ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.4.1 ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ (convergence) ਦੀ ਪਰਖ ਲਈ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ (comparison test) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.4.2 ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ (convergence) ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ (limit comparison test) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਵੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਅਨਿੰਤ ਸਮਾਕਲਨ ਪਰਖ (integral test) ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅਨੰਤ ਸਮਾਕਲਨ (improper integral) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਨ (divergence) ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖਾਂ (comparison tests) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਜਿਸ ਲੜੀ ਦਾ ਅਭਿਸਾਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਨ ਪਹਿਲਾਂ ਤੋਂ ਹੀ ਗਿਆਤ ਹੈ, ਉਸ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਹ ਪਰਖਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ (geometric series) ਜਾਂ ਪੀ-ਲੜੀਆਂ (p-series) ਦੇ ਸਮਾਨ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ
ਪਿਛਲੇ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਦੋ ਵੱਡੇ ਵਰਗਾਂ: ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਅਤੇ ਪੀ-ਲੜੀਆਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ। ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀਆਂ ਕਦੋਂ ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਅਪਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਨਾਮਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੋਰ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਨ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਇਹ ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਲੱਗਦੀ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ (terms) ਧਨ ਹਨ, ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ (partial sums) ਦਾ ਕ੍ਰਮ (sequence) ਮੋਨੋਟੋਨਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ
ਸਾਰੇ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ n ਲਈ, ∑n=1∞1n2+1∑n=1∞1n2+1 ਦਾ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜ SkSk ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
(ਚਿੱਤਰ 5.16(a) ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 5.1 ਦੇਖੋ)। ਕਿਉਂਕਿ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੀ ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ {Sk}{Sk} ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਾਬੱਧ (bounded above) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ {Sk}{Sk} ਇੱਕ ਮੋਨੋਟੋਨਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਧਣ ਵਾਲਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਾਬੱਧ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮੋਨੋਟੋਨ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਥਿਊਰਮ (Monotone Convergence Theorem) ਦੁਆਰਾ, {Sk}{Sk} ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ
ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਇਹ ਲੜੀ ਅਪਸਾਰਿਤ ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਲੱਗਦੀ ਹੈ
ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮੋਨੋਟੋਨਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ
ਹਰੇਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ n ਲਈ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞1n−1/2∑n=1∞1n−1/2 ਦਾ k-ਵਾਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜ SkSk ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ
(ਚਿੱਤਰ 5.16(b) ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 5.2 ਦੇਖੋ)। ਕਿਉਂਕਿ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n∑n=1∞1/n ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਅਪਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ∑n=1k1/n∑n=1k1/n ਅਸੀਮਤ (unbounded) ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, {Sk}{Sk} ਇੱਕ ਅਸੀਮਤ ਕ੍ਰਮ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਪਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਅਪਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.16: (a) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ, ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਪੀ-ਲੜੀ ਦੇ ਸੰਗਤ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜ ਨਾਲੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ। (b) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ, ਅਪਸਾਰਿਤ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਸੰਗਤ ਅੰਸ਼ਿਕ ਜੋੜ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ।
ਕਤਾਰ: k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
ਕਤਾਰ: ∑n=1k1n2+1 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.8588 | 0.8973 | 0.9243 | 0.9443 | 0.9597
ਕਤਾਰ: ∑n=1k1n2 | 1 | 1.25 | 1.3611 | 1.4236 | 1.4636 | 1.4914 | 1.5118 | 1.5274
ਕਤਾਰ: k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
ਕਤਾਰ: ∑n=1k1n−1/2 | 2 | 2.6667 | 3.0667 | 3.3524 | 3.5746 | 3.7564 | 3.9103 | 4.0436
row: ∑n=1k1n∑n=1k1n | 11 | 1.51.5 | 1.83331.8333 | 2.09332.0933 | 2.28332.2833 | 2.452.45 | 2.59292.5929 | 2.71792.7179
Theorem 5.11
Comparison Test
Suppose there exists an integer NN such that 0≤an≤bn0≤an≤bn for all n≥N.n≥N. If ∑n=1∞bn∑n=1∞bn converges, then ∑n=1∞an∑n=1∞an converges.
Suppose there exists an integer NN such that an≥bn≥0an≥bn≥0 for all n≥N.n≥N. If ∑n=1∞bn∑n=1∞bn diverges, then ∑n=1∞an∑n=1∞an diverges.
Proof
We prove part i. The proof of part ii. is the contrapositive of part i. Let {Sk}{Sk} be the sequence of partial sums associated with ∑n=1∞an,∑n=1∞an, and let L=∑n=1∞bn.L=∑n=1∞bn. Since the terms an≥0,an≥0,
Therefore, the sequence of partial sums is increasing. Further, since an≤bnan≤bn for all n≥N,n≥N, then
Therefore, for all k≥1,k≥1,
Since a1+a2+⋯+aN−1a1+a2+⋯+aN−1 is a finite number, we conclude that the sequence {Sk}{Sk} is bounded above. Therefore, {Sk}{Sk} is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that {Sk}{Sk} converges, and therefore the series ∑n=1∞an∑n=1∞an converges.
□
To use the comparison test to determine the convergence or divergence of a series ∑n=1∞an,∑n=1∞an, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and p-series, these series are often used. If there exists an integer NN such that for all n≥N,n≥N, each term anan is less than each corresponding term of a known convergent series, then ∑n=1∞an∑n=1∞an converges. Similarly, if there exists an integer NN such that for all n≥N,n≥N, each term anan is greater than each corresponding term of a known divergent series, then ∑n=1∞an∑n=1∞an diverges.
Example 5.17
Using the Comparison Test
For each of the following series, use the comparison test to determine whether the series converges or diverges.
∑n=1∞1n3+3n+1∑n=1∞1n3+3n+1
∑n=1∞12n+1∑n=1∞12n+1
∑n=2∞1ln(n)∑n=2∞1ln(n)
Solution
Compare to ∑n=1∞1n3∑n=1∞1n3 Since ∑n=1∞1n3∑n=1∞1n3 is a p-series with p=3,p=3, it converges. Further, 1n3+3n+1<1n31n3+3n+1<1n3 for every positive integer n.n. Therefore, we can conclude that ∑n=1∞1n3+3n+1∑n=1∞1n3+3n+1 converges.
Compare to ∑n=1∞(12)n.∑n=1∞(12)n. Since ∑n=1∞(12)n∑n=1∞(12)n is a geometric series with r=1/2r=1/2 and |1/2|<1,|1/2|<1, it converges. Also, 12n+1<12n12n+1<12n for every positive integer n.n. Therefore, we see that ∑n=1∞12n+1∑n=1∞12n+1 converges.
Compare to ∑n=2∞1n.∑n=2∞1n. Since 1ln(n)>1n1ln(n)>1n for every integer n≥2n≥2 and ∑n=2∞1/n∑n=2∞1/n diverges, we have that ∑n=2∞1ln(n)∑n=2∞1ln(n) diverges.
Checkpoint 5.16
Use the comparison test to determine if the series ∑n=1∞nn3+n+1∑n=1∞nn3+n+1 converges or diverges.
1. ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਸੀਮਾ
2. ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤੁਲਨਾਯੋਗ ਲੜੀ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜੋ ਪਰਖ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਲੜੀ ਲੱਭਣੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
3. ਇਸ ਲੜੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਭਿਸਾਰੀ ਲੜੀ ਨਾਲ ਕਰਨਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੈ
4. ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਲੜੀ ਪਰਖ ਦੀ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਕਿਉਂਕਿ
5. ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ n≥2 ਲਈ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ∑n=2∞1/(n2−1) ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਲੜੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
6. ਆਓ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ। ਦੋ ਲੜੀਆਂ ∑n=1∞an ਅਤੇ ∑n=1∞bn 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪਦ an ਅਤੇ bn ਹਨ, ਅਤੇ
7. ਜੇਕਰ
8. ਤਾਂ, n ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਲਈ, an≈Lbn। ਇਸ ਲਈ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਲੜੀਆਂ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਲੜੀਆਂ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ∑n=2∞1/(n2−1) ਅਤੇ ∑n=2∞1/n2 ਲੜੀਆਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
9. ਕਿਉਂਕਿ ∑n=2∞1/n2 ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
10. ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ।
11. ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਹੋਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ
12. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, {an/bn} ਇੱਕ ਸੀਮਾਬੱਧ ਕ੍ਰਮ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ M ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ an≤Mbn। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ∑n=1∞bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਮੰਨ ਲਓ
13. ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, {an/bn} ਇੱਕ ਅਸੀਮਾਬੱਧ ਕ੍ਰਮ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਰ ਸਥਿਰਾਂਕ M ਲਈ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ N ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ n≥N ਲਈ an≥Mbn। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ∑n=1∞bn ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
14. ਥਿਊਰਮ 5.12
15. ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ
16. ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਰੇ n≥1 ਲਈ an,bn≥0।
17. ਜੇਕਰ limn→∞an/bn=L≠0, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਤੇ ∑n=1∞bn ਦੋਵੇਂ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਅਪਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
18. ਜੇਕਰ limn→∞an/bn=0 ਅਤੇ ∑n=1∞bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ।
19. ਜੇਕਰ limn→∞an/bn=∞ ਅਤੇ ∑n=1∞bn ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
20. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇ an/bn→0 ਅਤੇ ∑n=1∞bn ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੀ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇ an/bn→∞ ਅਤੇ ∑n=1∞bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਖ ਵੀ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਦੋ ਲੜੀਆਂ ∑n=1∞1/n ਅਤੇ ∑n=1∞1/n2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਦੋਵੇਂ p-ਲੜੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ p-ਮੁੱਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ p=1/2 ਅਤੇ p=2 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ p=1/2<1, ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਕਿਉਂਕਿ p=2>1, ਲੜੀ ∑n=1∞1/n2 ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਭਿਸਾਰੀ p-ਲੜੀ ∑n=1∞1/n3 ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਤੁਲਨਾ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
21. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
22. ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ an/bn→∞ ਜਦੋਂ ∑n=1∞bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ∑n=1∞an ਦੀ ਅਭਿਸਾਰਤਾ ਜਾਂ ਅਪਸਾਰਤਾ ਬਾਰੇ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 5.18
24. ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
For each of the following series, use the limit comparison test to determine whether the series converges or diverges. If the test does not apply, say so.
∑n=1∞1n+1∑n=1∞1n+1
∑n=1∞2n+13n∑n=1∞2n+13n
∑n=1∞ln(n)n2∑n=1∞ln(n)n2
Solution
Compare this series to ∑n=1∞1n.∑n=1∞1n. Calculate limn→∞1/(n+1)1/n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1/n=1.limn→∞1/(n+1)1/n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1/n=1. By the limit comparison test, since ∑n=1∞1n∑n=1∞1n diverges, then ∑n=1∞1n+1∑n=1∞1n+1 diverges.
Compare this series to ∑n=1∞(23)n.∑n=1∞(23)n. We see that limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=limn→∞2n+13n·3n2n=limn→∞2n+12n=limn→∞[1+(12)n]=1.limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=limn→∞2n+13n·3n2n=limn→∞2n+12n=limn→∞[1+(12)n]=1. Therefore, limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=1.limn→∞(2n+1)/3n2n/3n=1. Since ∑n=1∞(23)n∑n=1∞(23)n converges, we conclude that ∑n=1∞2n+13n∑n=1∞2n+13n converges.
Since lnn<n,lnn<n, compare with ∑n=1∞1n.∑n=1∞1n. We see that limn→∞lnn/n21/n=limn→∞lnnn2·n1=limn→∞lnnn.limn→∞lnn/n21/n=limn→∞lnnn2·n1=limn→∞lnnn. In order to evaluate limn→∞lnn/n,limn→∞lnn/n, evaluate the limit as x→∞x→∞ of the real-valued function ln(x)/x.ln(x)/x. These two limits are equal, and making this change allows us to use L’Hôpital’s rule. We obtain limx→∞lnxx=limx→∞1x=0.limx→∞lnxx=limx→∞1x=0. Therefore, limn→∞lnn/n=0,limn→∞lnn/n=0, and, consequently, limn→∞lnn/n21/n=0.limn→∞lnn/n21/n=0. Since the limit is 00 but ∑n=1∞1n∑n=1∞1n diverges, the limit comparison test does not provide any information. Compare with ∑n=1∞1n2∑n=1∞1n2 instead. In this case, limn→∞lnn/n21/n2=limn→∞lnnn2·n21=limn→∞lnn=∞.limn→∞lnn/n21/n2=limn→∞lnnn2·n21=limn→∞lnn=∞. Since the limit is ∞∞ but ∑n=1∞1n2∑n=1∞1n2 converges, the test still does not provide any information. So now we try a series between the two we already tried. Choosing the series ∑n=1∞1n3/2,∑n=1∞1n3/2, we see that limn→∞lnn/n21/n3/2=limn→∞lnnn2·n3/21=limn→∞lnnn.limn→∞lnn/n21/n3/2=limn→∞lnnn2·n3/21=limn→∞lnnn. As above, in order to evaluate limn→∞lnn/n,limn→∞lnn/n, evaluate the limit as x→∞x→∞ of the real-valued function lnx/x.lnx/x. Using L’Hôpital’s rule, limx→∞lnxx=limx→∞2xx=limx→∞2x=0.limx→∞lnxx=limx→∞2xx=limx→∞2x=0. Since the limit is 00 and ∑n=1∞1n3/2∑n=1∞1n3/2 converges, we can conclude that ∑n=1∞lnnn2∑n=1∞lnnn2 converges.
Checkpoint 5.17
Use the limit comparison test to determine whether the series ∑n=1∞5n3n+2∑n=1∞5n3n+2 converges or diverges.
Use the comparison test to determine whether the following series converge.
∑n=1∞an∑n=1∞an where an=2n(n+1)an=2n(n+1)
∑n=1∞an∑n=1∞an where an=1n(n+1/2)an=1n(n+1/2)
∑ n = 1 ∞ 1 2 ( n + 1 ) ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( n + 1 )
∑ n = 2 ∞ 1 2 n - 1 ∑ n = 2 ∞ 1 2 n - 1
∑ n = 2 ∞ 1 ( n ln n ) 2 ∑ n = 2 ∞ 1 ( n ln n ) 2
∑ n = 1 ∞ n ! ( n + 2 ) ! ∑ n = 1 ∞ n ! ( n + 2 ) !
∑ n = 1 ∞ 1 n ! ∑ n = 1 ∞ 1 n !
∑ n = 1 ∞ sin ( 1 / n ) n 2 ∑ n = 1 ∞ sin ( 1 / n ) n 2
∑ n = 1 ∞ sin 2 n n 2 ∑ n = 1 ∞ sin 2 n n 2
∑ n = 1 ∞ sin ( 1 / n ) ( n ) 3 ∑ n = 1 ∞ sin ( 1 / n ) ( n ) 3
∑ n = 1 ∞ n 1.2 − 1 n 2.3 + 1 ∑ n = 1 ∞ n 1.2 − 1 n 2.3 + 1
∑ n = 1 ∞ n + 1 − n n ∑ n = 1 ∞ n + 1 − n n
∑ n = 1 ∞ n 4 n 4 + n 2 3 ∑ n = 1 ∞ n 4 n 4 + n 2 3
Use the limit comparison test to determine whether each of the following series converges or diverges.
∑ n = 1 ∞ ( ln n n ) 2 ∑ n = 1 ∞ ( ln n n ) 2
∑ n = 1 ∞ ( ln n n 0.6 ) 2 ∑ n = 1 ∞ ( ln n n 0.6 ) 2
∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n ) n ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n ) n
∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 ) ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 )
∑ n = 1 ∞ 1 4 n − 3 n ∑ n = 1 ∞ 1 4 n − 3 n
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − n sin n ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − n sin n
∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1.1 ) n − 3 n ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1.1 ) n − 3 n
∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1.01 ) n − 3 n ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1.01 ) n − 3 n
∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n
∑ n = 1 ∞ 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n ∑ n = 1 ∞ 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n
∑ n = 1 ∞ ( 1 n − sin ( 1 n ) ) ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − sin ( 1 n ) )
∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( 1 n ) ) ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( 1 n ) )
∑ n = 1 ∞ 1 n ( π 2 − tan −1 n ) ∑ n = 1 ∞ 1 n ( π 2 − tan −1 n )
∑n=1∞(1−1n)n∑n=1∞(1−1n)n (Hint:(1−1n)n→1/e.)(1−1n)n→1/e.)
∑n=1∞(1−e−1/n)∑n=1∞(1−e−1/n) (Hint:1/e≈(1−1/n)n,1/e≈(1−1/n)n, so 1−e−1/n≈1/n.)1−e−1/n≈1/n.)
Does ∑n=2∞1(lnn)p∑n=2∞1(lnn)p converge if pp is large enough? If so, for which p?p?
Does ∑n=1∞((lnn)n)p∑n=1∞((lnn)n)p converge if pp is large enough? If so, for which p?p?
For which pp does the series ∑n=1∞2pn/3n∑n=1∞2pn/3n converge?
For which p>0p>0 does the series ∑n=1∞np2n∑n=1∞np2n converge?
For which r>0r>0 does the series ∑n=1∞rn22n∑n=1∞rn22n converge?
For which r>0r>0 does the series ∑n=1∞2nrn2∑n=1∞2nrn2 converge?
Find all values of pp and qq such that ∑n=1∞np(n!)q∑n=1∞np(n!)q converges.
Does n=1∞nπ2n=1∞nπ2 converge or diverge? Explain.
1. ਹਰੇਕ n,n ਲਈ, |sin(n)| ਅਤੇ |sin(n+1)|, ..., |sin(n+6)| ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ 1/2 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਸੱਤ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ 2π ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ 0 ਤੋਂ 1 ਤੱਕ ਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਫੈਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ 1/2 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ 0 ਅਤੇ 1/2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੋਣਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹੈ। ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ∑n=1∞|sinn|n ਦੀ ਅਭਿਸਾਰਤਾ ਦਾ ਟੈਸਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ |sinn|n ≥ 1/(2n) ਕੁਝ n ਲਈ, ਅਤੇ ∑1/(2n) ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ∑n=1∞|sinn|n ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
2. ਕਿਉਂਕਿ an≥0 ਅਤੇ bn≥0, ਅਤੇ ∑n=1∞a2n ਅਤੇ ∑n=1∞b2n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹਨ, ਅਸੀਂ Cauchy-Schwarz ਅਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ∑n=1∞anbn ≤ (∑n=1∞a2n)1/2 (∑n=1∞b2n)1/2। ਕਿਉਂਕਿ ∑n=1∞a2n ਅਤੇ ∑n=1∞b2n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞anbn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (an - bn)2 ≥ 0, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ a2n - 2anbn + b2n ≥ 0, ਜਾਂ 2anbn ≤ a2n + b2n। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ∑n=1∞ ਲਗਾ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ 2∑n=1∞anbn ≤ ∑n=1∞a2n + ∑n=1∞b2n, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ∑n=1∞anbn ≤ 1/2(∑n=1∞a2n + ∑n=1∞b2n)।
3. ਨਹੀਂ। 2−lnlnn = 1/(2lnlnn)। ਕਿਉਂਕਿ lnlnn, n ਦੇ ਵਧਣ ਨਾਲ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਵਧਦਾ ਹੈ, 1/(2lnlnn) ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ 1/n ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। lnlnn, ln(n) ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 2lnlnn, ln(n) ਤੋਂ ਵੀ ਛੋਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 1/(2lnlnn) > 1/ln(n)। ਕਿਉਂਕਿ ∑1/ln(n) ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ∑n=2∞(lnn)−lnlnn ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
4. ਨਹੀਂ। (lnn)−lnn = 1/(lnn)lnn। ਅਸੀਂ ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ p-series ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। n = eln(n) ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (lnn)lnn = (lnn)eln(n)। ਜਦੋਂ n ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ln(n) ਵੀ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (lnn)lnn, n ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 1/(lnn)lnn, 1/n^p ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ p>1 ਤੋਂ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞(lnn)−lnn ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
5. ਨਹੀਂ। ਅਸੀਂ an = (lnn)−lnlnn ਦੀ ਤੁਲਨਾ 1/n ਨਾਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ln(lnn) ln(n) ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, (lnn)lnlnn, ln(n) ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 1/(lnn)lnlnn, 1/n ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਹੌਲੀ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=2∞(lnn)−lnlnn ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
6. ਜੇਕਰ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ an→0 ਜਦੋਂ n→∞। ਕਿਉਂਕਿ an≥0, an2 ≤ an ਜਦੋਂ an ≤ 1। ਜੇਕਰ an > 1, ਤਾਂ an2 > an। ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ an→0, ਅੰਤ ਵਿੱਚ an ≤ 1 ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞a2n ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ∑n=1∞a2n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਭਿਸਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ an = 1/n, ਤਾਂ ∑n=1∞a2n = ∑n=1∞1/n2 ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਪਰ ∑n=1∞an = ∑n=1∞1/n ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
7. ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ bn ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਇੱਕ ਹਨ, ਤਾਂ ∑n=1∞anbn, ∑n=1∞an ਦੇ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੋਣ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਅਪਸਾਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ an = 1/n2 ਅਤੇ bn = 1 ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ ਅਤੇ 0 ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਪਰ ∑n=1∞anbn, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ∑n=1∞1/(k2)2 = ∑n=1∞1/k4 ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ bn = 1 ਜੇਕਰ n ਇੱਕ ਪ੍ਰਧਾਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 0 ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਤਾਂ ∑n=1∞anbn, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਧਾਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ∑n=1∞1/p2 ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ an = 1/n, ਤਾਂ ∑n=1∞anbn, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਧਾਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ∑n=1∞1/p ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
8. ਹਾਂ। ਜੇਕਰ an>0 ਅਤੇ ∑n=1∞an ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ bn ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਇੱਕ ਹਨ, ਤਾਂ ∑n=1∞anbn ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ bn ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਉਪ-ਲੜੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿੱਥੇ bn=1। ਕਿਉਂਕਿ an>0, ਇਹ ਉਪ-ਲੜੀ ∑n=1∞anbn ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ bn ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਉਪ-ਲੜੀ ਵੀ ਅਨੰਤ ਹੋਵੇਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ an>0, ਇਹ ਉਪ-ਲੜੀ ∑n=1∞an ਦੇ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਣ ਕਾਰਨ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ।
9. ਜੇਕਰ ∑n=1∞1n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਜੋੜ s ਹੁੰਦਾ। ਫਿਰ 1/2s = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ...। ਅਤੇ s - 1/2s = 1 + 1/3 + 1/5 + ...। ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ∑n=1∞1n ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ∑n=1∞1n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ∑n=1∞1/(2n) ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੁੰਦਾ। ਪਰ ∑n=1∞1/(2n) = 1/2 ∑n=1∞1n, ਜੋ ਕਿ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ∑n=1∞1n ਅਭਿਸਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
10. ਜੇਕਰ an≥0 ਅਤੇ ∑n=1∞a2n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ an→0 ਜਦੋਂ n→∞। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin2(x) ≤ x2। ਇਸ ਲਈ, sin2(an) ≤ a2n। ਕਿਉਂਕਿ ∑n=1∞a2n ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ sin2(an) ≤ a2n, ∑n=1∞sin2(an) ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗਾ।
11. ਜੇਕਰ an/bn→0 ਅਤੇ ∑bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ bn→0। ਕਿਉਂਕਿ an/bn→0, ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ε>0 ਲਈ, ਇੱਕ N ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ n>N ਲਈ |an/bn| < ε। ਇਸ ਲਈ, an < εbn। ਕਿਉਂਕਿ ∑bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ, ∑εbn ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ। ਤੁਲਨਾ ਟੈਸਟ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੇਕਰ ∑bn ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ ਅਤੇ an < εbn, ਤਾਂ ∑an ਵੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ।
12. ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ bn = 1 ਸਾਰੇ n ਲਈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, x = ∑n=1∞1/2n = (1/2)/(1 - 1/2) = 1।
13. ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ dn = 9 ਸਾਰੇ n ਲਈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, x = ∑n=1∞9/10n = 9 * ∑n=1∞(1/10)n = 9 * (1/10)/(1 - 1/10) = 9 * (1/10)/(9/10) = 9 * (1/9) = 1।
14. ਜੇਕਰ x > 1/2, ਤਾਂ x ਨੂੰ x = ∑n=2∞bn2n (ਜਿੱਥੇ bn=0 ਜਾਂ 1, b1=0) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ∑n=2∞bn2n ਇੱਕ ਦੋ-ਆਧਾਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ ਜੋ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ b1=0, ਤਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲ ∑n=2∞1/2n = (1/4)/(1 - 1/2) = 1/2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x > 1/2 ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
15. ਹਾਂ, ਉਹ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ∑n=1∞(1/2)n = 1 ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵਜ਼ਨ 1/2^n ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
16. ਹਾਂ, ਉਹ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੰਤ ਲੜੀ ∑n=1∞9(0.1)n = 9 * (0.1)/(1 - 0.1) = 9 * (0.1)/0.9 = 1 ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵਜ਼ਨ 0.1^n ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਅਨੰਤ ਲੜੀ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞1n ਵਿੱਚੋਂ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ n = mk (k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ), ਤਾਂ ਬਾਕੀ ਲੜੀ ਅਜੇ ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਕੁਝ ਪਦ ਹਟਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ m>1 ਹੈ, ਤਾਂ ਹਟਾਏ ਗਏ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਨੰਤ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ m=2, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ ਸਮ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਹਟਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਬਾਕੀ ਵਿਸ਼ਮ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ∑n=1∞1/(2n-1) ਅਜੇ ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੈ।
18. ਇਹ ਅਪਸਾਰੀ ਲੜੀ ∑n=1∞1n ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਲੜੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰ ਪੰਜ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਹਟਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਜੇ ਵੀ ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ।
19. ਇੱਕ d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ 10^(d-1) ਤੋਂ 10^d - 1 ਤੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ (10^d - 1) - 10^(d-1) + 1 = 10^d - 10^(d-1) = 10^(d-1)(10-1) = 9 * 10^(d-1) ਹੈ।
20. ਇੱਕ d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ 9 ਅੰਕਾਂ (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਅੰਕ ਲਈ 8 ਵਿਕਲਪ ਹਨ (0 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ)। ਬਾਕੀ d-1 ਅੰਕਾਂ ਲਈ 9 ਵਿਕਲਪ ਹਨ (0-8)। ਇਸ ਲਈ, h(d) = 8 * 9^(d-1) ਹੈ।
21. ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ 10^(d-1) ਹੈ।
22. ਹਟਾਈ ਗਈ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ ∑d=1∞h(d)m(d) ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਲਈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 9 ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸੰਭਵ ਹਿੱਸਾ 1/m(d) ਹੈ। h(d) d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 9 ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ m(d) ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੀ d-ਅੰਕੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
23. ∑d=1∞h(d)m(d) = ∑d=1∞(8 * 9^(d-1)) / 10^(d-1) = ∑d=1∞8 * (9/10)^(d-1)। ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ 8 ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 9/10 ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ।
24. ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਕਿਉਂਕਿ Sn = a1 + ... + an, ਅਤੇ an+1 = Sn / (n+1), ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ Sn ਇੱਕ ਮੋਨੋਟੋਨ ਵਧਣ ਵਾਲੀ ਲੜੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ an > 0। ਜੇਕਰ Sn ਸੀਮਤ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਜੇਕਰ Sn ਅਸੀਮਤ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਪਸਾਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ an+1 = Sn / (n+1) ਤੋਂ an = Sn - Sn-1 ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, Sn - Sn-1 = Sn / (n+1)। ਇਸਨੂੰ Sn-1 ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, ਸਾਨੂੰ Sn-1 = Sn * (1 - 1/(n+1)) = Sn * (n/(n+1)) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, Sn = Sn-1 * ((n+1)/n)। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ Sn ਇੱਕ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ।
1. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ an>0an>0 ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਇਸ ਗੁਣ ਧਰਮ ਵਾਲਾ ਹੈ ਕਿ a1=1a1=1 ਅਤੇ an+1=1(n+1)2Sn,an+1=1(n+1)2Sn, ਜਿੱਥੇ Sn=a1+⋯+an.Sn=a1+⋯+an. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ? (ਸੰਕੇਤ: S2=a2+a1=a2+S1=a2+1=1+1/4=(1+1/4)S1,S2=a2+a1=a2+S1=a2+1=1+1/4=(1+1/4)S1, S3=132S2+S2=(1+1/9)S2=(1+1/9)(1+1/4)S1,S3=132S2+S2=(1+1/9)S2=(1+1/9)(1+1/4)S1, ਆਦਿ। ln(Sn),ln(Sn), ਨੂੰ ਦੇਖੋ ਅਤੇ ln(1+t)≤t,ln(1+t)≤t, t>0.)t>0.) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।