1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
3. ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿਧੀ ਜਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਬਦਲਣ ਜਾਂ ਉਸਨੂੰ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇਣ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
4. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਘਟਾਓ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਨੈਗੇਟਿਵ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
5. ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ v=〈x,y〉 ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
6. ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ‖v‖=x2+y2।
7. ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ uu ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: u=1‖v‖v। ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ i=〈1,0〉 ਅਤੇ j=〈0,1〉 ਹਨ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ v=〈x,y〉 ਨੂੰ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ v=xi+yj ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਕਸਰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਲਾਂ ਅਤੇ ਵੇਗਾਂ, ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
9. ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤਿੰਨ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਬਿੰਦੂ, ਮੂਲ, ਤੇ ਲੰਬਵਤ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰਿਕ (x,y,z) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
10. ਬਿੰਦੂਆਂ (x1,y1,z1) ਅਤੇ (x2,y2,z2) ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ d, ਫਾਰਮੂਲਾ d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
11. ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ x=a, y=b, ਅਤੇ z=c, ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਪਲੇਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
12. ਕੇਂਦਰ (a,b,c) ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਸਮੀਕਰਨ (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2 ਹੈ।
13. ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, v=〈x,y,z〉, ਜਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ, xi+yj+zk, ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ v=〈x1,y1,z1〉 ਅਤੇ w=〈x2,y2,z2〉 ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ k ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ। ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ: kv=〈kx1,ky1,kz1〉 ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ: v+w=〈x1,y1,z1〉+〈x2,y2,z2〉=〈x1+x2,y1+y2,z1+z2〉 ਵੈਕਟਰ ਘਟਾਓ: v−w=〈x1,y1,z1〉−〈x2,y2,z2〉=〈x1−x2,y1−y2,z1−z2〉 ਵੈਕਟਰ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ: ‖v‖=x12+y12+z12 v ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ: v‖v‖=1‖v‖〈x1,y1,z1〉=〈x1‖v‖,y1‖v‖,z1‖v‖〉, v≠0
15. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਦਾ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਜਾਂ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, u·v=u1v1+u2v2+u3v3 ਹੈ।
16. ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ: u·v=v·u u·(v+w)=u·v+u·w c(u·v)=(cu)·v=u·(cv) v·v=‖v‖2
17. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ, ਬਦਲਵੇਂ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, u·v=‖u‖‖v‖cosθ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡਾਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਇਹ ਰੂਪ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।
18. ਵੈਕਟਰ uu ਅਤੇ vv ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ u·v=0।
19. ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
20. uu ਉੱਤੇ vv ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ projuv=u·v‖u‖2u ਹੈ। ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ vv ਦਾ uu ਉੱਤੇ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ compuv=u·v‖u‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
21. ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਬਲ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਾਰਜ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਬਲ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ F ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ s ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ W ਫਾਰਮੂਲਾ W=F·s=‖F‖‖s‖cosθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u×v, uu ਅਤੇ v ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਆਰਥੋਗੋਨਲ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ‖u×v‖=‖u‖·‖v‖·sinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ θ uu ਅਤੇ v ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
23. ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ, u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉, ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਫਾਰਮੂਲਾ u×v=(u2v3−u3v2)i−(u1v3−u3v1)j+(u1v2−u2v1)k ਹੈ।
24. ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵੈਕਟਰਾਂ u,v, ਅਤੇ w, ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ c ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ: u×v=−(v×u) u×(v+w)=u×v+u×w c(u×v)=(cu)×v=u×(cv) u×0=0×u=0 v×v=0 u·(v×w)=(u×v)·w
u=〈u1,u2,u3〉 ਅਤੇ v=〈v1,v2,v3〉 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ, ਨਿਰਧਾਰਕ |ijk u1 u2 u3 v1 v2 v3| ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ u ਅਤੇ v ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਲਾਗਵੇਂ ਪਾਸੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ‖u×v‖ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ u, v, ਅਤੇ w ਦਾ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ u·(v×w) ਹੈ।
ਵੈਕਟਰ u,v, ਅਤੇ w ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਲਾਗਵੇਂ ਕਿਨਾਰਿਆਂ ਵਾਲੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਫਲਕ ਦਾ ਆਇਤਨ V=|u·(v×w)| ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ u,v, ਅਤੇ w ਦਾ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਫਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਸਮਤਲੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਉਲਟਾ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ: ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਸਮਤਲੀ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਟ੍ਰਿਪਲ ਸਕੇਲਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਫਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰਾਂ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਟਾਰਕ τ, ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਘੁੰਮਣ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਬਲ ਦੀ ਪ੍ਰਵਿਰਤੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਬਲ F, ਧੁਰੇ ਤੋਂ r ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਟਾਰਕ r ਅਤੇ F ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ: τ=r×F।
ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ P=(x0,y0,z0) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ v=〈a,b,c〉 ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ r=r0+tv ਹੈ, ਜਿੱਥੇ r0=〈x0,y0,z0〉 ਬਿੰਦੂ P ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: x=x0+ta, y=y0+tb, ਅਤੇ z=z0+tc। ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸਮਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x−x0a=y−y0b=z−z0c ਨਾਲ ਵੀ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ L, ਬਿੰਦੂ P ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵੈਕਟਰ v ਵਾਲੀ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ Q, L 'ਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ Q ਤੋਂ L ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ d=‖PQ→×v‖‖v‖ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਣ, ਬਰਾਬਰ, ਕੱਟਣ ਵਾਲੀਆਂ, ਜਾਂ ਵਿਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
ਬਿੰਦੂ P ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ n ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ Q ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ n·PQ→=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ n·PQ→=0 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ P=(x0,y0,z0) ਅਤੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ n=〈a,b,c〉 ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਸਮੀਕਰਨ a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ax+by+cz+d=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ d=−ax0−by0−cz0। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਜਿਸਦਾ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ n ਹੈ, ਬਿੰਦੂ Q ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਸਮਤਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ, ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, D=‖projnQP→‖=|compnQP→|=|QP→·n|‖n‖ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮਤਲ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਦੋ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ θ ਦਾ ਮਾਪ ਸਮੀਕਰਨ cosθ=|n1·n2|‖n1‖‖n2‖, ਜਿੱਥੇ n1 ਅਤੇ n2 ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂ (x0,y0,z0) ਤੋਂ ਸਮਤਲ ax+by+cz+d=0 ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ D=|a(x0−x1)+b(y0−y1)+c(z0−z1)|a2+b2+c2=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਵਕਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸਤਹ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਰੂਲਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਤਹ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। xy-, yz-, ਜਾਂ xz-ਸਮਤਲਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰੇਸ ਪਾਉਣ ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ z=0, x=0, ਜਾਂ y=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਕੁਆਡ੍ਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਤਹਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਟਰੇਸ ਕੋਨਿਕ ਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰ ਕੁਆਡ੍ਰਿਕ ਸਤਹ ਨੂੰ Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Jz+K=0 ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਡ੍ਰਿਕ ਸਤਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਤਹ ਦੇ ਢਾਂਚੇ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਟਰੇਸ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕੁਆਡ੍ਰਿਕ ਸਤਹਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 2.87 ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 2.88 ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰਿਕ (r,θ,z) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ (r,θ) xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ z, z-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ z=z ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ r2=x2+y2, tanθ=yx, ਅਤੇ z=z ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਪੁਆਇੰਟ PP ਨੂੰ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ (ρ,θ,φ) ਦੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਅ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ρ ρ ਮੂਲ (ρ≠0) ਤੋਂ PP ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ, θ θ ਉਹੀ ਕੋਣ ਹੈ ਜੋ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ φ φ ਸਕਾਰਾਤਮਕ z-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ OP—, ਜਿੱਥੇ O ਮੂਲ ਹੈ, ਵਿਚਕਾਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ ਹੈ, ਅਤੇ 0≤φ≤π।
2. ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, ਅਤੇ z=ρcosφ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ρ2=x2+y2+z2, tanθ=yx, ਅਤੇ φ=arccos(zx2+y2+z2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ r=ρsinφ, θ=θ, ਅਤੇ z=ρcosφ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਸਿਲੰਡਰਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਤੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ρ=r2+z2, θ=θ, ਅਤੇ φ=arccos(zr2+z2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।