ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.3.1 ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
4.3.2 ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
4.3.3 ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4.3.4 ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਲਈ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣਾ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਗਣਿਤ, ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ-ਚਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਜਿੰਨੇ ਹੀ ਉਪਯੋਗ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਹੁ-ਚਲ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਮੁੱਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਨਵੇਂ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਅਤੇ ਵਿਚਾਰਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਕਲਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅਵਕਲਜ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਦੇ ਫਲਨ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਆਖਿਆ x ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ y ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਦਰ ਹੈ। ਅਵਕਲਜ ਲਈ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ dy/dx ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ y ਨਿਰਭਰ ਚਲ ਹੈ ਅਤੇ x ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹੈ। ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ z=f(x,y) ਲਈ, x ਅਤੇ y ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹਨ ਅਤੇ z ਨਿਰਭਰ ਚਲ ਹੈ। ਇਹ ਤੁਰੰਤ ਦੋ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਖੜ੍ਹੇ ਕਰਦਾ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਨਾਲ ਹੀ, ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ f(x,y) ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਹੈ। ਫਿਰ x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ, ਜਿਸਨੂੰ ∂f/∂x, ਜਾਂ fx ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ, ਜਿਸਨੂੰ ∂f/∂y, ਜਾਂ fy ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੋ ਅੰਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅਜੇ ਵੀ ਲੀਬਨਿਜ਼ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਅਸਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ dd ਨੂੰ ∂ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਇਹ ਗੋਲ "d" ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ "ਅੰਸ਼ਿਕ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ∂f/∂x ਨੂੰ "x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ" ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) ਇਹ ਪਹਿਲਾ ਸੰਕੇਤ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਦੂਜਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਅਵਕਲਜ ਹਨ ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹਨ। ਜਿਸ ਚਲ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਉਸਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੱਖਰੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਅਜਿਹਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.14
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਫਲਨ ਲਈ ∂f/∂x ਅਤੇ ∂f/∂y ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ:
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, f(x+h,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਅੱਗੇ, ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.12 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
∂f/∂y ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ f(x,y+k) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ, ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.13 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.12
ਫਲਨ ਲਈ ∂f/∂x ਅਤੇ ∂f/∂y ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ:
ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਾਲਾ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਿਸ ਚਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਉਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਸਾਰੇ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇ। ਫਿਰ ਇੱਕ-ਚਲ ਦੇ ਫਲਨ ਵਾਂਗ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਸੱਚ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਪਹਿਲਾਂ y ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਰੋ ਅਤੇ g(x)=f(x,y) ਨੂੰ x ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ
f ਦੇ ਅੰਸ਼ਿਕ ਅਵਕਲਜ ਦੀ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਵਾਰ, x ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਰੋ ਅਤੇ h(y)=f(x,y) ਨੂੰ y ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ
All differentiation rules from Introduction to Derivatives apply.
Example 4.15
Calculating Partial Derivatives
Calculate both partial derivatives for the following functions by holding the opposite variable constant then differentiating:
f(x,y)=x2−3xy+2y2−4x+5y−12f(x,y)=x2−3xy+2y2−4x+5y−12
g(x,y)=sin(x2y−2x+4)g(x,y)=sin(x2y−2x+4)
Solution
To calculate ∂f/∂x,∂f/∂x, treat the variable yy as a constant. Then differentiate f(x,y)f(x,y) with respect to xx using the sum, difference, and power rules: ∂f∂x=∂∂x[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂x[x2]−∂∂x[3xy]+∂∂x[2y2]−∂∂x[4x]+∂∂x[5y]−∂∂x[12]=2x−3y+0−4+0−0=2x−3y−4.∂f∂x=∂∂x[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂x[x2]−∂∂x[3xy]+∂∂x[2y2]−∂∂x[4x]+∂∂x[5y]−∂∂x[12]=2x−3y+0−4+0−0=2x−3y−4. The derivatives of the third, fifth, and sixth terms are all zero because they do not contain the variable x,x, so they are treated as constant terms. The derivative of the second term is equal to the coefficient of x,x, which is −3y.−3y. Calculating ∂f/∂y:∂f/∂y: ∂f∂y=∂∂y[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂y[x2]−∂∂y[3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4x]+∂∂y[5y]−∂∂y[12]=−3x+4y−0+5−0=−3x+4y+5.∂f∂y=∂∂y[x2−3xy+2y2−4x+5y−12]=∂∂y[x2]−∂∂y[3xy]+∂∂y[2y2]−∂∂y[4x]+∂∂y[5y]−∂∂y[12]=−3x+4y−0+5−0=−3x+4y+5. These are the same answers obtained in Example 4.14.
To calculate ∂g/∂x,∂g/∂x, treat the variable y as a constant. Then differentiate g(x,y)g(x,y) with respect to x using the chain rule and power rule: ∂g∂x=∂∂x[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂x[x2y−2x+4]=(2xy−2)cos(x2y−2x+4).∂g∂x=∂∂x[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂x[x2y−2x+4]=(2xy−2)cos(x2y−2x+4). To calculate ∂g/∂y,∂g/∂y, treat the variable xx as a constant. Then differentiate g(x,y)g(x,y) with respect to yy using the chain rule and power rule: ∂g∂y=∂∂y[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂y[x2y−2x+4]=x2cos(x2y−2x+4).∂g∂y=∂∂y[sin(x2y−2x+4)]=cos(x2y−2x+4)∂∂y[x2y−2x+4]=x2cos(x2y−2x+4).
Checkpoint 4.13
Calculate ∂f/∂x∂f/∂x and ∂f/∂y∂f/∂y for the function f(x,y)=tan(x3−3x2y2+2y4)f(x,y)=tan(x3−3x2y2+2y4) by holding the opposite variable constant, then differentiating.
How can we interpret these partial derivatives? Recall that the graph of a function of two variables is a surface in ℝ3.ℝ3. If we remove the limit from the definition of the partial derivative with respect to x,x, the difference quotient remains:
This resembles the difference quotient for the derivative of a function of one variable, except for the presence of the yy variable. Figure 4.21 illustrates a surface described by an arbitrary function z=f(x,y).z=f(x,y).
Figure 4.21: Secant line passing through the points (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) and (x+h,y,f(x+h,y)).(x+h,y,f(x+h,y)).
In Figure 4.21, the value of hh is positive. If we graph f(x,y)f(x,y) and f(x+h,y)f(x+h,y) for an arbitrary point (x,y),(x,y), then the slope of the secant line passing through these two points is given by
This line is parallel to the x–z plane.x–z plane. Therefore, the slope of the secant line represents an average rate of change of the function ff as we travel parallel to the x-axis.x-axis. As hh approaches zero, the slope of the secant line approaches the slope of the tangent line.
If we choose to change yy instead of xx by the same incremental value h,h, then the secant line is parallel to the y-axisy-axis and so is the tangent line. Therefore, ∂f/∂x∂f/∂x represents the slope of the tangent line passing through the point (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) parallel to the x-axisx-axis and ∂f/∂y∂f/∂y represents the slope of the tangent line passing through the point (x,y,f(x,y))(x,y,f(x,y)) parallel to the y-axis.y-axis. If we wish to find the slope of a tangent line passing through the same point in any other direction, then we need what are called directional derivatives, which we discuss in Directional Derivatives and the Gradient.
We now return to the idea of contour maps, which we introduced in Functions of Several Variables. We can use a contour map to estimate partial derivatives of a function g(x,y).g(x,y).
Example 4.16
Partial Derivatives from a Contour Map
Use a contour map to estimate ∂g/∂x∂g/∂x at the point (5,0)(5,0) for the function g(x,y)=9−x2−y2.g(x,y)=9−x2−y2.
Solution
The following graph represents a contour map for the function g(x,y)=9−x2−y2.g(x,y)=9−x2−y2.
Figure 4.22: Contour map for the function g(x,y)=9−x2−y2,g(x,y)=9−x2−y2, using c=0,1,2,c=0,1,2, and 33 (c=3(c=3 corresponds to the origin).
ਸੰਕਲਪ ਨਕਸ਼ੇ ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ c=2c=2 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਹਰਲਾ ਅਗਲਾ ਚੱਕਰ c=1.c=1 ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਚੱਕਰ ਸਮੀਕਰਨ 2=9−x2−y2;2=9−x2−y2; ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ; ਦੂਜਾ ਚੱਕਰ ਸਮੀਕਰਨ 1=9−x2−y2.1=9−x2−y2. ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਸਮੀਕਰਨ x2+y2=5x2+y2=5 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਸਮੀਕਰਨ x2+y2=8.x2+y2=8 ਤੱਕ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡx-ਅੰਤਰਖੰਡ (5,0)(5,0) ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੱਕਰ ਦਾ x-ਅੰਤਰਖੰਡx-ਅੰਤਰਖੰਡ (22,0).(22,0) ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (5,0)(5,0) ਉੱਤੇ ∂g/∂x∂g/∂x ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਢਲਾਨ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਬਿੰਦੂ (5,0),(5,0) ਉੱਤੇ ∂g/∂x∂g/∂x ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∂g/∂x∂g/∂x ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ g(x,y)=9−x2−y2=(9−x2−y2)1/2g(x,y)=9−x2−y2=(9−x2−y2)1/2 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ y ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ xx ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ x=5x=5 ਅਤੇ y=0:y=0: ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਲਈ ਅਨੁਮਾਨ (5,0,g(5,0))(5,0,g(5,0)) ਅਤੇ (22,0,g(22,0)).(22,0,g(22,0)) ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਸੇਕੰਟ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਤ੍ਹਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (5,0,g(5,0)),(5,0,g(5,0)) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ।x-ਧੁਰੇ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.14
ਬਿੰਦੂ (0,2)(0,2) ਉੱਤੇ ∂f/∂y∂f/∂y ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਕਲਪ ਨਕਸ਼ੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ
ਇਸ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਹੀ ਉੱਤਰ ਨਾਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ w=f(x,y,z).w=f(x,y,z)। ਅਸੀਂ ww ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਵਿਸਥਾਰ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x,y,z)f(x,y,z) ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਫਿਰ, x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ, ਜਿਸਨੂੰ ∂f/∂x,∂f/∂x, ਜਾਂ fx,fx ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
y ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ,y, ਜਿਸਨੂੰ ∂f/∂y,∂f/∂y, ਜਾਂ fy,fy ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
z ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ f ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ, ਜਿਸਨੂੰ ∂f/∂z,∂f/∂z, ਜਾਂ fz,fz ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਉਸੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x,y,ਅਤੇz,x,y,andz, ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ∂f/∂x,∂f/∂x, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹ ਸਥਿਰ ਹਨ, ਫਿਰ x ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।x.
ਉਦਾਹਰਨ 4.17
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ∂f/∂x∂f/∂x ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
ਫਿਰ, ਦੂਜੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਭੇਦਨ ਕਰਕੇ ∂f/∂y∂f/∂y ਅਤੇ ∂f/∂z∂f/∂z ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.14 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∂f/∂x∂f/∂x ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਬਾਕੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖ ਕੇ ਦੂਜੇ ਦੋ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਨਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ∂f/∂x,∂f/∂x, ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ f(x+h,y,z):f(x+h,y,z): ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ:
ਅਤੇ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4zx+5yz2−12x+4y−3z.f(x,y,z)=x2−3xy+2y2−4zx+5yz2−12x+4y−3z। ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਫਿਰ ਅਸੀਂ xandzxandz ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖ ਕੇ ∂f/∂y∂f/∂y ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਕੋਈ ਵੀ ਸ਼ਬਦ ਜਿਸ ਵਿੱਚ y ਵੇਰੀਏਬਲ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਥਿਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵਿਭੇਦਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
∂f/∂z,∂f/∂z, ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਅਤੇ ਘਾਤ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.15
Use the limit definition of partial derivatives to calculate ∂f/∂x∂f/∂x for the function
Then find ∂f/∂y∂f/∂y and ∂f/∂z∂f/∂z by setting the other two variables constant and differentiating accordingly.
Example 4.18
Calculating Partial Derivatives for a Function of Three Variables
Calculate the three partial derivatives of the following functions.
f(x,y,z)=x2y−4xz+y2x−3yzf(x,y,z)=x2y−4xz+y2x−3yz
g(x,y,z)=sin(x2y−z)+cos(x2−yz)g(x,y,z)=sin(x2y−z)+cos(x2−yz)
Solution
In each case, treat all variables as constants except the one whose partial derivative you are calculating.
∂f∂x=∂∂x[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂x(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂x(x−3yz)(x−3yz)2=(2xy−4z)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(1)(x−3yz)2=2x2y−6xy2z−4xz+12yz2−x2y+4xz−y2(x−3yz)2=x2y−6xy2z−4xz+12yz2+4xz−y2(x−3yz)2∂f∂x=∂∂x[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂x(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂x(x−3yz)(x−3yz)2=(2xy−4z)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(1)(x−3yz)2=2x2y−6xy2z−4xz+12yz2−x2y+4xz−y2(x−3yz)2=x2y−6xy2z−4xz+12yz2+4xz−y2(x−3yz)2 ∂f∂y=∂∂y[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂y(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂y(x−3yz)(x−3yz)2=(x2+2y)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3z)(x−3yz)2=x3−3x2yz+2xy−6y2z+3x2yz−12xz2+3y2z(x−3yz)2=x3+2xy−3y2z−12xz2(x−3yz)2∂f∂y=∂∂y[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂y(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂y(x−3yz)(x−3yz)2=(x2+2y)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3z)(x−3yz)2=x3−3x2yz+2xy−6y2z+3x2yz−12xz2+3y2z(x−3yz)2=x3+2xy−3y2z−12xz2(x−3yz)2 ∂f∂z=∂∂z[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂z(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂z(x−3yz)(x−3yz)2=(−4x)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3y)(x−3yz)2=−4x2+12xyz+3x2y2−12xyz+3y3(x−3yz)2=−4x2+3x2y2+3y3(x−3yz)2∂f∂z=∂∂z[x2y−4xz+y2x−3yz]=∂∂z(x2y−4xz+y2)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)∂∂z(x−3yz)(x−3yz)2=(−4x)(x−3yz)−(x2y−4xz+y2)(−3y)(x−3yz)2=−4x2+12xyz+3x2y2−12xyz+3y3(x−3yz)2=−4x2+3x2y2+3y3(x−3yz)2
∂f∂x=∂∂x[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂x(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂x(x2−yz)=2xycos(x2y−z)−2xsin(x2−yz)∂f∂y=∂∂y[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂y(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂y(x2−yz)=x2cos(x2y−z)+zsin(x2−yz)∂f∂z=∂∂z[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂z(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂z(x2−yz)=−cos(x2y−z)+ysin(x2−yz)∂f∂x=∂∂x[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂x(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂x(x2−yz)=2xycos(x2y−z)−2xsin(x2−yz)∂f∂y=∂∂y[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂y(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂y(x2−yz)=x2cos(x2y−z)+zsin(x2−yz)∂f∂z=∂∂z[sin(x2y−z)+cos(x2−yz)]=(cos(x2y−z))∂∂z(x2y−z)−(sin(x2−yz))∂∂z(x2−yz)=−cos(x2y−z)+ysin(x2−yz)
Checkpoint 4.16
Calculate ∂f/∂x,∂f/∂x, ∂f/∂y,∂f/∂y, and ∂f/∂z∂f/∂z for the function f(x,y,z)=sec(x2y)−tan(x3yz2).f(x,y,z)=sec(x2y)−tan(x3yz2).
Higher-Order Partial Derivatives
Consider the function
Its partial derivatives are
Each of these partial derivatives is a function of two variables, so we can calculate partial derivatives of these functions. Just as with derivatives of single-variable functions, we can call these second-order derivatives, third-order derivatives, and so on. In general, they are referred to as higher-order partial derivatives. There are four second-order partial derivatives for any function (provided they all exist):
An alternative notation for each is fxx,fyx,fxy,fxx,fyx,fxy, and fyy,fyy, respectively. Higher-order partial derivatives calculated with respect to different variables, such as fxyfxy and fyx,fyx, are commonly called mixed partial derivatives.
Example 4.19
Calculating Second Partial Derivatives
Calculate all four second partial derivatives for the function
Solution
To calculate ∂2f/dx2∂2f/dx2 and ∂2f/∂y∂x,∂2f/∂y∂x, we first calculate ∂f/∂x:∂f/∂x:
To calculate ∂2f/dx2,∂2f/dx2, differentiate ∂f/∂x∂f/∂x with respect to x:x:
∂f/∂x ਦਾ y ਦੇ ਸਪੇਖ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਨ ਕਰਕੇ ∂2f/∂y∂x ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
∂f/∂y ਦੀ ਪਹਿਲਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ∂2f/∂x∂y ਅਤੇ ∂2f/dy2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
∂f/∂y ਦਾ x ਦੇ ਸਪੇਖ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਨ ਕਰਕੇ ∂2f/∂x∂y ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
∂f/∂y ਦਾ y ਦੇ ਸਪੇਖ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਨ ਕਰਕੇ ∂2f/∂y2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ:
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.17
ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਦੂਜੇ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ
ਇਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਉਦਾਹਰਨ 4.19 ਅਤੇ ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸੱਚ ਸੀ ਕਿ ∂2f/∂x∂y=∂2f/∂y∂x। ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ, ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 4.5
ਮਿਸ਼ਰਤ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ (ਕਲੇਰੋਟ ਦਾ ਥਿਊਰਮ)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x,y) ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਡਿਸਕ DD 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (a,b) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ fxy ਅਤੇ fyx D 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ fxy=fyx।
ਕਲੇਰੋਟ ਦਾ ਥਿਊਰਮ ਇਹ ਗਾਰੰਟੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਮਿਸ਼ਰਤ ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਭਾਵ, ਕਿਹੜਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਪਹਿਲਾਂ, ਫਿਰ ਦੂਜਾ, ਆਦਿ) ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਇਸਨੂੰ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਤੱਕ ਵੀ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਲੇਰੋਟ ਦੇ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਸਬੂਤ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਅਡਵਾਂਸਡ ਕੈਲਕੂਲਸ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਮਿਲ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਲਈ ਦੋ ਹੋਰ ਦੂਜੇ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ fxxtxx, fx ਦੇ ਸਪੇਖ ਵਿੱਚ fx ਦਾ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ, ਅਤੇ fyy, fy ਦੇ y ਦੇ ਸਪੇਖ ਵਿੱਚ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਜ਼
ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਜ਼ ਦੇ ਇੰਟਰੋਡਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਜ਼ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸੀ। ਇੱਕ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦਾ ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ
(ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਗਰਮੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ)
(ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ)
(ਦੋ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਲਾਪਲੇਸ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ)
ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ u ਦੇ ਤਿੰਨ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹਨ—t,x, ਅਤੇ y—ਅਤੇ c ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਅਤੇ y ਨੂੰ ਸਥਾਨਿਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਲਾਪਲੇਸ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਣਜਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ u ਦੇ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਅਤੇ y ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.20
ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ
ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ
ਤਰੰਗ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ utt,uxx, ਅਤੇ uyy ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
1. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.20 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
2. ਇਹ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
3. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.18
4. ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ u(x,y,t)=2sin(x3)sin(y4)e−25t/16 ਗਰਮੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ।
5. ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਗਰਮੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹੱਲ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਬਣਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ t ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਿਆਂ 'ਤੇ ਗਰਮੀ ਦੇ ਵਿਤਰਨ ਦੇ ਸਨੈਪਸ਼ਾਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਸਨੈਪਸ਼ਾਟ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਗਰਮੀ ਦੋ-ਅਯਾਮੀ ਸਤ੍ਹਾ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵੰਡੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਸਮੇਂ t=0 'ਤੇ ਪਿਛਲੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸਮਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਸਿਖਰ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, t ਦੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਨਾਲ ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
6. ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਗਰਮੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹੱਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਗਰਮੀ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
7. ਜਿੱਥੇ c2c2 ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਥਰਮਲ ਡਿਫਿਊਜ਼ਿਵਿਟੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
8. ਜਿੱਥੇ m ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। m=1m=1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਸ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 4.24 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਲੰਬਾਈ 11 ਦੇ ਤਾਰ ਉੱਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਵੰਡ u(x,0)=sinπx.u(x,0)=sinπx ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਸਮਾਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਰ ਠੰਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ, ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਾਪਮਾਨ (ਜੋ ਤਾਰ ਦੇ ਮੱਧ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਘਟਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਾਲ ਤੋਂ ਨੀਲੇ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
9. ਚਿੱਤਰ 4.24: ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਅਯਾਮ ਵਿੱਚ ਗਰਮੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
10. ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
11. ਲਾਰਡ ਕੈਲਵਿਨ ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਉਮਰ
12. ਚਿੱਤਰ 4.25: (a) ਵਿਲੀਅਮ ਥੌਮਸਨ (ਲਾਰਡ ਕੈਲਵਿਨ), 1824-1907, ਇੱਕ ਬ੍ਰਿਟਿਸ਼ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੀਕਲ ਇੰਜੀਨੀਅਰ ਸੀ; (b) ਕੈਲਵਿਨ ਨੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਗਰਮੀ ਦੇ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: NASA ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)।
13. 1800 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ, ਨਵੇਂ ਭੂ-ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਸ ਸਿੱਟੇ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਰਹੇ ਸਨ ਕਿ ਧਰਤੀ "ਲੱਖਾਂ ਅਤੇ ਲੱਖਾਂ" ਸਾਲ ਪੁਰਾਣੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਲਗਭਗ ਉਸੇ ਸਮੇਂ, ਚਾਰਲਸ ਡਾਰਵਿਨ ਨੇ ਵਿਕਾਸਵਾਦ 'ਤੇ ਆਪਣਾ ਗ੍ਰੰਥ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਡਾਰਵਿਨ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਸੀ ਕਿ ਵਿਕਾਸ ਲਈ ਕਈ ਲੱਖਾਂ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਸੀ, ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਬੋਲਡ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਵੀਲਡ ਚਾਕ ਫੀਲਡ, ਜਿੱਥੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜੀਵਾਸ਼ਮ ਮਿਲੇ ਸਨ, 300300 ਮਿਲੀਅਨ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਕਟੌਤੀ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਸਨ।
14. ਉਸ ਸਮੇਂ, ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਵਿਲੀਅਮ ਥੌਮਸਨ (ਲਾਰਡ ਕੈਲਵਿਨ) ਨੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅੰਸ਼ਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਰਮੀ ਦੇ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਧਰਤੀ ਨੂੰ ਪਿਘਲੇ ਹੋਏ ਚੱਟਾਨ ਤੋਂ ਉਸ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਠੰਡਾ ਹੋਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਸਮਾਂ ਲੱਗੇਗਾ। ਉਸ ਦਾ ਸਿੱਟਾ 20 ਤੋਂ 400 ਮਿਲੀਅਨ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਸੀਮਾ ਸੀ, ਪਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਗਭਗ 5050 ਮਿਲੀਅਨ ਸਾਲ ਸੀ। ਕਈ ਦਹਾਕਿਆਂ ਤੱਕ, ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਇਸ ਅਟੱਲ ਆਈਕਨ ਦੇ ਘੋਸ਼ਣਾਵਾਂ ਭੂ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਜਾਂ ਡਾਰਵਿਨ ਨਾਲ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਬੈਠੀਆਂ।
15. ਮੀਡੀਆ
16. ਧਰਤੀ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ 'ਤੇ ਕੈਲਵਿਨ ਦਾ ਪੇਪਰ ਪੜ੍ਹੋ।
17. ਕੈਲਵਿਨ ਨੇ ਆਪਣੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਕੁਝ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਉਸ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਾਜਬ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਕੀਤੀਆਂ, ਪਰ ਉਸਨੇ ਕਈ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵੀ ਕੀਤੀਆਂ ਜੋ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਹੋਈਆਂ। ਇੱਕ ਗਲਤ ਧਾਰਨਾ ਇਹ ਸੀ ਕਿ ਧਰਤੀ ਠੋਸ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਠੰਡਾ ਹੋਣਾ ਸਿਰਫ ਸੰਚਾਲਨ ਦੁਆਰਾ ਹੋ ਰਿਹਾ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਜਾਇਜ਼ ਠਹਿਰਾਇਆ ਗਿਆ। ਪਰ ਸਭ ਤੋਂ ਗੰਭੀਰ ਗਲਤੀ ਇੱਕ ਮਾਫ਼ੀਯੋਗ ਸੀ - ਇਹ ਤੱਥ ਛੱਡ ਦੇਣਾ ਕਿ ਧਰਤੀ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਧਰਤੀ ਦੇ ਮੈਂਟਲ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਲਗਾਤਾਰ ਗਰਮੀ ਸਪਲਾਈ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਰੇਡੀਓਐਕਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਖੋਜ ਕੈਲਵਿਨ ਦੇ ਜੀਵਨ ਦੇ ਅੰਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਈ ਅਤੇ ਉਸਨੇ ਸਵੀਕਾਰ ਕੀਤਾ ਕਿ ਉਸਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸੋਧਿਆ ਜਾਣਾ ਪਵੇਗਾ।
18. ਕੈਲਵਿਨ ਨੇ ਧਰਤੀ ਦੇ ਬਾਹਰੀ ਸ਼ੈੱਲ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਅਤੇ ਧਰਤੀ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਨੇੜੇ ਲਗਭਗ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਤਾਪਮਾਨ ਗਰੇਡੀਐਂਟ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਤੋਂ ਉਮਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ। ਆਓ ਆਪਾਂ ਡਿਫਿਊਜ਼ਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਢੁਕਵੇਂ ਸੰਸਕਰਣ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖੀਏ, ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ ਹੈ
19. ਇੱਥੇ, T(r,t)T(r,t) r (ਧਰਤੀ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ) ਅਤੇ ਸਮਾਂ t.t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ। K K ਗਰਮੀ ਦੀ ਚਾਲਕਤਾ ਹੈ—ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਪਿਘਲੇ ਹੋਏ ਚੱਟਾਨ ਲਈ। ਅਜਿਹੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਮਿਆਰੀ ਵਿਧੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵਿਛੋੜੇ ਦੁਆਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਾਂਗੇ
20. ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.13 ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ, ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ f(t)f(t) ਦੂਰੀ (r)(r) ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਹੈ ਅਤੇ R(r)R(r) ਸਮੇਂ (t),(t) ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ 1f∂f∂t=KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r].1f∂f∂t=KR[∂2R∂r2+2r∂R∂r].
21. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਵਿਛੋੜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਸਿਰਫ t ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਸਿਰਫ r ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਸਾਰੇ r ਅਤੇ t ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਥਿਰ −λ2.−λ2 ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। (ਇਸ ਚੋਣ ਦੀ ਸਹੂਲਤ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਦੇਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।) ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1f∂f∂t=−λ2ਅਤੇKR[∂2R∂r2+2r∂R∂r]=−λ2ਹੈ।1f∂f∂t=−λ2ਅਤੇKR[∂2R∂r2+2r∂R∂r]=−λ2। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਿੱਧੀ ਬਦਲ ਕੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ f(t)=Ae−λ2tf(t)=Ae−λ2t ਅਤੇ R(r)=B(sinαrr)+C(cosαrr),R(r)=B(sinαrr)+C(cosαrr), ਹਨ, ਜਿੱਥੇ α=λ/K.α=λ/K। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ f(t)=Ae+λn2tf(t)=Ae+λn2t ਵੀ ਇੱਕ ਵੈਧ ਹੱਲ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਥਿਰ ਲਈ +λ2+λ2 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਵੈਧ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ?
Let’s now apply boundary conditions. The temperature must be finite at the center of Earth, r=0.r=0. Which of the two constants, BB or C,C, must therefore be zero to keep RR finite at r=0?r=0? (Recall that sin(αr)/r→α=sin(αr)/r→α= as r→0,r→0, but cos(αr)/rcos(αr)/r behaves very differently.) Kelvin argued that when magma reaches Earth’s surface, it cools very rapidly. A person can often touch the surface within weeks of the flow. Therefore, the surface reached a moderate temperature very early and remained nearly constant at a surface temperature Ts.Ts. For simplicity, let’s set T=0atr=RET=0atr=RE and find αα such that this is the temperature there for all time t.t. (Kelvin took the value to be 300K≈80°F.300K≈80°F. We can add this 300K300K constant to our solution later.) For this to be true, the sine argument must be zero at r=RE.r=RE. Note that αα has an infinite series of values that satisfies this condition. Each value of αα represents a valid solution (each with its own value for A).A). The total or general solution is the sum of all these solutions. At t=0,t=0, we assume that all of Earth was at an initial hot temperature T0T0 (Kelvin took this to be about 7000K.)7000K.) The application of this boundary condition involves the more advanced application of Fourier coefficients. As noted in part b. each value of αnαn represents a valid solution, and the general solution is a sum of all these solutions. This results in a series solution: T(r,t)=(T0REπ)∑n(−1)n−1ne−λn2tsin(αnr)r,whereαn=nπ/RE.T(r,t)=(T0REπ)∑n(−1)n−1ne−λn2tsin(αnr)r,whereαn=nπ/RE.
Note how the values of αnαn come from the boundary condition applied in part b. The term −1n−1n−1n−1n is the constant AnAn for each term in the series, determined from applying the Fourier method. Letting β=πRE,β=πRE, examine the first few terms of this solution shown here and note how λ2λ2 in the exponential causes the higher terms to decrease quickly as time progresses:
Near time t=0,t=0, many terms of the solution are needed for accuracy. Inserting values for the conductivity KK and β=π/REβ=π/RE for time approaching merely thousands of years, only the first few terms make a significant contribution. Kelvin only needed to look at the solution near Earth’s surface (Figure 4.26) and, after a long time, determine what time best yielded the estimated temperature gradient known during his era (1°F(1°F increase per 50ft).50ft). He simply chose a range of times with a gradient close to this value. In Figure 4.26, the solutions are plotted and scaled, with the 300−K300−K surface temperature added. Note that the center of Earth would be relatively cool. At the time, it was thought Earth must be solid.
Figure 4.26: Temperature versus radial distance from the center of Earth. (a) Kelvin’s results, plotted to scale. (b) A close-up of the results at a depth of 4.0mi4.0mi below Earth’s surface.
Epilog
On May 20,1904,20,1904, physicist Ernest Rutherford spoke at the Royal Institution to announce a revised calculation that included the contribution of radioactivity as a source of Earth’s heat. In Rutherford’s own words:
“I came into the room, which was half-dark, and presently spotted Lord Kelvin in the audience, and realised that I was in for trouble at the last part of my speech dealing with the age of the Earth, where my views conflicted with his. To my relief, Kelvin fell fast asleep, but as I came to the important point, I saw the old bird sit up, open an eye and cock a baleful glance at me.
Then a sudden inspiration came, and I said Lord Kelvin had limited the age of the Earth, provided no new source [of heat] was discovered. That prophetic utterance referred to what we are now considering tonight, radium! Behold! The old boy beamed upon me.”
Rutherford calculated an age for Earth of about 500500 million years. Today’s accepted value of Earth’s age is about 4.64.6 billion years.
For the following exercises, calculate the partial derivative using the limit definitions only.
∂z∂x∂z∂x for z=x2−3xy+y2z=x2−3xy+y2
∂z∂y∂z∂y for z=x2−3xy+y2z=x2−3xy+y2
For the following exercises, calculate the sign of the partial derivative using the graph of the surface.
f x ( 1 , 1 ) f x ( 1 , 1 )
f x ( −1 , 1 ) f x ( −1 , 1 )
f y ( 1 , 1 ) f y ( 1 , 1 )
f x ( 0 , 0 ) f x ( 0 , 0 )
For the following exercises, calculate the partial derivatives.
∂z∂x∂z∂x for z=sin(3x)cos(3y)z=sin(3x)cos(3y)
∂z∂y∂z∂y for z=sin(3x)cos(3y)z=sin(3x)cos(3y)
∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y∂z∂y for z=x8e3yz=x8e3y
∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y∂z∂y for z=ln(x6+y4)z=ln(x6+y4)
Find fy(x,y)fy(x,y) for f(x,y)=exycos(x)sin(y).f(x,y)=exycos(x)sin(y).
Let z=exy.z=exy. Find ∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y.∂z∂y.
Let z=ln(xy).z=ln(xy). Find ∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y.∂z∂y.
Let z=tan(2x−y).z=tan(2x−y). Find ∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y.∂z∂y.
Let z=sinh(2x+3y).z=sinh(2x+3y). Find ∂z∂x∂z∂x and ∂z∂y.∂z∂y.
Let f(x,y)=arctan(yx).f(x,y)=arctan(yx). Evaluate fx(2,−2)fx(2,−2) and fy(2,−2).fy(2,−2).
Let f(x,y)=xyx−y.f(x,y)=xyx−y. Find fx(2,−2)fx(2,−2) and fy(2,−2).fy(2,−2).
Find ∂z∂x∂z∂x at (0,1)(0,1) for z=e−xcos(y).z=e−xcos(y). Evaluate the partial derivatives at point P(0,1).P(0,1).
Given f(x,y,z)=x3yz2,f(x,y,z)=x3yz2, find ∂2f∂x∂y∂2f∂x∂y and fz(1,1,1).fz(1,1,1).
Given f(x,y,z)=2sin(x+y),f(x,y,z)=2sin(x+y), find fx(0,π2,−4),fx(0,π2,−4), fy(0,π2,−4),fy(0,π2,−4), and fz(0,π2,−4).fz(0,π2,−4).
The area of a parallelogram with adjacent side lengths that are aandb,aandb, and in which the angle between these two sides is θ,θ, is given by the function A(a,b,θ)=basin(θ).A(a,b,θ)=basin(θ). Find the rate of change of the area of the parallelogram with respect to the following:
Side a
Side b
AngleθAngleθ
Express the volume of a right circular cylinder as a function of two variables:
its radius rr and its height h.h.
Show that the rate of change of the volume of the cylinder with respect to its radius is the product of its circumference multiplied by its height.
Show that the rate of change of the volume of the cylinder with respect to its height is equal to the area of the circular base.
Calculate ∂w∂z∂w∂z for w=zsin(xy2+2z).w=zsin(xy2+2z).
Find the indicated higher-order partial derivatives.
fxyfxy for z=ln(x−y)z=ln(x−y)
fyxfyx for z=ln(x−y)z=ln(x−y)
Let z=x2+3xy+2y2.z=x2+3xy+2y2. Find ∂2z∂x2∂2z∂x2 and ∂2z∂y2.∂2z∂y2.
Given z=extany,z=extany, find ∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y and ∂2z∂y∂x.∂2z∂y∂x.
Given f(x,y,z)=xyz,f(x,y,z)=xyz, find fxyy,fyxy,fxyy,fyxy, and fyyx.fyyx.
Given f(x,y,z)=e−2xsin(z2y),f(x,y,z)=e−2xsin(z2y), show that fxyy=fyxy.fxyy=fyxy.
Show that z=12(ey−e−y)sinxz=12(ey−e−y)sinx is a solution of the differential equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.
Find fxx(x,y)fxx(x,y) for f(x,y)=4x2y+y22x.f(x,y)=4x2y+y22x.
Let f(x,y,z)=x2y3z−3xy2z3+5x2z−y3z.f(x,y,z)=x2y3z−3xy2z3+5x2z−y3z. Find fxyz.fxyz.
Let F(x,y,z)=x3yz2−2x2yz+3xz−2y3z.F(x,y,z)=x3yz2−2x2yz+3xz−2y3z. Find Fxyz.Fxyz.
Given f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5,f(x,y)=x2+x−3xy+y3−5, find all points at which fx=fy=0fx=fy=0 simultaneously.
Given f(x,y)=2x2+2xy+y2+2x−3,f(x,y)=2x2+2xy+y2+2x−3, find all points at which ∂f∂x=0∂f∂x=0 and ∂f∂y=0∂f∂y=0 simultaneously.
Given f(x,y)=y3−3yx2−3y2−3x2+1,f(x,y)=y3−3yx2−3y2−3x2+1, find all points on ff at which fx=fy=0fx=fy=0 simultaneously.
Given f(x,y)=15x3−3xy+15y3,f(x,y)=15x3−3xy+15y3, find all points at which fx(x,y)=fy(x,y)=0fx(x,y)=fy(x,y)=0 simultaneously.
Show that z=exsinyz=exsiny satisfies the equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.
Show that f(x,y)=ln(x2+y2)f(x,y)=ln(x2+y2) solves Laplace’s equation ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.∂2z∂x2+∂2z∂y2=0.
Show that z=e−tcos(xc)z=e−tcos(xc) satisfies the heat equation ∂z∂t=c2∂2z∂x2∂z∂t=c2∂2z∂x2
Find limΔx→0f(x+Δx, y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0f(x+Δx, y)−f(x,y)Δx for f(x,y)=−7x−2xy+7y.f(x,y)=−7x−2xy+7y.
Find limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)ΔylimΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy for f(x,y)=−7x−2xy+7y.f(x,y)=−7x−2xy+7y.
Find limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx for f(x,y)=x2y2+xy+y.f(x,y)=x2y2+xy+y.
Find limΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)ΔxlimΔx→0ΔfΔx=limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx for f(x,y)=sin(xy).f(x,y)=sin(xy).
The function P(T,V)=nRTVP(T,V)=nRTV gives the pressure at a point in a gas as a function of temperature TT and volume V.V. The letters nandRnandR are constants. Find ∂P∂V∂P∂V and ∂P∂T,∂P∂T, and explain what these quantities represent.
The equation for heat flow in the xy-planexy-plane is ∂f∂t=∂2f∂x2+∂2f∂y2.∂f∂t=∂2f∂x2+∂2f∂y2. Show that f(x,y,t)=e−2tsinxsinyf(x,y,t)=e−2tsinxsiny is a solution.
The basic wave equation is ftt=fxx.ftt=fxx. Verify that f(x,t)=sin(x+t)f(x,t)=sin(x+t) and f(x,t)=sin(x−t)f(x,t)=sin(x−t) are solutions.
The law of cosines can be thought of as a function of three variables. Let x,y,x,y, and θθ be two sides of any triangle where the angle θθ is the included angle between the two sides. Then, F(x,y,θ)=x2+y2−2xycosθF(x,y,θ)=x2+y2−2xycosθ gives the square of the third side of the triangle. Find ∂F∂θ∂F∂θ and ∂F∂x∂F∂x when x=2,y=3,x=2,y=3, and θ=π6.θ=π6.
Suppose the sides of a rectangle are changing with respect to time. The first side is changing at a rate of 22 in./sec whereas the second side is changing at the rate of 44 in/sec. How fast is the diagonal of the rectangle changing when the first side measures 1616 in. and the second side measures 2020 in.? (Round answer to three decimal places.)
A Cobb-Douglas production function is f(x,y)=200x0.7y0.3,f(x,y)=200x0.7y0.3, where xandyxandy represent the amount of labor and capital available. Let x=500x=500 and y=1000.y=1000. Find ∂f∂x∂f∂x and ∂f∂y∂f∂y at these values, which represent the marginal productivity of labor and capital, respectively.
The apparent temperature index is a measure of how the temperature feels, and it is based on two variables: h,h, which is relative humidity, and t,t, which is the air temperature.
A=0.885t−22.4h+1.20th−0.544.A=0.885t−22.4h+1.20th−0.544. Find ∂A∂t∂A∂t and ∂A∂h∂A∂h when t=20°Ft=20°F and h=0.90.h=0.90.