1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
2. ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ? ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਬੂਤ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ-ਉਦਾਹਰਣ ਨਾਲ ਸਹੀ ਠਹਿਰਾਓ।
3. ਜੇਕਰ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ∑n=0∞anxn∑n=0∞anxn ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 5 ਹੈ, ਤਾਂ ਲੜੀ ∑n=1∞nanxn−1∑n=1∞nanxn−1 ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵੀ 5 ਹੈ।
4. ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ exex ਦਾ ਅਵਕਲਨ exex ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ex=∑n=0∞1n!xn।)ex=∑n=0∞1n!xn।)
5. x ਦੇ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, sinx≈x।sinx≈x।
6. f(x)=3xf(x)=3x ਦੀ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 3 ਹੈ।
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਲੜੀਆਂ ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ∑ n = 0 ∞ n 2 ( x − 1 ) n
9. ∑ n = 0 ∞ x n n n
10. ∑ n = 0 ∞ 3 n x n 12 n
11. ∑ n = 0 ∞ 2 n e n ( x − e ) n
12. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉਸ ਲੜੀ ਲਈ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਅਭਿਸਾਰਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
13. f ( x ) = x 2 x + 3
14. f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 − 3 x + 1
15. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਪਦ-ਅਨੁਸਾਰ ਅਵਕਲਨ ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਲਈ ਸ਼ਕਤੀ ਲੜੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. f ( x ) = tan −1 ( 2 x )
17. f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2
18. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਚੌਥੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਵਿਸਥਾਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕੀ ਗਲਤੀ ਹੈ?
19. f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 4 , a = −3
20. f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4
21. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਲਈ ਮੈਕਲੌਰਿਨ ਲੜੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
22. f ( x ) = cos ( 3 x )
23. f ( x ) = ln ( x + 1 )
24. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਟੇਲਰ ਲੜੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f ( x ) = sin x , a = π 2 f ( x ) = sin x , a = π 2
f ( x ) = 3 x , a = 1 f ( x ) = 3 x , a = 1
In the following exercises, find the Maclaurin series for the given function.
f ( x ) = e − x 2 − 1 f ( x ) = e − x 2 − 1
f ( x ) = cos x − x sin x f ( x ) = cos x − x sin x
In the following exercises, find the Maclaurin series for F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=∫0xf(t)dt by integrating the Maclaurin series of f(x)f(x) term by term.
f ( x ) = sin x x f ( x ) = sin x x
f ( x ) = 1 − e x f ( x ) = 1 − e x
Use power series to prove Euler’s formula: eix=cosx+isinxeix=cosx+isinx
The following exercises consider problems of annuity payments.
For annuities with a present value of $1$1 million, calculate the annual payouts given over 2525 years assuming interest rates of 1%,5%,and10%.1%,5%,and10%.
A lottery winner has an annuity that has a present value of $10$10 million. What interest rate would they need to live on perpetual annual payments of $250,000?$250,000?
Calculate the necessary present value of an annuity in order to support annual payouts of $15,000$15,000 given over 2525 years assuming interest rates of 1%,5%,and10%.1%,5%,and10%.