ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.2.1 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ (definite integral) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੱਸੋ।
1.2.2 ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ (integrand), ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ (limits of integration), ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable of integration) ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
1.2.3 ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕੋਈ ਫਲਨ (function) ਕਦੋਂ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1.2.4 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਅਤੇ ਸ਼ੁੱਧ ਖੇਤਰਫਲ (net area) ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
1.2.5 ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.2.6 ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ (average value) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ (Riemann sums) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ (curve) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ:
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਾਲ ਕੁਝ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਸਨ। ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ (nonnegative) ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਰੱਖੀ ਸੀ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀਆਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸਮੂਹ 'ਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਸੰਕੇਤ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਿਆਪਕ ਰੂਪ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(x)f(x) ਦੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੋਣ ਦੀਆਂ ਲੋੜਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਜੇਕਰ f(x)f(x) ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ a ਤੋਂ b ਤੱਕ f ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਸੀਮਾ (limit) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ f(x)f(x) ਨੂੰ [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ (integral symbol) ਜਾਣੂ ਲੱਗਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ (derivatives) ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ (Applications of Derivatives) ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (antiderivative) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ (ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ a ਅਤੇ b ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਲਈ ਸੰਕੇਤ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਲਈ ਸੰਕੇਤ ਵਰਗਾ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਉਹ ਇੱਕੋ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੰਕੇਤ ਵੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਿਆਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣ ਸਕੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਜਾਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਅਨੁਕਲਨ ਸੰਕੇਤ ਸਤਾਰ੍ਹਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਖੀਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਗੌਟਫ੍ਰਾਈਡ ਵਿਲਹੇਲਮ ਲੀਬਨਿਜ਼ (Gottfried Wilhelm Leibniz) ਦੇ ਯੋਗਦਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਆਈਜ਼ੈਕ ਨਿਊਟਨ (Isaac Newton) ਦੇ ਨਾਲ ਕੈਲਕੂਲਸ (calculus) ਦਾ ਸਹਿ-ਖੋਜਕਰਤਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ∫ ਅਨੁਕਲਨ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇੱਕ ਲੰਮਾ S ਹੈ, ਜੋ ਸਿਗਮਾ (sigma) ਜਾਂ ਜੋੜ (summation) ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ 'ਤੇ, ਜੋੜ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ, [a,b].[a,b] ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ a ਅਤੇ b x-ਮੁੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ (limits of integration) ਕਹਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ; ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, a ਹੇਠਲੀ ਹੱਦ (lower limit) ਹੈ ਅਤੇ b ਉੱਪਰੀ ਹੱਦ (upper limit) ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੀਮਾ (limit) ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ n→∞.n→∞ ਵਾਂਗ ਜੋੜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜਾ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਘੇਰੇ ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਫਲਨ f(x)f(x) ਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ (integrand) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ dx ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)f(x) x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (variable of integration) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ, ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਸੂਚਕਾਂਕ (index) ਵਾਂਗ, ਅਨੁਕਲਨ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਇੱਕ ਡਮੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ (dummy variable) ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਗਣਨਾ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵਜੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਪਸੰਦ ਕਰੀਏ:
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ ਜੇਕਰ f(x)f(x) [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀਮਾ limn→∞∑i=1nf(xi*)Δxlimn→∞∑i=1nf(xi*)Δx ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ (theorem) ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਬੂਤ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 1.1
ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਜੇਕਰ f(x)f(x) [a,b],[a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ f [a,b].[a,b] 'ਤੇ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਹੈ।
[a,b][a,b] 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨ, ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ (discontinuities) ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਜੇ ਵੀ ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ, ਸੀਮਿਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜੰਪ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਨੁਕਲਨਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਇਹ ਵੀ ਇੱਥੇ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵੰਡ (regular partition) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਾਬੰਦੀ ਬਿਲਕੁਲ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਿਯਮਤ ਵੰਡ (nonregular partition) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ (subintervals) ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲੈਣਾ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਸਿਫ਼ਰ ਵੱਲ ਜਾਣ 'ਤੇ ਸੀਮਾ ਲੈਣੀ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਡੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸੰਕੇਤ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਾਧੂ ਸੂਝ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮਤ ਵੰਡਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.7
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫02x2dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ a=0 ਅਤੇ b=2 ਹੈ। i=0,1,2,…,n ਲਈ, P={xi} ਨੂੰ [0,2] ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਮੰਨੋ। ਫਿਰ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ i ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [xi−1,xi] ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਸੱਜਾ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ xi ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ P ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ,
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਹੈ
ਫਿਰ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
∑i=1ni2, ਦੇ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ n→∞ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.7
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∫03(2x−1)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੀ ਜਟਿਲਤਾ ਕਾਰਨ ਕਾਫ਼ੀ ਥਕਾਊ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲਏ ਬਿਨਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ 'ਤੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕੀਏ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.8
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
∫369−(x−3)2dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ 3 ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ
ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [3,6] ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ A=πr2 ਹੈ। ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ A=(12)πr2। ਚਿੱਤਰ 1.16 ਵਿੱਚ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤਾ ਖੇਤਰ ਅੱਧੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕਵਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ A=(14)πr2। ਇਸ ਲਈ,
ਚਿੱਤਰ 1.16: ਅੰਤਰਾਲ [3,6] ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.8
∫24(2x+3)dx ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਲੰਬ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੋੜ ਨੂੰ ਚੁੱਕਿਆ ਕਿ f(x) ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਪਰ ਜਦੋਂ f(x) ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ "ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ" ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?
ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ
ਆਓ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2−2x2f(x)=2−2x2 (ਚਿੱਤਰ 1.17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ) ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ [0,2].[0,2] ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰੋ। n=8n=8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਸਿਰੇ ਨੂੰ {xi*}{xi*} ਵਜੋਂ ਚੁਣੋ। ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ f(xi*)f(xi*) ਉਚਾਈ ਅਤੇ Δx ਚੌੜਾਈ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਆਇਤ ਬਣਾਓ। ਜਦੋਂ f(xi*)f(xi*) ਧਨਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ f(xi*)Δxf(xi*)Δx ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸੀ। ਪਰ, ਜਦੋਂ f(xi*)f(xi*) ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ f(xi*)Δxf(xi*)Δx ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 1.17: ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਆਇਤਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਜਦੋਂ n→∞,n→∞ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲਈਏ, ਤਾਂ ਰੀਮਾਨ ਜੋੜ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚੋਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1.18 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ,
ਮਾਤਰਾ A1−A2A1−A2 ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.18: ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਖੇਤਰ A1 ਵਿੱਚੋਂ ਖੇਤਰ A2 ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ, ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਧਨਾਤਮਕ, ਰਿਣਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਸਿਫਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਧਨਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਿਫਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.9
ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2xf(x)=2x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [−3,3].[−3,3] ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ: ਇੱਕ x=−3x=−3 ਤੋਂ x=0x=0 ਤੱਕ ਅਤੇ ਦੂਜੀ x=0x=0 ਤੋਂ x=3x=3 ਤੱਕ (ਚਿੱਤਰ 1.19)। ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੂਤਰ, A=12bh,A=12bh, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਤਿਕੋਣ A1 ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ,
ਜਿੱਥੇ 3 ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 2(3)=62(3)=6 ਉਚਾਈ ਹੈ। ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਤਿਕੋਣ A2 ਦਾ ਖੇਤਰ ਹੈ,
ਜਿੱਥੇ 3 ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ 6 ਉਚਾਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 1.19: ਵਕਰ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰ ਵਕਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਜੇਕਰ A1 x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਅਤੇ A2 x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ A1−A2.A1−A2 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਿਫਰ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.9
f(x)=x−2f(x)=x−2 ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ [0,6],[0,6] ਉੱਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੁੱਲ ਖੇਤਰ
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਇੱਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ v(t)v(t) ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਸਤੂ ਆਪਣੀ ਮੂਲ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੈਗਰਲ ਦੀ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਦੇਖਾਂਗੇ। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗੱਲਾਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਹੋ ਸਕੇ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਸਥਿਰ ਵੇਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਕੇ।
ਜਦੋਂ ਵੇਗ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਿਰਫ ਵੇਗ ਗੁਣਾ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਹੁਤ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਾਰ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਸਿੱਧੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ 70 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 2 ਘੰਟੇ ਤੱਕ ਦੂਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਮੂਲ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 140 ਮੀਲ ਦੂਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 1.20)। ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 1.20: v(t)=70v(t)=70 ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਕਾਰ ਦੀ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਖੇਤਰ ਸਾਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਾਰ 60 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 2 ਘੰਟੇ ਤੱਕ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਸਿੱਧੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ 120 ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਾਰ ਫਿਰ ਮੁੜਦੀ ਹੈ ਅਤੇ 40 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ 3 ਘੰਟੇ ਤੱਕ ਦੱਖਣ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਆਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਵੇਗੀ (ਚਿੱਤਰ 1.21)। ਦੁਬਾਰਾ, ਇੰਟੈਗਰਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
1. ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
2. ਚਿੱਤਰ 1.21: ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨ ਕੀਤਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ।
3. ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਾਰ ਕੁੱਲ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵੇਂ ਉਹ ਖੇਤਰਫਲ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ, ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਅਤੇ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰਨਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ (ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ)। ਇਸਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਾਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਹੈ
5. ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਕੱਠੇ ਲਿਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।
6. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
7. ਮੰਨ ਲਓ f(x) ਇੱਕ ਸਮਕਲਨ ਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ A1, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ A2, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੈ। ਫਿਰ, f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਨੈੱਟ ਸਾਈਨ ਕੀਤਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
8. f(x) ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
9. ਉਦਾਹਰਨ 1.10
10. ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
11. f(x)=x−2 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [0,6] 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ।
12. ਹੱਲ
13. x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (x-intercept) ਨੂੰ (2,0) ਵਜੋਂ ਗਿਣੋ (y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ, x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ)। ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [0,2] 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [2,6] 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ (ਚਿੱਤਰ 1.22)।
14. ਚਿੱਤਰ 1.22: ਲਾਈਨ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ [0,6] 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ A2 ਜਮਾ A1 ਹੈ।
15. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
16. ਫਿਰ, ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
17. ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ, ਫਿਰ, ਹੈ
18. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.10
19. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰਾਲ [−3,3] 'ਤੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ।
20. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ
21. ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨਾਂ ਦੇ ਵੀ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਮਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਗੁਣ, ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।
22. ਨਿਯਮ: ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਗੁਣ
23. ∫aaf(x)dx=0 (1.9) ਜੇਕਰ ਸਮਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸਮਕਲਨ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਖੇਤਰਫਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
24. ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx (1.10) ਜੇਕਰ ਸੀਮਾਵਾਂ ਉਲਟੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਸਮਕਲਨ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਗਾਓ।
∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx (1.11) The integral of a sum is the sum of the integrals.
∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx (1.12) The integral of a difference is the difference of the integrals.
∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx (1.13) for constant c. The integral of the product of a constant and a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function.
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx (1.14) Although this formula normally applies when c is between a and b, the formula holds for all values of a, b, and c, provided f(x)f(x) is integrable on the largest interval.
Example 1.11
Using the Properties of the Definite Integral
Use the properties of the definite integral to express the definite integral of f(x)=−3x3+2x+2f(x)=−3x3+2x+2 over the interval [−2,1][−2,1] as the sum of three definite integrals.
Solution
Using integral notation, we have ∫−21(−3x3+2x+2)dx.∫−21(−3x3+2x+2)dx. We apply properties 3. and 5. to get
Checkpoint 1.11
Use the properties of the definite integral to express the definite integral of f(x)=6x3−4x2+2x−3f(x)=6x3−4x2+2x−3 over the interval [1,3][1,3] as the sum of four definite integrals.
Example 1.12
Using the Properties of the Definite Integral
If it is known that ∫08f(x)dx=10∫08f(x)dx=10 and ∫05f(x)dx=5,∫05f(x)dx=5, find the value of ∫58f(x)dx.∫58f(x)dx.
Solution
By property 6.,
Thus,
Checkpoint 1.12
If it is known that ∫15f(x)dx=−3∫15f(x)dx=−3 and ∫25f(x)dx=4,∫25f(x)dx=4, find the value of ∫12f(x)dx.∫12f(x)dx.
Comparison Properties of Integrals
A picture can sometimes tell us more about a function than the results of computations. Comparing functions by their graphs as well as by their algebraic expressions can often give new insight into the process of integration. Intuitively, we might say that if a function f(x)f(x) is above another function g(x),g(x), then the area between f(x)f(x) and the x-axis is greater than the area between g(x)g(x) and the x-axis. This is true depending on the interval over which the comparison is made. The properties of definite integrals are valid whether a<b,a=b,a<b,a=b, or a>b.a>b. The following properties, however, concern only the case a≤b,a≤b, and are used when we want to compare the sizes of integrals.
Theorem 1.2
Comparison Theorem
If f(x)≥0f(x)≥0 for a≤x≤b,a≤x≤b, then ∫abf(x)dx≥0.∫abf(x)dx≥0.
If f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) for a≤x≤b,a≤x≤b, then ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.
If m and M are constants such that m≤f(x)≤Mm≤f(x)≤M for a≤x≤b,a≤x≤b, then m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).
Example 1.13
Comparing Two Functions over a Given Interval
Compare f(x)=1+x2f(x)=1+x2 and g(x)=1+xg(x)=1+x over the interval [0,1].[0,1].
Solution
Graphing these functions is necessary to understand how they compare over the interval [0,1].[0,1]. Initially, when graphed on a graphing calculator, f(x)f(x) appears to be above g(x)g(x) everywhere. However, on the interval [0,1],[0,1], the graphs appear to be on top of each other. We need to zoom in to see that, on the interval [0,1],g(x)[0,1],g(x) is above f(x).f(x). The two functions intersect at x=0x=0 and x=1x=1 (Figure 1.23).
Figure 1.23: (a) The function f(x)f(x) appears above the function g(x)g(x) except over the interval [0,1][0,1] (b) Viewing the same graph with a greater zoom shows this more clearly.
We can see from the graph that over the interval [0,1],g(x)≥f(x).[0,1],g(x)≥f(x). Comparing the integrals over the specified interval [0,1],[0,1], we also see that ∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx (Figure 1.24). The thin, red-shaded area shows just how much difference there is between these two integrals over the interval [0,1].[0,1].
Figure 1.24: (a) The graph shows that over the interval [0,1],g(x)≥f(x),[0,1],g(x)≥f(x), where equality holds only at the endpoints of the interval. (b) Viewing the same graph with a greater zoom shows this more clearly.
Average Value of a Function
We often need to find the average of a set of numbers, such as an average test grade. Suppose you received the following test scores in your algebra class: 89, 90, 56, 78, 100, and 69. Your semester grade is your average of test scores and you want to know what grade to expect. We can find the average by adding all the scores and dividing by the number of scores. In this case, there are six test scores. Thus,
Therefore, your average test grade is approximately 80.33, which translates to a B− at most schools.
Suppose, however, that we have a function v(t)v(t) that gives us the speed of an object at any time t, and we want to find the object’s average speed. The function v(t)v(t) takes on an infinite number of values, so we can’t use the process just described. Fortunately, we can use a definite integral to find the average value of a function such as this.
Let f(x)f(x) be continuous over the interval [a,b][a,b] and let [a,b][a,b] be divided into n subintervals of width Δx=(b−a)/n.Δx=(b−a)/n. Choose a representative xi*xi* in each subinterval and calculate f(xi*)f(xi*) for i=1,2,…,n.i=1,2,…,n. In other words, consider each f(xi*)f(xi*) as a sampling of the function over each subinterval. The average value of the function may then be approximated as
which is basically the same expression used to calculate the average of discrete values.
But we know Δx=b−an,Δx=b−an, so n=b−aΔx,n=b−aΔx, and we get
Following through with the algebra, the numerator is a sum that is represented as ∑i=1nf(xi*),∑i=1nf(xi*), and we are dividing by a fraction. To divide by a fraction, invert the denominator and multiply. Thus, an approximate value for the average value of the function is given by
This is a Riemann sum. Then, to get the exact average value, take the limit as n goes to infinity. Thus, the average value of a function is given by
Definition
Let f(x)f(x) be continuous over the interval [a,b].[a,b]. Then, the average value of the function f(x)f(x) (or fave) on [a,b][a,b] is given by
Example 1.14
Finding the Average Value of a Linear Function
Find the average value of f(x)=x+1f(x)=x+1 over the interval [0,5].[0,5].
Solution
First, graph the function on the stated interval, as shown in Figure 1.25.
Figure 1.25: The graph shows the area under the function f(x)=x+1f(x)=x+1 over [0,5].[0,5].
The region is a trapezoid lying on its side, so we can use the area formula for a trapezoid A=12h(a+b),A=12h(a+b), where h represents height, and a and b represent the two parallel sides. Then,
Thus the average value of the function is
Checkpoint 1.13
Find the average value of f(x)=6−2xf(x)=6−2x over the interval [0,3].[0,3].
In the following exercises, express the limits as integrals.
limn→∞∑i=1n(xi*)Δxlimn→∞∑i=1n(xi*)Δx over [1,3][1,3]
limn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)Δxlimn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)Δx over [0,2][0,2]
limn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)Δxlimn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)Δx over [0,1][0,1]
limn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)Δxlimn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)Δx over [0,1][0,1]
In the following exercises, given Ln or Rn as indicated, express their limits as n→∞n→∞ as definite integrals, identifying the correct intervals.
L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n
R n = 1 n ∑ i = 1 n i n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n
L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n )
R n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) R n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n )
L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n )
R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 )
In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.
In the following exercises, evaluate the integral using area formulas.
∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x
∫ 2 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x
∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x
∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x
∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ −2 2 4 − x 2 d x
∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x
∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x
∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x
In the following exercises, use averages of values at the left (L) and right (R) endpoints to compute the integrals of the piecewise linear functions with graphs that pass through the given list of points over the indicated intervals.
{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)} over [0,8][0,8]
{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)} over [0,8][0,8]
{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)} over [−4,4][−4,4]
{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)} over [−4,4][−4,4]
Suppose that ∫04f(x)dx=5∫04f(x)dx=5 and ∫02f(x)dx=−3,∫02f(x)dx=−3, and ∫04g(x)dx=−1∫04g(x)dx=−1 and ∫02g(x)dx=2.∫02g(x)dx=2. In the following exercises, compute the integrals.
∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x
∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x
∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x
∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x
In the following exercises, use the identity ∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x)dx∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x)dx to compute the integrals.
∫−ππsint1+t2dt∫−ππsint1+t2dt (Hint:sin(−t)=−sin(t))(Hint:sin(−t)=−sin(t))
∫ − π π t 1 + cos t d t ∫ − π π t 1 + cos t d t
In the following exercises, find the net signed area between f(x)f(x) and the x-axis.
∫13(2−x)dx∫13(2−x)dx (Hint: Look at the graph of f.)
∫24(x−3)3dx∫24(x−3)3dx (Hint: Look at the graph of f.)
In the following exercises, given that ∫01xdx=12,∫01x2dx=13,∫01xdx=12,∫01x2dx=13, and ∫01x3dx=14,∫01x3dx=14, compute the integrals.
∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x
∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x
∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x
∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x
∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x
∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x
In the following exercises, use the comparison theorem.
Show that ∫03(x2−6x+9)dx≥0.∫03(x2−6x+9)dx≥0.
Show that ∫−23(x−3)(x+2)dx≤0.∫−23(x−3)(x+2)dx≤0.
Show that ∫011+x3dx≤∫011+x2dx.∫011+x3dx≤∫011+x2dx.
Show that ∫121+xdx≤∫121+x2dx.∫121+xdx≤∫121+x2dx.
Show that ∫0π/2sintdt≥π4.∫0π/2sintdt≥π4. (Hint:sint≥2tπ(Hint:sint≥2tπ over [0,π2])[0,π2])
Show that ∫−π/4π/4costdt≥π2/4.∫−π/4π/4costdt≥π2/4.
In the following exercises, find the average value fave of f between a and b, and find a point c, where f(c)=fave.f(c)=fave.
f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1
f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1
f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2
f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3
f ( x ) = sin x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = sin x , a = 0 , b = 2 π
f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π
In the following exercises, approximate the average value using Riemann sums L100 and R100. How does your answer compare with the exact given answer?
[T] y=ln(x)y=ln(x) over the interval [1,4];[1,4]; the exact solution is ln(256)3−3.ln(256)3−3.
[T] y=ex/2y=ex/2 over the interval [0,1];[0,1]; the exact solution is 2(e−1).2(e−1).
[T] y=tanxy=tanx over the interval [0,π4];[0,π4]; the exact solution is 2ln(2)π.2ln(2)π.
y=x+14−x2, ਅੰਤਰਾਲ [−1,1]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ π6 ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਖੱਬੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ LN ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ N=1,10,100। ਸਹੀ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਿਵੇਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
y=x2−4, ਅੰਤਰਾਲ [0,2]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ −83 ਹੈ।
y=xex2, ਅੰਤਰਾਲ [0,2]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ 14(e4−1) ਹੈ।
y=(12)x, ਅੰਤਰਾਲ [0,4]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ 1564ln(2) ਹੈ।
y=xsin(x2), ਅੰਤਰਾਲ [−π,0]; ਉੱਤੇ, ਸਹੀ ਹੱਲ cos(π2)−12π ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ A=∫02πsin2tdt ਅਤੇ B=∫02πcos2tdt। ਦਿਖਾਓ ਕਿ A+B=2π ਅਤੇ A=B।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ A=∫−π/4π/4sec2tdt=π ਅਤੇ B=∫−π/4π/4tan2tdt। ਦਿਖਾਓ ਕਿ A−B=π2।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ [0,2π] ਉੱਤੇ sin2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਗਣਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ [0,π] ਉੱਤੇ sin2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ [0,2π] ਉੱਤੇ cos2t ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਗਣਨਾ ਦੇ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ [0,π] ਉੱਤੇ cos2(t) ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫਲਨ (ਪੈਰਾਬੋਲਾ) p(x) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫਲਨ ℓ(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕਿਉਂ ਕੱਟ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ p(a)=ℓ(a) ਅਤੇ p(b)=ℓ(b), ਅਤੇ ਕਿ ∫abp(t)dt>∫abℓ(t)dt। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫cdp(t)>∫cdℓ(t)dt ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ a≤c<d≤b।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ p(x)=ax2+bx+c ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ (a<0) ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਸਿਖਰ y=−b2a>0 ਹੈ। ਕਿਸ ਅੰਤਰਾਲ [A,B] ਲਈ ∫AB(ax2+bx+c)dx ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ [a,b] ਨੂੰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ a=a0<a1<a2<⋯<aN=b ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ f≥0 [ai−1,ai] ਉੱਤੇ ਹੋਵੇ ਜਾਂ f≤0 [ai−1,ai] ਉੱਤੇ ਹੋਵੇ। Ai=∫ai−1aif(t)dt।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫abf(t)dt=A1+A2+⋯+AN ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਫਿਰ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ |∫abf(t)dt|≤∫ab|f(t)|dt ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f ਅਤੇ g ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਲਈ [a,b] ਦੇ ∫cdf(t)dt≤∫cdg(t)dt। ਸਮਝਾਓ ਕਿ f(x)≤g(x) ਸਾਰੇ x ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ ਅਤੇ [b,c] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ ਜਿੱਥੇ a<c<b। ਦਿਖਾਓ ਕਿ [a,c] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1 ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ [a,b] ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, a=a0<a1<⋯<aN=b ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਕਿ ਹਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [ai−1,ai] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ i=1,…,N ਲਈ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ [a,b] ਉੱਤੇ f ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਵੀ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਿਉਂ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਰ i ਲਈ ਜਿਸ ਲਈ 1≤i≤N, ∫i−1if(t)dt=i। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ∫0Nf(t)dt=N(N+1)2।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਹਰ i ਲਈ ਜਿਸ ਲਈ 1≤i≤N, ∫i−1if(t)dt=i2। ਦਿਖਾਓ ਕਿ ∫0Nf(t)dt=N(N+1)(2N+1)6।
f(t)=t2, [0,1] ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ L10 ਅਤੇ R10 ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ L10+R102 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਕਿ ∫01t2dt=0.33–, L10+R102 ਕਿੰਨੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ?
f(t)=(4−t2), [1,2] ਉੱਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ, L10 ਅਤੇ R10, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਔਸਤ L10+R102 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਕਿ ∫12(4−t2)dt=1.66–, L10+R102 ਕਿੰਨੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸਹੀ ਹੈ?
ਜੇ ∫151+t4dt=41.7133..., ਤਾਂ ∫151+u4du ਕੀ ਹੈ?
ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਆਇਤ ਨਾਲ, ∫01tdt ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਔਸਤ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ∫01tdt ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
1. t=1/2 'ਤੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਉਚਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ∫01tdt ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਇਹ ਮੱਧਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ∫01tdt ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ?
2. ਦਿਖਾਏ ਗਏ sin(2πx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ:
3. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ∫01sin(2πt)dt=0 ਕਿਉਂ ਹੈ।
4. ਸਮਝਾਓ ਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ 'a' ਮੁੱਲ ਲਈ ∫aa+1sin(2πt)dt=0 ਕਿਉਂ ਹੈ।
5. ਜੇਕਰ f 1-ਪੀਰੀਅਡਿਕ (f(t+1)=f(t)), ਵਿਸ਼ਮ, ਅਤੇ [0,1] 'ਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ∫01f(t)dt=0 ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੈ?
6. ਜੇਕਰ f 1-ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੈ ਅਤੇ ∫01f(t)dt=A, ਤਾਂ ਕੀ ∫a1+af(t)dt=A ਸਾਰੇ 'a' ਲਈ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੱਚ ਹੈ?