ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਲੜੀ ਦੇ ਅਪਸਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਖੰਡ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸਦੇ ਬਾਕੀ ਪਦ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭ ਕੇ ਲੜੀ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {Sk} ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਕਈ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਰਨ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਵਿਹਾਰਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਸ ਸੀਮਾ ਦੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਜਾਂ ਅਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਕਈ ਪਰਖਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਅਭਿਸਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਰਨ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਅਤੇ ਅਖੰਡ ਪਰਖ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ।
ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ
ਲੜੀ ∑n=1∞an ਦਾ ਅਭਿਸਰਨ, k→∞ ਤੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ (SkSk) ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਇਸ ਦੀ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ, ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਗੁਣਾਂ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ,
ਇਸ ਲਈ, ਜੇ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ n→∞ ਤੱਕ nਵਾਂ ਪਦ an→0। ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬਿਆਨ ਹੈ:
ਇਸ ਪਰਖ ਨੂੰ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅਪਸਰਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 5.8
ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ
ਜੇ limn→∞an=c≠0 ਜਾਂ limn→∞an ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਉਲਟ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇ limn→∞an=0, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ∑n=1∞an ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਸਿੱਟਾ ਨਹੀਂ ਕੱਢ ਸਕਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, limn→∞(1/n)=0, ਪਰ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਅਤੇ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਬਾਕੀ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਸਿੱਟੇ ਵਜੋਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅਪਸਰਨ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਹੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇ an→0, ਤਾਂ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.13
ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਜੇ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਲੜੀ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੱਸੋ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਸੰਕੇਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
∑n=1∞n3n−1
∑n=1∞1n3
∑n=1∞e1/n2
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ n/(3n−1)→1/3≠0, ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∑n=1∞n3n−1 ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ 1/n3→0, ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ e1/n2→1≠0, ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੁਆਰਾ, ਲੜੀ ∑n=1∞e1/n2 ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
5.12 ਪੜਾਅ
ਡਾਇਵਰਜੈਂਸ ਟੈਸਟ ∑n=1∞cos(1/n2)∑n=1∞cos(1/n2) ਲੜੀ ਬਾਰੇ ਸਾਨੂੰ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ?
ਅਨੁਕੂਲਨ ਪਰਖ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {Sk}{Sk} ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ k ਲਈ S2k>1+k/2S2k>1+k/2 ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਕਨੀਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਕਈ ਹੋਰ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਨ ਜਾਂ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਰਖ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲਨ ਪਰਖ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਜੋੜ ਦੀ ਅਣਉਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਪਰਖ ਨੂੰ ਕੇਵਲ ਉਦੋਂ ਹੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਰਹੇ ਹੋਈਏ ਜਿਸਦੇ ਪਦ ਸਾਰੇ ਧਨਾਤਮਕ ਹੋਣ।
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਅਨੁਕੂਲਨ ਪਰਖ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 5.12 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 1,1/2,1/3,1/4,…1,1/2,1/3,1/4,… ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1/xf(x)=1/x ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਕੇ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਹਰੇਕ k,k ਲਈ, k-ਵਾਂ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ SkSk ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ limk→∞ln(k+1)=∞,limk→∞ln(k+1)=∞, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {Sk}{Sk} ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅਸੀਮਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, {Sk}{Sk} ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ, ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ∑n=1∞1n∑n=1∞1n ਲੜੀ ਵੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.12: ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਵਕਰ f(x)=1/xf(x)=1/x ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ x≥1.x≥1 ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੰਤ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਣਉਚਿਤ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੁਆਰਾ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ), ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਅਨੰਤ ਹੈ।
ਹੁਣ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n2.∑n=1∞1/n2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਲੜੀ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5.13 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ 1,1/22,1/32,…1,1/22,1/32,… ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=1/x2.f(x)=1/x2 ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ਹਰੇਕ k,k ਲਈ, k-ਵਾਂ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ SkSk ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {Sk}{Sk} ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ {Sk}{Sk} ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ {Sk}{Sk} ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਮੋਨੋਟੋਨ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞1/n2∑n=1∞1/n2 ਲੜੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.13: ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਪਹਿਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਵਕਰ f(x)=1/x2f(x)=1/x2 ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ x≥1.x≥1 ਲਈ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਜੋੜ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਸੀਮਤ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਕਈ ਵੱਖਰੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਨ ਜਾਂ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪਦ anan ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ, ਧਨਾਤਮਕ, ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਲਈ f(n)=anf(n)=an ਹੈ। ਫਿਰ, ਚਿੱਤਰ 5.14(a) ਵਾਂਗ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ k,k ਲਈ, k-ਵਾਂ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ SkSk ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ, ਜੇ ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜਾਂ {Sk}{Sk} ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ {Sk}{Sk} ਇੱਕ ਵਧ ਰਿਹਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਕ੍ਰਮ ਵੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੋਨੋਟੋਨ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਲੜੀ ਵੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਚਿੱਤਰ 5.14(b) ਤੋਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ k,k ਲਈ, k-ਵਾਂ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ SkSk ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਜੇ limk→∞∫1k+1f(x)dx=∞,limk→∞∫1k+1f(x)dx=∞, ਤਾਂ {Sk}{Sk} ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਕ੍ਰਮ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ∑n=1∞an∑n=1∞an ਲੜੀ ਵੀ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.14: (a) ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y=f(x)y=f(x) ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ x≥1x≥1 ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰਿਆ ਗਿਆ ਖੇਤਰਫਲ ਸੀਮਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਸੀਮਤ ਹੈ। (b) ਜੇਕਰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ y=f(x)y=f(x) ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ x≥1x≥1 ਲਈ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਘੇਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਅਨੰਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਅਨੰਤ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 5.9
ਅਨੁਕੂਲਨ ਪਰਖ
ਮੰਨ ਲਓ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪਦ an.an ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ff ਅਤੇ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ NN ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
ff ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ,
ff ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ
ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥N.n≥N ਲਈ f(n)=anf(n)=an ਹੈ। ਫਿਰ ∑n=1∞anand∫N∞f(x)dx∑n=1∞anand∫N∞f(x)dx ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਅਨੁਕੂਲਨ ਕਰਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 5.14 ਦੇਖੋ)।
ਹਾਲਾਂਕਿ ∫N∞f(x)dx∫N∞f(x)dx ਦਾ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੜੀ ∑n=1∞an,∑n=1∞an ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇਹ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਕਿ ਅਨੁਕੂਲਨ ਅਤੇ ਲੜੀ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕੋ ਹੈ। ਉਹ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ a=1/e ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ r=1/e ਹੈ, ਜੋ ਕਿ
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫1∞(1/e)xdx ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ 5.14
ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
∑n=1∞1/n3
∑n=1∞1/2n−1
ਹੱਲ
∑n=1∞1n3 ਅਤੇ ∫1∞1x3dx ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ∫1∞1x3dx=limb→∞∫1b1x3dx=limb→∞[−12x2|1b]=limb→∞[−12b2+12]=12। ਇਸ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰਲ ∫1∞1/x3dx ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ∑n=1∞1n3 ਲੜੀ ਵੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
∑n=1∞12n−1 ਅਤੇ ∫1∞12x−1dx ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ∫1∞12x−1dx=limb→∞∫1b12x−1dx=limb→∞2x−1|1b=limb→∞[2b−1−1]=∞, ਇੰਟੀਗਰਲ ∫1∞1/2x−1dx ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ∑n=1∞12n−1 ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.13
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ∑n=1∞n3n2+1 ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
p-ਲੜੀ
ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ਅਤੇ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n2 ਦੋਵੇਂ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਲੜੀ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ p-ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ p ਲਈ, ਲੜੀ
ਨੂੰ p-ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ p-ਲੜੀ ਜੇਕਰ p=2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ p=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਕੀ? ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ p-ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਗਿਣਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ, ਜੇ ਅਸੰਭਵ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਹੁਣ ਤੱਕ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਟੈਸਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ p-ਲੜੀ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਜੇ p<0, ਤਾਂ 1/np→∞, ਅਤੇ ਜੇ p=0, ਤਾਂ 1/np→1। ਇਸ ਲਈ, ਡਾਈਵਰਜੈਂਸ ਟੈਸਟ ਦੁਆਰਾ,
ਜੇ p>0, ਤਾਂ f(x)=1/xp ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਿਰੰਤਰ, ਘਟ ਰਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, p>0 ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ p=1 ਦੇ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ p>0, p≠1 ਦੇ ਮਾਮਲੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਲਈ,
ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸੀਂ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞1/np ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇ p>1 ਅਤੇ ਡਾਈਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇ 0<p<1।
ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ,
ਉਦਾਹਰਨ 5.15
p-ਲੜੀ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵੱਖ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
∑n=1∞1n4
∑n=1∞1n2/3
ਹੱਲ
ਇਹ ਇੱਕ p-ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ p=4>1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ p=2/3<1 ਹੈ, ਲੜੀ ਵੱਖ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.14
ਕੀ ਲੜੀ ∑n=1∞1n5/4 ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵੱਖ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
ਲੜੀ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਸ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਬੇਸ਼ੱਕ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ∑n=1NaN ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਸ ਜੋੜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ NN ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਜਿਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਇਹ ਹੈ, ਇੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਲੜੀ ∑n=1∞an ਲਈ, ∑n=1NaN ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਕਿੰਨਾ ਚੰਗਾ ਹੈ? ਵਧੇਰੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ
ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ Nਵੇਂ Nਵੇਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵੇਲੇ ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, RN ਕਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੈ? ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ RN ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਤੋਂ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਥਿਊਰਮ 5.10
ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਤੋਂ ਬਾਕੀ ਅਨੁਮਾਨ
ਮੰਨ ਲਓ ∑n=1∞an ਇੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਧਨ ਪਦ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਹੈ ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:
f ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ,
f ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ
f(n)=an ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n≥1 ਲਈ।
ਮੰਨ ਲਓ SN Nਵੇਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ∑n=1∞an ਦਾ Nਵਾਂ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ N ਲਈ,
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਬਾਕੀ RN=∑n=1∞an−SN=∑n=N+1∞an ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਇਸਨੂੰ ਬਾਕੀ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 5.15 ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰਲ ਟੈਸਟ ਤੋਂ ਬਾਕੀ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਾਕੀ RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ∫N∞f(x)dx ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਤ ਹੈ ਅਤੇ ∫N+1∞f(x)dx ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਤੋਂ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ,
and
We conclude that
Since
where SNSN is the NthNth partial sum, we conclude that
Figure 5.15: Given a continuous, positive, decreasing function ff and a sequence of positive terms anan such that an=f(n)an=f(n) for all positive integers n,n, (a) the areas aN+1+aN+2+aN+3+⋯<∫N∞f(x)dx,aN+1+aN+2+aN+3+⋯<∫N∞f(x)dx, or (b) the areas aN+1+aN+2+aN+3+⋯>∫N+1∞f(x)dx.aN+1+aN+2+aN+3+⋯>∫N+1∞f(x)dx. Therefore, the integral is either an overestimate or an underestimate of the error.
Example 5.16
Estimating the Value of a Series
Consider the series ∑n=1∞1/n3.∑n=1∞1/n3.
Calculate S10=∑n=1101/n3S10=∑n=1101/n3 and estimate the error.
Determine the least value of NN necessary such that SNSN will estimate ∑n=1∞1/n3∑n=1∞1/n3 to within 0.001.0.001.
Solution
Using a calculating utility, we have S10=1+123+133+143+⋯+1103≈1.19753.S10=1+123+133+143+⋯+1103≈1.19753. By the remainder estimate, we know RN<∫N∞1x3dx.RN<∫N∞1x3dx. We have ∫10∞1x3dx=limb→∞∫10b1x3dx=limb→∞[−12x2]Nb=limb→∞[−12b2+12N2]=12N2.∫10∞1x3dx=limb→∞∫10b1x3dx=limb→∞[−12x2]Nb=limb→∞[−12b2+12N2]=12N2. Therefore, the error is R10<1/2(10)2=0.005.R10<1/2(10)2=0.005.
Find NN such that RN<0.001.RN<0.001. In part a. we showed that RN<1/2N2.RN<1/2N2. Therefore, the remainder RN<0.001RN<0.001 as long as 1/2N2<0.001.1/2N2<0.001. That is, we need 2N2>1000.2N2>1000. Solving this inequality for N,N, we see that we need N>22.36.N>22.36. To ensure that the remainder is within the desired amount, we need to round up to the nearest integer. Therefore, the minimum necessary value is N=23.N=23.
Checkpoint 5.15
For ∑n=1∞1n4,∑n=1∞1n4, calculate S5S5 and estimate the error R5.R5.
For each of the following series, if the divergence test applies, either state that limn→∞anlimn→∞an does not exist or find limn→∞an.limn→∞an. If the divergence test does not apply, state why.
a n = n n + 2 a n = n n + 2
a n = n 5 n 2 − 3 a n = n 5 n 2 − 3
a n = n 3 n 2 + 2 n + 1 a n = n 3 n 2 + 2 n + 1
a n = ( 2 n + 1 ) ( n − 1 ) ( n + 1 ) 2 a n = ( 2 n + 1 ) ( n − 1 ) ( n + 1 ) 2
a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n
a n = 2 n 3 n / 2 a n = 2 n 3 n / 2
a n = 2 n + 3 n 10 n / 2 a n = 2 n + 3 n 10 n / 2
a n = e −2 / n a n = e −2 / n
a n = cos n a n = cos n
a n = tan n a n = tan n
a n = 1 − cos 2 ( 1 / n ) sin 2 ( 2 / n ) a n = 1 − cos 2 ( 1 / n ) sin 2 ( 2 / n )
a n = ( 1 − 1 n ) 2 n a n = ( 1 − 1 n ) 2 n
a n = ln n n a n = ln n n
a n = ( ln n ) 2 n a n = ( ln n ) 2 n
State whether the given pp-series converges.
∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ n = 1 ∞ 1 n
∑ n = 1 ∞ 1 n n ∑ n = 1 ∞ 1 n n
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3
∑ n = 1 ∞ 1 n 4 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 3
∑ n = 1 ∞ n e n π ∑ n = 1 ∞ n e n π
∑ n = 1 ∞ n π n 2 e ∑ n = 1 ∞ n π n 2 e
Use the integral test to determine whether the following sums converge.
∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5
∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 3
∑ n = 2 ∞ 1 n ln n ∑ n = 2 ∞ 1 n ln n
∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2 ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2
∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n
∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4 ∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4
∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n ∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n
Express the following sums as pp-series and determine whether each converges.
∑n=1∞2−lnn∑n=1∞2−lnn (Hint: 2−lnn=1/nln22−lnn=1/nln2.)
∑n=1∞3−lnn∑n=1∞3−lnn (Hint: 3−lnn=1/nln33−lnn=1/nln3.)
∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n ∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n
∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n ∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n
Use the estimate RN≤∫N∞f(t)dtRN≤∫N∞f(t)dt to find a bound for the remainder RN=∑n=1∞an−∑n=1NanRN=∑n=1∞an−∑n=1Nan where an=f(n).an=f(n).
∑ n = 1 1000 1 n 2 ∑ n = 1 1000 1 n 2
∑ n = 1 1000 1 n 3 ∑ n = 1 1000 1 n 3
∑ n = 1 1000 1 1 + n 2 ∑ n = 1 1000 1 1 + n 2
∑ n = 1 100 n / 2 n ∑ n = 1 100 n / 2 n
[T] Find the minimum value of NN such that the remainder estimate ∫N+1∞f<RN<∫N∞f∫N+1∞f<RN<∫N∞f guarantees that ∑n=1Nan∑n=1Nan estimates ∑n=1∞an,∑n=1∞an, accurate to within the given error.
an=1n2,an=1n2, error <10−4<10−4
an=1n1.1,an=1n1.1, error <10−4<10−4
an=1n1.01,an=1n1.01, error <10−4<10−4
an=1nln2n,an=1nln2n, error <10−3<10−3
an=11+n2,an=11+n2, error <10−3<10−3
In the following exercises, find a value of NN such that RNRN is smaller than the desired error. Compute the corresponding sum ∑n=1Nan∑n=1Nan and compare it to the given estimate of the infinite series.
an=1n11,an=1n11, error <10−4,<10−4, ∑n=1∞1n11=1.000494…∑n=1∞1n11=1.000494…
an=1en,an=1en, error <10−5,<10−5, ∑n=1∞1en=1e−1=0.581976…∑n=1∞1en=1e−1=0.581976…
an=nen2,an=nen2, error <10−5,<10−5, ∑n=1∞n/en2=0.40488139857…∑n=1∞n/en2=0.40488139857…
an=1/n4,an=1/n4, error <10−4,<10−4, ∑n=1∞1/n4=π4/90=1.08232...∑n=1∞1/n4=π4/90=1.08232...
an=1/n6,an=1/n6, error <10−6,<10−6, ∑n=1∞1/n6=π6/945=1.01734306...,∑n=1∞1/n6=π6/945=1.01734306...,
Find the limit as n→∞n→∞ of 1n+1n+1+⋯+12n.1n+1n+1+⋯+12n. (Hint: Compare to ∫n2n1tdt.)∫n2n1tdt.)
Find the limit as n→∞n→∞ of 1n+1n+1+⋯+13n1n+1n+1+⋯+13n
The next few exercises are intended to give a sense of applications in which partial sums of the harmonic series arise.
In certain applications of probability, such as the so-called Watterson estimator for predicting mutation rates in population genetics, it is important to have an accurate estimate of the number Hk=(1+12+13+⋯+1k).Hk=(1+12+13+⋯+1k). Recall that Tk=Hk−lnkTk=Hk−lnk is decreasing. Compute T=limk→∞TkT=limk→∞Tk to four decimal places. (Hint: 1k+1<∫kk+11xdx1k+1<∫kk+11xdx.)
[T] Complete sampling with replacement, sometimes called the coupon collector’s problem, is phrased as follows: Suppose you have NN unique items in a bin. At each step, an item is chosen at random, identified, and put back in the bin. The problem asks what is the expected number of steps E(N)E(N) that it takes to draw each unique item at least once. It turns out that E(N)=NE(N)=N. HN=N(1+12+13+⋯+1N)HN=N(1+12+13+⋯+1N). Find E(N)E(N) for N=10,20,and50N=10,20,and50.
1. ਤਾਸ਼ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਫਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰਲੇ ਪੱਤੇ ਨੂੰ ਚੁੱਕ ਕੇ ਡੇਕ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬੇਤਰਤੀਬ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਪਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਜਿਸਨੂੰ 'ਟਾਪ ਰੈਂਡਮ ਇੰਸਰਸ਼ਨ' ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾਵੇ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੇਕ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਸ਼ਫਲ ਹੋਇਆ ਮੰਨਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਟਾਪ ਰੈਂਡਮ ਇੰਸਰਸ਼ਨ ਹੋ ਜਾਣ ਕਿ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਪੱਤਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਪਹੁੰਚ ਗਿਆ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਪਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਜੇ ਡੇਕ ਵਿੱਚ $n$ ਪੱਤੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਸ ਪੱਤੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਪਾਏ ਜਾਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਜੋ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੀ (ਇਸ ਪੱਤੇ ਨੂੰ $B$ ਕਹੋ) $1/n$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $B$ ਦੇ ਹੁਣ ਹੇਠਾਂ ਨਾ ਰਹਿਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਟਾਪ ਰੈਂਡਮ ਇੰਸਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਸੰਖਿਆ $n$ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ $B$ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ $B$ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਦੋ ਸਥਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਪਾਏ ਗਏ ਪੱਤੇ ਦੇ $B$ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਡਿੱਗਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ $2/n$ ਹੈ। ਇਸ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਟਾਪ ਰੈਂਡਮ ਇੰਸਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਸੰਖਿਆ $n/2$ ਹੈ। $B$ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਦੋ ਪੱਤੇ ਹੁਣ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਡੇਕ ਨੂੰ ਬੇਤਰਤੀਬੇ ਸ਼ਫਲ ਹੋਇਆ ਮੰਨਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਟਾਪ ਰੈਂਡਮ ਇੰਸਰਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
2. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਕੂਟਰ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਟੈਂਕੀ ਬਾਲਣ 'ਤੇ 100 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਸਫ਼ਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਬਾਲਣ ਇੱਕ ਸਕੂਟਰ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਸਕੂਟਰ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਸਿਰਫ ਟੈਂਕੀ ਵਿੱਚ ਹੀ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਿਧੀ ਪੇਸ਼ ਕਰੋ ਜੋ ਸਕੂਟਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ $100H_N$ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਸਫ਼ਰ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਵੇ, ਜਿੱਥੇ $H_N = 1 + 1/2 + \dots + 1/N$ ਹੈ।
3. ਦਿਖਾਓ ਕਿ $[N, \infty)$ 'ਤੇ ਰਿਮਾਈਂਡਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ ਕਿ $f(x)$ $[N, \infty)$ 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਪਰ $f$ ਨੂੰ $[1, \infty)$ 'ਤੇ ਘਟਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ।
4. ਰਿਮਾਈਂਡਰ ਅਨੁਮਾਨ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਬਾਏ ਪਾਰਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $\sum_{n=1}^{\infty} n/e^n$ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ $0.0001$ ਤੋਂ ਛੋਟੀ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਲਗਾਓ।
5. ਕੀ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ ਕਨਵਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $p$ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਕਿਸ $p$ ਲਈ?
6. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਪਸਾਰੀ ਲੜੀ $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}$ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਲੀਅਨ ਪਦ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਜੋੜ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ 100 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪਦ ਜੋੜਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ, ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
7. ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਕੰਪਿਊਟਰ ਅਪਸਾਰੀ ਲੜੀ $\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n\ln n}$ ਦੇ ਇੱਕ ਮਿਲੀਅਨ ਪਦ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਜੋੜ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ 100 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਪਦ ਜੋੜਨ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਸਕਿੰਟ ਲੱਗਣਗੇ, ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਟੈਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।