ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.6.1 ਲੜੀ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਾਰਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.6.2 ਲੜੀ ਦੇ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਾਰਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5.6.3 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦੀ ਪਰਖ ਲਈ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਦੋ ਲੜੀ ਅਭਿਸਾਰਨ ਪਰਖਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਅਤੇ ਮੂਲ ਪਰਖ। ਇਹ ਪਰਖਾਂ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਧੀਆ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਲੜੀ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦੀ। ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਚਰਚਾ ਵਿੱਚ ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦੌਰਾਨ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਅਭਿਸਾਰਨ ਪਰਖ ਸਾਰੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਲੜੀ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਅਭਿਸਾਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਸ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ
ਇੱਕ ਲੜੀ ∑n=1∞an 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਾਡੀ ਪਿਛਲੀ ਚਰਚਾ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limn→∞an=0 ਲੜੀ ਦੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਲੋੜੀਂਦੀ ਸ਼ਰਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ an→0 ਦੀ ਲੋੜ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਬਲਕਿ ਸਾਨੂੰ an→0 ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ਅਤੇ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 1/n→0 ਅਤੇ 1/n2→0। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਿਰਫ਼ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n2 ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ n→∞ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕ੍ਰਮ {1/n} ਦੇ ਪਦ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਇੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਵਧਦੇ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਲੜੀ ਦੇ ਪਦ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 5.16
ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ
ਮੰਨ ਲਓ ∑n=1∞an ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ
ਜੇਕਰ 0≤ρ<1, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਨਿਰਪੇਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ρ>1 ਜਾਂ ρ=∞, ਤਾਂ ∑n=1∞an ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।
ਜੇਕਰ ρ=1, ਤਾਂ ਪਰਖ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦੀ।
ਸਿੱਧ
ਮੰਨ ਲਓ ∑n=1∞an ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਭਾਗ i ਦੇ ਸਿੱਧ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ρ=limn→∞|an+1an|<1। ਕਿਉਂਕਿ 0≤ρ<1, ਇੱਕ RR ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ 0≤ρ<R<1। ਮੰਨ ਲਓ ε=R−ρ>0। ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਕੁਝ ਪੂਰਨ ਅੰਕ NN ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ
ਇਸ ਲਈ,
ਅਤੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਕਿਉਂਕਿ R<1, ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ
ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ
ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ
ਜਿੱਥੇ ∑n=1N|an| ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ∑n=N+1∞|an| ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ∑n=1∞|an| ਅਭਿਸਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਭਾਗ ii ਲਈ।
Now suppose ρ=an+1an>1ρ=an+1an>1.
There exists some NN such that an+1an>1an+1an>1 for all n≥Nn≥N.
Then an->anan->an.
Now because an->anan->an for all n≥Nn≥N, we know that an≠0an≠0.
It follows that an≠0an≠0.
By the divergence test, the series ∑n=1∞an∑n=1∞an diverges.
diverges, and therefore the series ∑n=1∞|an|∑n=1∞|an| diverges.
For part iii. we show that the test does not provide any information if ρ=1ρ=1 by considering the p−seriesp−series ∑n=1∞1/np.∑n=1∞1/np. For any real number p,p,
However, we know that if p≤1,p≤1, the p−seriesp−series ∑n=1∞1/np∑n=1∞1/np diverges, whereas ∑n=1∞1/np∑n=1∞1/np converges if p>1.p>1.
□
The ratio test is particularly useful for series whose terms contain factorials or exponentials, where the ratio of terms simplifies the expression. The ratio test is convenient because it does not require us to find a comparative series. The drawback is that the test sometimes does not provide any information regarding convergence.
Example 5.23
Using the Ratio Test
For each of the following series, use the ratio test to determine whether the series converges or diverges.
∑n=1∞2nn!∑n=1∞2nn!
∑n=1∞nnn!∑n=1∞nnn!
∑n=1∞(−1)n(n!)2(2n)!∑n=1∞(−1)n(n!)2(2n)!
Solution
From the ratio test, we can see that ρ=limn→∞2n+1/(n+1)!2n/n!=limn→∞2n+1(n+1)!·n!2n.ρ=limn→∞2n+1/(n+1)!2n/n!=limn→∞2n+1(n+1)!·n!2n. Since (n+1)!=(n+1)·n!,(n+1)!=(n+1)·n!, ρ=limn→∞2n+1=0.ρ=limn→∞2n+1=0. Since ρ<1,ρ<1, the series converges.
We can see that ρ=limn→∞(n+1)n+1/(n+1)!nn/n!=limn→∞(n+1)n+1(n+1)!·n!nn=limn→∞(n+1n)n=limn→∞(1+1n)n=e.ρ=limn→∞(n+1)n+1/(n+1)!nn/n!=limn→∞(n+1)n+1(n+1)!·n!nn=limn→∞(n+1n)n=limn→∞(1+1n)n=e. Since ρ>1,ρ>1, the series diverges.
Since |(−1)n+1((n+1)!)2/(2(n+1))!(−1)n(n!)2/(2n)!|=(n+1)!(n+1)!(2n+2)!·(2n)!n!n!=(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1)|(−1)n+1((n+1)!)2/(2(n+1))!(−1)n(n!)2/(2n)!|=(n+1)!(n+1)!(2n+2)!·(2n)!n!n!=(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1) we see that ρ=limn→∞(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1)=14.ρ=limn→∞(n+1)(n+1)(2n+2)(2n+1)=14. Since ρ<1,ρ<1, the series converges.
Checkpoint 5.21
Use the ratio test to determine whether the series ∑n=1∞n33n∑n=1∞n33n converges or diverges.
Root Test
The approach of the root test is similar to that of the ratio test. Consider a series ∑n=1∞an∑n=1∞an such that limn→∞|an|n=ρlimn→∞|an|n=ρ for some real number ρ.ρ. Then for NN sufficiently large, |aN|≈ρN.|aN|≈ρN. Therefore, we can approximate ∑n=N∞|an|∑n=N∞|an| by writing
The expression on the right-hand side is a geometric series. As in the ratio test, the series ∑n=1∞an∑n=1∞an converges absolutely if 0≤ρ<10≤ρ<1 and the series diverges if ρ≥1.ρ≥1. If ρ=1,ρ=1, the test does not provide any information. For example, for any p-series, ∑n=1∞1/np,∑n=1∞1/np, we see that
To evaluate this limit, we use the natural logarithm function. Doing so, we see that
Using L’Hôpital’s rule, it follows that lnρ=0,lnρ=0, and therefore ρ=1ρ=1 for all p.p. However, we know that the p-series only converges if p>1p>1 and diverges if p<1.p<1.
Theorem 5.17
Root Test
Consider the series ∑n=1∞an.∑n=1∞an. Let
If 0≤ρ<1,0≤ρ<1, then ∑n=1∞an∑n=1∞an converges absolutely.
If ρ>1ρ>1 or ρ=∞,ρ=∞, then ∑n=1∞an∑n=1∞an diverges.
If ρ=1,ρ=1, the test does not provide any information.
The root test is useful for series whose terms involve exponentials. In particular, for a series whose terms anan satisfy |an|=bnn,|an|=bnn, then |an|n=bn|an|n=bn and we need only evaluate limn→∞bn.limn→∞bn.
Example 5.24
Using the Root Test
For each of the following series, use the root test to determine whether the series converges or diverges.
∑n=1∞(n2+3n)n(4n2+5)n∑n=1∞(n2+3n)n(4n2+5)n
∑n=2∞nn(ln(n))n∑n=2∞nn(ln(n))n
Solution
To apply the root test, we compute ρ=limn→∞(n2+3n)n/(4n2+5)nn=limn→∞n2+3n4n2+5=14.ρ=limn→∞(n2+3n)n/(4n2+5)nn=limn→∞n2+3n4n2+5=14. Since ρ<1,ρ<1, the series converges absolutely.
We have ρ=limn→∞nn/(lnn)nn=limn→∞nlnn=∞by L’Hôpital’s rule.ρ=limn→∞nn/(lnn)nn=limn→∞nlnn=∞by L’Hôpital’s rule. Since ρ=∞,ρ=∞, the series diverges.
Checkpoint 5.22
Use the root test to determine whether the series ∑n=1∞1/nn∑n=1∞1/nn converges or diverges.
Choosing a Convergence Test
At this point, we have a long list of convergence tests. However, not all tests can be used for all series. When given a series, we must determine which test is the best to use. Here is a strategy for finding the best test to apply.
Problem-Solving Strategy
ਲੜੀ ਲਈ ਇੱਕ ਅਭਿਸਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਚੋਣ
ਇੱਕ ਲੜੀ ∑n=1∞an ∑n=1∞an 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਦੱਸੀ ਹੈ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਕੀ ∑n=1∞an ∑n=1∞an ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੜੀ ਹੈ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੀ ਇਹ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ (ਜੋ ਅਭਿਸਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ) ਜਾਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ (ਜੋ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਹੈ? ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ p-ਲੜੀ p-ਲੜੀ ਜਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਘਾਤ pp ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤ rr ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਹੈ? ਕੀ ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਅਭਿਸਰਨ ਵਿੱਚ? ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਗੱਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ∑n=1∞|an| ∑n=1∞|an| 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕਦਮ 3,3 'ਤੇ ਅੱਗੇ ਵਧੋ।
ਕੀ ਲੜੀ ਇੱਕ p-ਲੜੀ p-ਲੜੀ ਜਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਜਾਂ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
ਕੀ ਲੜੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਪਦ ਅਜਿਹੇ ਘਾਤ ਹਨ ਕਿ an=bnn, an=bnn, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਾਤ ਪਰਖ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਨਹੀਂ ਤਾਂ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਰਖ ਕੋਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਕਲਨ ਪਰਖ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਲੜੀਆਂ ਦੇ ਅਭਿਸਰਨ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ, ਨਾਲ ਹੀ ਲੜੀ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਬਾਰੇ ਆਮ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.25
ਅਭਿਸਰਨ ਪਰਖਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਹਰੇਕ ਲੜੀ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਅਭਿਸਰਨ ਪਰਖ ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ। ਫਿਰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਲੜੀ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਨਿਰਪੇਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸ਼ਰਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
∑n=1∞n2+2nn3+3n2+1
∑n=1∞(−1)n+1(3n+1)n!
∑n=1∞enn3
∑n=1∞3n(n+1)n
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਲੜੀ ਇੱਕ p-ਲੜੀ p-ਲੜੀ ਜਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 2. ਲੜੀ ਵਿਕਲਪਿਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 3. n ਦੇ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ n2+2nn3+3n2+1≈n2n3=1n ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। n2+2nn3+3n2+1≈n2n3=1n। ਇਸ ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ∑n=1∞1/n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਜਾਂ ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਵਾਜਬ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limn→∞(n2+2n)/(n3+3n2+1)1/n=limn→∞n3+2n2n3+3n2+1=1। limn→∞(n2+2n)/(n3+3n2+1)1/n=limn→∞n3+2n2n3+3n2+1=1। ਕਿਉਂਕਿ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n ∑n=1∞1/n ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਲੜੀ ਵੀ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 2. ਲੜੀ ਵਿਕਲਪਿਕ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਲੜੀ ∑n=1∞3n(n+1)! ∑n=1∞3n(n+1)! 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਦਮ 3. ਲੜੀ p-ਲੜੀ ਜਾਂ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 4. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limn→∞(3(n+1))/(n+1)!(3n+1)/n!=limn→∞3n+3(n+1)!·n!3n+1=limn→∞3n+3(n+1)(3n+1)=0। limn→∞(3(n+1))/(n+1)!(3n+1)/n!=limn→∞3n+3(n+1)!·n!3n+1=limn→∞3n+3(n+1)(3n+1)=0। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੂਲ ਲੜੀ ਨਿਰਪੇਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 2. ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 3. ਇਸ ਲੜੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 4. ਕੋਈ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਘਾਤ ਪਰਖ ਲਈ ਇੱਕ ਆਦਰਸ਼ ਸਥਿਤੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 5. ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ limn→∞enn3=∞। limn→∞enn3=∞। ਇਸ ਲਈ, ਅਪਸਰਨ ਪਰਖ ਦੁਆਰਾ, ਲੜੀ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਇਹ ਲੜੀ ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 2. ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 3. ਇਸ ਲੜੀ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਲੜੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਦਮ 4. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਪਦ n ਦੀ ਇੱਕ ਘਾਤ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਪਰਖ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ limn→∞(3n+1)nn=limn→∞3n+1=0, limn→∞(3n+1)nn=limn→∞3n+1=0, ਘਾਤ ਪਰਖ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੜੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.23
ਲੜੀ ∑n=1∞2n3n+n ∑n=1∞2n3n+n ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਅਭਿਸਰਨ ਪਰਖ ਵਰਤਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।
ਸਾਰਣੀ 5.3 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਭਿਸਰਨ ਪਰਖਾਂ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਕਦੋਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ, ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ, ਅਤੇ ਸੰਕਲਨ ਪਰਖ ਲਈ ਲੜੀ ∑n=1∞an ∑n=1∞an ਦੇ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੇਕਰ ∑n=1∞an ∑n=1∞an ਦੇ ऋਣਾਤਮਕ ਪਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਪਰਖਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਪੇਖ ਅਭਿਸਰਨ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰਨ ਲਈ ∑n=1∞|an| ∑n=1∞|an| 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਲੜੀ ਜਾਂ ਪਰਖ | ਸਿੱਟੇ | ਟਿੱਪਣੀਆਂ
ਸਤਰ: ਵਿਭਾਜਨ ਪਰਖ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲੜੀ ∑n=1∞an,∑n=1∞an, ਲਈ limn→∞an.limn→∞an. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | ਜੇਕਰ limn→∞an=0,limn→∞an=0, ਤਾਂ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। | ਇਹ ਪਰਖ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ limn→∞an≠0,limn→∞an≠0, ਤਾਂ ਲੜੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞arn−1∑n=1∞arn−1 | ਜੇਕਰ |r|<1,|r|<1, ਤਾਂ ਲੜੀ a/(1−r).a/(1−r). ਤੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | ਕਿਸੇ ਵੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ਨੂੰ a+ar+ar2+⋯,a+ar+ar2+⋯, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਮੁੜ-ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ aa ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਹੈ ਅਤੇ rr ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ |r|≥1,|r|≥1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: p-ਲੜੀ ∑n=1∞1np∑n=1∞1np | ਜੇਕਰ p>1,p>1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | p=1,p=1, ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਲੜੀ ∑n=1∞1/n.∑n=1∞1/n. ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ p≤1,p≤1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਲਈ, ਜਿਸਦੇ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਦ ਹਨ, ਇੱਕ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਲੜੀ ∑n=1∞bn.∑n=1∞bn. ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। | ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ n≥Nn≥N ਲਈ an≤bnan≤bn ਹੈ ਅਤੇ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜਾਂ p-ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਲੜੀ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਢੁਕਵੀਂ ਲੜੀ ਲੱਭਣਾ ਕਈ ਵਾਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ n≥Nn≥N ਲਈ an≥bnan≥bn ਹੈ ਅਤੇ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸੀਮਾ ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਲਈ, ਜਿਸਦੇ ਧਨ ਪਦ ਹਨ, ਇੱਕ ਲੜੀ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਨਾਲ L=limn→∞anbn.L=limn→∞anbn. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਕੇ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ। | ਜੇਕਰ LL ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ L≠0,L≠0, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਅਤੇ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। | ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਜਾਂ p-ਲੜੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਲੜੀ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਤੁਲਨਾ ਪਰਖ ਨਾਲੋਂ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਸੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ L=0L=0 ਅਤੇ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ L=∞L=∞ ਅਤੇ ∑n=1∞bn∑n=1∞bn ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਅਨੁਕਲਨ ਪਰਖ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਧਨ, ਨਿਰੰਤਰ, ਘਟਣ ਵਾਲਾ ਫਲਨ ff ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਸਾਰੇ n≥Nn≥N ਲਈ an=f(n)an=f(n) ਹੈ, ਤਾਂ ∫N∞f(x)dx.∫N∞f(x)dx. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। | ∫N∞f(x)dx∫N∞f(x)dx ਅਤੇ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। | ਇਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਲਨ ff ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਅਨੁਕਲਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀ ∑n=1∞(−1)n+1bnor∑n=1∞(−1)nbn∑n=1∞(−1)n+1bnor∑n=1∞(−1)nbn | ਜੇਕਰ ਸਾਰੇ n≥1n≥1 ਲਈ bn+1≤bnbn+1≤bn ਹੈ ਅਤੇ bn→0,bn→0, ਤਾਂ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | ਸਿਰਫ ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀਆਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ ਕਿਸੇ ਵੀ ∑n=1∞an∑n=1∞an ਲੜੀ ਲਈ, ਜਿਸਦੇ ਅਸ਼ੂਨ ਪਦ ਹਨ, ρ=limn→∞|an+1an|.ρ=limn→∞|an+1an|. ਮੰਨ ਲਓ। | ਜੇਕਰ 0≤ρ<1,0≤ρ<1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | ਅਕਸਰ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਜਾਂ ਘਾਤ ਅੰਕ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ ρ>1orρ=∞,ρ>1orρ=∞, ਤਾਂ ਲੜੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ ρ=1,ρ=1, ਤਾਂ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੜ੍ਹ ਪਰਖ ਕਿਸੇ ਵੀ ∑n=1∞an,∑n=1∞an, ਲੜੀ ਲਈ, ρ=limn→∞|an|n.ρ=limn→∞|an|n. ਮੰਨ ਲਓ। | ਜੇਕਰ 0≤ρ<1,0≤ρ<1, ਤਾਂ ਲੜੀ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। | ਅਕਸਰ ਉਹਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ |an|=bnn.|an|=bnn.
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ ρ>1orρ=∞,ρ>1orρ=∞, ਤਾਂ ਲੜੀ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਜੇਕਰ ρ=1,ρ=1, ਤਾਂ ਪਰਖ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ππ ਅਤੇ 1/π1/π ਤੱਕ ਇਕੱਠੀ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲੜੀਆਂ
ਦਰਜਨਾਂ ਲੜੀਆਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜੋ ππ ਜਾਂ ππ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੱਕ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਕਈ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਦੀ ਦਰ ਤੋਂ ਸਾਡਾ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਪੂਰਨ ਸੋਮੇ ਨੂੰ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਦੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ππ ਦੇ ਲੜੀ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮਝਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਤੀਜੀ ਉਦਾਹਰਣ ਇਸ ਪਾਠ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਦੀ ਸਮੱਗਰੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਲੜੀ π=4∑n=1∞(−1)n+12n−1=4−43+45−47+49−⋯π=4∑n=1∞(−1)n+12n−1=4−43+45−47+49−⋯ ਦੀ ਖੋਜ 1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰੈਗਰੀ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੇ ਕੀਤੀ ਸੀ।1600s. ਇਹ ਨਤੀਜਾ f(x)=tan−1x.f(x)=tan−1x. ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀਆਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਲੜੀ ਬਾਰੇ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਲੜੀ ਇਕੱਠੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। n=10,20,50,100. ਲਈ ਪੂਰਨ ਸੋਮਿਆਂ SnSn ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। Rn.Rn. ਦੀ ਗਲਤੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਬਦਲਵੀਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਬਾਕੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। NN ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ ਜੋ |RN|<0.01?|RN|<0.01? ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ? SN.SN. ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
The series π=6∑n=0∞(2n)!24n+1(n!)2(2n+1)=6(12+12·3(12)3+1·32·4·5·(12)5+1·3·52·4·6·7(12)7+⋯)π=6∑n=0∞(2n)!24n+1(n!)2(2n+1)=6(12+12·3(12)3+1·32·4·5·(12)5+1·3·52·4·6·7(12)7+⋯) has been attributed to Newton in the late 1600s.1600s. The proof of this result uses the Maclaurin series for f(x)=sin−1x.f(x)=sin−1x. Prove that the series converges. Evaluate the partial sums SnSn for n=5,10,20.n=5,10,20. Compare SnSn to ππ for n=5,10,20n=5,10,20 and discuss the number of correct decimal places.
The series 1π=89801∑n=0∞(4n)!(1103+26390n)(n!)43964n1π=89801∑n=0∞(4n)!(1103+26390n)(n!)43964n was discovered by Ramanujan in the early 1900s.1900s. William Gosper, Jr., used this series to calculate ππ to an accuracy of more than 1717 million digits in the mid-1980s.mid-1980s. At the time, that was a world record. Since that time, this series and others by Ramanujan have led mathematicians to find many other series representations for ππ and 1/π.1/π. Prove that this series converges. Evaluate the first term in this series. Compare this number with the value of ππ from a calculating utility. To how many decimal places do these two numbers agree? What if we add the first two terms in the series? Investigate the life of Srinivasa Ramanujan (1887–1920)(1887–1920) and write a brief summary. Ramanujan is one of the most fascinating stories in the history of mathematics. He was basically self-taught, with no formal training in mathematics, yet he contributed in highly original ways to many advanced areas of mathematics.
Use the ratio test to determine whether ∑n=1∞an∑n=1∞an converges, where anan is given in the following problems. State if the ratio test is inconclusive.
a n = 1 / n ! a n = 1 / n !
a n = 10 n / n ! a n = 10 n / n !
a n = n 2 / 2 n a n = n 2 / 2 n
a n = n 10 / 2 n a n = n 10 / 2 n
∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) !
∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) !
∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n
∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( 2 n ) n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( 2 n ) n
∑ n = 1 ∞ n ! ( n / e ) n ∑ n = 1 ∞ n ! ( n / e ) n
∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( n / e ) 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( n / e ) 2 n
∑ n = 1 ∞ ( 2 n n ! ) 2 ( 2 n ) 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n n ! ) 2 ( 2 n ) 2 n
Use the root test to determine whether ∑n=1∞an∑n=1∞an converges, where anan is as follows.
a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k
a k = ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k a k = ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k
a n = ( ln n ) 2 n n n a n = ( ln n ) 2 n n n
a n = n / 2 n a n = n / 2 n
a n = n / e n a n = n / e n
a k = k e e k a k = k e e k
a k = π k k π a k = π k k π
a n = ( 1 e + 1 n ) n a n = ( 1 e + 1 n ) n
a k = 1 ( 1 + ln k ) k a k = 1 ( 1 + ln k ) k
For this exercise, let n start at 2.
a n = ( ln ( 1 + ln n ) ) n ( ln n ) n a n = ( ln ( 1 + ln n ) ) n ( ln n ) n
In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series ∑k=1∞ak∑k=1∞ak with given terms akak converges, or state if the test is inconclusive.
a k = k ! 1 · 3 · 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) a k = k ! 1 · 3 · 5 ⋯ ( 2 k − 1 )
a k = 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! a k = 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) !
a k = 1 · 4 · 7 ⋯ ( 3 k − 2 ) 3 k k ! a k = 1 · 4 · 7 ⋯ ( 3 k − 2 ) 3 k k !
a n = ( 1 − 1 n ) n 2 a n = ( 1 − 1 n ) n 2
ak=(1k+1+1k+2+⋯+12k)kak=(1k+1+1k+2+⋯+12k)k (Hint: Compare ak1/kak1/k to ∫k2kdtt.)∫k2kdtt.)
a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 3 k ) k a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 3 k ) k
a n = ( n 1 / n − 1 ) n a n = ( n 1 / n − 1 ) n
Use the ratio test to determine whether ∑n=1∞an∑n=1∞an converges, or state if the ratio test is inconclusive.
∑ n = 1 ∞ 3 n 2 2 n 3 ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 2 n 3
∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n n n ! ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n n n !
Use the root and limit comparison tests to determine whether ∑n=1∞an∑n=1∞an converges.
an=1/xnnan=1/xnn where xn+1=12xn+1xn,xn+1=12xn+1xn, x1=1x1=1 (Hint: Find limit of {xn}.){xn}.)
In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.
∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n 3 + n 2 + n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n 3 + n 2 + n + 1
∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 ( n + 1 ) n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( −1 ) n + 1 ( n + 1 ) n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1
∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 n 3 + ( 1.1 ) n ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 n 3 + ( 1.1 ) n
∑ n = 1 ∞ ( n − 1 ) n ( n + 1 ) n ∑ n = 1 ∞ ( n − 1 ) n ( n + 1 ) n
an=(1+1n2)nan=(1+1n2)n (Hint: (1+1n2)n2≈e.)(1+1n2)n2≈e.)
a k = 1 / 2 sin 2 k a k = 1 / 2 sin 2 k
a k = 2 − sin ( 1 / k ) a k = 2 − sin ( 1 / k )
an=1/(n+2n)an=1/(n+2n) where (nk)=n!k!(n−k)!(nk)=n!k!(n−k)!
a k = 1 / ( 2 k k ) a k = 1 / ( 2 k k )
a k = 2 k / ( 3 k k ) a k = 2 k / ( 3 k k )
ak=(kk+lnk)kak=(kk+lnk)k (Hint: ak=(1+lnkk)−(k/lnk)lnk≈e−lnk.)ak=(1+lnkk)−(k/lnk)lnk≈e−lnk.)
ak=(kk+lnk)2kak=(kk+lnk)2k (Hint: ak=(1+lnkk)−(k/lnk)lnk2.)ak=(1+lnkk)−(k/lnk)lnk2.)
The following series converge by the ratio test. Use summation by parts, ∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak),∑k=1nak(bk+1−bk)=[an+1bn+1−a1b1]−∑k=1nbk+1(ak+1−ak), to find the sum of the given series.
∑k=1∞k2k∑k=1∞k2k (Hint: Take ak=kak=k and bk=21−k.)bk=21−k.)
∑k=1∞kck,∑k=1∞kck, where c>1c>1 (Hint: Take ak=kak=k and bk=c1−k/(c−1).)bk=c1−k/(c−1).)
∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n
∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 2 n ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 2 n
The kth term of each of the following series has a factor xk.xk. Find the range of xx for which the ratio test implies that the series converges.
∑ k = 1 ∞ x k k 2 ∑ k = 1 ∞ x k k 2
∑ k = 1 ∞ x 2 k k 2 ∑ k = 1 ∞ x 2 k k 2
∑ k = 1 ∞ x 2 k 3 k ∑ k = 1 ∞ x 2 k 3 k
∑ k = 1 ∞ x k k ! ∑ k = 1 ∞ x k k !
Does there exist a number pp such that ∑n=1∞2nnp∑n=1∞2nnp converges?
Let 0<r<1.0<r<1. For which real numbers pp does ∑n=1∞nprn∑n=1∞nprn converge?
Suppose that limn→∞|an+1an|=p.limn→∞|an+1an|=p. For which values of pp must ∑n=1∞2nan∑n=1∞2nan converge?
Suppose that limn→∞|an+1an|=p.limn→∞|an+1an|=p. For which values of r>0r>0 is ∑n=1∞rnan∑n=1∞rnan guaranteed to converge?
Suppose that |an+1an|≤(n+1)p|an+1an|≤(n+1)p for all n=1,2,…n=1,2,… where pp is a fixed real number. For which values of pp is ∑n=1∞n!an∑n=1∞n!an guaranteed to converge?
For which values of r>0,r>0, if any, does ∑n=1∞rn∑n=1∞rn converge? (Hint: ∑n=1∞an=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1an.)∑n=1∞an=∑k=1∞∑n=k2(k+1)2−1an.)
Suppose that |an+2an|≤r<1|an+2an|≤r<1 for all n.n. Can you conclude that ∑n=1∞an∑n=1∞an converges?
Let an=2−[n/2]an=2−[n/2] where [x][x] is the greatest integer less than or equal to x.x. Determine whether ∑n=1∞an∑n=1∞an converges and justify your answer.
The following advanced exercises use a generalized ratio test to determine convergence of some series that arise in particular applications when tests in this chapter, including the ratio and root test, are not powerful enough to determine their convergence. The test states that if limn→∞a2nan<1/2,limn→∞a2nan<1/2, then ∑an∑an converges, while if limn→∞a2n+1an>1/2,limn→∞a2n+1an>1/2, then ∑an∑an diverges.
Let an=143658⋯2n−12n+2=1·3·5⋯(2n−1)2n(n+1)!.an=143658⋯2n−12n+2=1·3·5⋯(2n−1)2n(n+1)!. Explain why the ratio test cannot determine convergence of ∑n=1∞an.∑n=1∞an. Use the fact that 1−1/(4k)1−1/(4k) is increasing kk to estimate limn→∞a2nan.limn→∞a2nan.
1. a₂n/aₙ ≤ e⁻ˣ/² / 2. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ a₂n/aₙ ≤ e⁻ˣ/² / 2। ਆਮ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ਡ ਅਨੁਪਾਤ ਟੈਸਟ ਅਨੁਸਾਰ ∑ₙ<0xE2><0x82><0x90>₁<0xE2><0x81><0xBB>aₙ ਦੇ ਕਨਵਰਜੈਂਸ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ x > 0 ਲਈ ਲਾਗੂ ਕਰਦਾ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: 2a₂n/aₙ ਨੂੰ n ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ, ਹਰੇਕ 1/(1 + x/(2n)) ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ।)
1. ਮੰਨ ਲਓ an=nlnn(lnn)n. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਜਿਵੇਂ n→∞, an→0.