Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
The differential equation y′=3x2y−cos(x)y″y′=3x2y−cos(x)y″ is linear.
The differential equation y′=x−yy′=x−y is separable.
You can explicitly solve all first-order differential equations by separation or by the method of integrating factors.
You can determine the behavior of all first-order differential equations using directional fields or Euler’s method.
For the following problems, find the general solution to the differential equations.
y ′ = x 2 + 3 e x − 2 x y ′ = x 2 + 3 e x − 2 x
y ′ = 2 x + cos −1 x y ′ = 2 x + cos −1 x
y ′ = y ( x 2 + 1 ) y ′ = y ( x 2 + 1 )
y ′ = e − y sin x y ′ = e − y sin x
y ′ = 3 x − 2 y y ′ = 3 x − 2 y
y ′ = y ln y y ′ = y ln y
For the following problems, find the solution to the initial value problem.
y ′ = 8 x − ln x − 3 x 4 , y ( 1 ) = 5 y ′ = 8 x − ln x − 3 x 4 , y ( 1 ) = 5
y ′ = 3 x − cos x + 2 , y ( 0 ) = 4 y ′ = 3 x − cos x + 2 , y ( 0 ) = 4
x y ′ = y ( x − 2 ) , y ( 1 ) = 3 x y ′ = y ( x − 2 ) , y ( 1 ) = 3
y ′ = 3 y 2 ( x + cos x ) , y ( 0 ) = −2 y ′ = 3 y 2 ( x + cos x ) , y ( 0 ) = −2
( x − 1 ) y ′ = y − 2 , y ( 0 ) = 0 ( x − 1 ) y ′ = y − 2 , y ( 0 ) = 0
y ′ = 3 y − x + 6 x 2 , y ( 0 ) = −1 y ′ = 3 y − x + 6 x 2 , y ( 0 ) = −1
For the following problems, draw the directional field associated with the differential equation, then solve the differential equation. Draw a sample solution on the directional field.
y ′ = 2 y − y 2 y ′ = 2 y − y 2
y′=1x+lnx−y,y′=1x+lnx−y, for x>0x>0
For the following problems, use Euler’s Method with n=5n=5 steps over the interval t=[0,1].t=[0,1]. Then solve the initial-value problem exactly. How close is your Euler’s Method estimate?
y ′ = −4 y x , y ( 0 ) = 1
y ′ = 3 x − 2 y , y ( 0 ) = 0
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਕਾਰ ਫਰੀਵੇਅ 'ਤੇ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ a=5sin(πt) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਤੇਜ਼ ਹੋ ਰਹੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਸਮਾਂ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਕਾਰ 60 mph ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ 2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 88 m/s ਦੀ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਵੇਗ ਨਾਲ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ। ਗੇਂਦ ਕਿੰਨੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਰਹੇਗੀ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ g=9.8m/s² ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ 5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਖਿੜਕੀ ਤੋਂ 5000 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ। ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਤੁਸੀਂ 5 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪੁੰਜ ਵਾਲੀ ਉਸੇ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਉਸੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਖਿੜਕੀ ਤੋਂ ਉਸੇ ਉਚਾਈ ਤੋਂ ਸੁੱਟਦੇ ਹੋ, ਪਰ ਇਸ ਵਾਰ ਤੁਸੀਂ ਗੇਂਦ ਦੇ ਵੇਗ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਡਰੈਗ ਫੋਰਸ ਮੰਨਦੇ ਹੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਸਥਿਰਾਂਕ 3 ਹੈ ਅਤੇ ਗੇਂਦ ਅੰਤਿਮ ਵੇਗ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਡਿੱਗੀ ਹੋਈ ਦੂਰੀ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਮਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਹਰ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਦਵਾਈ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਰੀਰ ਵਿੱਚ ਬਚੀ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਸਾਫ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਨੁਪਾਤਤਾ ਸਥਿਰਾਂਕ 0.2 ਹੈ। ਜੇ ਮਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਸਮੇਂ ਖੂਨ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵਿੱਚ 5 mg ਦਾ ਬੇਸਲਾਈਨ ਪੱਧਰ ਬਣਾਈ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੁਰਾਕ ਕਿੰਨੀ ਵੱਡੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?
1000-ਲੀਟਰ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਪਾਣੀ ਹੈ ਅਤੇ 0.2 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲੂਣ/ਲੀਟਰ ਦਾ ਘੋਲ 1 L/min ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਪੰਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸੇ ਦਰ ਨਾਲ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਟੈਂਕ ਵਿੱਚ ਲੂਣ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਾਤਰਾ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਤੁਸੀਂ ਚਾਹ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪਾਣੀ ਉਬਾਲਦੇ ਹੋ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਪਾਣੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਚਾਹਦਾਨੀ ਵਿੱਚ ਪਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤਾਪਮਾਨ 100°C ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੇ 15°C ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਚਾਹ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ 85°C ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਚਾਹ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਚਾਹ ਨੂੰ ਪੀਣ ਯੋਗ ਤਾਪਮਾਨ (72°C) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
1950 ਵਿੱਚ ਨੇਵਾਡਾ ਦੀ ਮਨੁੱਖੀ ਆਬਾਦੀ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਲਗਭਗ 160 ਸੀ। ਜੇਕਰ ਸਮਰੱਥਾ 10 ਮਿਲੀਅਨ ਵਿਅਕਤੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ 2% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਕਾਸ ਦਰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਲੌਗਿਸਟਿਕ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ (1950 ਨੂੰ ਸਮਾਂ = 0 ਮੰਨੋ) ਨੇਵਾਡਾ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਤੁਹਾਡਾ ਮਾਡਲ 2000 ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ? ਇਹ 1,998,257 ਦੇ ਸੱਚੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕਿੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੈ?
ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੋਮਪਰਟਜ਼ ਵਿਕਾਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੁਹਰਾਓ। ਕਿਹੜਾ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਹੈ?