Learning Objectives
3.4.1 Describe the velocity and acceleration vectors of a particle moving in space.
3.4.2 Explain the tangential and normal components of acceleration.
3.4.3 State Kepler’s laws of planetary motion.
We have now seen how to describe curves in the plane and in space, and how to determine their properties, such as arc length and curvature. All of this leads to the main goal of this chapter, which is the description of motion along plane curves and space curves. We now have all the tools we need; in this section, we put these ideas together and look at how to use them.
Motion Vectors in the Plane and in Space
Our starting point is using vector-valued functions to represent the position of an object as a function of time. All of the following material can be applied either to curves in the plane or to space curves. For example, when we look at the orbit of the planets, the curves defining these orbits all lie in a plane because they are elliptical. However, a particle traveling along a helix moves on a curve in three dimensions.
Definition
Let r(t)r(t) be a twice-differentiable vector-valued function of the parameter t that represents the position of an object as a function of time. The velocity vector v(t)v(t) of the object is given by
The acceleration vector a(t)a(t) is defined to be
The speed is defined to be
Since r(t)r(t) can be in either two or three dimensions, these vector-valued functions can have either two or three components. In two dimensions, we define r(t)=x(t)i+y(t)jr(t)=x(t)i+y(t)j and in three dimensions r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k.r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k. Then the velocity, acceleration, and speed can be written as shown in the following table.
row: Quantity | Two Dimensions | Three Dimensions
row: Position | r(t)=x(t)i+y(t)jr(t)=x(t)i+y(t)j | r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
row: Velocity | v(t)=x′(t)i+y′(t)jv(t)=x′(t)i+y′(t)j | v(t)=x′(t)i+y′(t)j+z′(t)kv(t)=x′(t)i+y′(t)j+z′(t)k
row: Acceleration | a(t)=x″(t)i+y″(t)ja(t)=x″(t)i+y″(t)j | a(t)=x″(t)i+y″(t)j+z″(t)ka(t)=x″(t)i+y″(t)j+z″(t)k
row: Speed | v(t)=(x′(t))2+(y′(t))2v(t)=(x′(t))2+(y′(t))2 | v(t)=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2v(t)=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2
Example 3.14
Studying Motion Along a Parabola
A particle moves in a parabolic path defined by the vector-valued function r(t)=t2i+5−t2j,r(t)=t2i+5−t2j, where t measures time in seconds.
Find the velocity, acceleration, and speed as functions of time.
Sketch the curve along with the velocity vector at time t=1.t=1.
Solution
We use Equation 3.20, Equation 3.21, and Equation 3.22: v(t)=r′(t)=2ti−t5−t2ja(t)=v′(t)=2i−5(5−t2)−32jv(t)=‖r′(t)‖=(2t)2+(−t5−t2)2=4t2+t25−t2=21t2−4t45−t2.v(t)=r′(t)=2ti−t5−t2ja(t)=v′(t)=2i−5(5−t2)−32jv(t)=‖r′(t)‖=(2t)2+(−t5−t2)2=4t2+t25−t2=21t2−4t45−t2.
The graph of r(t)=t2i+5−t2jr(t)=t2i+5−t2j is a portion of a parabola (Figure 3.11). The velocity vector at t=1t=1 is v(1)=r′(1)=2(1)i−15−(1)2j=2i−12jv(1)=r′(1)=2(1)i−15−(1)2j=2i−12j and the acceleration vector at t=1t=1 is a(1)=v′(1)=2i−5(5−(1)2)−3/2j=2i−58j.a(1)=v′(1)=2i−5(5−(1)2)−3/2j=2i−58j. Notice that the velocity vector is tangent to the path, as is always the case. Figure 3.11 This graph depicts the velocity vector at time t=1t=1 for a particle moving in a parabolic path.
Checkpoint 3.14
A particle moves in a path defined by the vector-valued function r(t)=(t2−3t)i+(2t−4)j+(t+2)k,r(t)=(t2−3t)i+(2t−4)j+(t+2)k, where t measures time in seconds and where distance is measured in feet. Find the velocity, acceleration, and speed as functions of time.
To gain a better understanding of the velocity and acceleration vectors, imagine you are driving along a curvy road. If you do not turn the steering wheel, you would continue in a straight line and run off the road. The speed at which you are traveling when you run off the road, coupled with the direction, gives a vector representing your velocity, as illustrated in the following figure.
Figure 3.12: At each point along a road traveled by a car, the velocity vector of the car is tangent to the path traveled by the car.
However, the fact that you must turn the steering wheel to stay on the road indicates that your velocity is always changing (even if your speed is not) because your direction is constantly changing to keep you on the road. As you turn to the right, your acceleration vector also points to the right. As you turn to the left, your acceleration vector points to the left. This indicates that your velocity and acceleration vectors are constantly changing, regardless of whether your actual speed varies (Figure 3.13).
Figure 3.13: The dashed line represents the trajectory of an object (a car, for example). The acceleration vector points toward the inside of the turn at all times.
Components of the Acceleration Vector
We can combine some of the concepts discussed in Arc Length and Curvature with the acceleration vector to gain a deeper understanding of how this vector relates to motion in the plane and in space. Recall that the unit tangent vector T and the unit normal vector N form an osculating plane at any point P on the curve defined by a vector-valued function r(t).r(t). The following theorem shows that the acceleration vector a(t)a(t) lies in the osculating plane and can be written as a linear combination of the unit tangent and the unit normal vectors.
Theorem 3.7
The Plane of the Acceleration Vector
The acceleration vector a(t)a(t) of an object moving along a curve traced out by a twice-differentiable function r(t)r(t) lies in the plane formed by the unit tangent vector T(t)T(t) and the principal unit normal vector N(t)N(t) to C. Furthermore,
Here, v(t)v(t) is the speed of the object and κκ is the curvature of C traced out by r(t).r(t).
Proof
Because v(t)=r′(t)v(t)=r′(t) and T(t)=r′(t)‖r′(t)‖,T(t)=r′(t)‖r′(t)‖, we have v(t)=‖r′(t)‖T(t)=v(t)T(t).v(t)=‖r′(t)‖T(t)=v(t)T(t). Now we differentiate this equation:
Since N(t)=T′(t)‖T′(t)‖,N(t)=T′(t)‖T′(t)‖, we know T′(t)=‖T′(t)‖N(t),T′(t)=‖T′(t)‖N(t), so
A formula for curvature is κ=‖T′(t)‖‖r′(t)‖,κ=‖T′(t)‖‖r′(t)‖, so ‖T′(t)‖=κ‖r′(t)‖=κv(t).‖T′(t)‖=κ‖r′(t)‖=κv(t). This gives a(t)=v′(t)T(t)+κ(v(t))2N(t).a(t)=v′(t)T(t)+κ(v(t))2N(t).
□
The coefficients of T(t)T(t) and N(t)N(t) are referred to as the tangential component of acceleration and the normal component of acceleration, respectively. We write aTaT to denote the tangential component and aNaN to denote the normal component.
Theorem 3.8
Tangential and Normal Components of Acceleration
Let r(t)r(t) be a vector-valued function that denotes the position of an object as a function of time. Then a(t)=r″(t)a(t)=r″(t) is the acceleration vector. The tangential and normal components of acceleration aTaT and aNaN are given by the formulas
and
These components are related by the formula
Here T(t)T(t) is the unit tangent vector to the curve defined by r(t),r(t), and N(t)N(t) is the unit normal vector to the curve defined by r(t).r(t).
The normal component of acceleration is also called the centripetal component of acceleration or sometimes the radial component of acceleration. To understand centripetal acceleration, suppose you are traveling in a car on a circular track at a constant speed. Then, as we saw earlier, the acceleration vector points toward the center of the track at all times. As a rider in the car, you feel a pull toward the outside of the track because you are constantly turning. This sensation acts in the opposite direction of centripetal acceleration. The same holds true for noncircular paths. The reason is that your body tends to travel in a straight line and resists the force resulting from acceleration that push it toward the side. Note that at point B in Figure 3.14 the acceleration vector is pointing backward. This is because the car is decelerating as it goes into the curve.
Figure 3.14: The tangential and normal components of acceleration can be used to describe the acceleration vector.
The tangential and normal unit vectors at any given point on the curve provide a frame of reference at that point. The tangential and normal components of acceleration are the projections of the acceleration vector onto T and N, respectively.
Example 3.15
Finding Components of Acceleration
A particle moves in a path defined by the vector-valued function r(t)=t2i+(2t−3)j+(3t2−3t)k,r(t)=t2i+(2t−3)j+(3t2−3t)k, where t measures time in seconds and distance is measured in feet.
Find aTaT and aNaN as functions of t.
Find aTaT and aNaN at time t=2.t=2.
Solution
Let’s start with Equation 3.23: v(t)=r′(t)=2ti+2j+(6t−3)ka(t)=v′(t)=2i+6kaT=v·a‖v‖=(2ti+2j+(6t−3)k)·(2i+6k)‖2ti+2j+(6t−3)k‖=4t+6(6t−3)(2t)2+22+(6t−3)2=40t−1840t2−36t+13.v(t)=r′(t)=2ti+2j+(6t−3)ka(t)=v′(t)=2i+6kaT=v·a‖v‖=(2ti+2j+(6t−3)k)·(2i+6k)‖2ti+2j+(6t−3)k‖=4t+6(6t−3)(2t)2+22+(6t−3)2=40t−1840t2−36t+13. Then we apply Equation 3.24: aN= ‖a‖2− aT2= ‖2i+6k‖2− ( 40t−18 40t2 −36t+13 ) 2 =4+36− (40t−18)240t2−36t+13=40(40t2−36t+13)−(1600t2−1440t+324)40t2−36t+13=19640t2−36t+13=1440t2−36t+13.aN= ‖a‖2− aT2= ‖2i+6k‖2− ( 40t−18 40t2 −36t+13 ) 2 =4+36− (40t−18)240t2−36t+13=40(40t2−36t+13)−(1600t2−1440t+324)40t2−36t+13=19640t2−36t+13=1440t2−36t+13.
We must evaluate each of the answers from part a. at t=2:t=2: aT(2)=40(2)−1840(2)2−36(2)+13=80−18160−72+13=62101aN(2)=1440(2)2−36(2)+13=14160−72+13=14101.aT(2)=40(2)−1840(2)2−36(2)+13=80−18160−72+13=62101aN(2)=1440(2)2−36(2)+13=14160−72+13=14101. The units of acceleration are feet per second squared, as are the units of the normal and tangential components of acceleration.
Checkpoint 3.15
An object moves in a path defined by the vector-valued function r(t)=4ti+t2j,r(t)=4ti+t2j, where t measures time in seconds.
Find aTaT and aNaN as functions of t.
Find aTaT and aNaN at time t=−3.t=−3.
Projectile Motion
Now let’s look at an application of vector functions. In particular, let’s consider the effect of gravity on the motion of an object as it travels through the air, and how it determines the resulting trajectory of that object. In the following, we ignore the effect of air resistance. This situation, with an object moving with an initial velocity but with no forces acting on it other than gravity, is known as projectile motion. It describes the motion of objects from golf balls to baseballs, and from arrows to cannonballs.
First we need to choose a coordinate system. If we are standing at the origin of this coordinate system, then we choose the positive y-axis to be up, the negative y-axis to be down, and the positive x-axis to be forward (i.e., away from the thrower of the object). The effect of gravity is in a downward direction, so Newton’s second law tells us that the force on the object resulting from gravity is equal to the mass of the object times the acceleration resulting from to gravity, or Fg=mg,Fg=mg, where FgFg represents the force from gravity and g represents the acceleration resulting from gravity at Earth’s surface. The value of g in the English system of measurement is approximately 32 ft/sec2 and it is approximately 9.8 m/sec2 in the metric system. This is the only force acting on the object. Since gravity acts in a downward direction, we can write the force resulting from gravity in the form Fg=−mgj,Fg=−mgj, as shown in the following figure.
Figure 3.15: An object is falling under the influence of gravity.
Media
Visit this website for a video showing projectile motion.
Newton’s second law also tells us that F=ma,F=ma, where a represents the acceleration vector of the object. This force must be equal to the force of gravity at all times, so we therefore know that
Now we use the fact that the acceleration vector is the first derivative of the velocity vector. Therefore, we can rewrite the last equation in the form
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਐਂਟੀ-ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈ ਕੇ ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਵੈਕਟਰ C1 ਲਈ। ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੇਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਵੇਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵੇਗ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ: v(0)=v0। ਇਸ ਲਈ, v(0)=−g(0)j+C1=v0 ਅਤੇ C1=v0। ਇਹ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ v(t)=−gtj+v0 ਵਜੋਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੇਗ v(t) ਸਥਿਤੀ s(t) ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਐਂਟੀ-ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਕ ਹੋਰ ਅਣਜਾਣ ਸਥਿਰ ਵੈਕਟਰ C2 ਨਾਲ। C2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮਾਂ t=0 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ: s(0)=s0। ਇਸ ਲਈ, s(0)=−(1/2)g(0)2j+v0(0)+C2=s0 ਅਤੇ C2=s0। ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਆਓ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ v0 ਨਾਲ, ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ θ ਕੋਣ 'ਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਸੋਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੋਂ ਇਸਨੂੰ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, s0=0, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3.16: ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਜਦੋਂ ਵਸਤੂ ਨੂੰ θ ਕੋਣ 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਵੇਗ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਗਤੀ ਸਥਿਰ ਪ੍ਰਵੇਗ 'ਤੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ v0=v0cosθi+v0sinθj ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ s(t) ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
i ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ s(t) ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ (ਸਮਾਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਰੇਂਜ R ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। j ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ s(t) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਉਚਾਈ H ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.16
ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਗਤੀ
ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਦਿਵਸ ਦੇ ਜਸ਼ਨ ਦੌਰਾਨ, ਇੱਕ ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਲੀਫ ਤੋਂ ਪਾਣੀ ਵੱਲ ਤੋਪ ਨਾਲ ਦਾਗਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੋਪ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ 30° ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ 600ft/sec ਹੈ। ਕਲੀਫ ਪਾਣੀ ਤੋਂ 100 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.17)।
ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਛਿਪਕਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ?
ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਡਿੱਗੇਗਾ? ਚਿੱਤਰ 3.17 ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਉਡਾਣ (ਹਵਾ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ) ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
θ=30°, g=32ft/sec2, ਅਤੇ v0=600 ft/sec ਨਾਲ। ਫਿਰ ਸਥਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਆਪਣੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਸਦੇ ਵੇਗ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਉੱਪਰ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਹੇਠਾਂ ਆ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵੇਗ ਵੈਕਟਰ v(t)=s′(t)=3003i+(300−32t)j ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਵੇਗ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸਾ 300−32t ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ t=9.375 ਸਕਿੰਟ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੇਂ ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ t=9.375 'ਤੇ ਹੈ। s(9.375)=300(9.375)3i+(300(9.375)−16(9.375)2)j=4871.39i+1406.25j ਇਸ ਲਈ, ਤੋਪ ਦੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੋਪ ਤੋਂ 1406.39 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਮੁੰਦਰ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 1506.39 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਤੋਪ ਤੋਂ 100 ਫੁੱਟ ਹੇਠਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸਾ −100 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। s(t) ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ −100 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ 300t−16t2=−10016t2−300t−100=04t2−75t−25=0t=75±(−75)2−4(4)(−25)2(4)=75±60258=75±52418 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ t ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਲਗਭਗ 19.08 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਲਗਭਗ 19.08 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ।
ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਭਾਗ (b) ਦੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ s(t) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ: s(19.08)=300(19.08)3i+(300(19.08)−16(19.08)2)j=9914.26i−100.7424j। ਇਸ ਲਈ, ਗੋਲਾ ਕਲੀਫ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 9914.26 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਿੱਸਾ −100 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੋਲਾ ਪਾਣੀ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ 9914.26 ਫੁੱਟ ਤੋਪ ਦੀ ਅਸਲ ਰੇਂਜ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਤੋਪ ਦੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ। ਤੋਪ ਦੀ ਰੇਂਜ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ ਕਿ ਤੋਪ ਦਾ ਗੋਲਾ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਸਦੀ ਉਚਾਈ ਪਾਣੀ ਤੋਂ 100 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ (ਤੋਪ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ)।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.16
ਇੱਕ ਤੀਰਅੰਦਾਜ਼ ਇੱਕ ਤੀਰ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ 40° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ 98 m/sec ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਦਾਗਦਾ ਹੈ। ਤੀਰਅੰਦਾਜ਼ ਦੀ ਉਚਾਈ 171.5 cm ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਖਰੀ ਸਵਾਲ ਬਾਕੀ ਹੈ: ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਕਿੰਨੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਦੂਰੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਦਾਗਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਵੇ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰੇਂਜ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਦੂਜੇ ਭਾਗ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਜਾਂ ਤਾਂ t=0t=0 ਜਾਂ t=2v0sinθg.t=2v0sinθg. ਅਸੀਂ t ਦੇ ਦੂਜੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ s(t),s(t) ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਕੋਣ θθ 'ਤੇ ਦਾਗੀ ਗਈ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਰੇਂਜ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇਕੱਲਾ ਵੇਰੀਏਬਲ θ.θ. ਹੈ। ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, i ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਦਾ θθ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ:
θθ ਦਾ ਇਹ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਧਨਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜੋ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਦੀ ਅਣਹੋਂਦ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਨੂੰ ਦਾਗਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਕੋਣ (ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ) 45°45° ਦਾ ਕੋਣ ਹੈ। ਇਹ ਜਿਸ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, 45°45° ਦੇ ਕੋਣ ਲਈ ਰੇਂਜ v02/g.v02/g ਹੈ।
ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਨਿਯਮ
1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਜੋਹਾਨਸ ਕੇਪਲਰ ਆਪਣੇ ਸਲਾਹਕਾਰ ਟਾਈਕੋ ਬ੍ਰਾਹੇ ਦੇ ਹੈਰਾਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਹੀ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਆਪਣੇ ਤਿੰਨ ਨਿਯਮ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਾਮਯਾਬ ਹੋਇਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਹੁਣ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਯਮ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਸਤੂਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧੂਮਕੇਤੂ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ) ਅਤੇ ਐਸਟੇਰੋਇਡਜ਼ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਉਪਗ੍ਰਹਿਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਥਿਊਰਮ 3.9
ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਨਿਯਮ
ਸੂਰਜ ਬਾਰੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਮਾਰਗ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਨਿਯਮ)।
ਸੂਰਜ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੱਕ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਬਰਾਬਰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਵੀਪ ਕਰਦੀ ਹੈ (ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਨਿਯਮ) (ਚਿੱਤਰ 3.18)।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੇ ਸਮਿਆਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਅਰਧ-ਮੁੱਖ ਕਕਸ਼ੀ ਅਖਾੜਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਘਣਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਦਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਨਿਯਮ)।
ਚਿੱਤਰ 3.18: ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕੱਕੇ ਦੇ ਫੋਕਸ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਛਾਂਦ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਸਾਰੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਚਲਣ ਦੌਰਾਨ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸਮਾਂ ਹਰੇਕ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ।
ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਤੀਜਾ ਨਿਯਮ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਚਿਤ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, 1 ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਇਕਾਈ ਨੂੰ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਸੂਰਜ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਇਸਨੂੰ 149,597,870,700 ਮੀਟਰ ਜਾਂ ਲਗਭਗ 93,000,000 ਮੀਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 1 A.U. = 93,000,000 mi ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਧਰਤੀ ਨੂੰ ਸੂਰਜ ਦਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ 1 ਸਾਲ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਵਜੋਂ ਧਰਤੀ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਧਰਤੀ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ 1 ਸਾਲ ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਲਈ 1 A.U. ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਤੀਜੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਹਿ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ TPTP ਧਰਤੀ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਉਸ ਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਸਮਾਂ ਹੈ ਅਤੇ DPDP ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਉਸ ਗ੍ਰਹਿ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਗ੍ਰਹਿ ਤੱਕ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ (ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨਕ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ) ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸਦੇ ਸਾਲ ਦੀ ਲੰਬਾਈ (ਧਰਤੀ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ।
ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਬ੍ਰਾਹੇ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਬਣਾਏ ਗਏ ਸਨ; ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਸਰ ਆਈਜ਼ਕ ਨਿਊਟਨ ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਾਮਯਾਬ ਨਹੀਂ ਹੋ ਗਿਆ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਨਿਊਟਨ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਤੀਜੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਹੋਰ ਕਕਸ਼ੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੇ ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਆਮ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਕਾਮਯਾਬ ਹੋ ਗਿਆ। ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਮੂਲ ਤੀਜਾ ਨਿਯਮ ਸਿਰਫ਼ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਬੂਤ
ਆਓ ਹੁਣ ਵੈਕਟਰ-ਵੈਲਿਊਡ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੀਏ। ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਆਓ ਸੂਰਜ ਨੂੰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਮੂਲ 'ਤੇ ਰੱਖੀਏ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ-ਵੈਲਿਊਡ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t)r(t) ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇਈਏ। ਨਿਊਟਨ ਨੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਗਤੀ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਗ੍ਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ। ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਗਤੀ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ F=ma,F=ma ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ F ਗ੍ਰਹਿ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਨੈੱਟ ਬਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਉਸਦੇ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਨਿਯਮ ਨੂੰ F=−GmM‖r‖2·r‖r‖,F=−GmM‖r‖2·r‖r‖ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਗ੍ਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਆਕਰਸ਼ਣ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਬਲ ਸੂਰਜ ਵੱਲ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ GmM‖r‖2GmM‖r‖2 ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.19)।
ਚਿੱਤਰ 3.19: ਧਰਤੀ ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਵਿਚਕਾਰ ਗ੍ਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਬਲ ਧਰਤੀ ਦੇ ਪੁੰਜ ਗੁਣਾ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ, ਅਤੇ a(t)=v′(t),a(t)=v′(t) ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ dv/dtdv/dt ਅਤੇ r ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ dv/dt×r=0.dv/dt×r=0. ਅੱਗੇ, ਆਓ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ r×vr×v ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ r×vr×v ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ C ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ rr ਅਤੇ v ਸਾਰੇ t ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ C ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹਨ, ਉਹ C ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਗਤੀ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
1. ਅਸੀਂ ਹੁਣ dv/dt × C ਦੇ ਪਦ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
2. ਸਮੀਕਰਨ 3.26 ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਸਮਾਨਤਾ ਤ੍ਰੈ-ਗੁਣਾ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ ਤੋਂ ਹੈ।
3. ਮੀਡੀਆ
4. ਸਾਨੂੰ r·v ਲਈ ਇੱਕ ਪਦ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ r·r ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
5. ਕਿਉਂਕਿ r·r = ‖r‖², ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
6. ਸਮੀਕਰਨ 3.27 ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 3.28 ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
7. ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 3.26 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
8. ਹਾਲਾਂਕਿ,
9. ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ 3.29 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
10. ਕਿਉਂਕਿ C ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਸਮਾਕਲਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
11. ਜਿੱਥੇ D ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਟੀਚਾ ‖r‖ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਆਓ r·(v×C) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ:
12. ਹਾਲਾਂਕਿ, r·(v×C) = (r×v)·C, ਇਸ ਲਈ:
13. ਕਿਉਂਕਿ r×v = C, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ r·D = ‖r‖‖D‖cosθ, ਜਿੱਥੇ θ, r ਅਤੇ D ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ:
15. ‖r‖ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ:
16. ਜਿੱਥੇ e = ‖D‖/GM। ਇਹ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੋਕਸ ਵਾਲੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸੂਰਜ ਵਜੋਂ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ (hyperbola) ਹੈ ਜੇਕਰ e>1, ਇੱਕ ਪਰਵਲੈਅ (parabola) ਹੈ ਜੇਕਰ e=1, ਜਾਂ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਹੈ ਜੇਕਰ e<1। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀਆਂ ਬੰਦ ਕਲਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਕੇਵਲ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇਹ ਦੱਸਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਧੂਮਕੇਤੂ (hyperbolic comets) ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਇਹ ਉਹ ਵਸਤੂਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਕਲਾ ਵਿੱਚ ਫਸਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘ ਰਹੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਉਹ ਸੂਰਜ ਦੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ, ਸੂਰਜ ਦਾ ਗੁਰੂਤਾ ਖੇਤਰ ਪਥ ਨੂੰ ਇੰਨਾ ਵਿਗਾੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮਾਰਗ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. □
18. ਉਦਾਹਰਨ 3.17
19. ਗੈਰ-ਸੂਰਜ-ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਲਾਵਾਂ ਲਈ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਤੀਜੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
20. ਗ੍ਰਹਿ ਗਤੀ ਦੇ ਕੇਪਲਰ ਦੇ ਤੀਜੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਕਲਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸੋਧਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੰਦਰਮਾ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਤੀਜਾ ਨਿਯਮ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
21. ਜਿੱਥੇ m ਚੰਦਰਮਾ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ M ਧਰਤੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ, a ਅੰਡਾਕਾਰ ਕਲਾ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ P ਅਵਧੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
22. ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚੰਦਰਮਾ ਦਾ ਪੁੰਜ 7.35×10²² kg ਹੈ, ਧਰਤੀ ਦਾ ਪੁੰਜ 5.97×10²⁴ kg ਹੈ, G = 6.67×10⁻¹¹ m³/kg·sec² ਹੈ, ਅਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਅਵਧੀ 27.3 ਦਿਨ ਹੈ, ਆਓ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਕਲਾ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੀਏ।
23. ਹੱਲ
24. ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਇਕਸਾਰ ਰਹਿਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਗੁਰੂਤਾ ਅਚਲ ਵਿੱਚ ਸੈਕਿੰਡ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਅਵਧੀ ਲਈ ਵੀ ਸੈਕਿੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
1. ਸਮੀਕਰਨ 3.30 ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਡਾਟਾ ਬਦਲੋ ਅਤੇ 'a' ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
2. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
3. solarsystem.nasa.gov ਅਨੁਸਾਰ, ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਅਸਲ ਔਸਤ ਦੂਰੀ 384,400 ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਹੈ। ਇਹ 1960 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਅਪੋਲੋ ਪੁਲਾੜ ਯਾਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਚੰਦਰਮਾ 'ਤੇ ਛੱਡੇ ਗਏ ਰਿਫਲੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
4. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 3.17
5. ਟਾਈਟਨ ਸ਼ਨੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਚੰਦਰਮਾ ਹੈ। ਟਾਈਟਨ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲਗਭਗ 1.35× 10^23 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਸ਼ਨੀ ਦਾ ਪੁੰਜ ਲਗਭਗ 5.68× 10^26 ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਹੈ। ਟਾਈਟਨ ਨੂੰ ਸ਼ਨੀ ਦਾ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 16 ਦਿਨ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਸਾਰਵਭੌਮਿਕ ਗੁਰੂਤਾ-ਨਿਰੰਤਰ G=6.67× 10^−11 m^3/kg·sec^2 ਦੇ ਨਾਲ, ਟਾਈਟਨ ਤੋਂ ਸ਼ਨੀ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 3.18
7. ਅਧਿਆਇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ: ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ
8. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸੂਰਜ ਦੁਆਲੇ ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੇਪਲਰ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪਥ ਅਨੁਸਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸੂਰਜ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਫੋਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦਾ ਕਾਲ 76.1 ਸਾਲ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਾਹਰੀ ਸੂਰਜੀ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵੇਲੇ ਬृहਸਪਤੀ ਅਤੇ ਸ਼ਨੀ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਆਓ T=76.1 ਸਾਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ। ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ ਕੀ ਹੈ?
9. ਹੱਲ
10. ਸਮੀਕਰਨ T^2=D^3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜਿੱਥੇ T=76.1, ਸਾਨੂੰ D^3=5791.21 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ D≈17.96 A.U. ਇਹ ਲਗਭਗ 1.67×10^9 ਮੀਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
11. ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਇਹ ਪੁੱਛਣਾ ਹੈ: ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੀ ਅਧਿਕਤਮ (ਅਪਹੇਲੀਅਨ) ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ (ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ) ਦੂਰੀਆਂ ਕੀ ਹਨ? ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਦੇ ਪਥ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ 0.967 ਹੈ (ਸਰੋਤ: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/cometfact.html)। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦਾ ਸੂਤਰ e=c/a ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਅਰਧ-ਮੁੱਖ ਧੁਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਅਤੇ c ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 0.967=c/17.96 ਅਤੇ c≈17.37 A.U. ਇਸਨੂੰ 'a' ਤੋਂ ਘਟਾਉਣ 'ਤੇ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ ਦੂਰੀ p=a−c=17.96−17.37=0.59 A.U. ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨੈਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ ਸਾਇੰਸ ਡਾਟਾ ਸੈਂਟਰ (ਸਰੋਤ: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/cometfact.html) ਅਨੁਸਾਰ, ਹੈਲੀ ਦੇ ਧੂਮਕੇਤੂ ਲਈ ਪੈਰੀਹੇਲੀਅਨ ਦੂਰੀ 0.587 A.U. ਹੈ। ਅਪਹੇਲੀਅਨ ਦੂਰੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ
12. ਇਹ ਲਗਭਗ 3.3×10^9 ਮੀਲ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਤੋਂ ਪਲੂਟੋ ਦੀ ਔਸਤ ਦੂਰੀ 39.5 A.U. ਹੈ (ਸਰੋਤ: http://www.oarval.org/furthest.htm), ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੈਲੀ ਦਾ ਧੂਮਕੇਤੂ ਪਲੂਟੋ ਦੇ ਪਥ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
13. ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
14. ਬੈਂਕਡ ਟਰਨ ਵਿੱਚ ਨੈਵੀਗੇਟ ਕਰਨਾ
15. ਇੱਕ ਰੇਸਕਾਰ ਬਿਨਾਂ ਖਿਸਕਣ ਅਤੇ ਕੰਧ ਨਾਲ ਟਕਰਾਉਣ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਮੋੜ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਕਈ ਕਾਰਕਾਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ:
16. ਕਾਰ ਦਾ ਭਾਰ;
17. ਟਾਇਰਾਂ ਅਤੇ ਸੜਕ ਵਿਚਕਾਰ ਘਬਰਾਹਟ;
18. ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ;
19. ਮੋੜ ਦੀ "ਢਲਾਣ"।
20. ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਟੈਨੇਸੀ ਵਿੱਚ ਬ੍ਰਿਸਟਲ ਮੋਟਰ ਸਪੀਡਵੇਅ ਵਿਖੇ NASCAR ਰੇਸਕਾਰਾਂ ਲਈ ਇਸ ਸਵਾਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਟਰੈਕ 'ਤੇ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਵਿਕਸਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
21. ਪੁੰਜ m ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕਾਰ R ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਮੋੜ ਦੁਆਲੇ ਸਥਿਰ ਕੋਣੀ ਗਤੀ ω ਨਾਲ ਚਲਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.20)। ਮੋੜ ਇੱਕ ਕੋਣ θ 'ਤੇ ਬੈਂਕ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਕਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ h ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਕਾਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t)=⟨Rcos(ωt),Rsin(ωt),h⟩ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
22. ਚਿੱਤਰ 3.20: ਇੱਕ ਰੇਸ ਕਾਰ ਦੇ ਟਰੈਕ ਦੁਆਲੇ ਚਲਦੇ ਹੋਏ ਦ੍ਰਿਸ਼।
23. ਕਾਰ ਦਾ ਵੇਗ ਫੰਕਸ਼ਨ v(t) ਲੱਭੋ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ v ਚੱਕਰੀ ਪਥ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ, ਕਾਰ ਨੂੰ ਪਥ 'ਤੇ ਰੱਖਣ ਲਈ ਕੋਈ ਬਲ ਨਾ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, ਕਾਰ ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲ ਜਾਵੇਗੀ।
24. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਕਾਰ ਦੀ ਗਤੀ ωR ਹੈ। ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਰੋ ਕਿ (2πr)/|v|=(2π)/ω।
Find the acceleration a. Show that this vector points toward the center of the circle and that |a|=Rω2.|a|=Rω2.
The force required to produce this circular motion is called the centripetal force, and it is denoted Fcent. This force points toward the center of the circle (not toward the ground). Show that |Fcent|=(m|v|2)/R.|Fcent|=(m|v|2)/R. As the car moves around the curve, three forces act on it: gravity, the force exerted by the road (this force is perpendicular to the ground), and the friction force (Figure 3.21). Because describing the frictional force generated by the tires and the road is complex, we use a standard approximation for the frictional force. Assume that |f|=μ|N||f|=μ|N| for some positive constant μ.μ. The constant μμ is called the coefficient of friction. Figure 3.21 The car has three forces acting on it: gravity (denoted by mg), the friction force f, and the force exerted by the road N. Let vmaxvmax denote the maximum speed the car can attain through the curve without skidding. In other words, vmaxvmax is the fastest speed at which the car can navigate the turn. When the car is traveling at this speed, the magnitude of the centripetal force is |Fcent|=mvmax2R.|Fcent|=mvmax2R. The next three questions deal with developing a formula that relates the speed vmaxvmax to the banking angle θ.θ.
Show that |N|cosθ=mg+|f|sinθ.|N|cosθ=mg+|f|sinθ. Conclude that |N|=(mg)/(cosθ−μsinθ).|N|=(mg)/(cosθ−μsinθ).
The centripetal force is the sum of the forces in the horizontal direction, since the centripetal force points toward the center of the circular curve. Show that |Fcent|=|N|sinθ+|f|cosθ.|Fcent|=|N|sinθ+|f|cosθ. Conclude that |Fcent|=sinθ+μcosθcosθ−μsinθmg.|Fcent|=sinθ+μcosθcosθ−μsinθmg.
Show that vmax2=((sinθ+μcosθ)/(cosθ−μsinθ))gR.vmax2=((sinθ+μcosθ)/(cosθ−μsinθ))gR. Conclude that the maximum speed does not actually depend on the mass of the car. Now that we have a formula relating the maximum speed of the car and the banking angle, we are in a position to answer the questions like the one posed at the beginning of the project. The Bristol Motor Speedway is a NASCAR short track in Bristol, Tennessee. The track has the approximate shape shown in Figure 3.22. Each end of the track is approximately semicircular, so when cars make turns they are traveling along an approximately circular curve. If a car takes the inside track and speeds along the bottom of turn 1, the car travels along a semicircle of radius approximately 211 ft with a banking angle of 24°. If the car decides to take the outside track and speeds along the top of turn 1, then the car travels along a semicircle with a banking angle of 28°. (The track has variable angle banking.)
Figure 3.22: At the Bristol Motor Speedway, Bristol, Tennessee (a), the turns have an inner radius of about 211 ft and a width of 40 ft (b). (credit: part (a) photo by Raniel Diaz, Flickr)
The coefficient of friction for a normal tire in dry conditions is approximately 0.7. Therefore, we assume the coefficient for a NASCAR tire in dry conditions is approximately 0.98.
Before answering the following questions, note that it is easier to do computations in terms of feet and seconds, and then convert the answers to miles per hour as a final step.
In dry conditions, how fast can the car travel through the bottom of the turn without skidding?
In dry conditions, how fast can the car travel through the top of the turn without skidding?
In wet conditions, the coefficient of friction can become as low as 0.1. If this is the case, how fast can the car travel through the bottom of the turn without skidding?
Suppose the measured speed of a car going along the outside edge of the turn is 105 mph. Estimate the coefficient of friction for the car’s tires.
Given r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j, find the velocity of a particle moving along this curve.
Given r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j,r(t)=(3t2−2)i+(2t−sin(t))j, find the acceleration vector of a particle moving along the curve in the preceding exercise.
Given the following position functions, find the velocity, acceleration, and speed in terms of the parameter t.
r ( t ) = 〈 3 cos t , 3 sin t , t 2 〉 r ( t ) = 〈 3 cos t , 3 sin t , t 2 〉
r ( t ) = e − t i + t 2 j + tan t k r ( t ) = e − t i + t 2 j + tan t k
r ( t ) = 2 cos t j + 3 sin t k . r ( t ) = 2 cos t j + 3 sin t k .
Find the velocity, acceleration, and speed of a particle with the given position function.
r ( t ) = 〈 t 2 − 1 , t 〉 r ( t ) = 〈 t 2 − 1 , t 〉
r(t)=〈et,e−t〉r(t)=〈et,e−t〉. The graph is shown here:
r ( t ) = 〈 sin t , t , cos t 〉 . r ( t ) = 〈 sin t , t , cos t 〉 .
The position function of an object is given by r(t)=〈t2,5t,t2−16t〉.r(t)=〈t2,5t,t2−16t〉. At what time is the speed a minimum?
Let r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j.r(t)=rcosh(ωt)i+rsinh(ωt)j. Find the velocity and acceleration vectors and show that the acceleration is proportional to r(t).r(t).
ਇੱਕ ਘੁੰਮ ਰਹੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਘੇਰੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਤੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਚੱਕਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਈਕਲੋਇਡ r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1−cos(ωt))j,r(t)=(ωt−sin(ωt))i+(1−cos(ωt))j उत्पन्न ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ω ω ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੋਣੀ ਵੇਗ ਹੈ:
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਕਣ ਦੇ ਵੇਗ, ਪ੍ਰਵੇਗ ਅਤੇ ਗਤੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਹੈਂਗ ਗਲਾਈਡਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਉੱਠਦੀ ਹਵਾ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਪਾਥ 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸਪਾਇਰਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ r(t)=(3cost)i+(3sint)j+t2k.r(t)=(3cost)i+(3sint)j+t2k ਹੈ। ਪਾਥ ਇੱਕ ਹੈਲਿਕਸ ਵਰਗਾ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਹੈਲਿਕਸ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲੱਭੋ:
ਵੇਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਵੈਕਟਰ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੇਂ ਗਲਾਈਡਰ ਦੀ ਗਤੀ
ਉਹ ਸਮਾਂ, ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ, ਜਿਸ 'ਤੇ ਗਲਾਈਡਰ ਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਇਸਦੇ ਵੇਗ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ r(t)=〈e−5tsint,e−5tcost,4e−5t〉r(t)=〈e−5tsint,e−5tcost,4e−5t〉 ਇੱਕ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲੱਭੋ:
ਕਣ ਦਾ ਵੇਗ
ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ
ਕਣ ਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ
1 ਫੁੱਟ ਦੇ ਘੇਰੇ ਵਾਲੇ ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਟਾਇਰ ਦੇ ਘੇਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਗਤੀ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ 55 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ ਦੀ ਰਫਤਾਰ ਨਾਲ ਚੱਲ ਰਹੀ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ ਤੋਂ 500 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ 60° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਥੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:
ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ?
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਲਗਭਗ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਂਜ ਕਿਸ ਸਮੇਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ?
ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਂਜ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦਾ ਕੁੱਲ ਉਡਾਣ ਸਮਾਂ ਕਿੰਨਾ ਹੈ?
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 1.5 ਮੀਟਰ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ 100 ਮੀ/ਸੈਕ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੇਗ ਨਾਲ ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਤੋਂ 30° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਕਰੋ:
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਗੋਲਫ ਬਾਲ ਨੂੰ 100 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਉੱਪਰੀ ਕਿਨਾਰੇ ਤੋਂ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 450 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਉਤਰਨ ਲਈ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਲਾਂਚ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ?
ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਨੂੰ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਨਾਲ 8° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਜ਼ਮੀਨੀ ਪੱਧਰ ਤੋਂ ਫਾਇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਰੇਂਜ 50 ਮੀਟਰ ਹੋਣੀ ਹੈ। ਇਸ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਵੇਗ ਲੱਭੋ।
ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗਤੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪ੍ਰਵੇਗ ਸ਼ੁੱਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
The acceleration of an object is given by a(t)=tj+tk.a(t)=tj+tk. The velocity at t=1t=1 sec is v(1)=5jv(1)=5j and the position of the object at t=1t=1 sec is r(1)=0i+0j+0k.r(1)=0i+0j+0k. Find the object’s position at any time.
Find r(t)r(t) given that a(t)=−32j,a(t)=−32j, v(0)=6003i+600j,v(0)=6003i+600j, and r(0)=0.r(0)=0.
Find the tangential and normal components of acceleration for r(t)=acos(ωt)i+asin(ωt)jr(t)=acos(ωt)i+asin(ωt)j at t=0.t=0.
Given r(t)=t2i+2tjr(t)=t2i+2tj and t=1,t=1, find the tangential and normal components of acceleration.
For each of the following problems, find the tangential and normal components of acceleration.
r(t)=〈etcost,etsint,et〉.r(t)=〈etcost,etsint,et〉. The graph is shown here:
r ( t ) = 〈 cos ( 2 t ) , sin ( 2 t ) , 1 〉 r ( t ) = 〈 cos ( 2 t ) , sin ( 2 t ) , 1 〉
r ( t ) = 〈 2 t , t 2 , t 3 3 〉 r ( t ) = 〈 2 t , t 2 , t 3 3 〉
r ( t ) = 〈 2 3 ( 1 + t ) 3 / 2 , 2 3 ( 1 − t ) 3 / 2 , 2 t 〉 r ( t ) = 〈 2 3 ( 1 + t ) 3 / 2 , 2 3 ( 1 − t ) 3 / 2 , 2 t 〉
r ( t ) = 〈 6 t , 3 t 2 , 2 t 3 〉 r ( t ) = 〈 6 t , 3 t 2 , 2 t 3 〉
r ( t ) = t 2 i + t 2 j + t 3 k r ( t ) = t 2 i + t 2 j + t 3 k
r ( t ) = 3 cos ( 2 π t ) i + 3 sin ( 2 π t ) j r ( t ) = 3 cos ( 2 π t ) i + 3 sin ( 2 π t ) j
Find the position vector-valued function r(t),r(t), given that a(t)=i+etj,a(t)=i+etj, v(0)=2j,v(0)=2j, and r(0)=2i.r(0)=2i.
The force on a particle is given by f(t)=(cost)i+(sint)j.f(t)=(cost)i+(sint)j. The particle is located at point (c,0)(c,0) at t=0.t=0. The initial velocity of the particle is given by v(0)=v0j.v(0)=v0j. Find the path of the particle of mass m. (Recall, F=m·a.)F=m·a.)
An automobile that weighs 2700 lb makes a turn on a flat road while traveling at 56 ft/sec. If the radius of the turn is 70 ft, what is the required frictional force to keep the car from skidding?
Using Kepler’s laws, it can be shown that v0=2GMr0v0=2GMr0 is the minimum speed needed when θ=0θ=0 so that an object will escape from the pull of a central force resulting from mass M. Use this result to find the minimum speed when θ=0θ=0 for a space capsule to escape from the gravitational pull of Earth if the probe is at an altitude of 300 km above Earth’s surface.
Find the time in years it takes the dwarf planet Pluto to make one orbit about the Sun given that a=39.5a=39.5 A.U.
Suppose that the position function for an object in three dimensions is given by the equation r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.r(t)=tcos(t)i+tsin(t)j+3tk.
Show that the particle moves on a circular cone.
Find the angle between the velocity and acceleration vectors when t=1.5.t=1.5.
Find the tangential and normal components of acceleration when t=1.5.t=1.5.