ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
4.4.1 ਦਿੱਤੀ ਸਤਹ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4.4.2 ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4.4.3 ਦੱਸੋ ਕਿ ਦੋ ਚਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਦੋਂ ਵਿਭੇਦਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4.4.4 ਦੋ ਚਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੁੱਲ ਵਿਭੇਦਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਚਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, y=f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ m=f′(a) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕੀ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ; ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਮੌਜੂਦਾ ਸਮੱਸਿਆ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ
ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਜਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਸਪਰਸ਼ੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ, ਕਈ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਈਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਅਨੁਭਵੀ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਮੰਨਣਾ ਹੈ ਕਿ ਸਤਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰਵਿਘਨ ਹੈ (ਕੋਈ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ)। ਫਿਰ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਤਹ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਚਾਨਕ ਤਬਦੀਲੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਵਿਘਨ ਬਦਲਦੀ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ P0=(x0,y0,z0) ਇੱਕ ਸਤਹ S 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ C ਕੋਈ ਵਕਰ ਹੈ ਜੋ P0 ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ S ਵਿੱਚ ਪਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਕਰਾਂ C ਦੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ P0 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਈਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਇਸ ਸਮਤਲ ਨੂੰ P0 'ਤੇ S ਦਾ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.27)।
ਚਿੱਤਰ 4.27: ਇੱਕ ਸਤਹ S ਦਾ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P0 'ਤੇ S ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਸੇ ਸਤਹ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ ਕਿ ਸਤਹ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਨੁਭਵੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ S ਇੱਕ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਸਤਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ P0=(x0,y0) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਫਿਰ, P0 'ਤੇ S ਦੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਹੀ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਸਤਹ S ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੱਭੀਏ। ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ S ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਟ੍ਰੇਸ x=x0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, z=f(x0,y0)+fy(x0,y0)(y−y0) ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ S ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਟ੍ਰੇਸ y=y0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0) ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰ a=j+fy(x0,y0)k ਹੈ; ਦੂਜੀ ਸਪਰਸ਼ੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵੈਕਟਰ b=i+fx(x0,y0)k ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ ਗੁਣਾ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਦੋਵਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦੇ ਇੱਕ ਆਮ ਵੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂ P0=(x0,y0,f(x0,y0)) ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ:
ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ z ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.21
ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=2x2−3xy+8y2+2x−4y+4 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (2,−1) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ੀ ਸਮਤਲ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ fx(x,y) ਅਤੇ fy(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਫਿਰ x0=2 ਅਤੇ y0=−1 ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ:
ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
(ਅਗਲੇ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ)।
ਚਿੱਤਰ 4.28: ਦਿੱਤੇ ਸਤਹ 'ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 4.19
ਬਿੰਦੂ (−1,3) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=x3−x2y+y2−2x+3y−2 ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.22
ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਲੱਭਣਾ
ਬਿੰਦੂ (π/3,π/4) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=sin(2x)cos(3y) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, fx(x,y) ਅਤੇ fy(x,y) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ, ਫਿਰ x0=π/3 ਅਤੇ y0=π/4 ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਸਤਹ ਦਾ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਤਹ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.29: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਜਿਸਦਾ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਜੇਕਰ x=0 ਜਾਂ y=0 ਹੈ, ਤਾਂ f(x,y)=0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਇਸ ਲਈ, fx(x,0)=fy(0,y)=0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਹੀ x ਜਾਂ y ਜ਼ੀਰੋ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.24 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ z=0 ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੱਖਰੀ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਮੂਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕਹਾਣੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਮੂਲ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ y=x ਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਜਦੋਂ x>0 ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਢਲਾਨ 2/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ; ਜਦੋਂ x<0 ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਢਲਾਨ −(2/2) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਿਆ ਸੀ ਕਿ ਬਿੰਦੂ PP (ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ) ਰਾਹੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਈਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਥੇ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਿਭੇਦਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੂਲ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ
ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ x=a 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.30: ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ x=a ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਦੇ xx ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ f ਦਾ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ z=f(x,y) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਤਹ ਦੇ ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਪਿੱਛੇ ਵਿਚਾਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ (x0,y0) ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ f(x,y) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ (x,y) ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਜੋ (x0,y0) ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹਨ, ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ (ਯਾਨੀ, ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ) ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ f(x,y) ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕਾਫ਼ੀ ਨੇੜੇ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.31)। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜਿਸ ਸਮਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਸਤਹ ਦਾ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਵੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4.31: ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਸਮਤਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.23
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ f(x,y)=41−4x2−y2,f(x,y)=41−4x2−y2, ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (2,3)(2,3) ਨੂੰ (x0,y0).(x0,y0) ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ f(2.1,2.9)f(2.1,2.9) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ f(2.1,2.9)f(2.1,2.9) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ 4.25 ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ x0=2x0=2 ਅਤੇ y0=3:y0=3: ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x0,y0),f(x0,y0), fx(x0,y0),fx(x0,y0), ਅਤੇ fy(x0,y0)fy(x0,y0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.25 ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ L(x,y):L(x,y): ਵਿੱਚ x=2.1x=2.1 ਅਤੇ y=2.9y=2.9 ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ f(2.1,2.9)f(2.1,2.9) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਹੈ
ਜੋ ਕਿ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ 0.2%0.2% ਦੀ ਤਰੁੱਟੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.20
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ f(x,y)=e5−2x+3y,f(x,y)=e5−2x+3y, ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (4,1)(4,1) ਨੂੰ (x0,y0).(x0,y0) ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ f(4.1,0.9)f(4.1,0.9) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ f(4.1,0.9)f(4.1,0.9) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਵਿਭੇਦਨਯੋਗਤਾ
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਚੱਲ y=f(x)y=f(x) ਦੇ ਫਲਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ x=ax=a 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ f′(a)f′(a) ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦਾ ਫਲਨ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ "ਸਮਤਲ" ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ਕੋਈ ਕੋਨੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ) ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਸੁ-ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਚੱਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦੀ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗਤਾ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਦਾ ਵਿਚਾਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਮਤਲਤਾ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ PP 'ਤੇ ਸਮਤਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਤਹ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਸਤਹ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ (x0,y0)(x0,y0) 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਲਈ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਬਿੰਦੂ (x0,y0),(x0,y0) 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਕਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਸਮਤਲਤਾ ਲਈ ਇੱਕ ਨਾਕਾਫ਼ੀ ਸ਼ਰਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4.29 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ 'ਤੇ ਅੰਸ਼ਕ ਵਿਭੇਦਕ ਮੌਜੂਦ ਸਨ, ਪਰ ਫਲਨ ਦਾ ਮੂਲ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਵੀ ਸੀ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਫਲਨ f(x,y)f(x,y) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P(x0,y0)P(x0,y0) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ, P 'ਤੇ ਇੱਕ δδ ਡਿਸਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y)(x,y) ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ ਤਰੁੱਟੀ ਪਦ EE ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਸਮੀਕਰਨ 4.26 ਵਿੱਚ ਆਖਰੀ ਪਦ ਨੂੰ ਤਰੁੱਟੀ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਬਿੰਦੂ P.P ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਗੁਆਂਢ (δ(δ ਡਿਸਕ) ਵਿੱਚ ਸਤਹ ਦੇ ਕਿੰਨੀ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। P 'ਤੇ ਫਲਨ ff ਦੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੋਣ ਲਈ, ਫਲਨ ਸਮਤਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ—ਭਾਵ, ff ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ P ਦੇ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਤਲ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.24
ਵਿਭੇਦਨਯੋਗਤਾ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫਲਨ f(x,y)=2x2−4yf(x,y)=2x2−4y ਬਿੰਦੂ (2,−3).(2,−3) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਨਯੋਗ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ x0=2x0=2 ਅਤੇ y0=−3,y0=−3, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x0,y0),fx(x0,y0),andfy(x0,y0)f(x0,y0),fx(x0,y0),andfy(x0,y0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 4.26 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ m1=8m1=8 ਅਤੇ m2=−4,m2=−4, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ 4.26 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
1. lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2 ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
2. ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਜਾਂ y ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ E(x,y)≥0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਮੂਲ ਸੀਮਾ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (2,−3) ਤੇ f(x,y)=2x2−4y ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ।
3. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.21
4. ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (−1,2) ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=3x−4y2 ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ।
5. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0) ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲਾਂ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਇਆ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਸੀ ਕਿ fx(0,0)=fy(0,0)=0। x0=0 ਅਤੇ y0=0 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.26 ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
6. lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਤੇ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
7. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਪਾਥ ਦੇ ਆਧਾਰ ਤੇ, ਇਹ ਸੀਮਾ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
8. ਚਿੱਤਰ 4.32: ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।
9. ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ, ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਕੁਝ ਸਮਾਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ, ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ।
10. ਥਿਊਰਮ 4.6
11. ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ
12. ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ (x0,y0) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ (x0,y0) ਤੇ f(x,y) ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਤਾਂ (x0,y0) ਤੇ f(x,y) ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
13. ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਥੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਉੱਥੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,
14. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਵੀ ਇੱਕ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
15. ਪਹਿਲੇ ਅੰਸ਼ਕਾਂ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਹੋਰ ਖੋਜਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਥਿਊਰਮ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ।
16. ਥਿਊਰਮ 4.7
17. ਪਹਿਲੇ ਅੰਸ਼ਕਾਂ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਅਵਕਲਨੀਯਤਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ
18. ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ (x0,y0) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ (x0,y0) ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ f(x,y), fx(x,y), ਅਤੇ fy(x,y) ਸਾਰੇ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਅਤੇ (x0,y0) ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹਨ, ਤਾਂ f(x,y) ਉੱਥੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ।
19. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਸੀ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ
20. ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਆਓ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ fx ਅਤੇ fy ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ:
21. ਪਿਛਲੀ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਕੌਂਟਰਾਪਾਜ਼ਿਟਿਵ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਝੂਠੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੀਏ ਕਿ fx(0,0) ਨਿਰੰਤਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਸਹੀ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਹ ਸਹੀ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ lim(x,y)→(0,0)fx(0,0)=fx(0,0):
22. ਮੰਨ ਲਓ x=ky। ਫਿਰ
23. ਜੇਕਰ y>0, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ 1/(k2+1)3/2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ; ਜੇਕਰ y<0, ਤਾਂ ਇਹ −(1/(k2+1)3/2) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਲ k ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।
24. ਵਿਭਿੰਨਤਾਵਾਂ
ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅੰਤਰਾਂ ਦੀ ਸੰਕਲਪ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ। y, y ਦਾ ਅੰਤਰ, ਜਿਸਨੂੰ dy, dy ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ f′(x)dx ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। f′(x)dx। ਅੰਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ Δy=f(x+Δx)−f(x) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ Δx=dx। Δx=dx। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਤੱਕ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਧਾਉਣਾ, ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ, ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕੁੱਲ ਅੰਤਰ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਮੰਨ ਲਓ z=f(x,y) ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ (x0,y0) f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ Δx ਅਤੇ Δy ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਚੁਣੇ ਗਏ ਹਨ ਕਿ (x0+Δx,y0+Δy) ਵੀ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ, ਤਾਂ dx ਅਤੇ dy ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
dz, dz ਦਾ ਅੰਤਰ, ਜਿਸਨੂੰ z=f(x,y) ਦਾ ਕੁੱਲ ਅੰਤਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, (x0,y0) 'ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ∂ चिഹ്ਨ ਕੁੱਲ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਬਲਕਿ, d, z ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਆਓ Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ Δz ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ dz ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ:
ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ Δx ਅਤੇ Δy ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x0,y0) ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y), ਇਸਨੂੰ f(x+Δx,y+Δy) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 4.33: ਰੇਖੀ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਸੂਤਰ f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy ਰਾਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਉਪਯੋਗ ਗਲਤੀ ਦੇ ਪ੍ਰਸਾਰ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੈਜੇਟ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਰਕਮ ਦੀ ਗਲਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗੈਜੇਟ ਦੇ ਕੁੱਲ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਗਲਤੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4.25
ਅੰਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅਨੁਮਾਨ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=3x2−2xy+y2 ਦਾ ਅੰਤਰ dz ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (2,−3) 'ਤੇ Δz ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੋ। Δx=0.1 ਅਤੇ Δy=−0.05 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। Δz ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ x0=2 ਅਤੇ y0=−3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x0,y0), fx(x0,y0), ਅਤੇ fy(x0,y0) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ:
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 4.27 ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ:
ਇਹ Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। Δz ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 4.22
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)=4y2+x2y−2xy ਦਾ ਅੰਤਰ dz ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬਿੰਦੂ (1,−1) 'ਤੇ Δz ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੋ। Δx=0.03 ਅਤੇ Δy=−0.02 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। Δz ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੈ?
ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਭੇਦਕਤਾ
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਿਭੇਦਕਤਾ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾਂ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ:
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y,z) ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P(x0,y0,z0) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ ਜੇਕਰ PP ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ δ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (x,y,z) ਲਈ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ ਗਲਤੀ ਪਦ E ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (x0,y0,z0) 'ਤੇ ਵਿਭੇਦਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਥੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਹਿਲੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿਭੇਦਕਤਾ ਦੀ ਗਰੰਟੀ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
For the following exercises, find a unit normal vector to the surface at the indicated point.
z = f ( x , y ) = x 3 , ( 2 , −1 , 8 ) z = f ( x , y ) = x 3 , ( 2 , −1 , 8 )
ln(xy−z)=0ln(xy−z)=0 when x=y=1x=y=1
For the following exercises, as a useful review for techniques used in this section, find a normal vector and a tangent vector at point P.P.
x 2 + x y + y 2 = 3 , P ( −1 , −1 ) x 2 + x y + y 2 = 3 , P ( −1 , −1 )
( x 2 + y 2 ) 2 = 9 ( x 2 − y 2 ) , P ( 2 , 1 ) ( x 2 + y 2 ) 2 = 9 ( x 2 − y 2 ) , P ( 2 , 1 )
x y 2 − 2 x 2 + y + 5 x = 6 , P ( 4 , 2 ) x y 2 − 2 x 2 + y + 5 x = 6 , P ( 4 , 2 )
2 x 3 − x 2 y 2 = 3 x − y − 7 , P ( 1 , −2 ) 2 x 3 − x 2 y 2 = 3 x − y − 7 , P ( 1 , −2 )
zex2−y2−3=0,zex2−y2−3=0, P(2,2,3)P(2,2,3)
For the following exercises, find the equation for the tangent plane to the surface at the indicated point. (Hint: Solve for zz in terms of xx and y.)y.)
−8 x − 3 y − 7 z = −19 , P ( 1 , −1 , 2 ) −8 x − 3 y − 7 z = −19 , P ( 1 , −1 , 2 )
z = −9 x 2 − 3 y 2 , P ( 2 , 1 , −39 ) z = −9 x 2 − 3 y 2 , P ( 2 , 1 , −39 )
x 2 + 10 x y z + y 2 + 8 z 2 = 0 , P ( −1 , −1 , −1 ) x 2 + 10 x y z + y 2 + 8 z 2 = 0 , P ( −1 , −1 , −1 )
z = ln ( 10 x 2 + 2 y 2 + 1 ) , P ( 0 , 0 , 0 ) z = ln ( 10 x 2 + 2 y 2 + 1 ) , P ( 0 , 0 , 0 )
z=e7x2+4y2,z=e7x2+4y2, P(0,0,1)P(0,0,1)
x y + y z + z x = 11 , P ( 1 , 2 , 3 ) x y + y z + z x = 11 , P ( 1 , 2 , 3 )
x 2 + 4 y 2 = z 2 , P ( 3 , 2 , 5 ) x 2 + 4 y 2 = z 2 , P ( 3 , 2 , 5 )
x 3 + y 3 = 3 x y z , P ( 1 , 2 , 3 2 ) x 3 + y 3 = 3 x y z , P ( 1 , 2 , 3 2 )
z = a x y , P ( 1 , 1 a , 1 ) z = a x y , P ( 1 , 1 a , 1 )
z = sin x + sin y + sin ( x + y ) , P ( 0 , 0 , 0 ) z = sin x + sin y + sin ( x + y ) , P ( 0 , 0 , 0 )
z = h ( x , y ) = ln x 2 + y 2 , P ( 3 , 4 ) z = h ( x , y ) = ln x 2 + y 2 , P ( 3 , 4 )
z = x 2 − 2 x y + y 2 , P ( 1 , 2 , 1 ) z = x 2 − 2 x y + y 2 , P ( 1 , 2 , 1 )
For the following exercises, find parametric equations for the normal line to the surface at the indicated point. (Recall that to find the equation of a line in space, you need a point on the line, P0(x0,y0,z0),P0(x0,y0,z0), and a vector n=〈a,b,c〉n=〈a,b,c〉 that is parallel to the line. Then the equation of the line is x−x0=at,y−y0=bt,z−z0=ct.)x−x0=at,y−y0=bt,z−z0=ct.)
−3 x + 9 y + 4 z = −4 , P ( 1 , −1 , 2 ) −3 x + 9 y + 4 z = −4 , P ( 1 , −1 , 2 )
z = 5 x 2 − 2 y 2 , P ( 2 , 1 , 18 ) z = 5 x 2 − 2 y 2 , P ( 2 , 1 , 18 )
x 2 − 8 x y z + y 2 + 6 z 2 = 0 , P ( 1 , 1 , 1 ) x 2 − 8 x y z + y 2 + 6 z 2 = 0 , P ( 1 , 1 , 1 )
z = ln ( 3 x 2 + 7 y 2 + 1 ) , P ( 0 , 0 , 0 ) z = ln ( 3 x 2 + 7 y 2 + 1 ) , P ( 0 , 0 , 0 )
z = e 4 x 2 + 6 y 2 , P ( 0 , 0 , 1 ) z = e 4 x 2 + 6 y 2 , P ( 0 , 0 , 1 )
z=x2−2xy+y2z=x2−2xy+y2 at point P(1,2,1)P(1,2,1)
For the following exercises, use the figure shown here.
The length of line segment ACAC is equal to what mathematical expression?
The length of line segment BCBC is equal to what mathematical expression?
Using the figure, explain what the length of line segment ABAB represents.
For the following exercises, complete each task.
Show that f(x,y)=exyxf(x,y)=exyx is differentiable at point (1,0).(1,0).
Find the total differential of the function w=eycos(x)+z2.w=eycos(x)+z2.
Show that f(x,y)=x2+3yf(x,y)=x2+3y is differentiable at every point. In other words, show that Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy,Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=fxΔx+fyΔy+ε1Δx+ε2Δy, where both ε1ε1 and ε2ε2 approach zero as (Δx,Δy)(Δx,Δy) approaches (0,0).(0,0).
Find the total differential of the function z=xyy+xz=xyy+x where xx changes from 10to10.510to10.5 and yy changes from 15to13.15to13.
Let z=f(x,y)=xey.z=f(x,y)=xey. Compute ΔzΔz from P(1,2)P(1,2) to Q(1.05,2.1)Q(1.05,2.1) and then find the approximate change in zz from point PP to point Q.Q. Recall Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y),Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y), and dzdz and ΔzΔz are approximately equal.
The volume of a right circular cylinder is given by V(r,h)=πr2h.V(r,h)=πr2h. Find the differential dV.dV. Interpret the formula geometrically.
See the preceding problem. Use differentials to estimate the volume of aluminum in an enclosed aluminum can with diameter 8.0cm8.0cm and height 12cm12cm if the aluminum is 0.040.04 cm thick.
Use the differential dzdz to approximate the change in z=4−x2−y2z=4−x2−y2 as (x,y)(x,y) moves from point (1,1)(1,1) to point (1.01,0.97).(1.01,0.97). Compare this approximation with the actual change in the function.
Let z=f(x,y)=x2+3xy−y2.z=f(x,y)=x2+3xy−y2. Find the exact change in the function and the approximate change in the function as xx changes from 2.00to2.052.00to2.05 and yy changes from 3.00to2.96.3.00to2.96.
The centripetal acceleration of a particle moving in a circle is given by a(r,v)=v2r,a(r,v)=v2r, where vv is the velocity and rr is the radius of the circle. Approximate the maximum percent error in measuring the acceleration resulting from errors of 3%3% in vv and 2%2% in r.r. (Recall that the percentage error is the ratio of the amount of error over the original amount. So, in this case, the percentage error in aa is given by daa.)daa.)
The radius rr and height hh of a right circular cylinder are measured with possible errors of 4%and5%,4%and5%, respectively. Approximate the maximum possible percentage error in measuring the volume (Recall that the percentage error is the ratio of the amount of error over the original amount. So, in this case, the percentage error in VV is given by dVV.)dVV.)
The base radius and height of a right circular cone are measured as 1010 in. and 2525 in., respectively, with a possible error in measurement of as much as 0.10.1 in. each. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated volume of the cone.
The electrical resistance RR produced by wiring resistors R1R1 and R2R2 in parallel can be calculated from the formula 1R=1R1+1R2.1R=1R1+1R2. If R1R1 and R2R2 are measured to be 7Ω7Ω and 6Ω,6Ω, respectively, and if these measurements are accurate to within 0.05Ω,0.05Ω, estimate the maximum possible error in computing R.R. (The symbol ΩΩ represents an ohm, the unit of electrical resistance.)
The area of an ellipse with axes of length 2a2a and 2b2b is given by the formula
A=πab.A=πab. Approximate the percent change in the area when aa increases by 2%2% and bb increases by 1.5%.1.5%.
The period TT of a simple pendulum with small oscillations is calculated from the formula T=2πLg,T=2πLg, where LL is the length of the pendulum and gg is the acceleration resulting from gravity. Suppose that LL and gg have errors of, at most, 0.5%0.5% and 0.1%,0.1%, respectively. Use differentials to approximate the maximum percentage error in the calculated value of T.T.
Electrical power PP is given by P=V2R,P=V2R, where VV is the voltage and RR is the resistance. Approximate the maximum percentage error in calculating power if 120120 VV is applied to a 2000−Ω2000−Ω resistor and the possible percent errors in measuring VV and RR are 3%3% and 4%,4%, respectively.
For the following exercises, find the linear approximation of each function at the indicated point.
f ( x , y ) = x y , P ( 1 , 4 ) f ( x , y ) = x y , P ( 1 , 4 )
f ( x , y ) = e x cos y ; P ( 0 , 0 ) f ( x , y ) = e x cos y ; P ( 0 , 0 )
f ( x , y ) = arctan ( x + 2 y ) , P ( 1 , 0 ) f ( x , y ) = arctan ( x + 2 y ) , P ( 1 , 0 )
f ( x , y ) = 20 − x 2 − 7 y 2 , P ( 2 , 1 ) f ( x , y ) = 20 − x 2 − 7 y 2 , P ( 2 , 1 )
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , P ( 3 , 2 , 6 ) f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 , P ( 3 , 2 , 6 )
[T] Find an equation of the tangent plane to the surface f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 at point (1,2,5),(1,2,5), and graph the surface and the tangent plane at the point.
[T] Find the equation for the tangent plane to the surface at the indicated point, and graph the surface and the tangent plane: z=ln(10x2+2y2+1),P(0,0,0).z=ln(10x2+2y2+1),P(0,0,0).
[T] Find an equation of the tangent plane to the surface z=f(x,y)=sin(x+y2)z=f(x,y)=sin(x+y2) at point (π4,0,22),(π4,0,22), and graph the surface and the tangent plane.