ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
7.5.1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਬਲੈ (parabola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਛਾਣੋ।
7.5.2 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ (foci) ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਛਾਣੋ।
7.5.3 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੋਕਸ (foci) ਨਾਲ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਬਲੈ (hyperbola) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਛਾਣੋ।
7.5.4 ਇਸਦੀ ਉਤ-ਕੇਂਦਰਤਾ (eccentricity) ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਪਰਬਲੈ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਜਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਬਲੈ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ।
7.5.5 ਉਤ-ਕੇਂਦਰਤਾ e ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ (conic section) ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
7.5.6 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਕਦੋਂ ਪਰਬਲੈ, ਅੰਡਾਕਾਰ, ਜਾਂ ਅਤਿ-ਪਰਬਲੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀਆਂ ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। 320 ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ, ਮੇਨਾਚਮਸ, ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ, ਅਤੇ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਵਰਗੇ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇਹਨਾਂ ਵਕਰਾਂ ਤੋਂ ਹੈਰਾਨ ਸਨ। ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ ਨੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ 'ਤੇ ਅੱਠ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰੰਥ ਲਿਖਿਆ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ। ਉਦੋਂ ਤੋਂ, ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੀਆਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਉਭਰੀਆਂ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਖਗੋਲ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ), ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੇਡੀਓ ਟੈਲੀਸਕੋਪਾਂ, ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਰਿਸੀਵਰਾਂ, ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਆਰਕੀਟੈਕਚਰ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਇਸ ਲਈ ਮਿਲਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਭਾਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੈਪਸ (nappes) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨੈਪ ਉਹ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਲੋਕ "ਸ਼ੰਕੂ" ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਦਾ ਆਕਾਰ ਪਾਰਟੀ ਹੈਟ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਚੱਕਰੀ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.43: ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਜੋ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ y=3x ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਘੁੰਮਾ ਕੇ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਕੱਟਣ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 7.44)। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਦੋਵੇਂ ਨੈਪਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਬਲੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਜਨਰੇਟਿੰਗ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਨੈਪ ਨੂੰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕੋਣ 'ਤੇ (90° ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.44: ਚਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ। ਹਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਬਲੈ
ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਉਦੋਂ ਤਿਆਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਜਨਰੇਟਿੰਗ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਮਤਲ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੈਪ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਜਿਸਨੂੰ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਜਿਸਨੂੰ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7.45 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ: ਬਿੰਦੂ P ਜਿਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x1,y1) ਹਨ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ Q ਜਿਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x2,y2) ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਫਿਰ ਪਰਬਲੈ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 7.45 ਤੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਚਿੱਤਰ 7.45: ਇੱਕ ਆਮ ਪਰਬਲੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ p ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ (h,k) ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਜੇਕਰ ਫੋਕਸ ਸਿੱਧਾ ਸਿਖਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (h,k+p) ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=k−p ਹੋਵੇਗਾ। ਉਸੇ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲਾ (x−h)2=4p(y−k) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਥਿਊਰਮ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 7.8
ਪਰਬਲੈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ
ਇੱਕ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੀ ਪਰਬਲੈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (h,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਫੋਕਸ (h,k+p) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਬਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਪਰਵਲੈ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.46: ਚਾਰ ਪਰਵਲੈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਹੋਏ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ।
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ h, k, ਅਤੇ p ਦੇ ਮੁੱਲ ਤੁਰੰਤ ਪਛਾਣੇ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦੇ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਪਹਿਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.19
ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ x2−4x−8y+12=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਵਲੈ ਜਾਂ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 8y ਜੋੜੋ:
ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ ਉਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜੋ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ 4 ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰ 4 ਘਟਾਓ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਾ ਬਦਲੇ:
ਹੁਣ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, 8 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ 7.11 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ h=2, k=1, ਅਤੇ p=2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ (2,1) 'ਤੇ, ਨਾਭੀ (2,3) 'ਤੇ, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=−1 ਹੈ। ਇਸ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.47: ਉਦਾਹਰਨ 7.19 ਵਿੱਚ ਪਰਵਲੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.18
ਸਮੀਕਰਨ 2y2−x+12y+16=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ (ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ) ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਤਰੰਗਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਰਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਰੋਸ਼ਨੀ ਜਾਂ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ, ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਡਿਸ਼ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ (ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ), ਤਾਂ ਤਰੰਗਾਂ ਡਿਸ਼ ਤੋਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਇਕੱਠੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਪੁਲਾੜੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ ਡਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਡਿਸ਼ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਵੱਲ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਿਸੀਵਰ ਪਰਵਲੈ ਦੇ ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਤੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਪਰਵਲੈ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਤੋਂ ਰਿਸੀਵਰ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਡਿਜੀਟਲ ਸੰਕੇਤਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਡੀਕੋਡ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਰਿਸੀਵਰ ਨੂੰ ਅਸਮਾਨ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਕੋਣ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤ ਇਕੱਠੇ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਫਲੈਸ਼ਲਾਈਟਾਂ ਅਤੇ ਹੈੱਡਲਾਈਟਾਂ ਇੱਕੋ ਸਿਧਾਂਤ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਉਲਟੇ: ਰੋਸ਼ਨੀ ਦਾ ਸਰੋਤ (ਯਾਨੀ, ਬਲਬ) ਨਾਭੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਸਤ੍ਹਾ ਬੀਮ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਅੱਗੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਬਲਬ ਨੂੰ ਫਲੈਸ਼ਲਾਈਟ ਜਾਂ ਕਾਰ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਥਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਕੋਣ ਨੂੰ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਮਾਨ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਨਾਭੀਆਂ (ਫੋਕਸ ਦਾ ਬਹੁਵਚਨ), ਅਤੇ ਦੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਬਹੁਵਚਨ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕਾਂ 'ਤੇ ਵਧੇਰੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਨਾਭੀਆਂ) ਤੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7.48 ਅੰਕ: ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਾਭੀਆਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7.48 ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਮ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਅੰਕ ਵਿੱਚ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ FF ਅਤੇ F′.F′ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਦੂਰੀ ਚੱਲ 'c' ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ FF ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (c,0)(c,0) ਹਨ ਅਤੇ F′F′ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (−c,0).(−c,0) ਹਨ। ਬਿੰਦੂ PP ਅਤੇ P′P′ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ (a,0)(a,0) ਅਤੇ (−a,0),(−a,0) ਹਨ। ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਲੰਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 2a ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, PP ਅਤੇ P′P′ ਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ QQ ਅਤੇ Q′Q′ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਗੌਣ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ (0,b)(0,b) ਅਤੇ (0,−b),(0,−b) ਹਨ। ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਦੋ ਨਾਭੀਆਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ P ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (a,0),(a,0) ਹਨ, ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x,y)(x,y) ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ 2a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਦੂਜੇ ਰੇਡੀਕਲ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰੇਡੀਕਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਚੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a2−c2.a2−c2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 7.48 ਅੰਕ ਵੱਲ ਮੁੜ ਦੇਖੀਏ, ਤਾਂ ਦੋ ਹਰੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਬਿੰਦੂ Q ਤੋਂ ਨਾਭੀਆਂ F ਅਤੇ F′F ਅਤੇ F′ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ 2a ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਇਹ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਅਤੇ ਲੱਤਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ b ਅਤੇ c ਹੈ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ, c2=b2=a2c2=b2=a2 ਅਤੇ b2+a2=c2.b2+a2=c2। ਇਸ ਲਈ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ (h,k),(h,k) ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ 7.9
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
ਕੇਂਦਰ (h,k),(h,k), 2a ਲੰਬਾਈ ਵਾਲਾ ਖਿਤਿਜੀ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ, ਅਤੇ 2b ਲੰਬਾਈ ਵਾਲਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਗੌਣ ਧੁਰਾ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h±c,k),(h±c,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2−b2.c2=a2−b2। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ x=h±a2c.x=h±a2c ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h,k±c),(h,k±c) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2−b2.c2=a2−b2। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±a2c.y=k±a2c ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ A ਅਤੇ B ਜਾਂ ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਧਨ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਰਿਣ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.20
ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ 9x2+4y2−36x+24y+36=09x2+4y2−36x+24y+36=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 36 ਘਟਾਓ:
ਅੱਗੇ x ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ y ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ:
ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਹਰੇਕ ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, x ਦੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−42)2=4.(−42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, y ਦੇ ਗੁਣਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (62)2=9.(62)2=9 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਜੋੜੀ ਕੋਠਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ 9 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ ਵੀ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਹੁਣ ਦੋਵੇਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ 36 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਮੀਕਰਨ 7.14 ਨਾਲ ਕਰਨ 'ਤੇ h=2, k=−3, a=3, ਅਤੇ b=2 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (2,−3) 'ਤੇ ਹੈ, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ 6, ਅਤੇ ਛੋਟਾ ਧੁਰਾ 4 ਹੈ। ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.49: ਉਦਾਹਰਨ 7.20 ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.19
ਸਮੀਕਰਨ 9x^2+16y^2+18x−64y−71=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਗਤੀ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਪੰਧ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.50(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਧਰਤੀ ਦਾ ਪੰਧ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ, ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਸਾਲ ਭਰ ਬਦਲਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਗਲਤ ਧਾਰਨਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਧਰਤੀ ਗਰਮੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉੱਤਰੀ ਗੋਲਾਰਧ ਲਈ ਗਰਮੀਆਂ ਵਿੱਚ, ਧਰਤੀ ਸਰਦੀਆਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਦੂਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੌਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਪੰਧਤਲ ਵਿੱਚ ਧਰਤੀ ਦੇ ਧੁਰੇ ਦੇ ਝੁਕਾਅ ਕਾਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ ਵਰਗੇ ਸੂਰਜ ਦੇ ਪੰਧ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਧੂਮਕੇਤੂਆਂ ਦੇ ਵੀ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੰਧ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਚੰਦਰਮਾ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਅੰਡਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਕਿਰਨ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ। ਧੁਨੀ ਤਰੰਗ ਨਾਲ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂ.ਐਸ. ਕੈਪੀਟੋਲ, ਵਾਸ਼ਿੰਗਟਨ, ਡੀ.ਸੀ. ਵਿੱਚ ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ, ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਕਮਰਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.50(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਲ ਨੇ ਲਗਭਗ ਪੰਜਾਹ ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਯੂ.ਐਸ. ਹਾਊਸ ਆਫ ਰਿਪ੍ਰੈਜ਼ੈਂਟੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਮੀਟਿੰਗ ਸਥਾਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕੀਤਾ। ਇਸ ਅਰਧ-ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਮਰੇ ਦੇ ਦੋ ਫੋਕਸਾਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਫਰਸ਼ 'ਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਛਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਭਾਵੇਂ ਕਮਰਾ ਸੈਲਾਨੀਆਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਦੋ ਲੋਕ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋ ਕੇ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਖੜ੍ਹੇ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨਾਲੋਂ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੁਣ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਕਥਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੌਹਨ ਕੁਇੰਸੀ ਐਡਮਜ਼ ਦੀ ਡੈਸਕ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਸੀ ਅਤੇ ਉਹ ਹਾਊਸ ਦੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰਿਆਂ ਦੀ ਗੱਲਬਾਤ ਸੁਣ ਸਕਦਾ ਸੀ ਬਿਨਾਂ ਕਦੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਕਹਾਣੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸੱਚ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸਲ ਛੱਤ ਨੇ ਇੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਗੂੰਜ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀ ਕਿ ਆਵਾਜ਼ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਕਮਰੇ ਨੂੰ ਕਾਰਪੇਟਾਂ ਨਾਲ ਲਟਕਾਉਣਾ ਪਿਆ। ਛੱਤ ਨੂੰ 1902 ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਉਦੋਂ ਹੀ ਹੁਣ-ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਗੂੰਜਣ ਵਾਲਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਉਭਰਿਆ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਗੂੰਜਣ ਵਾਲੀ ਗੈਲਰੀ—ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਆਹ ਦੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਾਂ ਦਾ ਸਥਾਨ—ਨਿਊਯਾਰਕ ਸਿਟੀ ਦੇ ਗ੍ਰੈਂਡ ਸੈਂਟਰਲ ਸਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.50: (a) ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਧਰਤੀ ਦਾ ਪੰਧ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸੂਰਜ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। (b) ਯੂ.ਐਸ. ਕੈਪੀਟੋਲ ਵਿੱਚ ਸਟੈਚੂਰੀ ਹਾਲ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਗੂੰਜਣ ਵਾਲੀ ਗੈਲਰੀ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਨੂੰ ਦੂਰੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਦੋ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਦੋ ਅਸੀਮਟੋਟ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਫੋਕਸ) ਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਆਮ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.51: ਇੱਕ ਆਮ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੋਕਸਾਂ ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਟ੍ਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਯੁਕਤ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਧੁਰਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਲਗਭਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜਿਹੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੈ: ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ P ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x,y) ਹਨ। ਫਿਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ |d(P,F1)−d(P,F2)|=ਸਥਿਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਤਪਤੀ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ P ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦੀ ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਮੋਟੇ ਬਰੈਕਟ ਹਟ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਖੱਬੀ ਸ਼ਾਖਾ 'ਤੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੀ ਸ਼ਾਖਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (a,0) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਲਈ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ। P ਲਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (x,y) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ:
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ ਦੂਜਾ ਰੈਡੀਕਲ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਹੁਣ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a^2−c^2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ b ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ b^2=c^2−a^2। ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ c>a। ਇਸ ਲਈ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (h,k) ਤੱਕ ਲਿਜਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 7.10
ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ
ਕੇਂਦਰ (h,k),(h,k) ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲਘੂ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੋਵੇ। ਤਦ ਇਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h±c,k),(h±c,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2+b2.c2=a2+b2। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±ba(x−h).y=k±ba(x−h) ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (h,k±c),(h,k±c) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ c2=a2+b2.c2=a2+b2। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ y=k±ab(x−h).y=k±ab(x−h) ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ (ਟਰਾਂਸਵਰਸ ਧੁਰਾ) ਖਿਤਿਜੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਲੰਬਾਤਮਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ Ax2+By2+Cx+Dy+E=0,Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ A ਅਤੇ B ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.21
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਲੱਭਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ 9x2−16y2+36x+32y−124=09x2−16y2+36x+32y−124=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 124 ਜੋੜੋ:
ਅੱਗੇ x ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ y ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਸਮੂਹ ਬਣਾਓ, ਫਿਰ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ:
ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹਰੇਕ ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜਨ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਬਣੇ। ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, x ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (42)2=4.(42)2=4 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ, y ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ ਅੱਧਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਹ (−22)2=1.(−22)2=1 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਜੋੜੀ ਕੋਠਿਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਜੋੜੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਪਹਿਲੇ ਕੋਠੇ ਦੇ ਅੱਗੇ 9 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 36 ਜੋੜ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚੋਂ 16 ਘਟਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਗੇ ਦੋਵੇਂ ਕੋਠਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ ਅਤੇ 144 ਨਾਲ ਭਾਗ ਦਿਓ:
ਸਮੀਕਰਨ ਹੁਣ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸਮੀਕਰਨ 7.15 ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ 'ਤੇ h=−2,h=−2, k=1,k=1, a=4,a=4, ਅਤੇ b=3.b=3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ (−2,1)(−2,1) 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ y=1±34(x+2).y=1±34(x+2) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.52: ਉਦਾਹਰਨ 7.21 ਵਿੱਚ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.20
ਸਮੀਕਰਨ 4y2−9x2+16y+18x−29=04y2−9x2+16y+18x−29=0 ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਾਓ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹਨ?
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਦਿਲਚਸਪ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਗੁਣ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੀ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕਿਰਨ ਦੂਜੀ ਨਾਭੀ ਵੱਲ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਕਲਪ ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.53: ਦੂਰ ਦੇ ਤਾਰਿਆਂ ਤੋਂ ਰੋਸ਼ਨੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸ਼ੀਸ਼ਾ।
ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਇਸ ਗੁਣ ਦੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਰੇਡੀਓ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਣ (ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਟਾਵਰਾਂ ਤੋਂ ਸੰਕੇਤਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਨਾਲ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਅਤੇ ਦੂਰਬੀਨਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸ਼ੀਸ਼ਿਆਂ ਦੇ ਨਿਰਮਾਣ ਵਿੱਚ (ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਅੱਖ ਤੱਕ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਰੋਸ਼ਨੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਨ ਲਈ) ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਤੱਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸੂਰਜ ਦੇ ਗੁਰੂਤਾ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਗਤੀ ਕਾਫ਼ੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੁਆਰਾ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਦਾ ਪਥ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾਵਾਂ, ਨਾਭੀਆਂ, ਅਤੇ ਕੇਂਦਰਤਾ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਗੁਣ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਉਸ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਕੇਂਦਰਤਾ e ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਉਸਦੀ ਨਾਭੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਦੀ ਲੰਬਾਤਮਕ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਲਈ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਨੂੰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ:
If e=1,e=1, the conic is a parabola.
If e<1,e<1, it is an ellipse.
If e>1,e>1, it is a hyperbola.
The eccentricity of a circle is zero. The directrix of a conic section is the line that, together with the point known as the focus, serves to define a conic section. Hyperbolas and noncircular ellipses have two foci and two associated directrices. Parabolas have one focus and one directrix.
The three conic sections with their directrices appear in the following figure.
Figure 7.54: The three conic sections with their foci and directrices.
Recall from the definition of a parabola that the distance from any point on the parabola to the focus is equal to the distance from that same point to the directrix. Therefore, by definition, the eccentricity of a parabola must be 1. The equations of the directrices of a horizontal ellipse are x=±a2c.x=±a2c. The right vertex of the ellipse is located at (a,0)(a,0) and the right focus is (c,0).(c,0). Therefore the distance from the vertex to the focus is a−ca−c and the distance from the vertex to the right directrix is a2c−a.a2c−a. This gives the eccentricity as
Since c<a,c<a, this step proves that the eccentricity of an ellipse is less than 1. The directrices of a horizontal hyperbola are also located at x=±a2c,x=±a2c, and a similar calculation shows that the eccentricity of a hyperbola is also e=ca.e=ca. However in this case we have c>a,c>a, so the eccentricity of a hyperbola is greater than 1.
Example 7.22
Determining Eccentricity of a Conic Section
Determine the eccentricity of the ellipse described by the equation
Solution
From the equation we see that a=5a=5 and b=4.b=4. The value of c can be calculated using the equation a2=b2+c2a2=b2+c2 for an ellipse. Substituting the values of a and b and solving for c gives c=3.c=3. Therefore the eccentricity of the ellipse is e=ca=35=0.6.e=ca=35=0.6.
Checkpoint 7.21
Determine the eccentricity of the hyperbola described by the equation
Polar Equations of Conic Sections
Sometimes it is useful to write or identify the equation of a conic section in polar form. To do this, we need the concept of the focal parameter. The focal parameter of a conic section p is defined as the distance from a focus to the nearest directrix. The following table gives the focal parameters for the different types of conics, where a is the length of the semi-major axis (i.e., half the length of the major axis), c is the distance from the origin to the focus, and e is the eccentricity. In the case of a parabola, a represents the distance from the vertex to the focus.
row: Conic | e | p
row: Ellipse | 0<e<10<e<1 | a2−c2c=a(1−e2)ea2−c2c=a(1−e2)e
row: Parabola | e=1e=1 | 2a2a
row: Hyperbola | e>1e>1 | c2−a2c=a(e2−1)ec2−a2c=a(e2−1)e
Using the definitions of the focal parameter and eccentricity of the conic section, we can derive an equation for any conic section in polar coordinates. In particular, we assume that one of the foci of a given conic section lies at the pole. Then using the definition of the various conic sections in terms of distances, it is possible to prove the following theorem.
Theorem 7.11
Polar Equation of Conic Sections
ਪੈਰਾਮੀਟਰ p ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਖ ਧੁਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਪਦ (constant term) ਨੂੰ 1 ਬਣਾਓ। ਇਹ ਭਿੰਨ (fraction) ਦੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰ ਵਿੱਚ ਜਮਾਂ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਅੱਗੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਉਤਸਾਰਤਾ (eccentricity) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੁੱਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਖਿਤਿਜੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਈਨ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਧੁਰੇ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਤਾਂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੋਵੇ (ਭਾਵ, e=0)।
ਉਦਾਹਰਨ 7.23
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਹੱਲ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਪਦ 1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ 2 ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲਯ (hyperbola) ਹੈ। ਫੋਕਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ p ਦੀ ਗਣਨਾ ਸਮੀਕਰਨ ep=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ e=2, ਇਹ p=3/2 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਖਿਤਿਜੀ ਹੈ। θ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 7.55)।
ਸਤਰ: θ | r | θ | r
ਸਤਰ: 0 | 1 | π | −3
ਸਤਰ: π/4 | 3/(1+2)≈1.2426 | 5π/4 | 3/(1−2)≈−7.2426
ਸਤਰ: π/2 | 3 | 3π/2 | 3
ਸਤਰ: 3π/4 | 3/(1−2)≈−7.2426 | 7π/4 | 3/(1+2)≈1.2426
ਚਿੱਤਰ 7.55: ਉਦਾਹਰਨ 7.23 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.22
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ
ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ B≠0 ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਵਿਵੇਚਕ (discriminant) 4AC−B² ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੱਚ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
4AC−B²>0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਹੈ।
4AC−B²=0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਵਲਯ (parabola) ਹੈ।
4AC−B²<0। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਹੈ।
ਕਰਾਸ ਟਰਮ ਵਾਲੇ ਦੂਜੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਉਦਾਹਰਨ xy=1 ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ y=1/x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤਿਪਰਵਲਯ (rectangular hyperbola) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.56: ਸਮੀਕਰਨ xy=1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ; ਲਾਲ ਲਾਈਨਾਂ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਇਸ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ (asymptotes) x ਅਤੇ y ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਹਨ। ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਧੁਰੇ ਦੇ ਕੋਣ θ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ cot²θ = (A−C)/B ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ A=C=0 ਅਤੇ B=1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cot²θ = (0−0)/1 = 0 ਅਤੇ θ=45°। ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਧੁਰੇ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਗੁਣਾਂਕ A′, B′, C′, D′, E′, ਅਤੇ F′ ਲੇਬਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:
ਵਿਵੇਚਕ 4AC−B2 ਨਾਲ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।4AC−B2 ਨਾਲ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸੂਤਰ cot2θ=A−CB ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ θθ ਪਤਾ ਕਰੋ।cot2θ=A−CB ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ θθ ਪਤਾ ਕਰੋ।
A′,B′,C′,D′,E′, ਅਤੇ F′ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।A′,B′,C′,D′,E′, ਅਤੇ F′ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
A′,B′,C′,D′,E′, ਅਤੇ F′ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।A′,B′,C′,D′,E′, ਅਤੇ F′ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।
ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.24
ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਵਕਰ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਕੋਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, A=13,B=−63,C=7,D=0,E=0, ਅਤੇ F=−256।A=13,B=−63,C=7,D=0,E=0, ਅਤੇ F=−256। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਵੇਚਕ 4AC−B2=4(13)(7)−(−63)2=364−108=256 ਹੈ।4AC−B2=4(13)(7)−(−63)2=364−108=256। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, cot2θ=A−CB ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।cot2θ=A−CB ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ 2θ=120o ਅਤੇ θ=60o, ਜੋ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ।2θ=120o ਅਤੇ θ=60o, ਜੋ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ।
ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.57: ਸਮੀਕਰਨ 13x2−63xy+7y2−256=0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼।13x2−63xy+7y2−256=0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼। ਧੁਰੇ 60° ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ।60° ਘੁੰਮਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਲਾਲ ਡੈਸ਼ ਲਾਈਨਾਂ ਘੁੰਮੇ ਹੋਏ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.23
ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਵਕਰ ਲਈ ਸ਼ੰਕੂ ਅਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਕੋਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਰਵਲੈ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਫੋਕਸ (4,0) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−4(4,0) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−4
ਫੋਕਸ (0,−3) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=3(0,−3) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=3
ਫੋਕਸ (0,0.5) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−0.5(0,0.5) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=−0.5
ਫੋਕਸ (2,3) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−2(2,3) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ x=−2
ਫੋਕਸ (0,2) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=4(0,2) ਅਤੇ ਡਾਇਰੈਕਟ੍ਰਿਕਸ y=4
ਨਾਭੀ (−1,4) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=5
ਨਾਭੀ (−3,5) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ y=1
ਨਾਭੀ (5/2,−4) ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ x=7/2
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (4,0),(−4,0) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (2,0),(−2,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,5),(0,−5) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (0,3),(0,−3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਲਘੂਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,2),(0,−2) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (3,0),(−3,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−3,3),(7,3) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−2,3),(6,3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (−3,5),(−3,−3) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (−3,3),(−3,−1) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਲਘੂਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,0),(0,4) ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (5,2),(−5,2) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਨਾਭੀਆਂ (2,0),(−2,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦ੍ਰਤਾ 1/2 ਹੈ।
ਨਾਭੀਆਂ (0,−3),(0,3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦ੍ਰਤਾ 3/4 ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸ਼ਿਖਰ (5,0),(−5,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (6,0),(−6,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸ਼ਿਖਰ (0,2),(0,−2) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (0,3),(0,−3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (0,3),(0,−3) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀਆਂ (4,0),(−4,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਸ਼ਿਖਰ (0,1),(6,1) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀ (8,1) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਸ਼ਿਖਰ (−2,0),(−2,−4) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀ (−2,−8) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਸੰਯੁਗਮ ਧੁਰੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (3,2),(3,4) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਨਾਭੀ (3,7) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਨਾਭੀਆਂ (-6,0),(6,0) ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦ੍ਰਤਾ 3 ਹੈ।
(0,10),(0,−10) ਅਤੇ ਉਤਕੇਂਦ੍ਰਤਾ 2.5
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਉਤਕੇਂਦ੍ਰਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
r = −1 / (1 + cos θ)
r = 8 / (2 − sin θ)
r = 5 2 + sin θ
r = 5 −1 + 2 sin θ
r = 3 2 − 6 sin θ
r = 3 −4 + 3 sin θ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਵਿਸੇਸ਼ਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: x = 4 ; e = 1 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: x = −4 ; e = 5
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y = 2 ; e = 2
ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y = −2 ; e = 1 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
r = 1 1 + sin θ
r = 1 1 − cos θ
r = 4 1 + cos θ
r = 10 5 + 4 sin θ
r = 15 3 − 2 cos θ
r = 32 3 + 5 sin θ
r ( 2 + sin θ ) = 4
r = 3 2 + 6 sin θ
r = 3 −4 + 2 sin θ
x 2 9 + y 2 4 = 1
x 2 4 + y 2 16 = 1
4 x 2 + 9 y 2 = 36
25 x 2 − 4 y 2 = 100
x 2 16 − y 2 9 = 1
੧. ਦੋ ਨੂੰ ਦੋ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਬਾਰਾਂ ਵਾਏ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਨੂੰ ਦੋ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਬਾਰਾਂ ਵਾਏ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।
1. y 2 = 20 x y 2 = 20 x
੧੨ x = ੫ y ੨
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਨਿਕ ਭਾਗ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
x y = 4 x y = 4
x² + 4xy − 2y² − 6 = 0
x² + 2√3 xy + 3y² - 6 = 0
x^2 - xy + y^2 - 2 = 0
34 x^2 − 24 xy + 41 y^2 − 25 = 0
52 x^2 - 72 xy + 73 y^2 + 40 x + 30 y - 75 = 0
1. ਇੱਕ ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹੈੱਡਲਾਈਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਫੋਕਸ ਬਲਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕੀਮੈਟਿਕ 'ਤੇ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ x2=4y ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਲਬ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
1. ਇੱਕ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਦੇ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਵਰਗੀ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਪ੍ਰਾਪਤਕਰਤਾ ਨੂੰ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਆਪਣੇ ਖੁੱਲ੍ਹਣ 'ਤੇ 12 ਫੁੱਟ ਚੌੜੀ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ 4 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤਕਰਤਾ ਨੂੰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
1. ਪਿਛਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਡਿਸ਼ ਖੁੱਲ੍ਹਣ 'ਤੇ 8 ਫੁੱਟ ਵਿਆਸ ਅਤੇ 2 ਫੁੱਟ ਡੂੰਘੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰਿਸੀਵਰ ਕਿੱਥੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ?
ਖੋਜ-ਲੈਂਪ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਸਰੋਤ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ, ਬੇਸ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਖੋਜ-ਲੈਂਪ ਦਾ ਮੂੰਹ 3 ਫੁੱਟ ਚੌੜਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡੂੰਘਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਛੱਤਾਂ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹਾ ਵਿਅਕਤੀ ਦੂਜੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਵਿਅਕਤੀ ਨੂੰ ਸੁਣ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਛੱਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਧੁਨੀ ਤਰੰਗਾਂ ਦੂਜੇ ਵਿਅਕਤੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਗੁਪਤ ਗੱਲਬਾਤ ਵਾਲੇ ਕਮਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 120 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਫੋਕਸ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 30 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਛੱਤ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1. ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਗੁਪਤ ਗੈਲਰੀ ਵਿੱਚ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਕੰਧ ਤੋਂ 8 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਫੋਕਸ 80 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੈਲਰੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿਖੇ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਤੰਗਾਂ ਜਾਂ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀਆਂ ਕੱਕੀਆ ਦੇ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਰੂਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਹਾਂ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਦੂਰੀ ਖਗੋਲੀ ਇਕਾਈਆਂ (AU) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਹੇਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ: ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 35.88, ਵਿਲੱਖਣਤਾ = 0.967
ਹੇਲ-ਬੋਪ ਕਾਮੇਟ: ਮੇਜਰ ਐਕਸਿਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ = 525.91, ਐਕਸੈਂਟ੍ਰਿਸਿਟੀ = 0.995
ਮੰਗਲ: ਦੀਰਘ-ਧੁਰਾ = 3.049, ਵਿਕੇਂਦ੍ਰਤਾ = 0.0934
ਬ੍ਰਿਹਸਪਤੀ: ਦੀਰਘ ਅਕਸ਼ ਦਾ ਮਾਪ = 10.408, ਵਿਕੇਂਦ੍ਰਤਾ = 0.0484