ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕਈ ਟ੍ਰੇਸ ਜਾਂ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਬਣਾਓ।
ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਲੈਵਲ ਸਰਫੇਸ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸਾਡਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਇਹ ਸਮਝਾਉਣਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇਸ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਪਲੈਨਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲ 'ਤੇ ਮੈਪ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ z=f(x,y) ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰੇਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (x,y) ਨੂੰ ਅਸਲ ਪਲੇਨ ℝ² ਦੇ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ DD ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ z 'ਤੇ ਮੈਪ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਮੂਹ DD ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ z ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤਾ ਜੋੜਾ (x,y)∈D ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x,y)=z ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.2: ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (x,y) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡੋਮੇਨ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੌਜੂਦ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਦੇਖੀਏ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.1
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭੋ:
f(x,y)=3x+5y+2
g(x,y)=9−x²−y²
ਹੱਲ
ਇਹ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਜਾਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ f(x,y) ਨੂੰ ਅਣਪਛਾਣੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ f ਦਾ ਡੋਮੇਨ ℝ² ਹੈ। ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ z ਲਈ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। ਸਾਨੂੰ f(x,y)=z, ਜਾਂ 3x+5y+2=z ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਪਹਿਲਾਂ y=0 ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ 3x+2=z ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ x=z−2/3 ਹੈ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ z ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ f(x,y)=z ਦਾ ਹੱਲ ਵਜੋਂ (z−2/3,0) ਆਰਡਰ ਕੀਤਾ ਜੋੜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਜਾਂ ℝ ਹੈ।
g(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਹੋਣ ਲਈ, ਵਰਗ ਮੂਲ ਦੇ ਅਧੀਨ ਮਾਤਰਾ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ: 9−x²−y²≥0। ਇਸ ਅਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ x²+y²≤9 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, g(x,y) ਦਾ ਡੋਮੇਨ {(x,y)∈ℝ²|x²+y²≤9} ਹੈ। ਇਸ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਡਿਸਕ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਬਾਉਂਡਰੀ ਸਰਕਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.3 g(x,y)=9−x²−y² ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਬੰਦ ਡਿਸਕ ਹੈ। g(x,y)=9−x²−y² ਦੀ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਬਾਉਂਡਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x₀,y₀) ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ x²+y²=9 ਦੇ ਸਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ x₀²+y₀²=9 ਅਤੇ g(x₀,y₀)=9−x₀²−y₀²=9−(x₀²+y₀²)=9−9=0। ਜੇ x₀²+y₀²=0 (ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x₀=y₀=0), ਤਾਂ g(x₀,y₀)=9−x₀²−y₀²=9−(x₀²+y₀²)=9−0=3। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ। 0 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ c ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ gg ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਸਮੂਹ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ g(x,y)=c: 9−x²−y²=c, x²+y²=9−c²। ਕਿਉਂਕਿ 9−c²>0, ਇਹ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 9−c² ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਰਕਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਸਮੀਕਰਨ g(x,y)=c ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ [0,3] ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.1
f(x,y)=36−9x²−9y² ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ z=f(x,y) ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (x ਅਤੇ y) ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (z) ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ y=f(x) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਪਲੇਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (x,y) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤਾ ਜੋੜਾ (x,y) ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ, ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤਾ ਜੋੜਾ (x,y) ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ z 'ਤੇ ਮੈਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਤ੍ਰਿਪਲ (x,y,z) ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ z=(x,y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਤਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰਿਗੁਣਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਸਮਤਲ ਵਿਛੀ ਹੋਈ (x,y)(x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ z-ਮੁੱਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ z ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਬਿੰਦੂ xy-ਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਜੇਕਰ z ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਬਿੰਦੂ xy-ਤਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਤਹ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.2
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ:
g(x,y)=9−x2−y2
f(x,y)=x2+y2
ਹੱਲ
ਉਦਾਹਰਨ 4.1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਕਿ g(x,y)=9−x2−y2 ਦਾ ਡੋਮੇਨ {(x,y)∈ℝ2|x2+y2≤9} ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ {z∈ℝ|0≤z≤3} ਹੈ। ਜਦੋਂ x2+y2=9 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ g(x,y)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x,y-ਤਲ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ℝ3 ਵਿੱਚ z=0 ਤੱਕ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ x2+y2=8 ਹੈ, ਤਾਂ g(x,y)=1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x,y-ਤਲ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 2√2 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ℝ3 ਵਿੱਚ z=1 ਤੱਕ ਮੈਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ x2+y2 ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਨੇੜੇ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, z ਦਾ ਮੁੱਲ 3 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ x2+y2=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ g(x,y)=3 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ x,y-ਤਲ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਜੇਕਰ x2+y2 ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਅਤੇ 9 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ g(x,y) 0 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਥਿਰ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਸਤਹ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 3 ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.4 ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ x2+y2 ਸਮੀਕਰਨ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਵਧਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। f(x,y)=x2+y2 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ (ਜਦੋਂ x=y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ z=y2 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ z=x2 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਪਰਬਲਾਈ (parabolas) ਹਨ। ਵੈਕਟਰ ਇਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਪਰਿਚੈ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ f(x,y)=x2+y2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਾਮ ਪਰਬਲਾਇਡ (paraboloid) ਹੈ। f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.5 ਇੱਕ ਪਰਬਲਾਇਡ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.3
ਨੱਟ ਅਤੇ ਬੋਲਟ
ਇੱਕ ਹਾਰਡਵੇਅਰ ਨਿਰਮਾਤਾ ਲਈ ਇੱਕ ਮੁਨਾਫਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ x ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਵੇਚੇ ਗਏ ਨੱਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਅਤੇ y ਪ੍ਰਤੀ ਮਹੀਨਾ ਵੇਚੇ ਗਏ ਬੋਲਟਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ)। ਮੁਨਾਫਾ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਡਾਲਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। f ਦਾ ਡੋਮੇਨ (x,y) ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਜੋੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁਨਾਫਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ:
ਇਹ (3,2) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 4 ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਡਿਸਕ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਾਬੰਦੀ ਇਹ ਹੈ ਕਿ x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ x=3 ਅਤੇ y=2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ f(x,y)=16 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਦਾ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਮਹੀਨੇ ਵਿੱਚ 2.5 ਹਜ਼ਾਰ ਨੱਟ ਵੇਚਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਬਿੰਦੂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਵੀ z<16 ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ f(x,y)=z ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਕਿਉਂਕਿ z<16, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 16−z>0, ਇਸ ਲਈ ਪਿਛਲਾ ਸਮੀਕਰਨ (3,2) ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 16−z ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, f(x,y) ਦੀ ਰੇਂਜ {z∈ℝ|z≤16} ਹੈ। f(x,y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਬਲਾਇਡ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਪਰਬਲਾਇਡ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.6: ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਬਲਾਇਡ ਹੈ।
ਲੈਵਲ ਕਰਵ
ਜੇਕਰ ਹਾਈਕਰ ਖੁਰਦਰੀ ਪਗਡੰਡੀਆਂ 'ਤੇ ਚੱਲਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਕਸ਼ਾ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਗਡੰਡੀਆਂ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਕਸ਼ੇ ਵਿੱਚ ਕਰਵਡ ਲਾਈਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੰਟੂਰ ਲਾਈਨਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰ ਕੰਟੂਰ ਲਾਈਨ ਨਕਸ਼ੇ 'ਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.7)। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ f(x,y) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਸਥਾਨਕ ਨਕਸ਼ੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੰਟੂਰ ਲਾਈਨ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.7: (a) ਡੇਵਿਲਜ਼ ਟਾਵਰ, ਵਯੋਮਿੰਗ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਨਕਸ਼ਾ। ਨੇੜੇ-ਨੇੜੇ ਲਾਈਨਾਂ ਬਹੁਤ ਖੜੀ ਭੂਮੀ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। (b) ਡੇਵਿਲਜ਼ ਟਾਵਰ ਦੀ ਇੱਕ ਪਰਿਪੇਖ ਫੋਟੋ ਇਸਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਦੀ ਖੜਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਟਾਵਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਥਾਨਕ ਨਕਸ਼ੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ f(x,y) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ f ਦੇ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ c ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, c ਮੁੱਲ ਲਈ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ f(x,y)=c ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।
g(x,y)=9−x2−y2 ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। g ਦੀ ਰੇਂਜ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ [0,3] ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ—ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, c=2। c=2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਲੈਵਲ ਕਰਵ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਹੈ
ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ:
ਹੁਣ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ −1−1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 99 ਜੋੜੋ:
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਅਤੇ 5.5 ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। cc ਦੇ 0ਤੋਂ30ਤੋਂ3 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਨਾਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੋਰ ਚੱਕਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ c=3,c=3, ਤਾਂ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 0,0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਕੇਵਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 4.8 ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜੋ c=0,1,2,ਅਤੇ3.c=0,1,2,ਅਤੇ3. ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਿਛਲੇ ਉਤਪਤੀ ਵਿੱਚ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹੱਲ ਪੇਸ਼ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਥੇ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.8: ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y)=9−x2−y2,g(x,y)=9−x2−y2, ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ, c=0,1,2,c=0,1,2, ਅਤੇ 33 (c=3(c=3 ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.4
ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ ਬਣਾਉਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2,f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, c=0.c=0. ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ ਬਣਾਓ। f?f? ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕੀ ਹਨ?
ਹੱਲ
c=0.c=0. ਲਈ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x,y)=0f(x,y)=0 ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ −1:−1: ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, xx ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਅਤੇ yy ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ 88 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਬਰੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ 44 ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਬਰੈਕਟ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 16:16: ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ (1,−2).(1,−2) 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਗਲੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.9: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2 ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ, c=0.c=0. ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ।
ਅਸੀਂ 4.4 ਤੋਂ ਘੱਟ cc ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਹੀ ਉਤਪਤੀ ਦੁਹਰਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਸਮੀਕਰਨ 4.1 ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
c.c. ਦੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਮੁੱਲ ਲਈ। ਚਿੱਤਰ 4.10 f(x,y)f(x,y) ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ c=0,1,2,ਅਤੇ3.c=0,1,2,ਅਤੇ3. ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ c=4,c=4, ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਬਿੰਦੂ (1,−2).(1,−2) ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.10: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2f(x,y)=8+8x−4y−4x2−y2 ਲਈ ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ, c=0,1,2,3,ਅਤੇ4.c=0,1,2,3,ਅਤੇ4. ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ।
ਡੋਮੇਨ:x,y ਅੰਡਾਕਾਰ (x-1)24+(y+2)216=1 ਦੇ ਅੰਦਰਰੇਂਜ: [0,4)ਡੋਮੇਨ:x,y ਅੰਡਾਕਾਰ (x-1)24+(y+2)216=1 ਦੇ ਅੰਦਰਰੇਂਜ: [0,4)
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.2
ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y)=x2+y2−6x+2yg(x,y)=x2+y2−6x+2y ਦੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਨੂੰ c=15.c=15. ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਪਯੋਗੀ ਸਾਧਨ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ (vertical trace) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲੈਵਲ ਕਰਵ (level curves) ਹਮੇਸ਼ਾ xy-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ, ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ xz- ਜਾਂ yz-ਪਲੇਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
D⊆ℝ2 ਡੋਮੇਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਥਿਰ x=a ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ f(a,y)=z ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਥਿਰ y=b ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ f(x,b)=z ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.5
ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=sinxcosy ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ ਲੱਭੋ ਜੋ x=−π4, 0, ਅਤੇ π4, ਅਤੇ y=−π4, 0, ਅਤੇ π4 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ z=sinxcosy ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−π4 ਸੈੱਟ ਕਰੋ:
ਇਹ x=−π4 ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। zz ਦੇ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਸਾਰਣੀ: c | x=c ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ
−π4 | z=−2cosy2
0 | z=0
π4 | z=2cosy2
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ f(x,y) ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ y-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰੇਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ: d | y=d ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ
−π4 | z=2sinx2
0 | z=sinx
π4 | z=2sinx2
xz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਟ੍ਰੇਸ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ; yz-ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਟ੍ਰੇਸ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਹ ਕਰਵ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ x=−π4, x=0, x=π4 ਅਤੇ y=−π4, y=0, y=π4 ਪਲੇਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.11: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ xz-ਪਲੇਨਾਂ (a) ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਕਰਵ ਹਨ ਅਤੇ yz-ਪਲੇਨਾਂ (b) ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਕਰਵ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.3
ਫੰਕਸ਼ਨ g(x,y)=−x2−y2+2x+4y−1 ਲਈ y=3 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਵਰਟੀਕਲ ਟ੍ਰੇਸ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੁਝ ਅਸਾਧਾਰਨ ਦਿੱਖ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਚਿੱਤਰ ਦੋ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.12: ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਤ੍ਹਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ: (a) ਇੱਕ ਪਾਵਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਅਤੇ (b) ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ, ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ।
Functions of More Than Two Variables
So far, we have examined only functions of two variables. However, it is useful to take a brief look at functions of more than two variables. Two such examples are
and
In the first function, (x,y,z)(x,y,z) represents a point in space, and the function ff maps each point in space to a fourth quantity, such as temperature or wind speed. In the second function, (x,y)(x,y) can represent a point in the plane, and tt can represent time. The function might map a point in the plane to a third quantity (for example, pressure) at a given time t.t. The method for finding the domain of a function of more than two variables is analogous to the method for functions of one or two variables.
Example 4.6
Domains for Functions of Three Variables
Find the domain of each of the following functions:
f(x,y,z)=3x−4y+2z9−x2−y2−z2f(x,y,z)=3x−4y+2z9−x2−y2−z2
g(x,y,t)=2t−4x2−y2g(x,y,t)=2t−4x2−y2
Solution
For the function f(x,y,z)=3x−4y+2z9−x2−y2−z2f(x,y,z)=3x−4y+2z9−x2−y2−z2 to be defined (and be a real value), two conditions must hold: The denominator cannot be zero. The radicand cannot be negative. Combining these conditions leads to the inequality 9−x2−y2−z2>0.9−x2−y2−z2>0. Moving the variables to the other side and reversing the inequality gives the domain as domain(f)={(x,y,z)∈ℝ3|x2+y2+z2<9},domain(f)={(x,y,z)∈ℝ3|x2+y2+z2<9}, which describes a ball of radius 33 centered at the origin. (Note: The surface of the ball is not included in this domain.)
For the function g(x,y,t)=2t−4x2−y2g(x,y,t)=2t−4x2−y2 to be defined (and be a real value), two conditions must hold: The radicand cannot be negative. The denominator cannot be zero. Since the radicand cannot be negative, this implies 2t−4≥0,2t−4≥0, and therefore that t≥2.t≥2. Since the denominator cannot be zero, x2−y2≠0,x2−y2≠0, or x2≠y2,x2≠y2, Which can be rewritten as y≠±xy≠±x, which are the equations of two lines passing through the origin. Therefore, the domain of gg is domain(g)={(x,y,t)|y≠±x,t≥2}.domain(g)={(x,y,t)|y≠±x,t≥2}.
Checkpoint 4.4
Find the domain of the function h(x,y,t)=(3t−6)y−4x2+4.h(x,y,t)=(3t−6)y−4x2+4.
Functions of two variables have level curves, which are shown as curves in the xy-plane.xy-plane. However, when the function has three variables, the curves become surfaces, so we can define level surfaces for functions of three variables.
Definition
Given a function f(x,y,z)f(x,y,z) and a number cc in the range of f,f, a level surface of a function of three variables is defined to be the set of points satisfying the equation f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c.
Example 4.7
Finding a Level Surface
Find the level surface for the function f(x,y,z)=4x2+9y2−z2f(x,y,z)=4x2+9y2−z2 corresponding to c=1.c=1.
Solution
The level surface is defined by the equation 4x2+9y2−z2=1.4x2+9y2−z2=1. This equation describes a hyperboloid of one sheet as shown in the following figure.
Figure 4.13: A hyperboloid of one sheet with some of its level surfaces.
Checkpoint 4.5
Find an equation of the level surface of the function
corresponding to c=2,c=2, and describe the surface, if possible.
For the following exercises, evaluate each function at the indicated values.
W(x,y)=4x2+y2.W(x,y)=4x2+y2. Find W(2,−1),W(2,−1), W(−3,6).W(−3,6).
W(x,y)=4x2+y2.W(x,y)=4x2+y2. Find W(2+h,3+h).W(2+h,3+h).
The volume of a right circular cylinder is calculated by a function of two variables, V(x,y)=πx2y,V(x,y)=πx2y, where xx is the radius of the right circular cylinder and yy represents the height of the cylinder. Evaluate V(2,5)V(2,5) and explain what this means.
An oxygen tank is constructed of a right cylinder of height yy and radius xx with two hemispheres of radius xx mounted on the top and bottom of the cylinder. Express the volume of the tank as a function of two variables, xandy,xandy, find V(10,2),V(10,2), and explain what this means.
For the following exercises, find the domain of the function.
V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2 V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 4 f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 4
f ( x , y ) = 4 ln ( y 2 − x ) f ( x , y ) = 4 ln ( y 2 − x )
g ( x , y ) = 16 − 4 x 2 − y 2 g ( x , y ) = 16 − 4 x 2 − y 2
z ( x , y ) = y 2 − x 2 z ( x , y ) = y 2 − x 2
f ( x , y ) = y + 2 x 2 f ( x , y ) = y + 2 x 2
Find the range of the functions.
g ( x , y ) = 16 − 4 x 2 − y 2 g ( x , y ) = 16 − 4 x 2 − y 2
V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2 V ( x , y ) = 4 x 2 + y 2
z = y 2 − x 2 z = y 2 − x 2
For the following exercises, find the level curves of each function at the indicated value of cc to visualize the given function.
z(x,y)=y2−x2,z(x,y)=y2−x2, c=1c=1
z(x,y)=y2−x2,z(x,y)=y2−x2, c=4c=4
g ( x , y ) = x 2 + y 2 ; c = 4 , c = 9 g ( x , y ) = x 2 + y 2 ; c = 4 , c = 9
g ( x , y ) = 4 − x − y ; c = 0 , 4 g ( x , y ) = 4 − x − y ; c = 0 , 4
f ( x , y ) = x y ; c = 1 ; c = −1 f ( x , y ) = x y ; c = 1 ; c = −1
h ( x , y ) = 2 x − y ; c = 0 , −2 , 2 h ( x , y ) = 2 x − y ; c = 0 , −2 , 2
f ( x , y ) = x 2 − y ; c = 1 , 2 f ( x , y ) = x 2 − y ; c = 1 , 2
g ( x , y ) = x x + y ; c = −1 , 0 , 2 g ( x , y ) = x x + y ; c = −1 , 0 , 2
g ( x , y ) = x 3 − y ; c = −1 , 0 , 2 g ( x , y ) = x 3 − y ; c = −1 , 0 , 2
g ( x , y ) = e x y ; c = 1 2 , 3 g ( x , y ) = e x y ; c = 1 2 , 3
f ( x , y ) = x 2 ; c = 4 , 9 f ( x , y ) = x 2 ; c = 4 , 9
f ( x , y ) = x y − x ; c = −2 , 0 , 2 f ( x , y ) = x y − x ; c = −2 , 0 , 2
h ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) ; c = −1 , 0 , 1 h ( x , y ) = ln ( x 2 + y 2 ) ; c = −1 , 0 , 1
g ( x , y ) = ln ( y x 2 ) ; c = −2 , 0 , 2 g ( x , y ) = ln ( y x 2 ) ; c = −2 , 0 , 2
z=f(x,y)=x2+y2,z=f(x,y)=x2+y2, c=3c=3
f(x,y)=y+2x2,f(x,y)=y+2x2, c=c= any constant
For the following exercises, find the vertical traces of the functions at the indicated values of xx and y, and plot the traces.
z = 4 − x − y ; x = 2 z = 4 − x − y ; x = 2
f ( x , y ) = 3 x + y 3 , x = 1 f ( x , y ) = 3 x + y 3 , x = 1
z=cosx2+y2z=cosx2+y2 x=1x=1
Find the domain of the following functions.
z = 100 − 4 x 2 − 25 y 2 z = 100 − 4 x 2 − 25 y 2
z = ln ( x − y 2 ) z = ln ( x − y 2 )
f ( x , y , z ) = 1 36 − 4 x 2 − 9 y 2 − z 2 f ( x , y , z ) = 1 36 − 4 x 2 − 9 y 2 − z 2
f ( x , y , z ) = 49 − x 2 − y 2 − z 2 f ( x , y , z ) = 49 − x 2 − y 2 − z 2
f ( x , y , z ) = 16 − x 2 − y 2 − z 2 3 f ( x , y , z ) = 16 − x 2 − y 2 − z 2 3
f ( x , y ) = cos x 2 + y 2 f ( x , y ) = cos x 2 + y 2
For the following exercises, plot a graph of the function.
z = f ( x , y ) = x 2 + y 2 z = f ( x , y ) = x 2 + y 2
z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2
Use technology to graph z=x2y.z=x2y.
Sketch the following by finding the level curves. Verify the graph using technology.
f ( x , y ) = 4 − x 2 − y 2 f ( x , y ) = 4 − x 2 − y 2
f ( x , y ) = 2 − x 2 + y 2 f ( x , y ) = 2 − x 2 + y 2
z = 1 + e − x 2 − y 2 z = 1 + e − x 2 − y 2
z = cos x 2 + y 2 z = cos x 2 + y 2
z = y 2 − x 2 z = y 2 − x 2
Describe the contour lines for several values of cc for z=x2+y2−2x−2y.z=x2+y2−2x−2y.
Find the level surface for the functions of three variables and describe it.
w ( x , y , z ) = x − 2 y + z , c = 4 w ( x , y , z ) = x − 2 y + z , c = 4
w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , c = 9 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , c = 9
w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − z 2 , c = −4 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − z 2 , c = −4
w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − z 2 , c = 4 w ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − z 2 , c = 4
w ( x , y , z ) = 9 x 2 − 4 y 2 + 36 z 2 , c = 0 w ( x , y , z ) = 9 x 2 − 4 y 2 + 36 z 2 , c = 0
For the following exercises, find an equation of the level curve of ff that contains the point P.P.
f ( x , y ) = 1 − 4 x 2 − y 2 , P ( 0 , 1 ) f ( x , y ) = 1 − 4 x 2 − y 2 , P ( 0 , 1 )
g ( x , y ) = y 2 arctan x , P ( 1 , 2 ) g ( x , y ) = y 2 arctan x , P ( 1 , 2 )
g ( x , y ) = e x y ( x 2 + y 2 ) , P ( 1 , 0 ) g ( x , y ) = e x y ( x 2 + y 2 ) , P ( 1 , 0 )
The strength EE of an electric field at point (x,y,z)(x,y,z) resulting from an infinitely long charged wire lying along the z-axisz-axis is given by E(x,y,z)=k/x2+y2,E(x,y,z)=k/x2+y2, where kk is a positive constant. For simplicity, let k=1k=1 and find the equations of the level surfaces for E=10andE=100.E=10andE=100.
A thin plate made of iron is located in the xy-plane.xy-plane. The temperature TT in degrees Celsius at a point P(x,y)P(x,y) is inversely proportional to the square of its distance from the origin. Express TT as a function of xandy.xandy.
Refer to the preceding problem. Using the temperature function found there, determine the proportionality constant if the temperature at point P(1,2)is50°C.P(1,2)is50°C. Use this constant to determine the temperature at point Q(3,4).Q(3,4).
Refer to the preceding problem. Find the level curves for T=40°C andT=100°C,T=40°C andT=100°C, and describe what the level curves represent.