ ਧੱਕਦੇ ਹੋ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ F=100N ਦਾ ਸਥਿਰ ਬਲ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਲੱਭੋ।
F=12/x2 N ਦੇ ਬਲ ਲਈ x=1 ਤੋਂ x=2 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇਸ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਬਲ F=3x2 N ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ x=0 ਤੋਂ x=1 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਹਿਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕੰਮ ਕੀ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ।
2 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਤਾਰ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=x2+2x lb/ft ਹੈ।
3 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਕਾਰ ਐਂਟੀਨਾ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=3x+2 lb/ft ਹੈ।
8 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਧਾਤ ਦੀ ਛੜ (x=0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=e1/2x lb/in ਹੈ।
4 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਪੈਨਸਿਲ (x=2 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=5/x oz/in ਹੈ।
12 ਇੰਚ ਲੰਬੀ ਰੂਲਰ (x=5 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ) ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=ln(x)+(1/2)x2 oz/in ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲੱਭੋ।
2 ਇੰਚ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਹਾਕੀ ਪੱਕ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=x3−2x+5 ਹੈ।
6 ਇੰਚ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਫ੍ਰਿਸਬੀ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x)=e−x ਹੈ।
1010 ਇੰਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪਲੇਟ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=1+cos(πx) ਹੈ।
3 ਇੰਚ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਜਾਰ ਦੇ ਢੱਕਣ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=ln(x+1) ਹੈ।
55 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ ρ(x)=3x ਹੈ।
12 ਇੰਚ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 75 ਪੌਂਡ ਬਲ ਨਾਲ 15 ਇੰਚ ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 15 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 22 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 15 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 20 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੇਗੀ?
1 ਮੀਟਰ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1.1 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 10 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 1 ਮੀਟਰ ਤੋਂ 1.2 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੇਗੀ?
ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ 8 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 12 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ 5 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 12 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੋਂ 14 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਵਾਧੂ 4 ਜੂਲ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਦੀ ਕੁਦਰਤੀ ਲੰਬਾਈ ਕੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਸ਼ੌਕ ਐਬਜ਼ੋਰਬਰ ਨੂੰ 1 ਟਨ ਭਾਰ ਨਾਲ 1 ਇੰਚ ਤੱਕ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਕੀ ਹੈ?
F=20x−x3 N ਦਾ ਬਲ ਇੱਕ ਅਨਲਾਈਨਰ ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ x ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਿੰਗ ਨੂੰ x=0 ਤੋਂ x=2 ਮੀਟਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ?
100 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਅਤੇ 5 ਪੌਂਡ/ਫੁੱਟ ਭਾਰ-ਘਣਤਾ ਵਾਲੀ ਲਟਕਦੀ ਕੇਬਲ ਨੂੰ ਵੇੜਨ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੇਬਲ ਲਈ, ਕੇਬਲ ਨੂੰ 50 ਫੁੱਟ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਕੇਬਲ ਲਈ, ਕੇਬਲ ਦੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ 200 ਪੌਂਡ ਦਾ ਭਾਰ ਲਟਕਾਉਣ ਨਾਲ ਕਿੰਨੀ ਵਾਧੂ ਊਰਜਾ ਲੱਗਦੀ ਹੈ?
500 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਇੱਕ ਪਿਰਾਮਿਡ ਜਿਸਦਾ ਵਰਗਾਕਾਰ ਅਧਾਰ 800 ਫੁੱਟ x 800 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਉਚਾਈ h 'ਤੇ ਖੇਤਰਫਲ AA ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇ ਪਿਰਾਮਿਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਗਈ ਚੱਟਾਨ ਦਾ ਭਾਰ ਲਗਭਗ w=100lb/ft3 ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਰੀ ਚੱਟਾਨ ਚੁੱਕਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਲੱਗੀ?
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਪਿਰਾਮਿਡ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 1000 ਕਾਮੇ ਸਨ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 10 ਘੰਟੇ, ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤੇ 5 ਦਿਨ, ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 50 ਹਫ਼ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਜੇ ਕਾਮੇ, ਔਸਤਨ, ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ 2 ਫੁੱਟ 100 ਪੌਂਡ ਚੱਟਾਨਾਂ ਚੁੱਕਦੇ ਸਨ, ਤਾਂ ਪਿਰਾਮਿਡ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਾ?
ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ ਇੱਕ ਪੁੰਜ m 'ਤੇ F=−((GMm)/x2) ਨਿਊਟਨ ਹੈ। 1000 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਰਾਕੇਟ ਲਈ, x=6400 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਤੋਂ x=6500 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਤੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਤਿੰਨ ਸਾਰਥਕ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਦੱਸੋ। (ਨੋਟ: G=6.67×10−11N m2/kg2 ਅਤੇ M=6×1024kg।)
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਰਾਕੇਟ ਲਈ, x=6400 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਤੋਂ x=∞ ਤੱਕ ਰਾਕੇਟ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਲਈ ਊਰਜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਡੈਮ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਚਾ ਅਤੇ 60 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਭਾਰ ਘਣਤਾ 62.5 lbs/ft3 ਹੈ। ਡੈਮ 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਬਲ F ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜਦੋਂ
ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਡੈਮ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ
ਪਾਣੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਡੈਮ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
5 ਫੁੱਟ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ 200 ਫੁੱਟ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਪਾਣੀ ਦੇ ਘਣਤਾ 62 lb/ft3 ਹੋਣ ਦਾ ਤੱਥ ਵਰਤੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਊਰਜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਸਿਰਫ ਅੱਧਾ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਵੀਮਿੰਗ ਪੂਲ ਨੂੰ ਪੰਪ ਕਰਕੇ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੇ ਅਧਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 800 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ, ਪਾਣੀ 4 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਪਾਣੀ ਦੇ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਾਣੀ ਦਾ ਘਣਤਾ 62 lb/ft3 ਹੈ।
HH ਡੂੰਘਾਈ ਅਤੇ AA ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਣੀ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਘਣਤਾ ρ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਸਿਲੰਡਰ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਪੰਪ ਕਰਨ ਲਈ ਊਰਜਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੇ ਸਿਲੰਡਰ ਸਿਰਫ ਅੱਧਾ ਭਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
A cone-shaped tank has a cross-sectional area that increases with its depth: A=(πr2h2)/H3.A=(πr2h2)/H3. Show that the work to empty it is half the work for a cylinder with the same height and base.