1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. a=x ਦੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਇੱਕ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਸਿਰਫ਼ a=x 'ਤੇ ਹੀ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਭਿਸਰਣ ਦਾ ਘੇਰਾ R=0 ਹੈ। ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਭਿਸਰਣ ਦਾ ਘੇਰਾ R=∞ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ R ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਲੜੀ |x−a|<R ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ |x−a|>R ਲਈ ਅਪਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਭਿਸਰਣ ਦਾ ਘੇਰਾ R ਹੈ।
3. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਸੀਮਤ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ।
4. ਅਭਿਸਰਣ ਦਾ ਘੇਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਨੁਪਾਤ ਪਰਖ (ratio test) ਅਕਸਰ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
5. ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀ ∑n=0∞xn=11−x, |x|<1 ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
6. ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ∑n=0∞cnxn ਅਤੇ ∑n=0∞dnxn ਜੋ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਅੰਤਰਾਲ I 'ਤੇ ਫਲਨ f ਅਤੇ g ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ I 'ਤੇ f±g ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ b ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ m≥0 ਲਈ, ਲੜੀ ∑n=0∞bxmcnxn, bxmf(x) ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਲੜੀ ∑n=0∞cn(bxm)n, f(bxm) ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੀ bxm ਅੰਤਰਾਲ I ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ।
7. ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ (−R,R) 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦਾ ਕਾਸ਼ੀ ਗੁਣਨਫਲ (−R,R) ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
8. ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਜੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ (−R,R) 'ਤੇ ਇੱਕ ਫਲਨ f ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਅਵਕਲਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੜੀ (−R,R) 'ਤੇ f′ ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਲੜੀ ਨੂੰ ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਸਮਾਕਲਿਤ ਵੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਲੜੀ (−R,R) 'ਤੇ ∫f(x)dx ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
9. ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ x=a ਦੇ ਨੇੜੇ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਬਹੁਪਦ x=0 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
10. ਇੱਕ ਫਲਨ f ਲਈ n-ਵੀਂ ਡਿਗਰੀ ਟੇਲਰ ਬਹੁਪਦ, f ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
11. ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਦਾ x=a 'ਤੇ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਕਰਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ x=a 'ਤੇ ਇਸਦੀ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਇੱਕ ਫਲਨ f ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀ f ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ limn→∞Rn(x)=0 ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ Rn(x)=f(x)−pn(x)।
13. ex, sinx, ਅਤੇ cosx ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀਆਂ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ x ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਲਨਾਂ ਵੱਲ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
14. ਦੋਪਦੀ ਲੜੀ f(x)=(1+x)r ਦੇ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਹੈ। ਇਹ |x|<1 ਲਈ ਅਭਿਸਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
15. ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਟੇਲਰ ਲੜੀਆਂ ਅਕਸਰ ਕਿਸੇ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਨਾਲ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਨੂੰ ਅਵਕਲਿਤ ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਿਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
16. ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਵਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
17. ਟੇਲਰ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਸੰਕਲਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੋਰ ਸਾਧਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਹੀਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।