ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
1.2.1 ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਟੈਨਜੈਂਟ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
1.2.2 ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
1.2.3 ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1.2.4 ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਆਇਤਨ 'ਤੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ਡ ਵਕਰ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਣਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਵਕਰ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਪਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਵਕਰ ਦੀ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ? ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਜਾਂ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ?
ਇੱਕ ਹੋਰ ਦ੍ਰਿਸ਼: ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਪਿਚਰ ਦੇ ਹੱਥੋਂ ਨਿਕਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਉਸਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਗੇਂਦ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਕਰ (x(t),y(t)),(x(t),y(t)) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਗਤੀ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਗੇਂਦ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਹ ਪੁੱਛ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਤਲ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1.16 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ ਜੋ (−1,−10)(−1,−10) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ (9,5).(9,5) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.16: ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ x(t)=2t+3x(t)=2t+3 ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ y(t),y(t) ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਇਸ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ dydx=32.dydx=32 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ x′(t)x′(t) ਅਤੇ y′(t).y′(t) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ x′(t)=2x′(t)=2 ਅਤੇ y′(t)=3.y′(t)=3 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ dydx=dy/dtdx/dt=32.dydx=dy/dtdx/dt=32। ਇਹ ਕੋਈ ਸੰਜੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.1
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x=x(t)x=x(t) ਅਤੇ y=y(t).y=y(t) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਤਲ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x′(t)x′(t) ਅਤੇ y′(t)y′(t) ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x′(t)≠0.x′(t)≠0। ਫਿਰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ dydxdydx ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਸਬੂਤ
ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y=F(x).y=F(x) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ y(t)=F(x(t)).y(t)=F(x(t))। ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ
ਪਰ F′(x(t))=dydx,F′(x(t))=dydx, ਜੋ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
□
ਸਮੀਕਰਨ 1.1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸਮਤਲ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ x=x0x=x0 ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਜਾਂ ਤਾਂ f′(x0)=0f′(x0)=0 ਜਾਂ f′(x0)f′(x0) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 1.1 ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੀ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.4
Finding the Derivative of a Parametric Curve
Calculate the derivative dydxdydx for each of the following parametrically defined plane curves, and locate any critical points on their respective graphs.
x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4
x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t≤2x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t≤2
x(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2πx(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2π
Solution
To apply Equation 1.1, first calculate x′(t)x′(t) and y′(t):y′(t): x′(t)=2ty′(t)=2.x′(t)=2ty′(t)=2. Next substitute these into the equation: dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t. This derivative is undefined when t=0.t=0. Calculating x(0)x(0) and y(0)y(0) gives x(0)=(0)2−3=−3x(0)=(0)2−3=−3 and y(0)=2(0)−1=−1,y(0)=2(0)−1=−1, which corresponds to the point (−3,−1)(−3,−1) on the graph. The graph of this curve is a parabola opening to the right, and the point (−3,−1)(−3,−1) is its vertex as shown. Figure 1.17 Graph of the parabola described by parametric equations in part a.
To apply Equation 1.1, first calculate x′(t)x′(t) and y′(t):y′(t): x′(t)=2y′(t)=3t2−3.x′(t)=2y′(t)=3t2−3. Next substitute these into the equation: dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32.dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32. This derivative is zero when t=±1.t=±1. When t=−1t=−1 we have x(−1)=2(−1)+1=−1andy(−1)=(−1)3−3(−1)+4=−1+3+4=6,x(−1)=2(−1)+1=−1andy(−1)=(−1)3−3(−1)+4=−1+3+4=6, which corresponds to the point (−1,6)(−1,6) on the graph. When t=1t=1 we have x(1)=2(1)+1=3andy(1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2,x(1)=2(1)+1=3andy(1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2, which corresponds to the point (3,2)(3,2) on the graph. The point (3,2)(3,2) is a relative minimum and the point (−1,6)(−1,6) is a relative maximum, as seen in the following graph. Figure 1.18 Graph of the curve described by parametric equations in part b.
To apply Equation 1.1, first calculate x′(t)x′(t) and y′(t):y′(t): x′(t)=−5sinty′(t)=5cost.x′(t)=−5sinty′(t)=5cost. Next substitute these into the equation: dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost−5sintdydx=−cott.dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost−5sintdydx=−cott. This derivative is zero when cost=0cost=0 and is undefined when sint=0.sint=0. This gives t=0,π2,π,3π2,and2πt=0,π2,π,3π2,and2π as critical points for t. Substituting each of these into x(t)x(t) and y(t),y(t), we obtain tt x(t)x(t) y(t)y(t) 0 5 0 π2π2 0 5 ππ −5 0 3π23π2 0 −5 2π2π 5 0 These points correspond to the sides, top, and bottom of the circle that is represented by the parametric equations (Figure 1.19). On the left and right edges of the circle, the derivative is undefined, and on the top and bottom, the derivative equals zero. Figure 1.19 Graph of the curve described by parametric equations in part c.
Checkpoint 1.4
Calculate the derivative dy/dxdy/dx for the plane curve defined by the equations
and locate any critical points on its graph.
Example 1.5
Finding a Tangent Line
Find an equation of the tangent line to the curve defined by the equations
Solution
First find the slope of the tangent line using Equation 1.1, which means calculating x′(t)x′(t) and y′(t):y′(t):
Next substitute these into the equation:
When t=2,t=2, dydx=12,dydx=12, so this is the slope of the tangent line. Calculating x(2)x(2) and y(2)y(2) gives
which corresponds to the point (1,3)(1,3) on the graph (Figure 1.20). Now use the point-slope form of the equation of a line to find an equation of the tangent line:
Figure 1.20: Tangent line to the parabola described by the given parametric equations when t=2.t=2.
Checkpoint 1.5
Find an equation of the tangent line to the curve defined by the equations
Second-Order Derivatives
ਸਾਡਾ ਅਗਲਾ ਮਕਸਦ ਇਹ ਵੇਖਣਾ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਲਿਆ ਜਾਵੇ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਦਾ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ; ਅਰਥਾਤ,
ਕਿਉਂਕਿ dydx=dy/dtdx/dt,dydx=dy/dtdx/dt, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ yy ਨੂੰ dydx.dydx ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ dy/dxdy/dx ਨੂੰ t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸਿੱਧਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.6
ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣਾ
ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਲਈ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ d2y/dx2d2y/dx2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4.x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 1.4 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ dydx=22t=1t.dydx=22t=1t. ਸਮੀਕਰਨ 1.2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.6
ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਲਈ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ d2y/dx2d2y/dx2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ
ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਲੱਭੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਗਿਣਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲਾ ਸਵਾਲ ਇਹ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਵ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ? ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x(t)=t−sint,y(t)=1−cost.x(t)=t−sint,y(t)=1−cost ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਸ਼ੇਡ ਕੀਤੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 1.21: ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜਿਸ ਵਿੱਚ [0,2π][0,2π] ਉੱਤੇ ਆਰਚ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਵ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ
ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x(t)x(t) ਅੰਤਰਾਲ t ∈ [a, b]t ∈ [a, b] 'ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ x(t)x(t) ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ a≤t≤b.a≤t≤b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਵੰਡ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ t0=a<t1<t2<⋯<tn=bt0=a<t1<t2<⋯<tn=b ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1.22: ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਵ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ।
ਅਸੀਂ ਕਰਵ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। iith ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ y(ti–1)y(ti–1) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਖੇਤਰ ਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ y(ti-1)(x(ti)-x(ti-1))(ti-ti-1).y(ti-1)(x(ti)-x(ti-1))(ti-ti-1) ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ 1 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫਿਰ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨਨ ਜੋੜ ਹੈ
ti−ti−1ti−ti−1 ਦੁਆਰਾ ਹਰੇਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੇਣ ਨਾਲ
ਜਦੋਂ nn ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸੀਮਾ ਲੈਣ ਨਾਲ
ਜੇਕਰ xx, a≤t≤ba≤t≤b ਲਈ ਇੱਕ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਉਤਪਤੀ ਦਿਖਾਏਗੀ ਕਿ ਖੇਤਰ -∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'(t)dt-∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'(t)dt ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਮੇਯ ੧.੨
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ, ਨਾਨ-ਸੈਲਫ-ਇੰਟਰਸੈਕਟਿੰਗ ਸਮਤਲ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x(t)x(t) ਵਿਭੇਦਨੀਯ ਹੈ। ਇਸ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਉਦਾਹਰਨ ੧.੭
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ
ਸਾਈਕਲੌਇਡ ਦੇ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ੧.੩ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ ੧.੭
ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੌਇਡ ਦੇ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਅਧੀਨ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਾਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਣ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ B ਤੱਕ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਣ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ ੧.੨੩: ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਕਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,x=x(t),y=y(t),a≤t≤b ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: t0=a<t1<t2<⋯<tn=b.t0=a<t1<t2<⋯<tn=b। ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ Δt=(b−a)/n.Δt=(b−a)/n ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਅਸੀਂ s ਨੂੰ ਸਹੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ snsn ਨੂੰ n ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x(t)x(t) ਅਤੇ y(t)y(t) t ਦੇ ਵਿਭੇਦਨੀਯ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ (ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ) ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲ [tk−1,tk][tk−1,tk] ਵਿੱਚ t^kt^k ਅਤੇ t˜kt˜k ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ੧.੪ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਇੱਕ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਹੈ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ [a,b].[a,b] ਦੇ ਭਾਗ ਦੁਆਰਾ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਸਹੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਸੀਮਾ ਲੈਂਦੇ ਸਮੇਂ, t^kt^k ਅਤੇ t˜kt˜k ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੋਵੇਂ Δt,Δt ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਵਾਲੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਦਾ-ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਰਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਮੇਯ ੧.੩
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ
ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਤਲ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x(t)x(t) ਅਤੇ y(t)y(t) t ਦੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਫਲਨ ਹਨ। ਤਦ ਇਸ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਸੂਤਰ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ y=F(x).y=F(x) ਫਲਨ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਤਦ y(t)=F(x(t))y(t)=F(x(t)) ਅਤੇ ਚੇਨ ਰੂਲ y′(t)=F′(x(t))x′(t).y′(t)=F′(x(t))x′(t) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 1.5 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ x′(t)>0,x′(t)>0, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਧਾਰਨਾ ਹੈ। ਚੇਨ ਰੂਲ dx=x′(t)dt,dx=x′(t)dt ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ a=x(t1)a=x(t1) ਅਤੇ b=x(t2)b=x(t2) ਲੈਣ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਸੂਤਰ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.8
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭਣਾ
ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ
ਹੱਲ
t=0t=0 ਤੋਂ t=πt=π ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲ ਚਿੱਤਰ 1.23 ਵਿੱਚ ਲਾਲ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 1.5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਸੂਤਰ πrπr ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 3 ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.24: ਅਰਧ-ਚੱਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਉਸਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਨੂੰ π ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।π.
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 1.8
ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਉਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੇਸਬਾਲ ਬਾਰੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ ਜੋ ਇੱਕ ਪਿਚਰ ਦੇ ਹੱਥੋਂ ਨਿਕਲਦੀ ਹੈ। ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ (ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਕਰਵ ਬਾਲ ਨਾ ਹੋਵੇ!), ਗੇਂਦ ਇੱਕ ਪਰਵਲਈ ਪਥ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਿਚਰ ਦਾ ਹੱਥ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਗੇਂਦ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਵਕਰ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ t ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੇਂਦ ਦੁਆਰਾ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦੂਰੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਸੋਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ ਫਲਨ x(t)x(t) ਅਤੇ y(t)y(t) ਨੂੰ v ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੋ, ਤਾਂ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਨਾਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਉਲਝਣ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ:
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
ਵੇਰੀਏਬਲ v ਇੱਕ ਡਮੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਮਾਕਲਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਅਲੋਪ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਸਮੇਂ t ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਅਨੁਬੰਧ A ਤੋਂ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ,
ਅਸੀਂ a=140a=140 ਅਤੇ u=−32v+2.u=−32v+2 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ du=−32dv,du=−32dv ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ dv=−132du.dv=−132du। ਇਸ ਲਈ
ਅਤੇ
ਇਹ ਫਲਨ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਗੇਂਦ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸ ਫਲਨ ਦਾ t ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਨ ਲਓ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਡਰਾਉਣਾ ਕੰਮ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ ਸਿੱਧੇ ਜਵਾਬ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ:
ਇਸ ਲਈ
ਗੇਂਦ ਦੇ ਪਿਚਰ ਦੇ ਹੱਥੋਂ ਨਿਕਲਣ ਦੇ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਸਕਿੰਟ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
ਇਹ ਮੁੱਲ ਹੋਮ ਪਲੇਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਤਿੰਨ-ਚੌਥਾਈ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਧ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ
ਇਹ ਗਤੀ ਲਗਭਗ 95 mph - ਇੱਕ ਮੇਜਰ-ਲੀਗ ਫਾਸਟਬਾਲ - ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
Surface Area Generated by a Parametric Curve
Recall the problem of finding the surface area of a volume of revolution. In Curve Length and Surface Area, we derived a formula for finding the surface area of a volume generated by a function y=f(x)y=f(x) from x=ax=a to x=b,x=b, revolved around the x-axis:
We now consider a volume of revolution generated by revolving a parametrically defined curve x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),a≤t≤b around the x-axis as shown in the following figure.
Figure 1.25: A surface of revolution generated by a parametrically defined curve.
The analogous formula for a parametrically defined curve is
provided that y(t)y(t) is not negative on [a,b].[a,b].
Example 1.9
Finding Surface Area
Find the surface area of a sphere of radius r centered at the origin.
Solution
We start with the curve defined by the equations
This generates an upper semicircle of radius r centered at the origin as shown in the following graph.
Figure 1.26: A semicircle generated by parametric equations.
When this curve is revolved around the x-axis, it generates a sphere of radius r. To calculate the surface area of the sphere, we use Equation 1.6:
This is, in fact, the formula for the surface area of a sphere.
Checkpoint 1.9
Find the surface area generated when the plane curve defined by the equations
is revolved around the x-axis.
For the following exercises, each set of parametric equations represents a line. Without eliminating the parameter, find the slope of each line.
x = 3 + t , y = 1 − t x = 3 + t , y = 1 − t
x = 8 + 2 t , y = 1 x = 8 + 2 t , y = 1
x = 4 − 3 t , y = −2 + 6 t x = 4 − 3 t , y = −2 + 6 t
x = −5 t + 7 , y = 3 t − 1 x = −5 t + 7 , y = 3 t − 1
For the following exercises, determine the slope of the tangent line, then find an equation of the tangent line at the given value of the parameter.
x = 3 sin t , y = 3 cos t , t = π 4 x = 3 sin t , y = 3 cos t , t = π 4
x = cos t , y = 8 sin t , t = π 2 x = cos t , y = 8 sin t , t = π 2
x = 2 t , y = t 3 , t = −1 x = 2 t , y = t 3 , t = −1
x = t + 1 t , y = t − 1 t , t = 1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , t = 1
x = t , y = 2 t , t = 4 x = t , y = 2 t , t = 4
For the following exercises, find all points on the curve that have the given slope.
x=4cost,y=4sint,x=4cost,y=4sint, slope = 0.5
x = 2 cos t , y = 8 sin t , slope = −1 x = 2 cos t , y = 8 sin t , slope = −1
x = t + 1 t , y = t − 1 t , slope = 1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , slope = 1
x = 2 + t , y = 2 − 4 t , slope = 0 x = 2 + t , y = 2 − 4 t , slope = 0
For the following exercises, write the equation of the tangent line in Cartesian coordinates for the given parameter t.
x = e t , y = 1 − ln t 2 , t = 1 x = e t , y = 1 − ln t 2 , t = 1
x = t ln t , y = sin 2 t , t = π 4 x = t ln t , y = sin 2 t , t = π 4
x = e t , y = ( t − 1 ) 2 , at ( 1 , 1 ) x = e t , y = ( t − 1 ) 2 , at ( 1 , 1 )
For x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint where 0≤t<2π.0≤t<2π. Find all values of t at which a horizontal tangent line exists.
For x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint where 0≤t<2π.0≤t<2π. Find all values of t at which a vertical tangent line exists.
Find all points on the curve x=4sin(t),y=4cos(t)x=4sin(t),y=4cos(t) that have the slope of 0.50.5
Find dydxdydx for x=sin(t),y=cos(t).x=sin(t),y=cos(t).
Find an equation of the tangent line to x=sin(t),y=cos(t)x=sin(t),y=cos(t) at t=π4.t=π4.
For the curve x=4t,y=3t−2,x=4t,y=3t−2, find the slope and concavity of the curve at t=3.t=3.
For the parametric curve whose equation is x=4cosθ,y=4sinθ,x=4cosθ,y=4sinθ, find the slope and concavity of the curve at θ=π4.θ=π4.
Find the slope and concavity for the curve whose equation is x=2+secθ,y=1+2tanθx=2+secθ,y=1+2tanθ at θ=π6.θ=π6.
Find all points on the curve x=t+4,y=t3−3tx=t+4,y=t3−3t at which there are vertical and horizontal tangents.
Find all points on the curve x=secθ,y=tanθx=secθ,y=tanθ at which horizontal and vertical tangents exist.
For the following exercises, find d2y/dx2.d2y/dx2.
x = t 4 − 1 , y = t − t 2 x = t 4 − 1 , y = t − t 2
x = sin ( π t ) , y = cos ( π t ) x = sin ( π t ) , y = cos ( π t )
x = e − t , y = t e 2 t x = e − t , y = t e 2 t
For the following exercises, find points on the curve at which tangent line is horizontal or vertical.
x = t ( t 2 − 3 ) , y = 3 ( t 2 − 3 ) x = t ( t 2 − 3 ) , y = 3 ( t 2 − 3 )
x = 3 t 1 + t 3 , y = 3 t 2 1 + t 3 x = 3 t 1 + t 3 , y = 3 t 2 1 + t 3
For the following exercises, find dy/dxdy/dx at the value of the parameter.
x = cos t , y = sin t , t = 3 π 4 x = cos t , y = sin t , t = 3 π 4
x = t , y = 2 t + 4 , t = 9 x = t , y = 2 t + 4 , t = 9
x = 4 cos ( 2 π s ) , y = 3 sin ( 2 π s ) , s = − 1 4 x = 4 cos ( 2 π s ) , y = 3 sin ( 2 π s ) , s = − 1 4
For the following exercises, find d2y/dx2d2y/dx2 at the given point without eliminating the parameter.
x = 1 2 t 2 , y = 1 3 t 3 , t = 2 x = 1 2 t 2 , y = 1 3 t 3 , t = 2
x = t , y = 2 t + 4 , t = 1 x = t , y = 2 t + 4 , t = 1
Find t intervals on which the curve x=3t2,y=t3−tx=3t2,y=t3−t is concave up as well as concave down.
Determine the concavity of the curve x=2t+lnt,y=2t−lnt.x=2t+lnt,y=2t−lnt.
Sketch and find the area under one arch of the cycloid x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).
Find the area bounded by the curve x=cost,y=et,0≤t≤π2x=cost,y=et,0≤t≤π2 and the lines y=1y=1 and x=0.x=0.
Find the area enclosed by the ellipse x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.
Find the area of the region bounded by x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ,x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ, for 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.
For the following exercises, find the area of the regions bounded by the parametric curves and the indicated values of the parameter.
x = 2 cot θ , y = 2 sin 2 θ , 0 ≤ θ ≤ π x = 2 cot θ , y = 2 sin 2 θ , 0 ≤ θ ≤ π
[T] x=2acost−acos(2t),y=2asint−asin(2t),0≤t<2πx=2acost−acos(2t),y=2asint−asin(2t),0≤t<2π
[T] x=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2πx=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2π (the “hourglass”)
[T] x=2acost−asin(2t),y=bsint,0≤t<2πx=2acost−asin(2t),y=bsint,0≤t<2π (the “teardrop”)
For the following exercises, find the arc length of the curve on the indicated interval of the parameter.
x = 4 t + 3 , y = 3 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 2 x = 4 t + 3 , y = 3 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 2
x = 1 3 t 3 , y = 1 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 x = 1 3 t 3 , y = 1 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1
x = cos ( 2 t ) , y = sin ( 2 t ) , 0 ≤ t ≤ π 2 x = cos ( 2 t ) , y = sin ( 2 t ) , 0 ≤ t ≤ π 2
x = 1 + t 2 , y = ( 1 + t ) 3 , 0 ≤ t ≤ 1 x = 1 + t 2 , y = ( 1 + t ) 3 , 0 ≤ t ≤ 1
x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2 (Use a CAS for this and express the answer as a decimal rounded to three places.)
x=acos3θ,y=asin3θx=acos3θ,y=asin3θ on the interval [0,2π)[0,2π) (the hypocycloid)
Find the length of one arch of the cycloid x=4(t−sint),y=4(1−cost).x=4(t−sint),y=4(1−cost).
Find the distance traveled by a particle with position (x,y)(x,y) as t varies in the given time interval: x=sin2t,y=cos2t,0≤t≤3π.x=sin2t,y=cos2t,0≤t≤3π.
Find the length of one arch of the cycloid x=θ−sinθ,y=1−cosθ.x=θ−sinθ,y=1−cosθ.
Show that the total length of the ellipse x=4sinθ,y=3cosθx=4sinθ,y=3cosθ is L=16∫0π/21−e2sin2θdθ,L=16∫0π/21−e2sin2θdθ, where e=cae=ca and c=a2−b2.c=a2−b2.
Find the length of the curve x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.
For the following exercises, find the area of the surface obtained by rotating the given curve about the x-axis.
x = t 3 , y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 x = t 3 , y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1
x = a cos 3 θ , y = a sin 3 θ , 0 ≤ θ ≤ π 2 x = a cos 3 θ , y = a sin 3 θ , 0 ≤ θ ≤ π 2
[T] Use a CAS to find the area of the surface generated by rotating x=t+t3,y=t−1t2,1≤t≤2x=t+t3,y=t−1t2,1≤t≤2 about the x-axis. (Answer to three decimal places.)
Find the surface area obtained by rotating x=3t2,y=2t3,0≤t≤5x=3t2,y=2t3,0≤t≤5 about the y-axis.
Find the area of the surface generated by revolving x=t2,y=2t,0≤t≤4x=t2,y=2t,0≤t≤4 about the x-axis.
Find the surface area generated by revolving x=t2,y=2t2,0≤t≤1x=t2,y=2t2,0≤t≤1 about the y-axis.