ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਪਦਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀਆਂ ਕ੍ਰਮਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਦੇ ਕਨਵਰਜ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਹੋਣ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲੜੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅਨੰਤ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ, ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਏਕੀਕਰਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸੰਭਾਲਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸ਼ਾਇਦ ਸਭ ਤੋਂ ਦਿਲਚਸਪ ਡਾਈਵਰਜੈਂਟ ਲੜੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਨਵਰਜ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਜੋੜ ਅਤੇ ਲੜੀਆਂ
ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਅਨੰਤ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਪਰ ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸੀਮਤ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ਹੈ
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਨੰਤ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੇਪ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਹਫ਼ਤੇ 10001000 ਗੈਲਨ ਤੇਲ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਹਫ਼ਤੇ, 500500 ਗੈਲਨ ਤੇਲ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੀਜੇ ਹਫ਼ਤੇ, 250250 ਗੈਲਨ ਤੇਲ ਹੋਰ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ ਪਿਛਲੇ ਹਫ਼ਤੇ ਨਾਲੋਂ ਅੱਧਾ ਤੇਲ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਕੀ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਬੇਅੰਤ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਰਹੇਗੀ, ਜਾਂ ਕੀ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਮਾਤਰਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ kk ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। kk ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ ਮਾਪੀ ਗਈ) ਨੂੰ SkSk ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ kk ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਬਾਅਦ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਗੈਲਨ ਵਿੱਚ) ਹੈ
ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ k→∞.k→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜਦੋਂ k→∞k→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸੇ ਸਮੇਂ, ਜਦੋਂ k→∞,k→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਮੁੱਲ limk→∞Sk.limk→∞Sk ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ {Sk}.{Sk} ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਜੋੜ limk→∞Sk.limk→∞Sk ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} ਡਾਈਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਡਾਈਵਰਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਸ ਕ੍ਰਮ {Sk}.{Sk} ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵੱਲ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 5.10 ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.10: ਗ੍ਰਾਫ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ {Sk}.{Sk} ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ 2.2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ।
ਆਓ ਹੋਰ ਯਕੀਨਨ ਸਬੂਤ ਲੱਭੀਏ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ k ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ SkSk ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।k.
ਸਤਰ: kk | 55 | 1010 | 1515 | 2020
ਸਤਰ: SkSk | 1.93751.9375 | 1.9981.998 | 1.9999391.999939 | 1.9999981.999998
ਇਹ ਡਾਟਾ ਹੋਰ ਸਬੂਤ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} 2.2 ਤੱਕ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਦਲੀਲ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ limk→∞Sk=2.limk→∞Sk=2। ਫਿਲਹਾਲ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਡਾਟਾ 'ਤੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਯਕੀਨ ਹੋ ਸਕੇ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 2.2 ਤੱਕ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਇਹ ਕ੍ਰਮ 2,2 ਤੱਕ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਨੰਤ ਲੜੀ 22 ਤੱਕ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਬਾਰੇ ਸਵਾਲ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਨੰਤ ਲੜੀ 2,2 ਤੱਕ ਕਨਵਰਜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਤੇਲ ਦੀ ਮਾਤਰਾ 20002000 ਗੈਲਨ ਦੇ ਬੇਅੰਤ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਵੇਗੀ।
ਇਹ ਲੜੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਕਨਵਰਜ ਹੋਣ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਹਰੇਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ k,k ਲਈ, ਜੋੜ
1. ਨੂੰ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ {S_k} ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ S ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ S ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਹੋਣ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ S ਨੂੰ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
2. ਜੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੜੀ ਦਾ ਡਾਈਵਰਜੈਂਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ਲਈ ਇੰਡੈਕਸ ਦਾ n=1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ
4. ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
5. ਅਕਸਰ ਇਹ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੰਡੈਕਸ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇ, ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੱਖਰੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲ ਕੇ ਮੁੜ-ਇੰਡੈਕਸ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
6. m = n-1, ਇਸ ਲਈ n = m+1, ਵੇਰੀਏਬਲ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
7. ਉਦਾਹਰਨ 5.7
8. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀਆਂ ਲਿਮਟਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
10. ∑_{n=1}^∞ n/(n+1)
11. ∑_{n=1}^∞ (-1)^n
12. ∑_{n=1}^∞ 1/(n(n+1))
13. ਹੱਲ
14. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {S_k} ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ S_1 = 1/2, S_2 = 1/2 + 2/3, S_3 = 1/2 + 2/3 + 3/4, S_4 = 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਹਰ ਪਦ 1/2 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ S_1 = 1/2, S_2 = 1/2 + 2/3 > 1/2 + 1/2 = 2(1/2), S_3 = 1/2 + 2/3 + 3/4 > 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3(1/2), S_4 = 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 > 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 4(1/2)। ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ k ਲਈ S_k > k(1/2)। ਇਸ ਲਈ, {S_k} ਅਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਨੰਤ ਲੜੀ ∑_{n=1}^∞ n/(n+1) ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
15. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {S_k} ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ S_1 = -1, S_2 = -1 + 1 = 0, S_3 = -1 + 1 - 1 = -1, S_4 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0। ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {-1, 0, -1, 0, ...} ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕ੍ਰਮ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਨੰਤ ਲੜੀ ∑_{n=1}^∞ (-1)^n ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
16. ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {S_k} ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ S_1 = 1/(1·2) = 1/2, S_2 = 1/(1·2) + 1/(2·3) = 1/2 + 1/6 = 2/3, S_3 = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 3/4, S_4 = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) = 4/5, S_5 = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + 1/(5·6) = 5/6। ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਸਪੱਸ਼ਟ ਫਾਰਮੂਲਾ S_k = k/(k+1) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ k/(k+1) → 1, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਨੰਤ ਲੜੀ 1 ਵੱਲ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ∑_{n=1}^∞ 1/(n(n+1)) = 1 ਹੈ।
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.7
18. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ∑_{n=1}^∞ (n+1)/n ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
19. ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ
20. ਜਾਣਨ ਯੋਗ ਇੱਕ ਲਾਭਦਾਇਕ ਲੜੀ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਹੈ। ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
21. ਇਹ ਲੜੀ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {S_k} ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਦ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ ਕਿ ਲੜੀ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ {S_k} ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਹੌਲੀ ਵਿਕਾਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
22. ਕਤਾਰ: k | 10 | 100 | 1000 | 10,000 | 100,000 | 1,000,000
23. ਕਤਾਰ: S_k | 2.92897 | 5.18738 | 7.48547 | 9.78761 | 12.09015 | 14.39273
24. 1,000,000 ਪਦਾਂ ਦੇ ਬਾਅਦ ਵੀ, ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਅਜੇ ਵੀ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਛੋਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
To show that the sequence of partial sums diverges, we show that the sequence of partial sums is unbounded. We begin by writing the first several partial sums:
Notice that for the last two terms in S4,S4,
Therefore, we conclude that
Using the same idea for S8,S8, we see that
From this pattern, we see that S1=1,S1=1, S2=1+1/2,S2=1+1/2, S4>1+2(1/2),S4>1+2(1/2), and S8>1+3(1/2).S8>1+3(1/2). More generally, it can be shown that S2j>1+j(1/2)S2j>1+j(1/2) for all j>1.j>1. Since 1+j(1/2)→∞,1+j(1/2)→∞, we conclude that the sequence {Sk}{Sk} is unbounded and therefore diverges. In the previous section, we stated that convergent sequences are bounded. Consequently, since {Sk}{Sk} is unbounded, it diverges. Thus, the harmonic series diverges.
Algebraic Properties of Convergent Series
Since the sum of a convergent infinite series is defined as a limit of a sequence, the algebraic properties for series listed below follow directly from the algebraic properties for sequences.
Theorem 5.7
Algebraic Properties of Convergent Series
Let ∑n=1∞an∑n=1∞an and ∑n=1∞bn∑n=1∞bn be convergent series. Then the following algebraic properties hold.
The series ∑n=1∞(an+bn)∑n=1∞(an+bn) converges and ∑n=1∞(an+bn)=∑n=1∞an+∑n=1∞bn.∑n=1∞(an+bn)=∑n=1∞an+∑n=1∞bn. (Sum Rule)
The series ∑n=1∞(an−bn)∑n=1∞(an−bn) converges and ∑n=1∞(an−bn)=∑n=1∞an−∑n=1∞bn.∑n=1∞(an−bn)=∑n=1∞an−∑n=1∞bn. (Difference Rule)
For any real number c,c, the series ∑n=1∞can∑n=1∞can converges and ∑n=1∞can=c∑n=1∞an.∑n=1∞can=c∑n=1∞an. (Constant Multiple Rule)
Example 5.8
Using Algebraic Properties of Convergent Series
Evaluate
Solution
We showed earlier that
and
Since both of those series converge, we can apply the properties of Algebraic Properties of Convergent Series to evaluate
Using the sum rule, write
Then, using the constant multiple rule and the sums above, we can conclude that
Checkpoint 5.8
Evaluate ∑n=1∞52n−1.∑n=1∞52n−1.
1. ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ
2. ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਕੋਈ ਵੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
3. ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਲੜੀ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦਾ ਪਿਛਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ r ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r ਨੂੰ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ a ਨੂੰ ਆਰੰਭਿਕ ਪਦ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ
4. ਆਰੰਭਿਕ ਪਦ a=1a=1 ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ r=1/2.r=1/2 ਨਾਲ ਇੱਕ ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਹੈ।
5. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਕਦੋਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ? ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
6. ਜਦੋਂ a>0.a>0. ਇਸਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
7. ਜਦੋਂ r=1.r=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਉਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ,
8. ਕਿਉਂਕਿ a>0,a>0, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ k→∞.k→∞ ਜਦੋਂ ak→∞ak→∞। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਅਨੰਤ ਲੜੀ r=1.r=1 ਲਈ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। r≠1,r≠1 ਲਈ, {Sk},{Sk} ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 5.6 ਨੂੰ 1−r.1−r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
9. ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਪਦ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
10. ਇਸ ਲਈ,
11. ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਚਰਚਾ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੈਮਿਤਿਕ ਕ੍ਰਮ rk→0rk→0 ਜੇਕਰ |r|<1|r|<1 ਅਤੇ ਕਿ rkrk ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ |r|>1|r|>1 ਜਾਂ r=±1.r=±1। ਇਸ ਲਈ, |r|<1,|r|<1 ਲਈ, Sk→a/(1−r)Sk→a/(1−r) ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
12. ਜੇਕਰ |r|≥1,|r|≥1, SkSk ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
13. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
14. ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀ ਲੜੀ ਹੈ
15. ਜੇਕਰ |r|<1,|r|<1, ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ
16. ਜੇਕਰ |r|≥1,|r|≥1, ਲੜੀ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
17. ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਕਈ ਵਾਰ ਥੋੜੇ ਵੱਖਰੇ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਈ ਵਾਰ ਸੂਚਕਾਂਕ n=1n=1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਾਤ ਵਿੱਚ n−1.n−1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ nn ਲਈ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 5.5 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
18. ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
19. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਆਰੰਭਿਕ ਪਦ a=4/9a=4/9 ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ r=2/3.r=2/3 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
20. ਕਿਉਂਕਿ r=2/3<1,r=2/3<1, ਇਹ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਜੋੜ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
21. ਉਦਾਹਰਨ 5.9
22. ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਜਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
23. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਜੈਮਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਇਹ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ।
24. ∑n=1∞(−3)n+14n−1∑n=1∞(−3)n+14n−1
∑n=1∞e2n∑n=1∞e2n
ਹੱਲ
ਲੜੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖਣ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ∑n=1∞(−3)n+14n−1=(−3)240+(−3)34+(−3)442+⋯=(−3)2+(−3)2·(−34)+(−3)2·(−34)2+⋯=9+9·(−34)+9·(−34)2+⋯ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ a=9 ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ r=−3/4 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ |r|=3/4<1, ਲੜੀ 91−(−3/4)=97/4=367/4 ਤੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਲੜੀ ਨੂੰ e2∑n=1∞(e2)n−1e2∑n=1∞(e2)n−1 ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ r=e2>1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.9
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ∑n=1∞(−25)n−1∑n=1∞(−25)n−1 ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.10
ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
3.26—3.26— ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 3.26—=3.262626…,3.26—=3.262626…, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ
3 ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪਦ a=26/102 ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ r=1/102 ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.10
5.27–5.27– ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.11
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਕੋਚ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਅੰਕਾਂ {Fn}{Fn} ਦੇ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰਿਕਰਸਿਵਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 5.11)। ਮੰਨ ਲਓ F0F0 ਲੰਬਾਈ 1.1 ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਹੈ। n≥1,n≥1 ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ FnFn ਉਹ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ Fn−1Fn−1 ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤਿਹਾਈ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। n→∞n→∞ ਵਜੋਂ ਸੀਮਾਂਤ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਕੋਚ ਦਾ ਸਨੋਫਲੇਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.11: ਕੋਚ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦੀ ਉਸਾਰੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਚਾਰ ਚਿੱਤਰ, F0,F1,F2,ਅਤੇF3,F0,F1,F2,ਅਤੇF3।
FnFn ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ LnLn ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੋਚ ਦੇ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ limn→∞Lnlimn→∞Ln ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ FnFn ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ AnAn ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੋਚ ਦੇ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ limn→∞Anlimn→∞An ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ NnNn ਚਿੱਤਰ FnFn ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ F0F0 ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਹੈ, N0=3। ਮੰਨ ਲਓ lnln FnFn ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ F0F0 ਲੰਬਾਈ l0=1 ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ N1N1 ਅਤੇ l1.l1 ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ F1F1 ਨੂੰ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤਿਹਾਈ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਦੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, F0F0 ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ F1F1 ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਪਾਸੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, F1F1 ਲਈ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ N1=4·3 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਨਵੇਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ F0F0 ਦੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ 1/3 ਹੈ, F1F1 ਲਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ l1=13·1=13 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, F2F2 ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ F1F1 ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤਿਹਾਈ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, F2F2 ਵਿੱਚ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ N2=4N1=4(4·3)=42·3 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ F1F1 ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ 1/3 ਹੈ, ਚਿੱਤਰ F2F2 ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ l2=13·l1=13·13=(13)2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਉਂਕਿ FnFn ਨੂੰ Fn−1Fn−1 ਦੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਤਿਹਾਈ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਸਮਭੁਜੀ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 13ln−113ln−1 ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਦੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ Nn=4Nn−1 ਅਤੇ ln=ln−13। ਇਸ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ FnFn ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ Nn=4n·3 ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ln=(13)n ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, FnFn ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ NnNn ਅਤੇ ਹਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ln.ln ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ FnFn ਦਾ ਘੇਰਾ Ln=Nn·ln=3·(43)n ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕੋਚ ਦੇ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L=limn→∞Ln=∞ ਹੈ।
TnTn ਨਵੇਂ ਬਣੇ ਹਰੇਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ Fn.Fn ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। n=0,n=0 ਲਈ, T0T0 ਅਸਲ ਸਮਭੁਜੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, T0=A0=3/4.T0=A0=3/4। n≥1,n≥1 ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ Fn−1,Fn−1 ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਵੇਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ 1/31/3 ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ Tn=(13)2Tn−1=19·Tn−1.Tn=(13)2Tn−1=19·Tn−1 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, Tn=(19)n·34.Tn=(19)n·34। ਕਿਉਂਕਿ Fn−1,Fn−1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਦਾ ਹੈ, An=An−1+Nn−1·Tn=An−1+(3·4n−1)·(19)n·34=An−1+34·(49)n·34=An−1+34·(49)n·34। ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ A0,A1,A2,A0,A1,A2 ਲਿਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A0=34A1=A0+34·(49)·34=34+34·(49)·34=34[1+34·(49)]A2=A1+34·(49)2·34=34[1+34·(49)]+34·(49)2·34=34[1+34·(49)+34·(49)2]।An=34[1+34(49+(49)2+⋯+(49)n)]। ਅੰਦਰਲੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚੋਂ 4/94/9 ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ An=34[1+13(1+49+(49)2+⋯+(49)n−1)]।An=34[1+13(1+49+(49)2+⋯+(49)n−1)] ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ 1+(49)+(49)2+⋯+(49)n−11+(49)+(49)2+⋯+(49)n−1 ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜੋੜ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਜੋੜ 1+49+(49)2+⋯+(49)n−1=1−(4/9)n1−(4/9) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ An=34[1+13(1−(4/9)n1−(4/9))]=34[85−35(49)n]।An=34[1+13(1−(4/9)n1−(4/9))]=34[85−35(49)n]। ਇਸ ਲਈ, ਕੋਖ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A=limn→∞An=235.A=limn→∞An=235 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕੋਖ ਸਨੋਫਲੇਕ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਫਿਰ ਵੀ ਇਸਦੀ ਪਰਿਮਾਪ ਅਨੰਤ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਨਜ਼ਰੇ ਅਸੰਭਵ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇਖੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਵਕਰ y=1/x2y=1/x2 ਅਤੇ xx-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ [1,∞).[1,∞) ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਘੇਰੀ ਗਈ ਖੇਤਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਣਉਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਪਰਿਮਾਪ ਅਨੰਤ ਹੈ।
ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼
ਸੀਰੀਜ਼ ∑n=1∞1n(n+1) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।∑n=1∞1n(n+1) ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ 5.7 ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ S1,S2,…,S6S1,S2,…,S6 ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਕੇ ਕਿ ਉਹ ਸਾਰੇ Sk=kk+1.Sk=kk+1 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸੀਰੀਜ਼ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਦੇ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੋਣ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਲਈ, ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ {Sk},{Sk} ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ,
ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਸਿਰਫ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਬਚਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਸੀਰੀਜ਼ ਇੱਕ ਦੂਰਬੀਨ ਵਾਂਗ ਢਹਿ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਦੀਆਂ ਟਿਊਬਾਂ ਟੈਲੀਸਕੋਪ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ ਗਾਇਬ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੁਣ ਵਾਲੀ ਸੀਰੀਜ਼ ਨੂੰ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ Sk=1−1/(k+1)Sk=1−1/(k+1) ਅਤੇ 1/(k+1)→01/(k+1)→0 ਜਦੋਂ k→∞,k→∞, ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ 1,1 ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸੀਰੀਜ਼ 1.1 ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਪਦ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਰੱਦ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸਿਰਫ ਕੁਝ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਅਤੇ ਕੁਝ ਆਖਰੀ ਪਦ ਬਚਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਸੀਰੀਜ਼ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
ਇੱਕ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਲਿਖ ਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਤੱਕ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ ਕ੍ਰਮ {bk+1}{bk+1} ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ ਕ੍ਰਮ bk+1bk+1 ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ B,B ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ b1−B,b1−B ਤੱਕ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.12
ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਟੈਲੀਸਕੋਪਿੰਗ ਸੀਰੀਜ਼
ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਭਿੰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਇਹ ਸੰਮਿਲਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਦ ਲਿਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ,
Since 1/(k+1)→01/(k+1)→0 as k→∞k→∞ and cosxcosx is a continuous function, cos(1/(k+1))→cos(0)=1.cos(1/(k+1))→cos(0)=1. Therefore, we conclude that Sk→cos(1)−1.Sk→cos(1)−1. The telescoping series converges and the sum is given by
Checkpoint 5.11
Determine whether ∑n=1∞[e1/n−e1/(n+1)]∑n=1∞[e1/n−e1/(n+1)] converges or diverges. If it converges, find its sum.
Student Project
Euler’s Constant
We have shown that the harmonic series ∑n=1∞1n∑n=1∞1n diverges. Here we investigate the behavior of the partial sums SkSk as k→∞.k→∞. In particular, we show that they behave like the natural logarithm function by showing that there exists a constant γγ such that
This constant γγ is known as Euler’s constant.
Let Tk=∑n=1k1n−lnk.Tk=∑n=1k1n−lnk. Evaluate TkTk for various values of k.k.
For TkTk as defined in part 1. show that the sequence {Tk}{Tk} converges by using the following steps. Show that the sequence {Tk}{Tk} is monotone decreasing. (Hint: Show that ln(1+1/k>1/(k+1)))ln(1+1/k>1/(k+1))) Show that the sequence {Tk}{Tk} is bounded below by zero. (Hint: Express lnklnk as a definite integral.) Use the Monotone Convergence Theorem to conclude that the sequence {Tk}{Tk} converges. The limit γγ is Euler’s constant.
Now estimate how far TkTk is from γγ for a given integer k.k. Prove that for k≥1,k≥1, 0<Tk−γ≤1/k0<Tk−γ≤1/k by using the following steps. Show that ln(k+1)−lnk<1/k.ln(k+1)−lnk<1/k. Use the result from part a. to show that for any integer k,k, Tk−Tk+1<1k−1k+1.Tk−Tk+1<1k−1k+1. For any integers kk and jj such that j>k,j>k, express Tk−TjTk−Tj as a telescoping sum by writing Tk−Tj=(Tk−Tk+1)+(Tk+1−Tk+2)+(Tk+2−Tk+3)+⋯+(Tj−1−Tj).Tk−Tj=(Tk−Tk+1)+(Tk+1−Tk+2)+(Tk+2−Tk+3)+⋯+(Tj−1−Tj). Use the result from part b. combined with this telescoping sum to conclude that Tk−Tj<1k−1j.Tk−Tj<1k−1j. Apply the limit to both sides of the inequality in part c. to conclude that Tk−γ≤1k.Tk−γ≤1k. Estimate γγ to an accuracy of within 0.001.0.001.
Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯
1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ...
sin 1 + sin 1 2 + sin 1 3 + sin 1 4 + ⋯ sin 1 + sin 1 2 + sin 1 3 + sin 1 4 + ⋯
Compute the first four partial sums S1,…,S4S1,…,S4 for the series having nthnth term anan starting with n=1n=1 as follows.
a n = n a n = n
a n = 1 / n a n = 1 / n
a n = sin ( n π / 2 ) a n = sin ( n π / 2 )
a n = ( −1 ) n a n = ( −1 ) n
In the following exercises, compute the general term anan of the series with the given partial sum Sn.Sn. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.
Sn=1−1n,Sn=1−1n, n≥2n≥2
Sn=n(n+1)2,Sn=n(n+1)2, n≥1n≥1
S n = n , n ≥ 2 S n = n , n ≥ 2
S n = 2 − ( n + 2 ) / 2 n , n ≥ 1 S n = 2 − ( n + 2 ) / 2 n , n ≥ 1
For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.
∑ n = 1 ∞ n n + 2 ∑ n = 1 ∞ n n + 2
∑ n = 1 ∞ ( 1 − ( −1 ) n ) ) ∑ n = 1 ∞ ( 1 − ( −1 ) n ) )
∑n=1∞1(n+1)(n+2)∑n=1∞1(n+1)(n+2) (Hint: Use a partial fraction decomposition like that for ∑n=1∞1n(n+1).)∑n=1∞1n(n+1).)
∑n=1∞12n+1∑n=1∞12n+1 (Hint: Follow the reasoning for ∑n=1∞1n.)∑n=1∞1n.)
Suppose that ∑n=1∞an=1,∑n=1∞an=1, that ∑n=1∞bn=−1,∑n=1∞bn=−1, that a1=2,a1=2, and b1=−3.b1=−3. Find the sum of the indicated series.
∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n )
∑ n = 1 ∞ ( a n − 2 b n ) ∑ n = 1 ∞ ( a n − 2 b n )
∑ n = 2 ∞ ( a n − b n ) ∑ n = 2 ∞ ( a n − b n )
∑ n = 1 ∞ ( 3 a n + 1 − 4 b n + 1 ) ∑ n = 1 ∞ ( 3 a n + 1 − 4 b n + 1 )
State whether the given series converges and explain why.
∑n=1∞1n+1000∑n=1∞1n+1000 (Hint: Rewrite using a change of index.)
∑n=1∞1n+1080∑n=1∞1n+1080 (Hint: Rewrite using a change of index.)
1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + ⋯ 1 + 1 10 + 1 100 + 1 1000 + ⋯
1 + e π + e 2 π 2 + e 3 π 3 + ⋯ 1 + e π + e 2 π 2 + e 3 π 3 + ⋯
1 + π e 2 + π 2 e 4 + π 3 e 6 + π 4 e 8 + ⋯ 1 + π e 2 + π 2 e 4 + π 3 e 6 + π 4 e 8 + ⋯
1 − π 3 + π 2 9 − π 3 27 + ⋯ 1 − π 3 + π 2 9 − π 3 27 + ⋯
For anan as follows, write the sum as a geometric series of the form ∑n=1∞arn.∑n=1∞arn. State whether the series converges and if it does, find the value of ∑an.∑an.
a1=−1a1=−1 and an/an+1=−5an/an+1=−5 for n≥1.n≥1.
a1=2a1=2 and an/an+1=1/2an/an+1=1/2 for n≥1.n≥1.
a1=10a1=10 and an/an+1=10an/an+1=10 for n≥1.n≥1.
a1=1/10a1=1/10 and an/an+1=−10an/an+1=−10 for n≥1.n≥1.
Use the identity 11−y=∑n=0∞yn11−y=∑n=0∞yn to express the function as a geometric series in the indicated term.
x1+xx1+x in xx
x1−x3/2x1−x3/2 in xx
11+sin2x11+sin2x in sinxsinx
sec2xsec2x in sinxsinx
Evaluate the following telescoping series or state whether the series diverges.
∑ n = 1 ∞ 2 1 / n − 2 1 / ( n + 1 ) ∑ n = 1 ∞ 2 1 / n − 2 1 / ( n + 1 )
∑ n = 1 ∞ 1 n 13 − 1 ( n + 1 ) 13 ∑ n = 1 ∞ 1 n 13 − 1 ( n + 1 ) 13
∑ n = 1 ∞ ( n − n + 1 ) ∑ n = 1 ∞ ( n − n + 1 )
∑ n = 1 ∞ ( sin n − sin ( n + 1 ) ) ∑ n = 1 ∞ ( sin n − sin ( n + 1 ) )
Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.
∑ n = 1 ∞ ln ( n n + 1 ) ∑ n = 1 ∞ ln ( n n + 1 )
∑n=1∞2n+1(n2+n)2∑n=1∞2n+1(n2+n)2 (Hint: Factor denominator and use partial fractions.)
∑ n = 2 ∞ ln ( 1 + n 1 ) ln n ln ( n + 1 ) ∑ n = 2 ∞ ln ( 1 + n 1 ) ln n ln ( n + 1 )
∑n=1∞(n+2)n(n+1)2n+1∑n=1∞(n+2)n(n+1)2n+1 (Hint: Look at 1/(n2n).)1/(n2n).)
A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.
Let an=f(n)−2f(n+1)+f(n+2),an=f(n)−2f(n+1)+f(n+2), in which f(n)→0f(n)→0 as n→∞.n→∞. Find ∑n=1∞an.∑n=1∞an.
an=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3),an=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3), in which f(n)→0f(n)→0 as n→∞.n→∞. Find ∑n=1∞an.∑n=1∞an.
Suppose that an=c0f(n)+c1f(n+1)+c2f(n+2)+c3f(n+3)+c4f(n+4),an=c0f(n)+c1f(n+1)+c2f(n+2)+c3f(n+3)+c4f(n+4), where f(n)→0f(n)→0 as n→∞.n→∞. Find a condition on the coefficients c0,…,c4c0,…,c4 that make this a general telescoping series.
Evaluate ∑n=1∞1n(n+1)(n+2)∑n=1∞1n(n+1)(n+2) (Hint: 1n(n+1)(n+2)=12n−1n+1+12(n+2))1n(n+1)(n+2)=12n−1n+1+12(n+2))
Evaluate ∑n=2∞2n3−n.∑n=2∞2n3−n.
Find a formula for ∑n=1∞1n(n+N)∑n=1∞1n(n+N) where NN is a positive integer.
[T] Define a sequence tk=∑n=1k−1(1/n)−lnk.tk=∑n=1k−1(1/n)−lnk. Use the graph of 1/x1/x to verify that tktk is increasing. Plot tktk for k=1…100k=1…100 and state whether it appears that the sequence converges.
[T] Suppose that NN equal uniform rectangular blocks are stacked one on top of the other, allowing for some overhang. Archimedes’ law of the lever implies that the stack of NN blocks is stable as long as the center of mass of the top (N−1)(N−1) blocks lies at the edge of the bottom block. Let xx denote the position of the edge of the bottom block, and think of its position as relative to the center of the next-to-bottom block. This implies that (N−1)x=(12−x)(N−1)x=(12−x) or x=1/(2N).x=1/(2N). Use this expression to compute the maximum overhang (the position of the edge of the top block over the edge of the bottom block.) See the following figure.
Each of the following infinite series converges to the given multiple of ππ or 1/π.1/π.
In each case, find the minimum value of NN such that the NthNth partial sum of the series accurately approximates the left-hand side to the given number of decimal places, and give the desired approximate value. Up to 1515 decimals place, π=3.141592653589793....π=3.141592653589793....
[T] π=−3+∑n=1∞n2nn!2(2n)!,π=−3+∑n=1∞n2nn!2(2n)!, error <0.0001<0.0001
[T] π2=∑k=0∞k!(2k+1)!!=∑k=0∞2kk!2(2k+1)!,π2=∑k=0∞k!(2k+1)!!=∑k=0∞2kk!2(2k+1)!, error <10−4<10−4
[T] 98012π=29801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k,98012π=29801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)(k!)43964k, error <10−12<10−12
[T] 112π=∑k=0∞(−1)k(6k)!(13591409+545140134k)(3k)!(k!)36403203k+3/2,112π=∑k=0∞(−1)k(6k)!(13591409+545140134k)(3k)!(k!)36403203k+3/2, error <10−15<10−15
[T] A fair coin is one that has probability 1/21/2 of coming up heads when flipped.
What is the probability that a fair coin will come up tails nn times in a row?
Find the probability that a coin comes up heads for the first time on the last of an even number of coin flips.
[T] Find the probability that a fair coin is flipped a multiple of three times before coming up heads.
[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.
[T] Find a series that expresses the probability that a fair coin will come up heads for the second time on a multiple of three flips.
[T] The expected number of times that a fair coin will come up heads is defined as the sum over n=1,2,…n=1,2,… of nn times the probability that the coin will come up heads exactly nn times in a row, or n/2n+1.n/2n+1. Compute the expected number of consecutive times that a fair coin will come up heads.
[T] A person deposits $10$10 at the beginning of each quarter into a bank account that earns 4%4% annual interest compounded quarterly (four times a year).
Show that the interest accumulated after nn quarters is $10(1.01n+1−10.01−n).$10(1.01n+1−10.01−n).
Find the first eight terms of the sequence.
How much interest has accumulated after 22 years?
[T] Suppose that the amount of a drug in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor r<1r<1 each hour. Suppose that a new dose is administered every NN hours. Find an expression that gives the amount A(n)A(n) in the patient’s system after nn hours for each nn in terms of the dosage dd and the ratio r.r. (Hint: Write n=mN+k,n=mN+k, where 0≤k<N,0≤k<N, and sum over values from the different doses administered.)
[T] A certain drug is effective for an average patient only if there is at least 11 mg per kg in the patient’s system, while it is safe only if there is at most 22 mg per kg in an average patient’s system. Suppose that the amount in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor of 0.90.9 each hour after a dose is administered. Find the maximum interval NN of hours between doses, and corresponding dose range dd (in mg/kg) for this NN that will enable use of the drug to be both safe and effective in the long term.
Suppose that an≥0an≥0 is a sequence of numbers. Explain why the sequence of partial sums of anan is increasing.
[T] Suppose that anan is a sequence of positive numbers and the sequence SnSn of partial sums of anan is bounded above. Explain why ∑n=1∞an∑n=1∞an converges. Does the conclusion remain true if we remove the hypothesis an≥0?an≥0?
[T] Suppose that a1=S1=1a1=S1=1 and that, for given numbers S>1S>1 and 0<k<1,0<k<1, one defines an+1=k(S−Sn)an+1=k(S−Sn) and Sn+1=an+1+Sn.Sn+1=an+1+Sn. Does SnSn converge? If so, to what? (Hint: First argue that Sn<SSn<S for all nn and SnSn is increasing.)
[T] A version of von Bertalanffy growth can be used to estimate the age of an individual in a homogeneous species from its length if the annual increase in year n+1n+1 satisfies an+1=k(S−Sn),an+1=k(S−Sn), with SnSn as the length at year n,n, SS as a limiting length, and kk as a relative growth constant. If S1=3,S1=3, S=9,S=9, and k=1/2,k=1/2, numerically estimate the smallest value of nn such that Sn≥8.Sn≥8. Note that Sn+1=Sn+an+1.Sn+1=Sn+an+1. Find the corresponding nn when k=1/4.k=1/4.
[T] Suppose that ∑n=1∞an∑n=1∞an is a convergent series of positive terms. Explain why limN→∞∑n=N+1∞an=0.limN→∞∑n=N+1∞an=0.
[T] Find the length of the dashed zig-zag path in the following figure.
1. [T] ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟਵੀਂ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. [T] ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਮੱਧ ਚੌਥਾਈ ਹਿੱਸਾ ਹਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੂਜੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਸਰੂਪ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਮੱਧ ਚੌਥਾਈਆਂ ਹਿੱਸੇ ਹਟਾ ਕੇ, ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹਰ ਅਗਲੇ ਪੜਾਅ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਮੱਧ ਚੌਥਾਈਆਂ ਹਿੱਸੇ ਹਟਾ ਕੇ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, NN ਪੜਾਵਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸਿਆਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ NN ਪੜਾਵਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਾਰੇ ਸਰਹੱਦੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. [T] ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਗੈਸਕੇਟ ਇਕਾਈ ਵਰਗ ਨੂੰ ਨੌਂ ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਵਰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ, ਮੱਧ ਵਰਗ ਨੂੰ ਹਟਾ ਕੇ, ਫਿਰ ਹਰ ਪੜਾਅ 'ਤੇ ਬਾਕੀ ਉਪ-ਵਰਗਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਸਵੀਰ ਚਾਰ ਪੁਨਰਾਵ੍ਰਿਤੀਆਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਾਕੀ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। NN ਪੜਾਵਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹਟਾਏ ਗਏ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ NN ਪੜਾਵਾਂ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਬਾਕੀ ਸਮੂਹ ਦੇ ਕੁੱਲ ਘੇਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।