ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚਣਾ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ।
ਧਰੁਵੀ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (ਜਾਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ) ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਤੱਕ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਤੱਕ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੁਝ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 1.27 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x,y) ਹਨ। ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ P ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾਖੰਡ ਮੂਲ ਤੋਂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ r ਹੈ। ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ θ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜੋੜੇ (x,y) ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ r ਅਤੇ θ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਪੱਤਰ-ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੱਤਰ-ਵਿਹਾਰ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਦੋ ਮੁੱਲ (ਇਸ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ ਸ਼ਬਦ) ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਵੀ ਦੋ ਮੁੱਲ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: r ਅਤੇ θ।
ਚਿੱਤਰ 1.27: ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ।
ਸੱਜੇ-ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬਿੰਦੂ P ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਸੱਚ ਹਨ:
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ,
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਨੂੰ ਇਸ ਲਈ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (r,θ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਨੂੰ ਕੋਣੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ tanθ=y/x ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ (x,y) ਲਈ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਹੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਦੇ ਸਥਿਤ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ r ਦਾ ਸੰਗਤ ਮੁੱਲ ਧਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r²=x²+y²।
ਥਿਊਰਮ 1.4
ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (x,y) ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (r,θ) ਹਨ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸੱਚ ਹਨ:
ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਜਾਂ ਧਰੁਵੀ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.10
ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
(1,1)
(−3,4)
(0,3)
(53,−5)
ਹਰੇਕ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
(3,π/3)
(2,3π/2)
(6,−5π/6)
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ 1.8 ਵਿੱਚ x=1 ਅਤੇ y=1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: r2=x2+y2=12+12r=2 ਅਤੇ tanθ=yx=11=1 θ=π4। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (2,π4) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.8 ਵਿੱਚ x=−3 ਅਤੇ y=4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: r2=x2+y2=(−3)2+(4)2r=5 ਅਤੇ tanθ=yx=−43 θ=π-arctan(43)≈2.21। ਬਿੰਦੂ (-3, 4) ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। θ ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ π ਵਿੱਚੋਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਐਂਗਲ, arctan43, ਦਾ ਮੁੱਲ ਘਟਾਓ। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (5,2.21) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.8 ਵਿੱਚ x=0 ਅਤੇ y=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: r2=x2+y2=(3)2+(0)2=9+0r=3 ਅਤੇ tanθ=yx=30। ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,3) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ y-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਕੋਣ π2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (3,π2) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.8 ਵਿੱਚ x=53 ਅਤੇ y=−5 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: r2=x2+y2=(53)2+(−5)2=75+25r=10 ਅਤੇ tanθ=yx=−553=−33 θ=−π6। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (10,−π6) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.7 ਵਿੱਚ r=3 ਅਤੇ θ=π3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: x=rcosθ=3cos(π3)=3(12)=32 ਅਤੇ y=rsinθ=3sin(π3)=3(32)=332। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (32,332) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.7 ਵਿੱਚ r=2 ਅਤੇ θ=3π2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: x=rcosθ=2cos(3π2)=2(0)=0 ਅਤੇ y=rsinθ=2sin(3π2)=2(−1)=−2। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (0,−2) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ 1.7 ਵਿੱਚ r=6 ਅਤੇ θ=−5π6 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: x=rcosθ=6cos(−5π6)=6(−32)=−33 ਅਤੇ y=rsinθ=6sin(−5π6)=6(−12)=−3। ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ (−33,−3) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.10
(−8,−8) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ (4,2π3) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਿਲੱਖਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (2,π3) ਅਤੇ (2,7π3) ਦੋਵੇਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (1,3) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, rr ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (−2,4π3) ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (1,3) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 1.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਮਈ ਵਿਆਖਿਆ ਵੀ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, rr ਉਹ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ θθ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ xx-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.28: ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ (ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰਾ ਕਹਾਂਦਾ ਹੈ) ਪੋਲਰ ਧੁਰਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰੀ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੋਲ, ਜਾਂ ਮੂਲ ਹੈ, ਅਤੇ r=0 ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.28 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਪੋਲ ਤੋਂ 1 ਯੂਨਿਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r=1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ r=2 ਪੋਲ ਤੋਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਪੋਲ ਤੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੋਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਜੇ ਕੋਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਮਾਪੋ। ਜੇ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪੋ। ਜੇ rr ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਕਿਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਉਸ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪੋ। ਜੇ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਟਰਮੀਨਲ ਕਿਰਨ ਦੇ ਉਲਟ ਕਿਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.11
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
(2,π4)
(−3,2π3)(−3,2π3)
(4,5π4)(4,5π4)
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1.29: ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.11
ਪੋਲਰ ਪਲੇਨ ਉੱਤੇ (4,5π3)(4,5π3) ਅਤੇ (−3,−7π2)(−3,−7π2) ਦਰਸਾਓ।
ਪੋਲਰ ਵਕਰ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ r=f(θ).r=f(θ) ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਆਮ ਵਿਚਾਰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ θ(θ) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ r.r ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਤਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਲਾਭ ਉਠਾਓ ਜੋ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਸਿਰਫ ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਮੱਸ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। ਪਹਿਲਾ ਕਾਲਮ θ,θ ਲਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਕਾਲਮ r.r ਲਈ ਹੈ।
θ.θ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
ਹਰੇਕ θ.θ ਲਈ ਅਨੁਸਾਰੀ rr ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (r,θ)(r,θ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਇਹ ਵੀਡੀਓ ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.12
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ r=4sinθ.r=4sinθ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਵਕਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਇਹ 2π,2π ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦੇ ਨਾਲ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ θθ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 0 ਅਤੇ 2π.2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਰਤੋ। ਕਦਮ 1–3 ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.30 ਇਸ ਟੇਬਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
row: θθ | r=4sinθr=4sinθ | θθ | r=4sinθr=4sinθ
row: 0 | 0 | ππ | 0
row: π6π6 | 22 | 7π67π6 | −2−2
row: π4π4 | 22≈2.822≈2.8 | 5π45π4 | −22≈−2.8−22≈−2.8
row: π3π3 | 23≈3.423≈3.4 | 4π34π3 | −23≈−3.4−23≈−3.4
row: π2π2 | 44 | 3π23π2 | -4-4
row: 2π32π3 | 23≈3.423≈3.4 | 5π35π3 | −23≈−3.4−23≈−3.4
row: 3π43π4 | 22≈2.822≈2.8 | 7π47π4 | −22≈−2.8−22≈−2.8
row: 5π65π6 | 22 | 11π611π6 | −2−2
row: 2π2π | 0
Figure 1.30: The graph of the function r=4sinθr=4sinθ is a circle.
This is the graph of a circle. The equation r=4sinθr=4sinθ can be converted into rectangular coordinates by first multiplying both sides by r.r. This gives the equation r2=4rsinθ.r2=4rsinθ. Next use the facts that r2=x2+y2r2=x2+y2 and y=rsinθ.y=rsinθ. This gives x2+y2=4y.x2+y2=4y. To put this equation into standard form, subtract 4y4y from both sides of the equation and complete the square:
This is the equation of a circle with radius 2 and center (0,2)(0,2) in the rectangular coordinate system.
Checkpoint 1.12
Create a graph of the curve defined by the function r=4+4cosθ.r=4+4cosθ.
The graph in Example 1.12 was that of a circle. The equation of the circle can be transformed into rectangular coordinates using the coordinate transformation formulas in Equation 1.8. Example 1.14 gives some more examples of functions for transforming from polar to rectangular coordinates.
Example 1.13
Transforming Polar Equations to Rectangular Coordinates
Rewrite each of the following equations in rectangular coordinates and identify the graph.
θ=π3θ=π3
r=3r=3
r=6cosθ−8sinθr=6cosθ−8sinθ
Solution
Take the tangent of both sides. This gives tanθ=tan(π/3)=3.tanθ=tan(π/3)=3. Since tanθ=y/xtanθ=y/x we can replace the left-hand side of this equation by y/x.y/x. This gives y/x=3,y/x=3, which can be rewritten as y=x3.y=x3. This is the equation of a straight line passing through the origin with slope 3.3. In general, any polar equation of the form θ=Kθ=K represents a straight line through the pole with slope equal to tanK.tanK.
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=9$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ $r^2$ ਨੂੰ $x^2+y^2$ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ $x^2+y^2=9$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, $r=k$ ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ $k$ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ $k$ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅਣਜਾਣੇ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਪੇਸ਼ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $(-3, \pi/3)$ ਬਿੰਦੂ $(3, 4\pi/3)$ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।)
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ $r$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=6r\cos\theta−8r\sin\theta$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਫਾਰਮੂਲੇ $r^2=x^2+y^2$, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=6(r\cos\theta)−8(r\sin\theta)$ ਅਤੇ $x^2+y^2=6x−8y$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਲਿਆਓ, ਫਿਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। $x^2+y^2=6x−8y \implies x^2−6x+y^2+8y=0 \implies (x^2−6x)+(y^2+8y)=0 \implies (x^2−6x+9)+(y^2+8y+16)=9+16 \implies (x−3)^2+(y+4)^2=25$। ਇਹ $(3,−4)$ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ 5 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚੱਕਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੇਂਦਰ 5 ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.13
ਸਮੀਕਰਨ $r=\sec\theta\tan\theta$ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਆਮ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰਣੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, $a$ ਅਤੇ $b$ ਮਨਮਾਨੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ।
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਇੱਕ ਲਿਮਾਸਨ (ਉਚਾਰਨ "ਲੀ-ਮਾ-ਸਨ") ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $a=b$ ਜਾਂ $a=−b$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੋਜ਼ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਦਿਲਚਸਪ ਵਕਰ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $r=3\sin2\theta$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਪੰਖੜੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $r=3\sin3\theta$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪੰਖੜੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.33: $r=3\sin3\theta$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਜੇਕਰ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀਆਂ ਪੰਖੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੰਖੜੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਵੀ ਦਿਲਚਸਪ ਗ੍ਰਾਫ ਉਭਰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਬੰਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਯਾਨੀ, ਇਹ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਉੱਥੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੋਂ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ (ਚਿੱਤਰ 1.34(a))। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਕਦੇ ਬੰਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ (ਚਿੱਤਰ 1.34(b))। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਬੰਦ ਹੈ, ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਜਾਂਚ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਧਨਾਤਮਕ $r$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਵਾਲੀਆਂ ਪੰਖੜੀਆਂ ਥੋੜ੍ਹੀਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੰਖੜੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੀ।
ਚਿੱਤਰ 1.34: ਪਰਿਮੇਯ ਗੁਣਾਂਕ (a) ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਗੁਣਾਂਕ (b) ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਰੋਜ਼ ਗ੍ਰਾਫ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਭਾਗ (b) ਵਿੱਚ ਰੋਜ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਭਰਦਾ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਸਿਰਫ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਨ ਲਈ, $\theta$ ਦੇ ਸਿਰਫ ਗਿਣਤੀਯੋਗ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਕਿਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਜਿੰਨੇ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.14
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਜੀਵ ਅੱਧਾ ਬਾਹਰੀ ਸ਼ੈੱਲ ਕੱਟੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1.35 ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਚਿੱਤਰ 1.35: ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਰਣਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹੱਲ
ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਬਿੰਦੂ $P$ ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਘੜੀ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਦੂਰੀ $d$ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੂਰੀ $d$ ਕੋਣ $\theta$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਂਕ $k$ ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡ $OP$ ਧਨਾਤਮਕ $r$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $d(P,O)=k\theta$, ਜਿੱਥੇ $O$ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਹੁਣ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਤੇ ਕੁਝ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ $x$ ਜਾਂ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, $d(P,O)=r$, ਅਤੇ $\theta$ ਦੂਜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਪਾਈਰਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $r=k\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ $\theta=0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ $r=0$ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਪਾਈਰਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਇਸ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਪਾਈਰਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $r=a+k\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $k$ ਮਨਮਾਨੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਆਰਕੀਮੀਡੀਅਨ ਸਪਾਈਰਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਲਘੂਗਣਕ ਸਪਾਈਰਲ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ ਫੰਕਸ਼ਨ $r=a\cdot b^\theta$ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ $r=1.2(1.25^\theta)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 1.36 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਸਪਾਈਰਲ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਦੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1.36: ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਪਾਈਰਲ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ: Jitze Couperus, Flickr)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਕਰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ $r=f(\theta)$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਇਹ ਕਦਮ $\theta$ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 1.31 ਤੋਂ ਸਪਾਈਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ $r=a+b\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
$\theta$ ਨੂੰ $-\infty$ ਤੋਂ $\infty$ ਤੱਕ ਵਧਣ ਦੇਣ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਸਪਾਈਰਲ ਤਿਆਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ
ਜਦੋਂ ਆਪਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਯਾਨੀ, y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ) ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਪਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(−x)=f(x) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (even function) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(−x)=−f(x) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਇੱਕ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (odd function) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਪਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਦਿੱਖ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹੋਰ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ (polar curves) ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 1.5
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ
ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ r=f(θ) ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਵਕਰ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,−θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਪੋਲ (pole) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,π+θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) r ਨੂੰ −r ਨਾਲ, ਜਾਂ θ ਨੂੰ π+θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,π−θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) θ ਨੂੰ π−θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1.15
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
r=3sin(2θ) ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਗੁਲਾਬ (rose) ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (r,θ) r=3sin(2θ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ r=3sin(2(−θ))=−3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਜਾਂਚ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ r ਨੂੰ −r ਅਤੇ θ ਨੂੰ π−θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ −r=3sin(2(π−θ))=3sin(2π−2θ)=3sin(−2θ)=−3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ r ਨੂੰ −r ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਜਿਸ ਨਾਲ −r=3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=−3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਪਾਸ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ θ ਨੂੰ θ+π ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ r=3sin(2(θ+π))=3sin(2θ+2π)=3(sin2θcos2π+cos2θsin2π)=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ r ਨੂੰ −r ਅਤੇ θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। −r=3sin(2(−θ))=3sin(−2θ)=−3sin2θ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ, ਅਤੇ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ, 0 ਅਤੇ π/2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ θ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: θ | r
ਸਾਰਣੀ: 0 | 0
ਸਾਰਣੀ: π/6 | 3√2≈2.6
ਸਾਰਣੀ: π/4 | 3
ਸਾਰਣੀ: π/3 | 3√2≈2.6
ਸਾਰਣੀ: π/2 | 0
ਇਹ ਗੁਲਾਬ ਦੀ ਇੱਕ ਪੱਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 1.37: ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ θ=0 ਅਤੇ θ=π/2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
2. ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
3. ਚਿੱਤਰ 1.38: ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਪੱਤੀਆਂ ਵਾਲਾ ਗੁਲਾਬ (four-petaled rose) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ।
4. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 1.14
5. ਸਮੀਕਰਨ r=2cos(3θ) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ (symmetry) ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
6. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (polar coordinates) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਣ θ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਿਰਨ (ray) ਦੇ ਨਾਲ r ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਕੇ।
7. ( 3 , π 6 )
8. ( −2 , 5 π 3 )
9. ( 0 , 7 π 6 )
10. ( −4 , 3 π 4 )
11. ( 1 , π 4 )
12. ( 2 , 5 π 6 )
13. ( 1 , π 2 )
14. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਦੋ ਸੈੱਟ ਦਿਓ।
15. ਬਿੰਦੂ A ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
16. ਬਿੰਦੂ B ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
17. ਬਿੰਦੂ C ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
18. ਬਿੰਦੂ D ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
19. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (rectangular coordinates) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। (0, 2π] ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਦੋ ਸੈੱਟ ਲੱਭੋ। ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
20. ( 2 , 2 )
21. ( 3 , −4 )
22. ( 8 , 15 )
23. ( −6 , 8 )
24. ( 4 , 3 )
( 3 , − 3 ) ( 3 , − 3 )
For the following exercises, find rectangular coordinates for the given point in polar coordinates.
( 2 , 5 π 4 ) ( 2 , 5 π 4 )
( −2 , π 6 ) ( −2 , π 6 )
( 5 , π 3 ) ( 5 , π 3 )
( 1 , 7 π 6 ) ( 1 , 7 π 6 )
( −3 , 3 π 4 ) ( −3 , 3 π 4 )
( 0 , π 2 ) ( 0 , π 2 )
( −4.5 , 6.5 ) ( −4.5 , 6.5 )
For the following exercises, determine whether the graphs of the polar equation are symmetric with respect to the xx-axis, the yy-axis, or the origin.
r = 3 sin ( 2 θ ) r = 3 sin ( 2 θ )
r 2 = 9 cos θ r 2 = 9 cos θ
r = cos ( θ 5 ) r = cos ( θ 5 )
r = 2 sec θ r = 2 sec θ
r = 1 + cos θ r = 1 + cos θ
For the following exercises, describe the graph of each polar equation. Confirm each description by converting into a rectangular equation.
r = 3 r = 3
θ = π 4 θ = π 4
r = sec θ r = sec θ
r = csc θ r = csc θ
For the following exercises, convert the rectangular equation to polar form and sketch its graph.
x 2 + y 2 = 16 x 2 + y 2 = 16
x 2 − y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16
x = 8 x = 8
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।
3 x − y = 2
y 2 = 4 x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।
r = 4 sin θ
r = 6 cos θ
r = θ
r = cot θ csc θ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
r = 1 + sin θ
r = 3 − 2 cos θ
r = 2 − 2 sin θ
r = 5 − 4 sin θ
r = 3 cos ( 2 θ )
r = 3 sin ( 2 θ )
r = 2 cos ( 3 θ )
r = 3 cos ( θ 2 )
r 2 = 4 cos ( 2 θ )
r 2 = 4 sin θ
r = 2 θ
[T] r=2cos(2θ)sec(θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਟ੍ਰੋਫੋਇਡ (strophoid) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਮਤ (asymptote) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
[T] ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=6/(2sinθ−3cosθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
[T] ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=1/(1−cosθ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
[T] r=e^sin(θ)−2cos(4θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. [T] ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=sin(3θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (0≤θ≤14π ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)।
2. ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਪੋਲਰ ਕਰਵ θ=2π/3 ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
3. [T] ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=θsinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−π≤θ≤π)।
4. [T] ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.1θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−10≤θ≤10)।
5. [T] "ਬਲੈਕ ਹੋਲ" ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਇੱਕ ਕਰਵ ਹੈ। ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.01θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−100≤θ≤100)।
6. [T] ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.001θ ਅਤੇ r=e−0.0001θ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਜਦੋਂ |θ|>100।