1. ਅਭਿਆਸਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿਆਨ ਸੱਚਾ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠਾ। ਸਬੂਤ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ-ਉਦਾਹਰਣ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਓ।
1. ਵੈਕਟਰਾਂ aa ਅਤੇ bb ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਕੇਲਰ c,c, ਲਈ c(a·b)=(ca)·b ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਵੈਕਟਰਾਂ aa ਅਤੇ bb ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਕੇਲਰ c,c, ਲਈ c(a×b)=(ca)×b.c(a×b)=(ca)×b.
ਦੋ ਤਲਾਂ $x+y+z=2$ ਅਤੇ $x+2y-4z=5$ ਦੇ ਚੇਦਨ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ $-x-16=y-15=z$ ਹੈ।
ਜੇਕਰ a·b=0, ਤਾਂ aa, b.b ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ।
1. ਇਹਨਾਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਵਾਸਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. a = 9 i − 2 j , b = −3 i + j
1. ਤਿੰਨ ਅੱਖਰ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਅੱਖਰ
1. ‖ਅ‖‖ਅ‖
1. ਏ×‖ਬੀ×ਸੀ‖ਏ×‖ਬੀ×ਸੀ‖
1. ਬਾਬਾ
1. ੳ = 2 ਇ + ਜੇ − 9 ਕ , ਅ = − ਇ + 2 ਕ , ੲ = 4 ਇ − 2 ਜੇ + ਕ ੳ = 2 ਇ + ਜੇ − 9 ਕ , ਅ = − ਇ + 2 ਕ , ੲ = 4 ਇ − 2 ਜੇ + ਕ
1. 2a−b2a−b
1. ਬਖ਼ਬਖ਼
ਬਿਨੁ ਬੋਲਿਆਂ ਸਭੁ ਕਿਛੁ ਜਾਣੈ ॥
1. ਚੰਦ੍ਰਬਿੰਦੂ ਚੰਦ੍ਰਬਿੰਦੂ
1. ਪ੍ਰੋਜਾਬਪ੍ਰੋਜਾਬ
1. aa ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ ਵੈਕਟਰ 〈2,4,a〉〈2,4,a〉 ਅਤੇ 〈0,−1,a〉〈0,−1,a〉 ਲੰਬਵਤ ਹਨ।
1. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਕਾਈ ਸਦਿਸ਼ ਲੱਭੋ।
ਵੈਕਟਰ vv ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲਾ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ ਜੋ (0,−3) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ (4,10) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ vv ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ ਜੋ (1,4,10) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ (3,0,4) ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਆਕਾਰਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜਾਂ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ a=〈1,13〉 ਅਤੇ b=〈3,21〉 ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ
a=〈1,4,1〉, b=〈3,6,2〉, ਅਤੇ c=〈−2,1,−5〉 ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਫਲਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਰੇਖਾ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (2,−3,7) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ 〈1,3,−2〉 ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ
ਰੇਖਾ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (1,3,5) ਅਤੇ (−2,6,−3) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਤਲ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (4,7,−1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਨਾਰਮਲ ਵੈਕਟਰ n=〈3,4,2〉 ਹੈ
ਤਲ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (0,1,5), (2,−1,6), ਅਤੇ (3,2,5) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਤਲਾਂ x=k, y=k, ਅਤੇ z=k ਵਿੱਚ ਸਤਹਾਂ ਦੇ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ, ਸਤਹਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।
9 x 2 + 4 y 2 − 16 y + 36 z 2 = 20
x 2 = y 2 + z 2
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡ੍ਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਅਤੇ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
x 2 + y 2 + z 2 = 144
z = x 2 + y 2 − 1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡ੍ਰੀਕਲ ਜਾਂ ਸਫੈਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਤਹ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ρ 2 ( sin 2 ( φ ) − cos 2 ( φ ) ) = 1
r 2 − 2 r cos ( θ ) + z 2 = 1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਦੀ ਪਾਰ ਕਰ ਰਹੀ ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਕਿਸ਼ਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਜੇ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਵੇਗ ਸ਼ਾਂਤ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਉੱਤਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ 55 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਾਣੀ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ ਪੱਛਮ ਵੱਲ 22 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਹੈ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ), ਤਾਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵੇਗ ਕੀ ਹੈ? ਕਿਸ਼ਤੀ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਕੋਣ θ ਵੱਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀ ਹੈ?
ਜਦੋਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਕਿਨਾਰੇ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਸ਼ਤੀ ਨੂੰ ਕਿਨਾਰੇ ਖਿੱਚਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਰੱਸੀਆਂ ਸੁੱਟੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਰੱਸੀ 25° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੀ 35° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ। ਜੇ ਕਿਸ਼ਤੀ ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਅਤੇ 500N ਦੇ ਬਲ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਰੱਸੀ ਲਈ ਬਲ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਲੱਭੋ (ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ)।
ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਉੱਤਰ ਤੋਂ 52° ਪੂਰਬ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ 450 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਡ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਤੇਜ਼ ਹਵਾ ਉੱਤਰ ਤੋਂ 33° ਪੂਰਬ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ 50 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਵਗ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਨਤੀਜਾ ਗਰਾਊਂਡ ਸਪੀਡ ਅਤੇ ਬੇਅਰਿੰਗ ਕੀ ਹੈ?
ਕਣ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (1,2,0) ਤੋਂ (8,4,5) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਬਲ F=2i+3j−k ਦੁਆਰਾ ਲਿਜਾਣ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕੰਮ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਤੁਹਾਡੀ ਕਾਰ ਦੇ ਟਾਇਰ ਨੂੰ ਬੋਲਟਾਂ ਨੂੰ ਢਿੱਲਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਰੈਂਚ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੱਢਣ ਦੀ ਤੁਹਾਡੀ ਅਸਫਲ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੈਂਚ 0.3 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ 200-N ਦਾ ਬਲ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ।
ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਹਾਡਾ ਟਾਇਰ ਪੰਕਚਰ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਆਪਣਾ ਬਲ ਸਿਰਫ਼ 60° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੀ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਬੋਲਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਟਾਰਕ ਕੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਬਲ ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਢਿੱਲਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕੋਈ ਵਿਅਕਤੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਟਾਇਰ ਜੈਕ ਉਧਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ 80° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 200-N ਦਾ ਬਲ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਡਾ ਨਤੀਜਾ ਟਾਰਕ ਵੱਧ ਹੋਵੇਗਾ ਜਾਂ ਘੱਟ? ਬੋਲਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰ 'ਤੇ ਨਵਾਂ ਨਤੀਜਾ ਟਾਰਕ ਕੀ ਹੈ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇਹ ਬਲ ਬੋਲਟ ਨੂੰ ਢਿੱਲਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।