Learning Objectives
3.3.1 Determine the length of a particle’s path in space by using the arc-length function.
3.3.2 Explain the meaning of the curvature of a curve in space and state its formula.
3.3.3 Describe the meaning of the normal and binormal vectors of a curve in space.
In this section, we study formulas related to curves in both two and three dimensions, and see how they are related to various properties of the same curve. For example, suppose a vector-valued function describes the motion of a particle in space. We would like to determine how far the particle has traveled over a given time interval, which can be described by the arc length of the path it follows. Or, suppose that the vector-valued function describes a road we are building and we want to determine how sharply the road curves at a given point. This is described by the curvature of the function at that point. We explore each of these concepts in this section.
Arc Length for Vector Functions
We have seen how a vector-valued function describes a curve in either two or three dimensions. Recall Arc Length of a Parametric Curve, which states that the formula for the arc length of a curve defined by the parametric functions x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2 is given by
In a similar fashion, if we define a smooth curve using a vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)j,r(t)=f(t)i+g(t)j, where a≤t≤b,a≤t≤b, the arc length is given by the formula
In three dimensions, if the vector-valued function is described by r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)kr(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k over the same interval a≤t≤b,a≤t≤b, the arc length is given by
Theorem 3.4
Arc-Length Formulas
Plane curve: Given a smooth curve C defined by the function r(t)=f(t)i+g(t)j,r(t)=f(t)i+g(t)j, where t lies within the interval [a,b],[a,b], the arc length of C over the interval is s=∫ab[f′(t)]2+[g′(t)]2dt=∫ab‖r′(t)‖dt.s=∫ab[f′(t)]2+[g′(t)]2dt=∫ab‖r′(t)‖dt. (3.11)
Space curve: Given a smooth curve C defined by the function r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k,r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k, where t lies within the interval [a,b],[a,b], the arc length of C over the interval is s=∫ab[f′(t)]2+[g′(t)]2+[h′(t)]2dt=∫ab‖r′(t)‖dt.s=∫ab[f′(t)]2+[g′(t)]2+[h′(t)]2dt=∫ab‖r′(t)‖dt. (3.12)
The two formulas are very similar; they differ only in the fact that a space curve has three component functions instead of two. Note that the formulas are defined for smooth curves: curves where the vector-valued function r(t)r(t) is continuously differentiable with a non-zero derivative. The smoothness condition guarantees that the curve has no cusps (or corners) that could make the formula problematic.
Example 3.9
Finding the Arc Length
Calculate the arc length for each of the following vector-valued functions:
r(t)=(3t−2)i+(4t+5)j,1≤t≤5r(t)=(3t−2)i+(4t+5)j,1≤t≤5
r(t)=〈tcost,tsint,2t〉,0≤t≤2πr(t)=〈tcost,tsint,2t〉,0≤t≤2π
Solution
Using Equation 3.11, r′(t)=3i+4j,r′(t)=3i+4j, so s=∫ab‖r′(t)‖dt=∫a532+42dt=∫155dt=5t|15=20.s=∫ab‖r′(t)‖dt=∫a532+42dt=∫155dt=5t|15=20.
Using Equation 3.12, r′(t)=〈cost−tsint,sint+tcost,2〉,r′(t)=〈cost−tsint,sint+tcost,2〉, so s=∫ab‖r′(t)‖dt=∫02π(cost−tsint)2+(sint+tcost)2+22dt=∫02π(cos2t−2tsintcost+t2sin2t)+(sin2t+2tsintcost+t2cos2t)+4dt=∫02πcos2t+sin2t+t2(cos2t+sin2t)+4dt=∫02πt2+5dt.s=∫ab‖r′(t)‖dt=∫02π(cost−tsint)2+(sint+tcost)2+22dt=∫02π(cos2t−2tsintcost+t2sin2t)+(sin2t+2tsintcost+t2cos2t)+4dt=∫02πcos2t+sin2t+t2(cos2t+sin2t)+4dt=∫02πt2+5dt. Here we can use a table integration formula ∫u2+a2du=u2u2+a2+a22ln|u+u2+a2|+C,∫u2+a2du=u2u2+a2+a22ln|u+u2+a2|+C, so we obtain ∫02πt2+5dt=12(tt2+5+5ln|t+t2+5|)02π=12(2π4π2+5+5ln(2π+4π2+5))−52ln5≈25.343.∫02πt2+5dt=12(tt2+5+5ln|t+t2+5|)02π=12(2π4π2+5+5ln(2π+4π2+5))−52ln5≈25.343.
Checkpoint 3.9
Calculate the arc length of the parameterized curve
We now return to the helix introduced earlier in this chapter. A vector-valued function that describes a helix can be written in the form
where R represents the radius of the helix, h represents the height (distance between two consecutive turns), and the helix completes N turns. Let’s derive a formula for the arc length of this helix using Equation 3.12. First of all,
Therefore,
This gives a formula for the length of a wire needed to form a helix with N turns that has radius R and height h.
Arc-Length Parameterization
We now have a formula for the arc length of a curve defined by a vector-valued function. Let’s take this one step further and examine what an arc-length function is.
If a vector-valued function represents the position of a particle in space as a function of time, then the arc-length function measures how far that particle travels as a function of time. The formula for the arc-length function follows directly from the formula for arc length:
If the curve is in two dimensions, then only two terms appear under the square root inside the integral. The reason for using the independent variable u is to distinguish between time and the variable of integration. Since s(t)s(t) measures distance traveled as a function of time, s′(t)s′(t) measures the speed of the particle at any given time. Since we have a formula for s(t)s(t) in Equation 3.13, we can differentiate both sides of the equation:
If we assume that r(t)r(t) defines a smooth curve, then the arc length is always increasing, so s′(t)>0s′(t)>0 for t>a.t>a. Last, if r(t)r(t) is a curve on which ‖r′(t)‖=1‖r′(t)‖=1 for all t, then
which means that t represents the arc length as long as a=0.a=0.
Theorem 3.5
Arc-Length Function
Let r(t)r(t) describe a smooth curve for t≥a.t≥a. Then the arc-length function is given by
Furthermore, dsdt=‖r′(t)‖>0.dsdt=‖r′(t)‖>0. If ‖r′(t)‖=1‖r′(t)‖=1 for all t≥a,t≥a, then the parameter t represents the arc length from the starting point at t=a.t=a.
A useful application of this theorem is to find an alternative parameterization of a given curve, called an arc-length parameterization. Recall that any vector-valued function can be reparameterized via a change of variables. For example, if we have a function r(t)=〈3cost,3sint〉,0≤t≤2πr(t)=〈3cost,3sint〉,0≤t≤2π that parameterizes a circle of radius 3, we can change the parameter from t to 4t,4t, obtaining a new parameterization r(t)=〈3cos4t,3sin4t〉.r(t)=〈3cos4t,3sin4t〉. The new parameterization still defines a circle of radius 3, but now we need only use the values 0≤t≤π/20≤t≤π/2 to traverse the circle once.
Suppose that we find the arc-length function s(t)s(t) and are able to solve this function for t as a function of s. We can then reparameterize the original function r(t)r(t) by substituting the expression for t back into r(t).r(t). The vector-valued function is now written in terms of the parameter s. Since the variable s represents the arc length, we call this an arc-length parameterization of the original function r(t).r(t). One advantage of finding the arc-length parameterization is that the distance traveled along the curve starting from s=0s=0 is now equal to the parameter s. The arc-length parameterization also appears in the context of curvature (which we examine later in this section) and line integrals, which we study in the Introduction to Vector Calculus.
Example 3.10
Finding an Arc-Length Parameterization
Find the arc-length parameterization for each of the following curves:
r(t)=4costi+4sintj,t≥0r(t)=4costi+4sintj,t≥0
r(t)=〈t+3,2t−4,2t〉,t≥3r(t)=〈t+3,2t−4,2t〉,t≥3
Solution
First we find the arc-length function using Equation 3.14: s(t)=∫at‖r′(u)‖du=∫0t‖〈−4sinu,4cosu〉‖du=∫0t(−4sinu)2+(4cosu)2du=∫0t16sin2u+16cos2udu=∫0t4du=4t,s(t)=∫at‖r′(u)‖du=∫0t‖〈−4sinu,4cosu〉‖du=∫0t(−4sinu)2+(4cosu)2du=∫0t16sin2u+16cos2udu=∫0t4du=4t, which gives the relationship between the arc length s and the parameter t as s=4t;s=4t; so, t=s/4.t=s/4. Next we replace the variable t in the original function r(t)=4costi+4sintjr(t)=4costi+4sintj with the expression s/4s/4 to obtain r(t)=4cos(s4)i+4sin(s4)j.r(t)=4cos(s4)i+4sin(s4)j. This is the arc-length parameterization of r(t).r(t). Since the original restriction on t was given by t≥0,t≥0, the restriction on s becomes s/4≥0,s/4≥0, or s≥0.s≥0.
The arc-length function is given by Equation 3.14: s(t)=∫at‖r′(u)‖du=∫3t‖〈1,2,2〉‖du=∫3t12+22+22du=∫3t3du=3t−9.s(t)=∫at‖r′(u)‖du=∫3t‖〈1,2,2〉‖du=∫3t12+22+22du=∫3t3du=3t−9. Therefore, the relationship between the arc length s and the parameter t is s=3t−9,s=3t−9, so t=s3+3.t=s3+3. Substituting this into the original function r(t)=〈t+3,2t−4,2t〉r(t)=〈t+3,2t−4,2t〉 yields r(s)=〈(s3+3)+3,2(s3+3)−4,2(s3+3)〉=〈s3+6,2s3+2,2s3+6〉.r(s)=〈(s3+3)+3,2(s3+3)−4,2(s3+3)〉=〈s3+6,2s3+2,2s3+6〉. This is an arc-length parameterization of r(t).r(t). The original restriction on the parameter tt was t≥3,t≥3, so the restriction on s is (s/3)+3≥3,(s/3)+3≥3, or s≥0.s≥0.
3.10 ਚੌਕੀ
ਸਰਪੀਲ ਲਈ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ
ਫਿਰ, r(t) ਦੇ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਕਰਤਾ
ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ਾ ਵਕਰਤਾ ਹੈ। ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਦੇ ਕਿੰਨੀ ਤਿੱਖੀ ਮੁੜਦੀ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਮਾਪਣ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਥਿਰ ਵਕਰਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ ਜਿੰਨਾ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਵਕਰਤਾ ਓਨੀ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇੱਕ ਸੜਕ 'ਤੇ ਗੱਡੀ ਚਲਾਉਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਸੜਕ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚਾਪ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੜਕ 'ਤੇ ਰਹਿਣ ਲਈ ਸਟੀਅਰਿੰਗ ਵ੍ਹੀਲ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਮੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਘੇਰਾ ਛੋਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸੜਕ 'ਤੇ ਰਹਿਣ ਲਈ ਵਧੇਰੇ ਤਿੱਖਾ ਮੋੜਨਾ ਪਵੇਗਾ। ਚੱਕਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵਕਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਉੱਕਰੀ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰੇ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਵਕਰ ਨੂੰ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ "ਜੱਫੀ" ਪਾਵੇ (ਚਿੱਤਰ 3.6)। ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਫਿਰ ਉੱਕਰੀ ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.6: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਮੋੜ ਜਿੰਨਾ ਤਿੱਖਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਵਕਰਤਾ ਓਨੀ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਉੱਕਰੀ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ ਓਨਾ ਹੀ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ C ਸਮਤਲ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ r(s) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ s ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ। s 'ਤੇ ਵਕਰਤਾ κ ਹੈ
ਮੀਡੀਆ
ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਬਾਰੇ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਇਸ ਵੈੱਬਸਾਈਟ 'ਤੇ ਜਾਓ।
ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਫਾਰਮੂਲਾ ਗਣਨਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ T(t) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ-ਵੈਲਿਊਡ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t) ਲਈ ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ T(t) ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ T(t)=r′(t)‖r′(t)‖ ਹੈ। ਵਕਰਤਾ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ r(t) ਨੂੰ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ s ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ, ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ r(s) ਲਈ ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ T(s) ਲੱਭਣਾ, ਫਿਰ s ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ T(s) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਥਕਾਊ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਵਕਰਤਾ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 3.6
ਵਕਰਤਾ ਲਈ ਬਦਲਵੇਂ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਜੇ C ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ r(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਤਾਂ t 'ਤੇ C ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜੇ C ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰਤਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਜੇ C ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਅਤੇ y′ ਅਤੇ y″ ਦੋਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂ (x,y) 'ਤੇ ਵਕਰਤਾ κ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਸਿੱਧ
ਪਹਿਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਚੇਨ ਰੂਲ ਤੋਂ ਸਿੱਧਾ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ s ਵਕਰ C ਦੇ ਨਾਲ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ds/dt ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ, ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਲੈ ਕੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਕਿਉਂਕਿ ds/dt=‖r′(t)‖, ਇਹ C ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ C ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ:
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵਕਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ T(t)=(r′(t))/‖r′(t)‖ ਅਤੇ ds/dt=‖r′(t)‖ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, r′(t)=(ds/dt)T(t)। ਅਸੀਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹਨਾਂ ਆਖਰੀ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ T(t)×T(t)=0, ਇਹ ਇਸ ਤੱਕ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
Because T ( t ) T(t) is a unit vector, ‖ T ( t ) ‖ = 1 ‖T(t)‖=1 for all values of tt. So, Tt·Tt=Tt·Tt= ‖ T ( t ) ‖ 2 = 1 ‖ T ( t ) ‖ 2 =1.
By Alternative Formulas for Curvature, we have
Therefore, T′⋅T=0T′⋅T=0 showing that TT and T′T′ are perpendicular. This means that
Now we solve this equation for ‖T′(t)‖‖T′(t)‖ and use the fact that ds/dt=‖r′(t)‖:ds/dt=‖r′(t)‖:
Then, we divide both sides by ‖r′(t)‖.‖r′(t)‖. This gives
This proves Equation 3.16. To prove Equation 3.17, we start with the assumption that curve C is defined by the function y=f(x).y=f(x). Then, we can define r(t)=xi+f(x)j+0k.r(t)=xi+f(x)j+0k. Using the previous formula for curvature:
Therefore,
□
Example 3.11
Finding Curvature
Find the curvature for each of the following curves at the given point:
r(t)=4costi+4sintj+3tk,t=4π3r(t)=4costi+4sintj+3tk,t=4π3
f(x)=4x−x2,x=2f(x)=4x−x2,x=2
Solution
This function describes a helix. The curvature of the helix at t=(4π)/3t=(4π)/3 can be found by using Equation 3.15. First, calculate T(t):T(t): T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=〈−4sint,4cost,3〉(−4sint)2+(4cost)2+32=〈−45sint,45cost,35〉.T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=〈−4sint,4cost,3〉(−4sint)2+(4cost)2+32=〈−45sint,45cost,35〉. Next, calculate T′(t):T′(t): T′(t)=〈−45cost,−45sint,0〉.T′(t)=〈−45cost,−45sint,0〉. Last, apply Equation 3.15: κ=‖T′(t)‖‖r′(t)‖=‖〈−45cost,−45sint,0〉‖‖〈−4sint,4cost,3〉‖=(−45cost)2+(−45sint)2+02(−4sint)2+(4cost)2+32=4/55=425.κ=‖T′(t)‖‖r′(t)‖=‖〈−45cost,−45sint,0〉‖‖〈−4sint,4cost,3〉‖=(−45cost)2+(−45sint)2+02(−4sint)2+(4cost)2+32=4/55=425. The curvature of this helix is constant at all points on the helix.
This function describes a semicircle. To find the curvature of this graph, we must use Equation 3.17. First, we calculate y′y′ and y″:y″: y=4x−x2=(4x−x2)1/2y′=12(4x−x2)−1/2(4−2x)=(2−x)(4x−x2)−1/2y″=−(4x−x2)−1/2+(2−x)(−12)(4x−x2)−3/2(4−2x)=−4x−x2(4x−x2)3/2−(2−x)2(4x−x2)3/2=x2−4x−(4−4x+x2)(4x−x2)3/2=−4(4x−x2)3/2.y=4x−x2=(4x−x2)1/2y′=12(4x−x2)−1/2(4−2x)=(2−x)(4x−x2)−1/2y″=−(4x−x2)−1/2+(2−x)(−12)(4x−x2)−3/2(4−2x)=−4x−x2(4x−x2)3/2−(2−x)2(4x−x2)3/2=x2−4x−(4−4x+x2)(4x−x2)3/2=−4(4x−x2)3/2. Then, we apply Equation 3.17: κ=|y″|[1+(y′)2]3/2=|−4(4x−x2)3/2|[1+((2−x)(4x−x2)−1/2)2]3/2=|4(4x−x2)3/2|[1+(2−x)24x−x2]3/2=|4(4x−x2)3/2|[4x−x2+x2−4x+44x−x2]3/2=|4(4x−x2)3/2|·(4x−x2)3/28=12.κ=|y″|[1+(y′)2]3/2=|−4(4x−x2)3/2|[1+((2−x)(4x−x2)−1/2)2]3/2=|4(4x−x2)3/2|[1+(2−x)24x−x2]3/2=|4(4x−x2)3/2|[4x−x2+x2−4x+44x−x2]3/2=|4(4x−x2)3/2|·(4x−x2)3/28=12. The curvature of this circle is equal to the reciprocal of its radius.
Checkpoint 3.11
Find the curvature of the curve defined by the function
at the point x=2.x=2.
The Normal and Binormal Vectors
We have seen that the derivative r′(t)r′(t) of a vector-valued function is a tangent vector to the curve defined by r(t),r(t), and the unit tangent vector T(t)T(t) can be calculated by dividing r′(t)r′(t) by its magnitude. When studying motion in three dimensions, two other vectors are useful in describing the motion of a particle along a path in space: the principal unit normal vector and the binormal vector.
Definition
Let C be a three-dimensional smooth curve represented by r over an open interval I. If T′(t)≠0,T′(t)≠0, then the principal unit normal vector at t is defined to be
The binormal vector at t is defined as
where T(t)T(t) is the unit tangent vector.
Note that, by definition, the binormal vector is orthogonal to both the unit tangent vector and the normal vector. Furthermore, B(t)B(t) is always a unit vector. This can be shown using the formula for the magnitude of a cross product
where θθ is the angle between T(t)T(t) and N(t).N(t). Since N(t)N(t) is the derivative of a unit vector, property (vii) of the derivative of a vector-valued function tells us that T(t)T(t) and N(t)N(t) are orthogonal to each other, so θ=π/2.θ=π/2. Furthermore, they are both unit vectors, so their magnitude is 1. Therefore, ‖T(t)‖‖N(t)‖sinθ=(1)(1)sin(π/2)=1‖T(t)‖‖N(t)‖sinθ=(1)(1)sin(π/2)=1 and B(t)B(t) is a unit vector.
The principal unit normal vector can be challenging to calculate because the unit tangent vector involves a quotient, and this quotient often has a square root in the denominator. In the three-dimensional case, finding the cross product of the unit tangent vector and the unit normal vector can be even more cumbersome. Fortunately, we have alternative formulas for finding these two vectors, and they are presented in Motion in Space.
Example 3.12
Finding the Principal Unit Normal Vector and Binormal Vector
For each of the following vector-valued functions, find the principal unit normal vector. Then, if possible, find the binormal vector.
r(t)=4costi−4sintjr(t)=4costi−4sintj
r(t)=(6t+2)i+5t2j−8tkr(t)=(6t+2)i+5t2j−8tk
Solution
This function describes a circle. To find the principal unit normal vector, we first must find the unit tangent vector T(t):T(t): T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=−4sinti−4costj(−4sint)2+(−4cost)2=−4sinti−4costj16sin2t+16cos2t=−4sinti−4costj16(sin2t+cos2t)=−4sinti−4costj4=−sinti−costj.T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=−4sinti−4costj(−4sint)2+(−4cost)2=−4sinti−4costj16sin2t+16cos2t=−4sinti−4costj16(sin2t+cos2t)=−4sinti−4costj4=−sinti−costj. Next, we use Equation 3.18: N(t)=T′(t)‖T′(t)‖=−costi+sintj(−cost)2+(sint)2=−costi+sintjcos2t+sin2t=−costi+sintj.N(t)=T′(t)‖T′(t)‖=−costi+sintj(−cost)2+(sint)2=−costi+sintjcos2t+sin2t=−costi+sintj. Notice that the unit tangent vector and the principal unit normal vector are orthogonal to each other for all values of t: T(t)·N(t)=〈−sint,−cost〉·〈−cost,sint〉=sintcost−costsint=0.T(t)·N(t)=〈−sint,−cost〉·〈−cost,sint〉=sintcost−costsint=0. Furthermore, the principal unit normal vector points toward the center of the circle from every point on the circle. Since r(t)r(t) defines a curve in two dimensions, we cannot calculate the binormal vector.
This function looks like this: To find the principal unit normal vector, we first find the unit tangent vector T(t):T(t): T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=6i+10tj−8k62+(10t)2+(−8)2=6i+10tj−8k36+100t2+64=6i+10tj−8k100(t2+1)=3i+5tj−4k5t2+1=35(t2+1)−1/2i+t(t2+1)−1/2j−45(t2+1)−1/2k.T(t)=r′(t)‖r′(t)‖=6i+10tj−8k62+(10t)2+(−8)2=6i+10tj−8k36+100t2+64=6i+10tj−8k100(t2+1)=3i+5tj−4k5t2+1=35(t2+1)−1/2i+t(t2+1)−1/2j−45(t2+1)−1/2k. Next, we calculate T′(t)T′(t) and ‖T′(t)‖:‖T′(t)‖: T′(t)=35(−12)(t2+1)−3/2(2t)i+((t2+1)−1/2−t(12)(t2+1)−3/2(2t))j−45(−12)(t2+1)−3/2(2t)k=−3t5(t2+1)3/2i+1(t2+1)3/2j+4t5(t2+1)3/2k‖T′(t)‖=(−3t5(t2+1)3/2)2+(−1(t2+1)3/2)2+(4t5(t2+1)3/2)2=9t225(t2+1)3+1(t2+1)3+16t225(t2+1)3=25t2+2525(t2+1)3=1(t2+1)2=1t2+1.T′(t)=35(−12)(t2+1)−3/2(2t)i+((t2+1)−1/2−t(12)(t2+1)−3/2(2t))j−45(−12)(t2+1)−3/2(2t)k=−3t5(t2+1)3/2i+1(t2+1)3/2j+4t5(t2+1)3/2k‖T′(t)‖=(−3t5(t2+1)3/2)2+(−1(t2+1)3/2)2+(4t5(t2+1)3/2)2=9t225(t2+1)3+1(t2+1)3+16t225(t2+1)3=25t2+2525(t2+1)3=1(t2+1)2=1t2+1. Therefore, according to Equation 3.18: N(t)=T′(t)‖T′(t)‖=(−3t5(t2+1)3/2i+1(t2+1)3/2j+4t5(t2+1)3/2k)(t2+1)=−3t5(t2+1)1/2i+55(t2+1)1/2j+4t5(t2+1)1/2k=−3ti−5j−4tk5t2+1.N(t)=T′(t)‖T′(t)‖=(−3t5(t2+1)3/2i+1(t2+1)3/2j+4t5(t2+1)3/2k)(t2+1)=−3t5(t2+1)1/2i+55(t2+1)1/2j+4t5(t2+1)1/2k=−3ti−5j−4tk5t2+1. Once again, the unit tangent vector and the principal unit normal vector are orthogonal to each other for all values of t: T(t)·N(t)=(3i+5tj−4k5t2+1)·(−3ti−5j−4tk5t2+1)=3(−3t)−5t(−5)−4(4t)5t2+1=−9t+25t−16t5t2+1=0.T(t)·N(t)=(3i+5tj−4k5t2+1)·(−3ti−5j−4tk5t2+1)=3(−3t)−5t(−5)−4(4t)5t2+1=−9t+25t−16t5t2+1=0. Last, since r(t)r(t) represents a three-dimensional curve, we can calculate the binormal vector using Equation 3.17: B(t)=T(t)×N(t)=|ijk35t2+1+5t5t2+1−45t2+1−3t5t2+1+55t2+14t5t2+1|=((+5t5t2+1)(4t5t2+1)−(−45t2+1)(+55t2+1))i+((35t2+1)(4t5t2+1)−(−45t2+1)(−3t5t2+1))j+((35t2+1)(+55t2+1)−(+5t5t2+1)(−3t5t2+1))k=(20t2+2025(t2+1))i+(−15−15t225(t2+1))k=20(t2+125(t2+1))i+15(t2+125(t2+1))k=45i+35k.B(t)=T(t)×N(t)=|ijk35t2+1+5t5t2+1−45t2+1−3t5t2+1+55t2+14t5t2+1|=((+5t5t2+1)(4t5t2+1)−(−45t2+1)(+55t2+1))i+((35t2+1)(4t5t2+1)−(−45t2+1)(−3t5t2+1))j+((35t2+1)(+55t2+1)−(+5t5t2+1)(−3t5t2+1))k=(20t2+2025(t2+1))i+(−15−15t225(t2+1))k=20(t2+125(t2+1))i+15(t2+125(t2+1))k=45i+35k.
Checkpoint 3.12
Find the unit normal vector for the vector-valued function r(t)=(t2−3t)i+(4t+1)jr(t)=(t2−3t)i+(4t+1)j and evaluate it at t=2.t=2.
For any smooth curve in three dimensions that is defined by a vector-valued function, we now have formulas for the unit tangent vector T, the unit normal vector N, and the binormal vector B. The unit normal vector and the binormal vector form a plane that is perpendicular to the curve at any point on the curve, called the normal plane. In addition, these three vectors form a frame of reference in three-dimensional space called the Frenet frame of reference (also called the TNB frame) (Figure 3.7). Last, the plane determined by the vectors T and N forms the osculating plane of C at any point P on the curve.
Figure 3.7: This figure depicts a Frenet frame of reference. At every point P on a three-dimensional curve, the unit tangent, unit normal, and binormal vectors form a three-dimensional frame of reference.
Suppose we form a circle in the osculating plane of C at point P on the curve. Assume that the circle has the same curvature as the curve does at point P and let the circle have radius r. Then, the curvature of the circle is given by 1/r.1/r. We call r the radius of curvature of the curve, and it is equal to the reciprocal of the curvature. If this circle lies on the concave side of the curve and is tangent to the curve at point P, then this circle is called the osculating circle of C at P, as shown in the following figure.
Figure 3.8: In this osculating circle, the circle is tangent to curve C at point P and shares the same curvature.
Media
For more information on osculating circles, see this demonstration on curvature and torsion, this article on osculating circles, and this discussion of Serret formulas.
To find the equation of an osculating circle in two dimensions, we need find only the center and radius of the circle.
Example 3.13
Finding the Equation of an Osculating Circle
Find an equation of the osculating circle of the curve defined by the function y=x3−3x+1y=x3−3x+1 at x=1.x=1.
Solution
Figure 3.9 shows the graph of y=x3−3x+1.y=x3−3x+1.
Figure 3.9: We want to find the osculating circle of this graph at the point where t=1.t=1.
First, let’s calculate the curvature at x=1:x=1:
This gives κ=6.κ=6. Therefore, the radius of the osculating circle is given by R=1κ=16.R=1κ=16. Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When x=1,x=1, the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates (1,−1).(1,−1). The center is located at (1,−56).(1,−56). The formula for a circle with radius r and center (h,k)(h,k) is given by (x−h)2+(y−k)2=r2.(x−h)2+(y−k)2=r2. Therefore, the equation of the osculating circle is (x−1)2+(y+56)2=136.(x−1)2+(y+56)2=136. The graph and its osculating circle appears in the following graph.
Figure 3.10: The osculating circle has radius R=1/6.R=1/6.
Checkpoint 3.13
Find an equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function y=2x2−4x+5y=2x2−4x+5 at x=1.x=1.
Find the arc length of the curve on the given interval.
r(t)=t2i+14tj,0≤t≤7.r(t)=t2i+14tj,0≤t≤7. This portion of the graph is shown here:
r ( t ) = t 2 i + ( 2 t 2 + 1 ) j , 1 ≤ t ≤ 3 r ( t ) = t 2 i + ( 2 t 2 + 1 ) j , 1 ≤ t ≤ 3
r(t)=〈2sint,5t,2cost〉,0≤t≤π.r(t)=〈2sint,5t,2cost〉,0≤t≤π. This portion of the graph is shown here:
r ( t ) = 〈 t 2 + 1 , 4 t 3 + 3 〉 , − 1 ≤ t ≤ 0 r ( t ) = 〈 t 2 + 1 , 4 t 3 + 3 〉 , − 1 ≤ t ≤ 0
r(t)=〈e−tcost,e−tsint〉r(t)=〈e−tcost,e−tsint〉 over the interval [0,π2].[0,π2]. Here is the portion of the graph on the indicated interval:
Find the length of one turn of the helix given by r(t)=12costi+12sintj+34tk.r(t)=12costi+12sintj+34tk.
Find the arc length of the vector-valued function r(t)=−ti+4tj+3tkr(t)=−ti+4tj+3tk over [0,1].[0,1].
A particle travels once around a circle with the equation of motion r(t)=3costi+3sintj+0k.r(t)=3costi+3sintj+0k. Find the distance traveled around the circle by the particle.
Set up an integral to find the circumference of the ellipse with the equation r(t)=costi+2sintj+0k.r(t)=costi+2sintj+0k.
Find the length of the curve r(t)=〈2t,et,e−t〉r(t)=〈2t,et,e−t〉 over the interval 0≤t≤1.0≤t≤1. The graph is shown here:
Find the length of the curve r(t)=〈2sint,5t,2cost〉r(t)=〈2sint,5t,2cost〉 for t∈[−10,10].t∈[−10,10].
The position function for a particle is r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j.r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j. Find the unit tangent vector and the unit normal vector at t=0.t=0.
Given r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j,r(t)=acos(ωt)i+bsin(ωt)j, find the binormal vector B(0).B(0).
Given r(t)=〈2et,etcost,etsint〉,r(t)=〈2et,etcost,etsint〉, determine the tangent vector T(t).T(t).
Given r(t)=〈2et,etcost,etsint〉,r(t)=〈2et,etcost,etsint〉, determine the unit tangent vector T(t)T(t) evaluated at t=0.t=0.
1. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ r(t)=〈2e^t, e^t cos(t), e^t sin(t)〉, t=0 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰ N(t) ਲੱਭੋ, N(0).
2. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ r(t)=〈2e^t, e^t cos(t), e^t sin(t)〉, t=0 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਬਾਈਨੋਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
3. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ r(t)=ti+t^2j+tk, ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ T(t) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
4. ਤਲ ਵਕਰ r(t)=〈t^3−4t, 5t^2−2〉 ਲਈ t=0 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ T(t) ਅਤੇ ਇਕਾਈ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰ N(t) ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
5. r(t)=3ti+5t^2j+2tk ਲਈ ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ T(t) ਲੱਭੋ।
6. r(t)=〈6cos(t), 6sin(t)〉 ਵਕਰ ਲਈ t=π/3 ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰ ਲੱਭੋ।
7. r(t)=(t^3−4t)i+(5t^2−2)j ਵਕਰ ਲਈ T(t) ਲੱਭੋ।
8. r(t)=(t^3−4t)i+(5t^2−2)j ਵਕਰ ਲਈ N(t) ਲੱਭੋ।
9. r(t)=〈2sin(t), 5t, 2cos(t)〉 ਲਈ ਇਕਾਈ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰ N(t) ਲੱਭੋ।
10. r(t)=〈2sin(t), 5t, 2cos(t)〉 ਲਈ ਇਕਾਈ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ T(t) ਲੱਭੋ।
11. r(t)=〈3−3t, 4t〉 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਲਈ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਲੱਭੋ। r ਨੂੰ s ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
12. t=0 ਤੋਂ, ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ s ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੈਲਿਕਸ r(t)=cos(t)i+sin(t)j+tk ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ।
13. r(t)=e^t sin(t)i+e^t cos(t)j ਲਈ, t=0 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਚਾਪ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰ s ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ।
14. t=π/3 'ਤੇ r(t)=5cos(t)i+4sin(t)j ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਲੱਭੋ। (ਨੋਟ: ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।)
15. y=1/x ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਜਿਸ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਲੱਭੋ।
16. r(t)=5cos(t)i+5sin(t)j ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਵਕਰਤਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ?
17. y=x−1/4x^2 ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ, x=2 ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲੱਭੋ।
18. y=1/3x^3 ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ, x=1 ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲੱਭੋ।
19. r(t)=ti+6t^2j+4tk ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ ਲੱਭੋ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
20. r(t)=〈2sin(t), 5t, 2cos(t)〉 ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਲੱਭੋ।
21. r(t)=2ti+e^tj+e^-tk ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ, ਬਿੰਦੂ P(0,1,1) 'ਤੇ ਲੱਭੋ।
22. y=e^x ਵਕਰ ਕਿਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਕਰਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ?
23. y=e^x ਵਕਰ ਲਈ x→∞ ਜਿਵੇਂ ਵਕਰਤਾ ਦਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
24. y=ln(x) ਵਕਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਕਰਤਾ ਦਾ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ।
1. ਵਕਰ r(t)=〈2sin(3t),t,2cos(3t)〉 ਦੇ ਬਿੰਦੂ (0,π,−2) ਉੱਤੇ ਲੰਬ ਤਲ ਅਤੇ ਆਸਕੂਲੇਟਿੰਗ ਤਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ਅੰਡਾਕਾਰ 4y^2+9x^2=36 ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,0) ਅਤੇ (0,3) ਉੱਤੇ ਆਸਕੂਲੇਟਿੰਗ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. ਵਕਰ r(t)=cos(2t)i+sin(2t)j+tk ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂ t=π/4 ਉੱਤੇ ਆਸਕੂਲੇਟਿੰਗ ਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਬਿੰਦੂ (2,4/3) ਉੱਤੇ 6y=x^3 ਦਾ ਵਕਰਤਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ r(t)=〈acosh(t),bsinh(t)〉 ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਉੱਤੇ ਵਕਰਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
6. ਚੱਕਰੀ ਹੈਲਿਕਸ r(t)=rsin(t)i+rcos(t)j+tk ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
7. ਬਿੰਦੂ (2,ln3) ਉੱਤੇ y=ln(x+1) ਦਾ ਵਕਰਤਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
8. ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ xy=1 ਦੇ ਬਿੰਦੂ (1,1) ਉੱਤੇ ਵਕਰਤਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਇੱਕ ਕਣ ਸਮਤਲ ਵਕਰ C ਦੇ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ r(t)=ti+t^2j ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਅੰਤਰਾਲ [0,2] ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
11. t=0,1,2 ਉੱਤੇ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. t=0 ਤੋਂ t=2 ਤੱਕ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਵਕਰਤਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
13. ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਕੱਪ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ y=0.25x^1.6 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾ ਕੇ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ x=0 ਤੋਂ x=5 ਤੱਕ ਹੈ (ਸੈਂਟੀਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ)।
14. ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
15. ਜਨਰੇਟਿੰਗ ਵਕਰ ਦੀ ਵਕਰਤਾ κ ਨੂੰ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਕਰਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।