1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸਮਾਂ ਜਾਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਅਰਥਪੂਰਨ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
3. ਕਿਸੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ਡ ਵਕਰ ਵਿੱਚੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ ਉਸ ਵਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਾਂ ਸਬੰਧ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
5. ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਅਜਿਹੇ ਜਟਿਲ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਜਾਂ ਸ਼ਾਇਦ ਅਸੰਭਵ ਹੈ।
6. ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ x=x(t) ਅਤੇ y=y(t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫਾਰਮੂਲਾ dydx=y′(t)x′(t) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
7. ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲਾ A=∫t1t2y(t)x′(t)dt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਫਾਰਮੂਲਾ s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਿਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
9. x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਸਤਹ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਕਰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ S=2π∫abx(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt ਹੈ।
10. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
11. ਫਾਰਮੂਲੇ x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਅਤੇ r=x2+y2 ਅਤੇ tanθ=yx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
12. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੋਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਆਵਰਤੀ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਲਾਭ ਉਠਾਓ।
13. ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਪੋਲ, ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ, ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਰਾਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
15. ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਿੱਥੇ α≤θ≤β ਹੈ, ਇੰਟੈਗਰਲ A=12∫αβ[f(θ)]2dθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾਓ।
17. ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਪੋਲਰ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਜਿੱਥੇ α≤θ≤β ਹੈ, ਇੰਟੈਗਰਲ L=∫αβ[f(θ)]2+[f′(θ)]2dθ=∫αβr2+(drdθ)2dθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
18. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪਰਬਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=14p(x−h)2+k ਹੈ ਜਿੱਥੇ p ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ ਅਤੇ (h,k) ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਹਨ।
19. ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)2a2+(y−k)2b2=1 ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h,k) ਹਨ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ, ਨਾਬਾਲਗ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2b ਹੈ, ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h±c,k) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2−b2।
20. ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ (x−h)2a2−(y−k)2b2=1 ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h,k) ਹਨ, ਸਿਖਰ (h±a,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h±c,k) ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2+b2।
21. ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਪਰਬਲ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
22. ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ e ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ r=ep1±ecosθ ਜਾਂ r=ep1±esinθ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
23. ਸਮੀਕਰਨ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ D=4AC−B2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ D>0 ਹੈ ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਜੇਕਰ D=0 ਹੈ ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਪਰਬਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ D<0 ਹੈ ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।