1. ਤਸਵੀਰ 5.1: ਸਪੇਨ ਦੇ ਵੈਲੈਂਸੀਆ ਸ਼ਹਿਰ ਵਿੱਚ ਕਲਾ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦਾ ਸ਼ਹਿਰ, ਦੋ ਕਿਲੋਮੀਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਢਾਂਚਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਹਿਲਾਂ ਤੂਰੀਆ ਨਦੀ ਦਾ ਤਲ ਹੁੰਦਾ ਸੀ। ਲ'ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਈਮੈਕਸ ਸਿਨੇਮਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 900 ਵਰਗ ਮੀਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਅਵਤਲ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ ਆਧੁਨਿਕ ਡਿਜੀਟਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਿਸਟਮ ਹਨ। 100 ਮੀਟਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੰਬੀ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਛੱਤ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਮਨੁੱਖੀ ਅੱਖ ਵਾਂਗ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜੋ ਜੀਵਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ "ਗਿਆਨ ਦੀ ਅੱਖ" ਵਜੋਂ ਸੰਸਾਰ ਲਈ ਖੁੱਲ੍ਹ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। (ਸਿਹਰਾ: ਜੇਵੀਅਰ ਯਯਾ ਤੂਰ, ਵਿਕੀਮੀਡੀਆ ਕਾਮਨਜ਼ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)
2. ਅਧਿਆਇ ਰੂਪਰੇਖਾ
3. 5.1 ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡ
4. 5.2 ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡ
5. 5.3 ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਹਰੇ ਅਖੰਡ
6. 5.4 ਤਿਹਰੇ ਅਖੰਡ
7. 5.5 ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਅਤੇ ਗੋਲਿਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿਹਰੇ ਅਖੰਡ
8. 5.6 ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰਾਂ ਅਤੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਪਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ
9. 5.7 ਬਹੁ-ਅਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ
10. ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਖੰਡ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਦੋਹਰੇ ਅਤੇ ਤਿਹਰੇ ਅਖੰਡਾਂ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ, ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਖੰਡਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਹੋਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਧਰੁਵੀ, ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ, ਅਤੇ ਗੋਲਿਅਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਉੱਤੇ ਬਹੁ-ਅਖੰਡਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਲ'ਹੇਮਿਸਫੇਰਿਕ ਵਰਗੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। (ਉਦਾਹਰਨ 5.51 ਦੇਖੋ।)
11. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨਾਲ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਹੁ-ਆਯਾਮੀ ਅਖੰਡ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਾਨੂੰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਅਖੰਡ ਸਾਨੂੰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਖੰਡਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।