Review Exercises
For the following exercises, determine whether the statement is true or false. Justify your answer with a proof or a counterexample.
∫exsin(x)dx∫exsin(x)dx cannot be integrated by parts.
∫1x4+1dx∫1x4+1dx cannot be integrated using partial fractions.
In numerical integration, increasing the number of points decreases the error.
Integration by parts can always yield the integral.
For the following exercises, evaluate the integral using the specified method.
∫x2sin(4x)dx∫x2sin(4x)dx using integration by parts
∫1x2x2+16dx∫1x2x2+16dx using trigonometric substitution
∫xln(x)dx∫xln(x)dx using integration by parts
∫3xx3+2x2−5x−6dx∫3xx3+2x2−5x−6dx using partial fractions
∫x5(4x2+4)5/2dx∫x5(4x2+4)5/2dx using trigonometric substitution
∫4−sin2(x)sin2(x)cos(x)dx∫4−sin2(x)sin2(x)cos(x)dx using a table of integrals or a CAS
For the following exercises, integrate using whatever method you choose.
∫ sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) d x ∫ sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) d x
∫ x 3 x 2 + 2 d x ∫ x 3 x 2 + 2 d x
∫ 3 x 2 + 1 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 2 x d x ∫ 3 x 2 + 1 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 2 x d x
∫ 1 x 4 + 4 d x ∫ 1 x 4 + 4 d x
∫ 3 + 16 x 4 x 3 d x ∫ 3 + 16 x 4 x 3 d x
For the following exercises, approximate the integrals using the midpoint rule, trapezoidal rule, and Simpson’s rule using four subintervals, rounding to three decimals.
[T] ∫12x5+2dx∫12x5+2dx
[T] ∫0πe−sin(x2)dx∫0πe−sin(x2)dx
[T] ∫14ln(1/x)xdx∫14ln(1/x)xdx
For the following exercises, evaluate the integrals, if possible.
∫1∞1xndx, ∫1∞1xndx, n ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਇਹ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਕੱਠਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਵੱਖ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
∫ ੧ ∞ e⁻ˣ/x dx
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗਾਮਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ Γ(a)=∫0∞e−yya−1dy.Γ(a)=∫0∞e−yya−1dy. ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮੰਨੋ।
1. ਦਿਖਾਓ ਕਿ Γ(a)=(a−1)Γ(a−1)।
1. ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿ Γ(a)=(a−1)!, Γ(a)=(a−1)!, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ a ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਦੁਨੀਆ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਕਾਰ, ਬੁਗਾਟੀ ਵੇਰੋਨ, 408 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਸਿਖਰਲੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸਦੀ ਵੇਗ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰ 20 ਸੈਕਿੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਗ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ v(t)=aexpbxsin(cx)+d ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਕਰੋ। (ਸੰਕੇਤ: ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।)
1. ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਬਿਲਕੁਲ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ 1 ਮਿੰਟ 40 ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਬੁਗਾਟੀ ਵੇਰੋਨ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਗਈ।