ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.1.1 ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.1.2 ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.1.3 ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਤਸੁਕ ਸੀ—ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਥਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ। ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜੋ ਕਿ ਵਿਨਾਸ਼ ਦੀ ਵਿਧੀ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਸਹੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਸੀ, ਇੱਕ ਅਨਿਯਮਿਤ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਭਰਨ ਲਈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੀ ਗਈ ਇੱਕ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਆਇਤਾਂ, ਤਿਕੋਣਾਂ, ਅਤੇ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਵਕਰਿਤ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਉੱਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ, ਆਇਤਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਛੋਟੀਆਂ-ਛੋਟੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਓ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੁਝ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ f(x) ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਨੂੰ ਢਿੱਲਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਮਾਮਲਿਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਇੱਕ ਅਨਿਯਮਿਤ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਲੰਬੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਨਵੀਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (ਜੋੜ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਾਨੀ ਵੱਡਾ ਅੱਖਰ Σ, ਸਿਗਮਾ, ਲੰਬੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 1 ਤੋਂ 20 ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਰੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਜੋੜਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਪਵੇਗਾ
ਅਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਕੁਝ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜੋ ਬਿਹਤਰ ਹੈ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ। ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੰਖੇਪ ਹੈ।
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ aᵢ ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ i ਨੂੰ ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਦ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, i=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਅਤੇ i=n ਤੱਕ ਸਮਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ∑ᵢ<0xE2><0x82><0x90>₂⁷sᵢ ਵਰਗੀ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ s₂ + s₃ + s₄ + s₅ + s₆ + s₇ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੂਚਕਾਂਕ ਸਿਰਫ ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਇਹ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭੂਮਿਕਾ ਨਹੀਂ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡਮੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸੂਚਕਾਂਕ ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਅੱਖਰ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਸੂਚਕਾਂਕ ਲਈ i, j, k, m, ਅਤੇ n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਆਓ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.1
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪਦਾਂ 3i, ਜਿੱਥੇ i=1,2,3,4,5, ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਪਦਾਂ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
∑ᵢ<0xE2><0x82><0x90>₁⁵3i = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ = 363।
ਹਰੇਕ ਪਦ ਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ। ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ∑ᵢ<0xE2><0x82><0x90>₁⁵1/i² ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.1
ਪਦਾਂ 2i, ਜਿੱਥੇ i=3,4,5,6, ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
The properties associated with the summation process are given in the following rule.
Rule: Properties of Sigma Notation
Let a1,a2,…,ana1,a2,…,an and b1,b2,…,bnb1,b2,…,bn represent two sequences of terms and let c be a constant. The following properties hold for all positive integers n and for integers m, with 1≤m≤n.1≤m≤n.
∑i=1nc=nc∑i=1nc=nc (1.1)
∑i=1ncai=c∑i=1nai∑i=1ncai=c∑i=1nai (1.2)
∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi∑i=1n(ai+bi)=∑i=1nai+∑i=1nbi (1.3)
∑i=1n(ai−bi)=∑i=1nai−∑i=1nbi∑i=1n(ai−bi)=∑i=1nai−∑i=1nbi (1.4)
∑i=1nai=∑i=1mai+∑i=m+1nai∑i=1nai=∑i=1mai+∑i=m+1nai (1.5)
Proof
We prove properties 2. and 3. here, and leave proof of the other properties to the Exercises.
2. We have
3. We have
□
A few more formulas for frequently found functions simplify the summation process further. These are shown in the next rule, for sums and powers of integers, and we use them in the next set of examples.
Rule: Sums and Powers of Integers
The sum of n integers is given by ∑i=1ni=1+2+⋯+n=n(n+1)2.∑i=1ni=1+2+⋯+n=n(n+1)2.
The sum of consecutive integers squared is given by ∑i=1ni2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.∑i=1ni2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.
The sum of consecutive integers cubed is given by ∑i=1ni3=13+23+⋯+n3=n2(n+1)24.∑i=1ni3=13+23+⋯+n3=n2(n+1)24.
Example 1.2
Evaluation Using Sigma Notation
Write using sigma notation and evaluate:
The sum of the terms (i−3)2(i−3)2 for i=1,2,…,200.i=1,2,…,200.
The sum of the terms (i3−i2)(i3−i2) for i=1,2,3,4,5,6.i=1,2,3,4,5,6.
Solution
(i−3)2 ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਦ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ∑i=1200(i−3)2=∑i=1200(i2−6i+9)=∑i=1200i2−∑i=12006i+∑i=12009=∑i=1200i2−6∑i=1200i+∑i=12009=200(200+1)(400+1)6−6[200(200+1)2]+9(200)=2,686,700−120,600+1800=2,567,900
ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਗੁਣ iv. ਅਤੇ ਵਰਗ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਣ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ∑i=16(i3−i2)=∑i=16i3−∑i=16i2=62(6+1)24−6(6+1)(2(6)+1)6=17644−5466=350
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.2
4+3i4+3i ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ i=1,2,…,100.
ਉਦਾਹਰਨ 1.3
ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
f(x)=x3f(x)=x3 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ x=1,2,3,…,10.
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.3
ਨੋਟੇਸ਼ਨ ∑k=120(2k+1) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮਸਲੇ, ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ f(x)f(x) ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b].[a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਖੇਤਰਫਲ A ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ f(x)f(x) ਦੁਆਰਾ, ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=ax=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ x=bx=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.2)।
ਚਿੱਤਰ 1.2: ਇੱਕ ਖੇਤਰਫਲ (ਛਾਂਦਿਆ ਹੋਇਆ ਹਿੱਸਾ) ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਵਕਰ f(x)f(x) ਦੁਆਰਾ, ਹੇਠਾਂ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ x=ax=a ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ x=bx=b ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ? ਪਹੁੰਚ ਭੂਮਿਕਾਵਾਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਕਈ ਛੋਟੇ ਆਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਪਤਾ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸੱਚੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਚੌੜਾਈ, b−an.b−an, ਦੇ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ x0,x1,x2,…,xnx0,x1,x2,…,xn ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ x0=a,xn=b,x0=a,xn=b, ਅਤੇ
i=1,2,3,…,n.i=1,2,3,…,n ਲਈ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਨੂੰ Δx ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ Δx=b−anΔx=b−an ਅਤੇ
i=1,2,3,…,n.i=1,2,3,…,n ਲਈ। ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਕੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਦਾ ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਵਾਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਆਓ ਕੁਝ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ P={xi}P={xi} ਜਿੱਥੇ i=0,1,2,…,ni=0,1,2,…,n ਅਤੇ a=x0<x1<x2<⋯<xn=b,a=x0<x1<x2<⋯<xn=b, ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ [x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn][x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn] ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ [a,b].[a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਭਾਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਅੰਤਰਾਲ [a,b].[a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੇ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਇਸ ਨਿਯਮਤ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਦੋ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ।
ਨਿਯਮ: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ
ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi][xi−1,xi] (i=1,2,3,…,n ਲਈ),i=1,2,3,…,n), ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ ਜਿਸਦੀ ਚੌੜਾਈ Δx ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਉਚਾਈ f(xi−1),f(xi−1) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਕਿ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਫਿਰ ਇਸ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ f(xi−1)Δx.f(xi−1)Δx ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ A ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 1.3)। ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ Ln ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ A ਦਾ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.3: ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਹ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੇ ਲਗਭਗ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ ਹੁਣ ਆਇਤਾਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਨਿਯਮ: ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ
ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ, ਸਿਰਫ ਇਸ ਵਾਰ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ f(xi) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ f(xi)Δx ਹੈ ਅਤੇ A ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
Rn ਸੰਕੇਤ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ A (ਚਿੱਤਰ 1.4) ਲਈ ਇੱਕ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.4: ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 1.3 ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਵਕਰ f(x)=x22 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫ (a) ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ [0,3] ਅੰਤਰਾਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਛੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 0.5 ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, Δx=0.5। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ, xi−1, ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚ ਕੇ ਛੇ ਆਇਤਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ i=1,2,3,4,5,6 ਲਈ f(xi−1) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਤਰਾਲ [0,0.5],[0.5,1],[1,1.5],[1.5,2],[2,2.5],[2.5,3] ਹਨ। ਅਸੀਂ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚਿੱਤਰ 1.5: (a) ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਅਤੇ (b) ਸੱਜੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਤਰੀਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 1.5(b) ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ xi ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾਵਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ xi ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸੱਜਾ ਸਿਰਾ ਹੈ, ਅਤੇ i=1,2,3,4,5,6 ਲਈ f(xi) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਹਰੇਕ f(xi) ਨੂੰ Δx ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ f(x) ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਉਦਾਹਰਨ 1.4
ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
f(x)=x2 ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੋਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ; n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, Δx=(2−0)4=0.5। ਇਹ ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ [0,0.5],[0.5,1],[1,1.5],[1.5,2] ਚਿੱਤਰ 1.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਉਚਾਈਆਂ f(0)=0,f(0.5)=0.25,f(1)=1,f(1.5)=2.25 ਹਨ। ਫਿਰ,
ਚਿੱਤਰ 1.6: ਗ੍ਰਾਫ 0 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ f(x)=x2 ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਚਿੱਤਰ 1.7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ ਉਹੀ ਹਨ, Δx=0.5, ਪਰ ਹੁਣ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
ਚਿੱਤਰ 1.7: ਗ੍ਰਾਫ 0 ਤੋਂ 2 ਤੱਕ f(x)=x2 ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ 1.75 ਹੈ; ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ 3.75 ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.4
f(x)=1x [1,2] ਉੱਤੇ; n=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਦੋਵਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਚਿੱਤਰ 1.5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 1.4 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਘੱਟ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਾ ਤਾਂ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਕੋਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਹੀ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਤਰਕਪੂਰਨ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਡੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A ਦਾ ਸਾਡਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਸੁਧਰੇਗਾ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵਧੇਰੇ ਆਇਤਾਂ ਹੋਣਗੀਆਂ, ਪਰ ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਪਤਲੀ ਹੋਵੇਗੀ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਂ ਨੂੰ ਵਕਰ ਨਾਲ ਵਧੇਰੇ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਫਿੱਟ ਕਰ ਸਕਾਂਗੇ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਨਾਲ ਛੋਟੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੁਧਰੇ ਹੋਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ n ਨੂੰ ਵਧਾਉਣ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੀਏ, ਪਹਿਲਾਂ ਚਾਰ ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਫਿਰ ਅੱਠ ਆਇਤਾਂ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 32 ਆਇਤਾਂ। ਫਿਰ, ਆਓ ਉਸੇ ਕਰਵਡ ਖੇਤਰ ਦੇ ਉਸੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਸੈੱਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰੀਏ। ਚਿੱਤਰ 1.8 [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(x)=(x−1)3+4 ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ n=4। ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ:
ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ
ਚਿੱਤਰ 1.8: ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲ ਅਤੇ a ਤੋਂ b ਤੱਕ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਬਰਾਬਰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਲਗਭਗ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.9 ਉਸੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.8 ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਆਇਤਾਂ ਵਾਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਅੱਠ ਆਇਤਾਂ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ n=8 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਘੱਟ ਚਿੱਟੀ ਜਗ੍ਹਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਚਿੱਟੀ ਜਗ੍ਹਾ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਉਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਸਮਰੱਥ ਹਾਂ। ਆਇਤਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ:
1. ਚਿੱਤਰ 1.9: ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਮਾਨ ਚੌੜਾਈ ਦੇ n=8 ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ।
2. ਚਿੱਤਰ 1.10 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਉਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਬਣਾਏ 32 ਆਇਤਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਖਾਲੀ ਥਾਂ ਬਚੀ ਜਾਪਦੀ ਹੈ। ਆਇਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਬਜ਼ਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਖੇਤਰ ਹੈ
3. ਚਿੱਤਰ 1.10: ਇੱਥੇ, ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ 32 ਆਇਤਾਂ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
4. ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿਧੀ ਲਈ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਸੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ, ਚਾਰ ਆਇਤਾਂ (ਚਿੱਤਰ 1.11) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ
5. ਚਿੱਤਰ 1.11: ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਸਮਾਨ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ।
6. [0,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਅੱਠ ਆਇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਨਾਲ Δx=2−08=0.25 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। Δx=2−08=0.25। ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1.12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਹੈ
7. ਚਿੱਤਰ 1.12: ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਅੱਠ ਸਮਾਨ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
8. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, n=32 ਨਾਲ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਅਸਲ ਖੇਤਰ (ਚਿੱਤਰ 1.13) ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਲਗਭਗ ਹੈ
9. ਚਿੱਤਰ 1.13: ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਖੇਤਰ ਨੂੰ 32 ਸਮਾਨ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
10. ਇਹਨਾਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਰਸਤੇ 'ਤੇ ਹਾਂ; ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਆਇਤਾਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੀਆਂ ਜਾਪਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ n ਵਧਦਾ ਹੈ, ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਮਾਨ 8 ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ। ਸਾਰਣੀ 1.1 ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤੁਲਨਾ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਿ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਪੜਚੋਲਦੇ ਹਾਂ।
11. ਕਤਾਰ: n ਦੇ ਮੁੱਲ | ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਖੇਤਰ Ln | ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਖੇਤਰ Rn
12. ਕਤਾਰ: n=4 | 7.5 | 8.5
13. ਕਤਾਰ: n=8 | 7.75 | 8.25
14. ਕਤਾਰ: n=32 | 7.94 | 8.06
15. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਬਣਾਉਣਾ
16. ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਆਇਤਾਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੇ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ 'ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਕਾਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ xi* 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਾਡੀ ਆਇਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਜੋਂ f(xi*) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
17. ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਜੋੜ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਰਨਹਾਰਡ ਰੀਮੈਨ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ।
18. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
19. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ P, [a,b] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ Δx ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ i ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ xi* [xi−1,xi] ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
20. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਖੱਬੇ- ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨਾਲ, ਅਨੁਮਾਨ ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ n ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵੱਡੇ n ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ।
21. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
22. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ∑i=1nf(xi*)Δx, f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ। ਫਿਰ, [a,b] 'ਤੇ y=f(x) ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
23. ਮੀਡੀਆ
24. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਦੇਖੋ।
ਇੱਥੇ ਕੁਝ ਸੂਖਮਤਾਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਦੇ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਲੈਣਾ, x ਦੇ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)f(x) ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਖਰਾ ਹੈ। ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਸੀਕੁਐਂਸ ਅਤੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੁਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੀਆਂ ਗਣਨਾਤਮਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ {xi*}.{xi*} ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚੋਣਾਂ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਲ ਇਕੱਠਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਸਬੂਤ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)f(x) ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ limn→∞∑i=1nf(xi*)Δxlimn→∞∑i=1nf(xi*)Δx ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ (ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ {xi*}).{xi*} ਦੀ ਚੋਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ)।
ਅਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਪਰ, ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਇੱਕ ਪਲ ਲਈਏ ਅਤੇ {xi*}.{xi*} ਲਈ ਕੁਝ ਖਾਸ ਚੋਣਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰੀਏ। ਹਾਲਾਂਕਿ {xi*}{xi*} ਲਈ ਕੋਈ ਵੀ ਚੋਣ ਸਾਨੂੰ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਨਹੀਂ ਪਤਾ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਉਹ ਅਨੁਮਾਨ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ (ਓਵਰਐਸਟੀਮੇਟ) ਹੈ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਘੱਟ (ਅੰਡਰਐਸਟੀਮੇਟ) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਸਾਡਾ ਅਨੁਮਾਨ ਉੱਚਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜਾ ਨਤੀਜਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ {xi*}{xi*} ਲਈ ਆਪਣਾ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਓਵਰਐਸਟੀਮੇਟ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ {xi*}{xi*} ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ i=1,2,3,…,n,f(xi*)≥f(x)i=1,2,3,…,n,f(xi*)≥f(x) ਸਾਰੇ x∈[xi−1,xi].x∈[xi−1,xi] ਲਈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ {xi*}{xi*} ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ i=1,2,3,…,n,f(xi*)i=1,2,3,…,n,f(xi*) ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi].[xi−1,xi] 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ {xi*}{xi*} ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ∑i=1nf(xi*)Δx∑i=1nf(xi*)Δx ਨੂੰ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਡਰਐਸਟੀਮੇਟ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ {xi*}{xi*} ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ i=1,2,3,…,n,f(xi*)i=1,2,3,…,n,f(xi*) ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi].[xi−1,xi] 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)f(x) ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉੱਪਰਲੇ ਅਤੇ ਹੇਠਲੇ ਜੋੜ ਸਿਰਫ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.5
ਹੇਠਲੇ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੇ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
f(x)=10−x2f(x)=10−x2 ਨੂੰ [1,2];[1,2]; 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; n=4n=4 ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਮੰਨੋ।
ਹੱਲ
[1,2] 'ਤੇ n=4n=4 ਦੇ ਨਾਲ, Δx=14.[1,2],Δx=14. ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ [1,1.25],[1.25,1.5],[1.5,1.75],[1.75,2].[1,1.25],[1.25,1.5],[1.5,1.75],[1.75,2] ਵਜੋਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅੰਤਰਾਲ [1,2],[1,2] 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਚਿੱਤਰ 1.14 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.14: f(x)=10−x2f(x)=10−x2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ [1,2],[1,2] 'ਤੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਸੈੱਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ
7.28 ਦਾ ਖੇਤਰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਡਰਐਸਟੀਮੇਟ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.5
f(x)=10−x2f(x)=10−x2 ਨੂੰ [1,2];[1,2]; 'ਤੇ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; n=4.n=4 ਮੰਨੋ।
ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.6
f(x)=sinxf(x)=sinx ਲਈ ਹੇਠਲੇ ਅਤੇ ਉੱਪਰਲੇ ਜੋੜ ਲੱਭਣਾ
f(x)=sinxf(x)=sinx ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [a,b]=[0,π2];[a,b]=[0,π2]; 'ਤੇ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; n=6.n=6 ਮੰਨੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਚਿੱਤਰ 1.15 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਵਿਚਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਚਿੱਤਰ 1.15: y=sinxy=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਛੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ: Δx=π/26=π12.Δx=π/26=π12.
ਅੰਤਰਾਲ [0,π12],[π12,π6],[π6,π4],[π4,π3],[π3,5π12],[0,π12],[π12,π6],[π6,π4],[π4,π3],[π3,5π12], ਅਤੇ [5π12,π2].[5π12,π2] ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=sinxf(x)=sinx ਅੰਤਰਾਲ [0,π2],[0,π2] 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੱਬੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ∑i=05sinxi(π12).∑i=05sinxi(π12) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.6
f(x)=sinxf(x)=sinx ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,π2],[0,π2] 'ਤੇ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ; n=6.n=6 ਮੰਨੋ।
State whether the given sums are equal or unequal.
∑i=110i∑i=110i and ∑k=110k∑k=110k
∑i=110i∑i=110i and ∑i=615(i−5)∑i=615(i−5)
∑i=110i(i−1)∑i=110i(i−1) and ∑j=09(j+1)j∑j=09(j+1)j
∑i=110i(i−1)∑i=110i(i−1) and ∑k=110(k2−k)∑k=110(k2−k)
In the following exercises, use the rules for sums of powers of integers to compute the sums.
∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i
∑ i = 5 10 i 2 ∑ i = 5 10 i 2
Suppose that ∑i=1100ai=15∑i=1100ai=15 and ∑i=1100bi=−12.∑i=1100bi=−12. In the following exercises, compute the sums.
∑ i = 1 100 ( a i + b i ) ∑ i = 1 100 ( a i + b i )
∑ i = 1 100 ( a i − b i ) ∑ i = 1 100 ( a i − b i )
∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i )
∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i )
In the following exercises, use summation properties and formulas to rewrite and evaluate the sums.
∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 )
∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j )
∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j )
∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ]
Let LnLn denote the left-endpoint sum using n subintervals and let RnRn denote the corresponding right-endpoint sum. In the following exercises, compute the indicated left and right sums for the given functions on the indicated interval.
L4 for f(x)=1x−1f(x)=1x−1 on [2,3][2,3]
R4 for g(x)=cos(πx)g(x)=cos(πx) on [0,1][0,1]
L6 for f(x)=1x(x−1)f(x)=1x(x−1) on [2,5][2,5]
R6 for f(x)=1x(x−1)f(x)=1x(x−1) on [2,5][2,5]
R4 for 1x2+11x2+1 on [−2,2][−2,2]
L4 [−2,2] ਵਿੱਚ f(x)=(2−|x|) ਲਈ ਖੱਬੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ
R8 [0,2] ਵਿੱਚ f(x)=x2−2x+1x2−2x+1 ਲਈ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ
L8 [0,2] ਵਿੱਚ f(x)=x2−2x+1x2−2x+1 ਲਈ ਖੱਬੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ L4 ਅਤੇ R4—f(x)=(2−|x|) ਲਈ [−2,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ L6 ਅਤੇ R6—f(x)=(3−|3−x|) ਲਈ [0,6] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ L4 ਅਤੇ R4—f(x)=4−x2 ਲਈ [−2,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ—ਕ੍ਰਮਵਾਰ L6 ਅਤੇ R6—f(x)=9−(x−3)2 ਲਈ [0,6] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ, ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਕੱਢੋ।
f(x)=x2 ਲਈ [1,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L30
f(x)=4−x2 ਲਈ [−2,2] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L10
f(x)=sinx ਲਈ [0,π] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ R20
lnx ਲਈ [1,e] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ R100
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਫਿਰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੱਢਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਸਹਿਮਤ ਹੋਣ, ਤਾਂ "ਕੋਈ ਨਹੀਂ" ਕਹੋ।
[T] y=x2−x+3 ਲਈ [−1,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L100 ਅਤੇ R100
[T] y=x2 ਲਈ [0,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L100 ਅਤੇ R100
[T] y=x+1x2−1 ਲਈ [2,4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L50 ਅਤੇ R50
[T] y=x3+2 ਲਈ [−1,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L100 ਅਤੇ R100
[T] y=tan(x) ਲਈ [0,π4] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L50 ਅਤੇ R50
[T] y=e2x ਲਈ [−1,1] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ L100 ਅਤੇ R100
ਜੇਕਰ tj 2014 ਵਿੱਚ ਟੂਰ ਡੇ ਫਰਾਂਸ ਦੇ jਵੇਂ ਪੜਾਅ ਨੂੰ ਤੇਜੇ ਵੈਨ ਗਾਰਟਰਨ ਦੁਆਰਾ ਸਵਾਰੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲੱਗਾ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਕੁੱਲ 21 ਪੜਾਅ ਸਨ, ਤਾਂ ∑j=121tj ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ rj 2009 ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ jਵੇਂ ਦਿਨ ਪੋਰਟਲੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਬਾਰਸ਼ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ∑j=131rj ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ dj ਫਾਰਗੋ, ਉੱਤਰੀ ਡਕੋਟਾ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ jਵੇਂ ਦਿਨ ਦਿਨ-ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਘੰਟੇ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ δj ਦਿਨ j−1 ਤੋਂ ਦਿਨ j ਤੱਕ ਦਿਨ-ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ d1+∑j=2365δj ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਜੋਅ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਜੋੜੀ ਦੌੜਨ ਵਾਲੇ ਜੁੱਤੇ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਜੋਅ ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਵਿੱਚ ਹਰ ਰੋਜ਼ 1 ਮੀਲ ਦੌੜਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ ਆਪਣੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਰੁਟੀਨ ਵਿੱਚ 110 ਮੀਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 25 ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਜੋਅ ਦੇ ਜੁੱਤਿਆਂ 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਮਾਈਲੇਜ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ 1960 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹਰ ਦਹਾਕੇ ਕਾਰਬਨ ਡਾਈਆਕਸਾਈਡ (CO2) ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਸਾਲਾਨਾ ਵਾਯੂਮੰਡਲੀ ਦਰ, ਪਾਰਟਸ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿਲੀਅਨ (ppm) ਵਿੱਚ, ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। 1964 ਅਤੇ 2013 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਾਯੂਮੰਡਲੀ CO2 ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਵਾਧੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
row: Decade | Ppm/y
row: 1964–1973 | 1.07
row: 1974–1983 | 1.34
row: 1984–1993 | 1.40
row: 1994–2003 | 1.87
row: 2004–2013 | 2.07
Table 1.2: Source: http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/.
The following table gives the approximate increase in sea level in inches over 20 years starting in the given year. Estimate the net change in mean sea level from 1870 to 2010.
row: Starting Year | 20-Year Change
row: 1870 | 0.3
row: 1890 | 1.5
row: 1910 | 0.2
row: 1930 | 2.8
row: 1950 | 0.7
row: 1970 | 1.1
row: 1990 | 1.5
Table 1.3: Source: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1
The following table gives the approximate increase in dollars in the average price of a gallon of gas per decade since 1950. If the average price of a gallon of gas in 2010 was $2.60, what was the average price of a gallon of gas in 1950?
row: Starting Year | 10-Year Change
row: 1950 | 0.03
row: 1960 | 0.05
row: 1970 | 0.86
row: 1980 | −0.03
row: 1990 | 0.29
row: 2000 | 1.12
Table 1.4: Source: http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf.
The following table gives the percent growth of the U.S. population beginning in July of the year indicated. If the U.S. population was 281,421,906 in July 2000, estimate the U.S. population in July 2010.
row: Year | % Change/Year
row: 2000 | 1.12
row: 2001 | 0.99
row: 2002 | 0.93
row: 2003 | 0.86
row: 2004 | 0.93
row: 2005 | 0.93
row: 2006 | 0.97
row: 2007 | 0.96
row: 2008 | 0.95
row: 2009 | 0.88
Table 1.5: Source: http://www.census.gov/popest/data.
(Hint: To obtain the population in July 2001, multiply the population in July 2000 by 1.0112 to get 284,573,831.)
In the following exercises, estimate the areas under the curves by computing the left Riemann sums, L8.
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN,LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=1−x2f(x)=1−x2 on [−1,1].[−1,1].
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=11+x2f(x)=11+x2 on [−1,1].[−1,1].
[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, LN, for N=10,30,50N=10,30,50 for f(x)=sin2xf(x)=sin2x on [0,2π].[0,2π]. Compare these estimates with π.
In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums RN and LN for N=1,10,100.N=1,10,100. How do these estimates compare with the exact answers, which you can find via geometry?
[T] y=cos(πx)y=cos(πx) on the interval [0,1][0,1]
[T] y=3x+2y=3x+2 on the interval [3,5][3,5]
In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums RN and LN for N=1,10,100.N=1,10,100.
1. y=x4−5x2+4, ਅੰਤਰਾਲ [−2,2] ਉੱਤੇ, ਜਿਸਦਾ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ 32/15 ਹੈ।
2. y=lnx, ਅੰਤਰਾਲ [1,2] ਉੱਤੇ, ਜਿਸਦਾ ਸਹੀ ਖੇਤਰਫਲ 2ln(2)−1 ਹੈ।
3. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(a)≥0 ਅਤੇ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਹੈ।
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f(b)≥0 ਅਤੇ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਦਰਸਾਓ ਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, RN−LN=(b−a)×f(b)−f(a)N।
6. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਜੇਕਰ f, [a,b] ਉੱਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ LN ਜਾਂ RN ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ A ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਗਲਤੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (b−a)f(b)−f(a)N ਹੈ।
7. ਤਿੰਨਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ:
8. ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘੇਰੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ L(A) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
9. L(A) ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੇਰੇ ਗਏ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ B(A) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲੀ ਸੀਮਾ U(A) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
10. ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਚਾਰ ਬਕਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ L(A) ਕੋਈ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਜਦੋਂ ਕਿ U(A) ਕੋਈ ਵੱਡਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
11. ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ n ਫਾੜਿਆਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੈ ਜੋ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਾੜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਆਧਾਰ 1 ਇਕਾਈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ sin(2π/n) ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਆਧਾਰ B=cos(π/n)+sin(π/n)tan(π/n) ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ H=Bsin(2π/n) ਹੈ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਲੀਲ ਦੇਣ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ π ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।