ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
5.1.1 ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਬਲ ਕਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
5.1.2 ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋ ਅਤੇ ਵਰਤੋਂ।
5.1.3 ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਇਟਰੇਟਿਡ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ।
5.1.4 ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਆਇਤਨ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਿੰਗਲ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਲਈ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ।
ਆਇਤਨ ਅਤੇ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y)≥0 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਬੰਦ ਆਇਤ R 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ:
ਇੱਥੇ [a,b]×[c,d] ਦੋ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲਾਂ [a,b] ਅਤੇ [c,d] ਦੇ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਕਾਰ ਜੋੜੇ (x,y) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ a≤x≤b ਅਤੇ c≤y≤d। f ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ xy-ਸਮਤਲ ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਸਤਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ z=f(x,y) ਹੈ ਜਿੱਥੇ z ਬਿੰਦੂ (x,y) 'ਤੇ ਸਤਹ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ S ਉਹ ਠੋਸ ਹੈ ਜੋ R ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 5.2)। ਠੋਸ ਦਾ ਆਧਾਰ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਆਇਤ R ਹੈ। ਅਸੀਂ ਠੋਸ S ਦੇ ਆਇਤਨ V ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 5.2: xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਆਇਤ R ਉੱਤੇ f(x,y) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਸਤਹ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ R ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਆਇਤਾਂ Rij ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ΔA ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ Δx ਅਤੇ Δy (ਚਿੱਤਰ 5.3) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ [a,b] ਨੂੰ m ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ [c,d] ਨੂੰ n ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ Δx=b−a/m, Δy=d−c/n, ਅਤੇ ΔA=ΔxΔy।
ਚਿੱਤਰ 5.3: ਆਇਤ R ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਆਇਤਾਂ Rij ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ΔA ਹੈ।
Rij ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪਤਲੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਦਾ ਆਇਤਨ f(xij*,yij*)ΔA ਹੈ, ਜਿੱਥੇ (xij*,yij*) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ Rij ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5.4: Rij ਦੇ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪਤਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ f(xij*,yij*) ਹੈ।
ਸਾਰੇ ਉਪ-ਆਇਤਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਠੋਸ S ਦੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਇਤਨ ਨੂੰ V≈∑i=1m∑j=1nf(xij*,yij*)ΔA ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡਬਲ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਡਬਲ ਜੋੜ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਆਇਤ ਲਈ ਅਸੀਂ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿੰਗਲ-ਵੇਰੀਏਬਲ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਜੇਕਰ m ਅਤੇ n ਵੱਡੇ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਆਇਤਨ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੋੜ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੀਮਾ R ਦੇ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਦਾ ਆਇਤਨ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦਾ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਜੇਕਰ f(x,y)≥0 ਹੈ, ਤਾਂ ਠੋਸ S ਦਾ ਆਇਤਨ V, ਜੋ xy-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ R ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਆਇਤ R ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦਾ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਦੇ ਵੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਨੂੰ ਇੱਕ "ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ" ਆਇਤਨ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਵਿੱਚ ਨੈੱਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 5.1
ਡਬਲ ਜੋੜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x,y)=3x²−y 'ਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R=[0,2]×[0,2] (ਚਿੱਤਰ 5.5) ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਠੋਸ S ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਡਬਲ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਜੋ R ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ "ਹੇਠਾਂ" ਸਥਿਤ ਹੈ।
Divide R into four squares with m=n=2,m=n=2, and choose the sample point as the upper right corner point of each square (1,1),(2,1),(1,2),(1,1),(2,1),(1,2), and (2,2)(2,2) (Figure 5.6) to approximate the signed volume of the solid S that lies above RR and “under” the graph of f.f.
Divide R into four squares with m=n=2,m=n=2, and choose the sample point as the midpoint of each square: (1/2,1/2),(3/2,1/2),(1/2,3/2),and(3/2,3/2)(1/2,1/2),(3/2,1/2),(1/2,3/2),and(3/2,3/2) to approximate the signed volume. Figure 5.5 The function z=f(x,y)z=f(x,y) graphed over the rectangular region R=[0,2]×[0,2].R=[0,2]×[0,2].
Solution
As we can see, the function z=f(x,y)=3x2−yz=f(x,y)=3x2−y is both above and below the plane. To find the signed volume of S, we need to divide the region R into small rectangles Rij,Rij, each with area ΔAΔA and with sides ΔxΔx and Δy,Δy, and choose (xij*,yij*)(xij*,yij*) as sample points in each Rij.Rij. Hence, a double integral is set up as V=∬R(3x2−y)dA=limm,n→∞∑i=1m∑j=1n[3(xij*)2−yij*]ΔA.V=∬R(3x2−y)dA=limm,n→∞∑i=1m∑j=1n[3(xij*)2−yij*]ΔA.
Approximating the signed volume using a Riemann sum with m=n=2m=n=2 we have ΔA=ΔxΔy=1×1=1.ΔA=ΔxΔy=1×1=1. Also, the sample points are (1, 1), (2, 1), (1, 2), and (2, 2) as shown in the following figure. Figure 5.6 Subrectangles for the rectangular region R=[0,2]×[0,2].R=[0,2]×[0,2]. Hence, V=∑i=12∑j=12f(xij*,yij*)ΔA=∑i=12(f(xi1*,yi1*)+f(xi2*,yi2*))ΔA=f(x11*,y11*)ΔA+f(x21*,y21*)ΔA+f(x12*,y12*)ΔA+f(x22*,y22*)ΔA=f(1,1)(1)+f(2,1)(1)+f(1,2)(1)+f(2,2)(1)=3−1(1)+(12−1)(1)+(3−2)(1)+(12−2)(1)=2 + 11 + 1 + 10 = 24V=∑i=12∑j=12f(xij*,yij*)ΔA=∑i=12(f(xi1*,yi1*)+f(xi2*,yi2*))ΔA=f(x11*,y11*)ΔA+f(x21*,y21*)ΔA+f(x12*,y12*)ΔA+f(x22*,y22*)ΔA=f(1,1)(1)+f(2,1)(1)+f(1,2)(1)+f(2,2)(1)=3−1(1)+(12−1)(1)+(3−2)(1)+(12−2)(1)=2 + 11 + 1 + 10 = 24
Approximating the signed volume using a Riemann sum with m=n=2,m=n=2, we have ΔA=ΔxΔy=1×1=1.ΔA=ΔxΔy=1×1=1. In this case the sample points are (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2),and (3/2, 3/2). Hence V=∑i=12∑j=12f(xij*,yij*)ΔA=f(x11*,y11*)ΔA+f(x21*,y21*)ΔA+f(x12*,y12*)ΔA+f(x22*,y22*)ΔA=f(12,12)(1)+f(32,12)(1)+f(12,32)(1)+f(32,32)(1)=(34−12)(1)+(274−12)(1)+(34−32)(1)+(274−32)(1)=14+254+(−34)+214=444=11V=∑i=12∑j=12f(xij*,yij*)ΔA=f(x11*,y11*)ΔA+f(x21*,y21*)ΔA+f(x12*,y12*)ΔA+f(x22*,y22*)ΔA=f(12,12)(1)+f(32,12)(1)+f(12,32)(1)+f(32,32)(1)=(34−12)(1)+(274−12)(1)+(34−32)(1)+(274−32)(1)=14+254+(−34)+214=444=11
Analysis
Notice that the approximate answers differ due to the choices of the sample points. In either case, we are introducing some error because we are using only a few sample points. Thus, we need to investigate how we can achieve an accurate answer.
Checkpoint 5.1
Use the same function z=f(x,y)=3x2−yz=f(x,y)=3x2−y over the rectangular region R=[0,2]×[0,2].R=[0,2]×[0,2].
Divide R into the same four squares with m=n=2,m=n=2, and choose the sample points as the upper left corner point of each square (0,1),(1,1),(0,2),(0,1),(1,1),(0,2), and (1,2)(1,2) (Figure 5.6) to approximate the signed volume of the solid S that lies above RR and “under” the graph of f.f.
Note that we developed the concept of double integral using a rectangular region R. This concept can be extended to any general region. However, when a region is not rectangular, the subrectangles may not all fit perfectly into R, particularly if the base area is curved. We examine this situation in more detail in the next section, where we study regions that are not always rectangular and subrectangles may not fit perfectly in the region R. Also, the heights may not be exact if the surface z=f(x,y)z=f(x,y) is curved. However, the errors on the sides and the height where the pieces may not fit perfectly within the solid S approach 0 as m and n approach infinity. Also, the double integral of the function z=f(x,y)z=f(x,y) exists provided that the function ff is not too discontinuous. If the function is bounded and continuous over R except on a finite number of smooth curves, then the double integral exists and we say that ff is integrable over R.
Since ΔA=ΔxΔy=ΔyΔx,ΔA=ΔxΔy=ΔyΔx, we can express dAdA as dxdydxdy or dydx.dydx. This means that, when we are using rectangular coordinates, the double integral over a region RR denoted by ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA can be written as ∬Rf(x,y)dxdy∬Rf(x,y)dxdy or ∬Rf(x,y)dydx.∬Rf(x,y)dydx.
Now let’s list some of the properties that can be helpful to compute double integrals.
Properties of Double Integrals
The properties of double integrals are very helpful when computing them or otherwise working with them. We list here six properties of double integrals. Properties 1 and 2 are referred to as the linearity of the integral, property 3 is the additivity of the integral, property 4 is the monotonicity of the integral, and property 5 is used to find the bounds of the integral. Property 6 is used if f(x,y)f(x,y) is a product of two functions g(x)g(x) and h(y).h(y).
Theorem 5.1
Properties of Double Integrals
Assume that the functions f(x,y)f(x,y) and g(x,y)g(x,y) are integrable over the rectangular region R; S and T are subregions of R; and assume that m and M are real numbers.
The sum f(x,y)+g(x,y)f(x,y)+g(x,y) is integrable and ∬R[f(x,y)+g(x,y)]dA=∬Rf(x,y)dA+∬Rg(x,y)dA.∬R[f(x,y)+g(x,y)]dA=∬Rf(x,y)dA+∬Rg(x,y)dA.
If c is a constant, then cf(x,y)cf(x,y) is integrable and ∬Rcf(x,y)dA=c∬Rf(x,y)dA.∬Rcf(x,y)dA=c∬Rf(x,y)dA.
If R=S∪TR=S∪T and S∩T=∅S∩T=∅ except an overlap on the boundaries, then ∬Rf(x,y)dA=∬Sf(x,y)dA+∬Tf(x,y)dA.∬Rf(x,y)dA=∬Sf(x,y)dA+∬Tf(x,y)dA.
If f(x,y)≥g(x,y)f(x,y)≥g(x,y) for (x,y)(x,y) in R,R, then ∬Rf(x,y)dA≥∬Rg(x,y)dA.∬Rf(x,y)dA≥∬Rg(x,y)dA.
If m≤f(x,y)≤M,m≤f(x,y)≤M, then m×A(R)≤∬Rf(x,y)dA≤M×A(R).m×A(R)≤∬Rf(x,y)dA≤M×A(R).
In the case where f(x,y)f(x,y) can be factored as a product of a function g(x)g(x) of xx only and a function h(y)h(y) of yy only, then over the region R={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d},R={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}, the double integral can be written as ∬Rf(x,y)dA=(∫abg(x)dx)(∫cdh(y)dy).∬Rf(x,y)dA=(∫abg(x)dx)(∫cdh(y)dy).
These properties are used in the evaluation of double integrals, as we will see later. We will become skilled in using these properties once we become familiar with the computational tools of double integrals. So let’s get to that now.
Iterated Integrals
So far, we have seen how to set up a double integral and how to obtain an approximate value for it. We can also imagine that evaluating double integrals by using the definition can be a very lengthy process if we choose larger values for mm and n.n. Therefore, we need a practical and convenient technique for computing double integrals. In other words, we need to learn how to compute double integrals without employing the definition that uses limits and double sums.
The basic idea is that the evaluation becomes easier if we can break a double integral into single integrals by integrating first with respect to one variable and then with respect to the other. The key tool we need is called an iterated integral.
Definition
Assume a,b,c,a,b,c, and dd are real numbers. We define an iterated integral for a function f(x,y)f(x,y) over the rectangular region RR =[a,b]×[c,d]=[a,b]×[c,d] as
∫ab∫cdf(x,y)dydx=∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx∫ab∫cdf(x,y)dydx=∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx (5.2)
∫cd∫abf(x,y)dxdy=∫cd[∫abf(x,y)dx]dy.∫cd∫abf(x,y)dxdy=∫cd[∫abf(x,y)dx]dy. (5.3)
The notation ∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx means that we integrate f(x,y)f(x,y) with respect to y while holding x constant. Similarly, the notation ∫cd[∫abf(x,y)dx]dy∫cd[∫abf(x,y)dx]dy means that we integrate f(x,y)f(x,y) with respect to x while holding y constant. The fact that double integrals can be split into iterated integrals is expressed in Fubini’s theorem. Think of this theorem as an essential tool for evaluating double integrals.
Theorem 5.2
Fubini’s Theorem
Suppose that f(x,y)f(x,y) is a function of two variables that is continuous over a rectangular region R={(x,y)∈ℝ2|a≤x≤b,c≤y≤d}.R={(x,y)∈ℝ2|a≤x≤b,c≤y≤d}. Then we see from Figure 5.7 that the double integral of ff over the region equals an iterated integral,
More generally, Fubini’s theorem is true if ff is bounded on RR and ff is discontinuous only on a finite number of continuous curves. In other words, ff has to be integrable over R.R.
Figure 5.7: (a) Integrating first with respect to yy and then with respect to xx to find the area A(x)A(x) and then the volume V; (b) integrating first with respect to xx and then with respect to yy to find the area A(y)A(y) and then the volume V.
Example 5.2
Using Fubini’s Theorem
Use Fubini’s theorem to compute the double integral ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA where f(x,y)=xf(x,y)=x and R=[0,2]×[0,1].R=[0,2]×[0,1].
Solution
Fubini’s theorem offers an easier way to evaluate the double integral by the use of an iterated integral. Note how the boundary values of the region R become the upper and lower limits of integration.
The double integration in this example is simple enough to use Fubini’s theorem directly, allowing us to convert a double integral into an iterated integral. Consequently, we are now ready to convert all double integrals to iterated integrals and demonstrate how the properties listed earlier can help us evaluate double integrals when the function f(x,y)f(x,y) is more complex. Note that the order of integration can be changed (see Example 5.7).
Example 5.3
Illustrating Properties i and ii
Evaluate the double integral ∬R(xy−3xy2)dA∬R(xy−3xy2)dA where R={(x,y)|0≤x≤2,1≤y≤2}.R={(x,y)|0≤x≤2,1≤y≤2}.
Solution
This function has two pieces: one piece is xyxy and the other is 3xy2.3xy2. Also, the second piece has a constant 3.3. Notice how we use properties i and ii to help evaluate the double integral.
Example 5.4
Illustrating Property v.
Over the region R={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤2},R={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤2}, we have 2≤x2+y2≤13.2≤x2+y2≤13. Find a lower and an upper bound for the integral ∬R(x2+y2)dA.∬R(x2+y2)dA.
Solution
For a lower bound, integrate the constant function 2 over the region R.R. For an upper bound, integrate the constant function 13 over the region R.R.
Hence, we obtain 4≤∬R(x2+y2)dA≤26.4≤∬R(x2+y2)dA≤26.
Example 5.5
Illustrating Property vi
Evaluate the integral ∬ReycosxdA∬ReycosxdA over the region R={(x,y)|0≤x≤π2,0≤y≤1}.R={(x,y)|0≤x≤π2,0≤y≤1}.
Solution
This is a great example for property vi because the function f(x,y)f(x,y) is clearly the product of two single-variable functions eyey and cosx.cosx. Thus we can split the integral into two parts and then integrate each one as a single-variable integration problem.
Checkpoint 5.2
Use the properties of the double integral and Fubini’s theorem to evaluate the integral ∫01∫−13(3−x+4y)dydx.∫01∫−13(3−x+4y)dydx.
Show that 0≤∬RsinπxcosπydA≤1320≤∬RsinπxcosπydA≤132 where R=0,14×14,12.R=0,14×14,12.
As we mentioned before, when we are using rectangular coordinates, the double integral over a region RR denoted by ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA can be written as ∬Rf(x,y)dxdy∬Rf(x,y)dxdy or ∬Rf(x,y)dydx.∬Rf(x,y)dydx. The next example shows that the results are the same regardless of which order of integration we choose.
Example 5.6
Evaluating an Iterated Integral in Two Ways
Let’s return to the function f(x,y)=3x2−yf(x,y)=3x2−y from Example 5.1, this time over the rectangular region R=[0,2]×[0,3].R=[0,2]×[0,3]. Use Fubini’s theorem to evaluate ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA in two different ways:
First integrate with respect to y and then with respect to x;
First integrate with respect to x and then with respect to y.
Solution
Figure 5.7 shows how the calculation works in two different ways.
First integrate with respect to y and then integrate with respect to x: ∬Rf(x,y)dA=∫x=0x=2∫y=0y=3(3x2−y)dydx=∫x=0x=2(∫y=0y=3(3x2−y)dy)dx=∫x=0x=2[3x2y−y22|y=0y=3]dx=∫x=0x=2(9x2−92)dx=3x3−92x|x=0x=2=15.∬Rf(x,y)dA=∫x=0x=2∫y=0y=3(3x2−y)dydx=∫x=0x=2(∫y=0y=3(3x2−y)dy)dx=∫x=0x=2[3x2y−y22|y=0y=3]dx=∫x=0x=2(9x2−92)dx=3x3−92x|x=0x=2=15.
First integrate with respect to x and then integrate with respect to y: ∬Rf(x,y)dA=∫y=0y=3∫x=0x=2(3x2−y)dxdy=∫y=0y=3(∫x=0x=2(3x2−y)dx)dy=∫y=0y=3[x3−xy|x=0x=2]dy=∫y=0y=3(8−2y)dy=8y−y2|y=0y=3=15.∬Rf(x,y)dA=∫y=0y=3∫x=0x=2(3x2−y)dxdy=∫y=0y=3(∫x=0x=2(3x2−y)dx)dy=∫y=0y=3[x3−xy|x=0x=2]dy=∫y=0y=3(8−2y)dy=8y−y2|y=0y=3=15.
Analysis
With either order of integration, the double integral gives us an answer of 15. We might wish to interpret this answer as a volume in cubic units of the solid SS below the function f(x,y)=3x2−yf(x,y)=3x2−y over the region R=[0,2]×[0,3].R=[0,2]×[0,3]. However, remember that the interpretation of a double integral as a (non-signed) volume works only when the integrand ff is a nonnegative function over the base region R.R.
Checkpoint 5.3
Evaluate ∫y=−3y=2∫x=3x=5(2−3x2+y2)dxdy.∫y=−3y=2∫x=3x=5(2−3x2+y2)dxdy.
In the next example we see that it can actually be beneficial to switch the order of integration to make the computation easier. We will come back to this idea several times in this chapter.
Example 5.7
Switching the Order of Integration
Consider the double integral ∬Rxsin(xy)dA∬Rxsin(xy)dA over the region R={(x,y)|0≤x≤π,1≤y≤2}R={(x,y)|0≤x≤π,1≤y≤2} (Figure 5.8).
Express the double integral in two different ways.
Analyze whether evaluating the double integral in one way is easier than the other and why.
Evaluate the integral. Figure 5.8 The function z=f(x,y)=xsin(xy)z=f(x,y)=xsin(xy) over the rectangular region R=[0,π]×[1,2].R=[0,π]×[1,2].
Solution
We can express ∬Rxsin(xy)dA∬Rxsin(xy)dA in the following two ways: first by integrating with respect to yy and then with respect to x;x; second by integrating with respect to xx and then with respect to y.y. ∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydxIntegrate first with respect toy.=∫y=1y=2∫x=0x=πxsin(xy)dxdyIntegrate first with respect tox.∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydxIntegrate first with respect toy.=∫y=1y=2∫x=0x=πxsin(xy)dxdyIntegrate first with respect tox.
If we want to integrate with respect to y first and then integrate with respect to x,x, we see that we can use the substitution u=xy,u=xy, which gives du=xdy.du=xdy. Hence the inner integral is simply ∫sinudu∫sinudu and we can change the limits to be functions of x, ∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydx=∫x=0x=π[∫u=xu=2xsin(u)du]dx.∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydx=∫x=0x=π[∫u=xu=2xsin(u)du]dx. However, integrating with respect to xx first and then integrating with respect to yy requires integration by parts for the inner integral, with u=xu=x and dv=sin(xy)dx.dv=sin(xy)dx. Then du=dxdu=dx and v=−cos(xy)y,v=−cos(xy)y, so ∬Rxsin(xy)dA=∫y=1y=2∫x=0x=πxsin(xy)dxdy=∫y=1y=2[−xcos(xy)y|x=0x=π+1y∫x=0x=πcos(xy)dx]dy.∬Rxsin(xy)dA=∫y=1y=2∫x=0x=πxsin(xy)dxdy=∫y=1y=2[−xcos(xy)y|x=0x=π+1y∫x=0x=πcos(xy)dx]dy. Since the evaluation is getting complicated, we will only do the computation that is easier to do, which is clearly the first method.
Evaluate the double integral using the easier way. ∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydx=∫x=0x=π[∫u=xu=2xsin(u)du]dx=∫x=0x=π[−cosu|u=xu=2x]dx=∫x=0x=π(−cos2x+cosx)dx=−12sin2x+sinx|x=0x=π=0.∬Rxsin(xy)dA=∫x=0x=π∫y=1y=2xsin(xy)dydx=∫x=0x=π[∫u=xu=2xsin(u)du]dx=∫x=0x=π[−cosu|u=xu=2x]dx=∫x=0x=π(−cos2x+cosx)dx=−12sin2x+sinx|x=0x=π=0.
Checkpoint 5.4
Evaluate the integral ∬RxexydA∬RxexydA where R=[0,1]×[0,ln5].R=[0,1]×[0,ln5].
Applications of Double Integrals
Double integrals are very useful for finding the area of a region bounded by curves of functions. We describe this situation in more detail in the next section. However, if the region is a rectangular shape, we can find its area by integrating the constant function f(x,y)=1f(x,y)=1 over the region R.R.
Definition
The area of the region RR is given by A(R)=∬R1dA.A(R)=∬R1dA.
This definition makes sense because using f(x,y)=1f(x,y)=1 and evaluating the integral make it a product of length and width. Let’s check this formula with an example and see how this works.
1. ਮਿਸਾਲ 5.8
2. ਦੋਹਰੇ ਅਭਿੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
3. ਦੋਹਰੇ ਅਭਿੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਭਾਵ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ 1 ਦਾ ਅਭਿੰਨ ਕਰਕੇ, ਖੇਤਰ R={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2}R={(x,y)|0≤x≤3,0≤y≤2} ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਇਹ ਖੇਤਰ 3 ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ 2 ਚੌੜਾਈ ਵਾਲਾ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ 6 ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਦੋਹਰੇ ਅਭਿੰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਇਹੀ ਜਵਾਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
6. ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋਹਰੇ ਅਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੇ ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ RR ਉੱਤੇ ਫਲਨ f(x,y)f(x,y) ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਤ ਹੋਵੇ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ R ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ (x,y)(x,y) ਲਈ f(x,y)≥0f(x,y)≥0 ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਿਸਾਲ ਹੈ।
7. ਮਿਸਾਲ 5.9
8. ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ ਦਾ ਆਇਤਨ
9. ਘਣ SS ਦਾ ਆਇਤਨ VV ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ 2x2+y2+z=27,2x2+y2+z=27, ਤਲ x=3x=3 ਅਤੇ y=3,y=3, ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਹੈ।
10. ਹੱਲ
11. ਪਹਿਲਾਂ, ਚਿੱਤਰ 5.9(a) ਵਿੱਚ ਸਤ੍ਹਾ z=27−2x2−y2z=27−2x2−y2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਵਰਗ ਖੇਤਰ R1=[−3,3]×[−3,3]R1=[−3,3]×[−3,3] ਦੇ ਉੱਪਰ ਦੇਖੋ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਅੰਡਾਕਾਰ ਪੈਰਾਬੋਲੋਇਡ 2x2+y2+z=27,2x2+y2+z=27, ਤਲ x=3x=3 ਅਤੇ y=3,y=3, ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
12. ਚਿੱਤਰ 5.9: (a) ਸਤ੍ਹਾ z=27−2x2−y2z=27−2x2−y2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵਰਗ ਖੇਤਰ R1=[−3,3]×[−3,3]R1=[−3,3]×[−3,3] ਦੇ ਉੱਪਰ। (b) ਘਣ S ਸਤ੍ਹਾ z=27−2x2−y2z=27−2x2−y2 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗ ਖੇਤਰ R2=[0,3]×[0,3]R2=[0,3]×[0,3] ਦੇ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੈ।
13. ਹੁਣ, ਚਿੱਤਰ 5.9(b) ਵਿੱਚ ਸਤ੍ਹਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ R2:R2: ਉੱਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅਭਿੰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ V ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
14. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 5.5
15. ਫਲਨ f(x,y)=xysin(x2y)f(x,y)=xysin(x2y) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਅਤੇ xyxy-ਤਲ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ R=[0,1]×[0,π]R=[0,1]×[0,π] ਉੱਤੇ ਸੀਮਤ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
16. ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫਲਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ [a,b][a,b] ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ:
17. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਦੀ ਬਜਾਏ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
18. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
19. ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫਲਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਖੇਤਰ R ਉੱਤੇ ਹੈ:
20. ਅਗਲੀ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਮਿਸਾਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਫਲਨ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਇੱਕ ਗਰਿੱਡ ਉੱਤੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਮਾਪ ਲੈ ਕੇ ਅਭਿੰਨ ਤੋਂ ਉਪਯੋਗੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
21. ਮਿਸਾਲ 5.10
22. ਔਸਤ ਤੂਫਾਨੀ ਬਾਰਸ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ
23. ਚਿੱਤਰ 5.10 ਵਿੱਚ ਮੌਸਮ ਦਾ ਨਕਸ਼ਾ, ਹਰੀਕੇਨ ਕਾਰਲ ਦੇ ਅਵਸ਼ੇਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਇੱਕ ਅਸਾਧਾਰਨ ਨਮੀ ਵਾਲੀ ਤੂਫਾਨੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੇ 22-23 ਸਤੰਬਰ, 2010 ਨੂੰ ਮੱਧ-ਪੱਛਮੀ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ 4–8 ਇੰਚ (100–200 ਮਿਲੀਮੀਟਰ) ਬਾਰਸ਼ ਕੀਤੀ। ਬਾਰਸ਼ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਪੱਛਮ ਤੱਕ 300 ਮੀਲ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਦੱਖਣ ਤੱਕ 250 ਮੀਲ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਸੀ। ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਬਾਰਸ਼ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
24. ਚਿੱਤਰ 5.10: ਹਰੀਕੇਨ ਕਾਰਲ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ, ਜਿਸ ਨੇ ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮੀ ਵਿਸਕਾਨਸਿਨ, ਦੱਖਣੀ ਮਿਨੀਸੋਟਾ, ਅਤੇ ਦੱਖਣ-ਪੂਰਬੀ ਦੱਖਣੀ ਡਕੋਟਾ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ 300 ਮੀਲ ਪੂਰਬ ਤੋਂ ਪੱਛਮ ਅਤੇ 250 ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਤੋਂ ਦੱਖਣ ਦੇ ਦੌਰਾਨ 4–8 ਇੰਚ (100–200 ਮਿਲੀਮੀਟਰ) ਬਾਰਸ਼ ਕੀਤੀ।
1. ਹੱਲ
2. ਨਕਸ਼ੇ ਦੇ ਦੱਖਣ-ਪੱਛਮੀ ਕੋਨੇ 'ਤੇ ਮੂਲ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਰੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣ। ਹੁਣ ਪੂਰੇ ਨਕਸ਼ੇ ਨੂੰ ਛੇ ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ (m=3 ਅਤੇ n=2), ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ f(x,y) ਮੂਲ ਤੋਂ ਲਗਭਗ x ਮੀਲ ਪੂਰਬ ਵੱਲ ਅਤੇ ਮੂਲ ਤੋਂ y ਮੀਲ ਉੱਤਰ ਵੱਲ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਤੂਫਾਨੀ ਬਾਰਸ਼ ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ RR ਪੂਰੇ 250×300=75000 ਵਰਗ ਮੀਲ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ
3. ਮੰਨ ਲਓ (xij*,yij*) ਹਰੇਕ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ Rij ਦੇ ਲਗਭਗ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਰੰਗ-ਕੋਡ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਬਾਰਸ਼ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
4. (x*11,y*11) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 0.08 ਹੈ।
5. (x*21,y*21) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 0.08 ਹੈ।
6. (x*31,y*31) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 0.01 ਹੈ।
7. (x*12,y*12) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 1.70 ਹੈ।
8. (x*22,y*22) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 1.74 ਹੈ।
9. (x*32,y*32) 'ਤੇ ਬਾਰਸ਼ 3.00 ਹੈ।
10. ਚਿੱਤਰ 5.11: ਆਇਤਾਕਾਰ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਤੂਫਾਨੀ ਬਾਰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੇ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੋਇਆ।
11. ਸਾਡੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਦਿਨਾਂ ਦੌਰਾਨ ਪੂਰੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਤੂਫਾਨੀ ਬਾਰਸ਼ ਸੀ
12. 22-23 ਸਤੰਬਰ, 2010 ਦੌਰਾਨ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 1.10 ਇੰਚ ਦੀ ਔਸਤ ਤੂਫਾਨੀ ਬਾਰਸ਼ ਹੋਈ।
13. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 5.6
14. ਆਇਤਾਕਾਰ R=[−3,6]×[−1,4] 'ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਲਈ ਇੱਕ ਕੰਟੂਰ ਨਕਸ਼ਾ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ∬Rf(x,y)dA ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ m=3 ਅਤੇ n=2 ਨਾਲ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
16. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਤਹ z=f(x,y), ਲੰਬਵਤ ਸਮਤਲ x=1, x=2, y=1, ਅਤੇ y=2, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸਮਤਲ z=0 ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਿਤ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ m=4 ਅਤੇ n=2 ਨਾਲ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
18. f ( x , y ) = 4 x + 2 y + 8 x y
19. f ( x , y ) = 16 x 2 + y 2
20. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਭਾਗ ਦੇ ਉਪ-ਆਇਤਾਕਾਰਾਂ ਦੇ ਹੇਠਲੇ ਖੱਬੇ ਕੋਨਿਆਂ ਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ m=n=2 ਦੇ ਨਾਲ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬Rfx,ydA ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
f(x,y)=sinx−cosy,f(x,y)=sinx−cosy, R=[0,π]×[0,π]R=[0,π]×[0,π]
f(x,y)=cosx+cosy,f(x,y)=cosx+cosy, R=[0,π]×[0,π2]R=[0,π]×[0,π2]
21. R=[8,10]×[9,11] 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਮੁੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ m=n=2 ਨਾਲ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ∬Rf(x,y)dA ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਓ।
22. ਕਤਾਰ: y
23. ਕਤਾਰ: x | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11
24. ਕਤਾਰ: 8 | 9.8 | 5 | 6.7 | 5 | 5.6
row: 8.5 | 9.4 | 4.5 | 8 | 5.4 | 3.4
row: 9 | 8.7 | 4.6 | 6 | 5.5 | 3.4
row: 9.5 | 6.7 | 6 | 4.5 | 5.4 | 6.7
row: 10 | 6.8 | 6.4 | 5.5 | 5.7 | 6.8
The values of the function f on the rectangle R=[0,2]×[7,9]R=[0,2]×[7,9] are given in the following table. Estimate the double integral ∬Rf(x,y)dA∬Rf(x,y)dA by using a Riemann sum with m=n=2.m=n=2. Select the sample points to be the upper right corners of the subsquares of R.
row: y0=7y0=7 | y1=8y1=8 | y2=9y2=9
row: x0=0x0=0 | 10.22 | 10.21 | 9.85
row: x1=1x1=1 | 6.73 | 9.75 | 9.63
row: x2=2x2=2 | 5.62 | 7.83 | 8.21
The depth of a children’s 4-ft by 4-ft swimming pool, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.
Estimate the volume of water in the swimming pool by using a Riemann sum with m=n=2.m=n=2. Select the sample points using the midpoint rule on R=[0,4]×[0,4].R=[0,4]×[0,4].
Approximate the average depth of the swimming pool. y x 0 1 2 3 4 0 1 1.5 2 2.5 3 1 1 1.5 2 2.5 3 2 1 1.5 1.5 2.5 3 3 1 1 1.5 2 2.5 4 1 1 1 1.5 2
The depth of a 3-ft by 3-ft hole in the ground, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.
Estimate the volume of the hole by using a Riemann sum with m=n=3m=n=3 and the sample points to be the upper left corners of the subsquares of R.
Approximate the average depth of the hole. y x 0 1 2 3 0 6 6.5 6.4 6 1 6.5 7 7.5 6.5 2 6.5 6.7 6.5 6 3 6 6.5 5 5.6
The level curves f(x,y)=kf(x,y)=k of the function f are given in the following graph, where k is a constant.
Apply the midpoint rule with m=n=2m=n=2 to estimate the double integral ∬Rf(x,y)dA,∬Rf(x,y)dA, where R=[0.2,1]×[0,0.8].R=[0.2,1]×[0,0.8].
Estimate the average value of the function f on R.
The level curves f(x,y)=kf(x,y)=k of the function f are given in the following graph, where k is a constant.
Apply the midpoint rule with m=n=2m=n=2 to estimate the double integral ∬Rf(x,y)dA,∬Rf(x,y)dA, where R=[0.1,0.5]×[0.1,0.5].R=[0.1,0.5]×[0.1,0.5].
Estimate the average value of the function f on R.
The solid lying under the surface z=4−y2z=4−y2 and above the rectangular region R=[0,2]×[0,2]R=[0,2]×[0,2] is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral ∬Rf(x,y)dA,∬Rf(x,y)dA, where f(x,y)=4−y2,f(x,y)=4−y2, by finding the volume of the corresponding solid.
The solid lying under the plane z=y+4z=y+4 and above the rectangular region R=[0,2]×[0,4]R=[0,2]×[0,4] is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral ∬Rf(x,y)dA,∬Rf(x,y)dA, where f(x,y)=y+4,f(x,y)=y+4, by finding the volume of the corresponding solid.
In the following exercises, calculate the integrals by interchanging the order of integration.
∫ −1 1 ( ∫ −2 2 ( 2 x + 3 y + 5 ) d x ) d y ∫ −1 1 ( ∫ −2 2 ( 2 x + 3 y + 5 ) d x ) d y
∫ 0 2 ( ∫ 0 1 ( x + 2 e y − 3 ) d x ) d y ∫ 0 2 ( ∫ 0 1 ( x + 2 e y − 3 ) d x ) d y
∫ 1 27 ( ∫ 1 2 ( x 3 + y 3 ) d y ) d x ∫ 1 27 ( ∫ 1 2 ( x 3 + y 3 ) d y ) d x
∫ 1 16 ( ∫ 1 8 ( x 4 + 2 y 3 ) d y ) d x ∫ 1 16 ( ∫ 1 8 ( x 4 + 2 y 3 ) d y ) d x
∫ ln 2 ln 3 ( ∫ 0 l e x + y d y ) d x ∫ ln 2 ln 3 ( ∫ 0 l e x + y d y ) d x
∫ 0 2 ( ∫ 0 1 3 x + y d y ) d x ∫ 0 2 ( ∫ 0 1 3 x + y d y ) d x
∫ 1 6 ( ∫ 2 9 y x 2 d y ) d x ∫ 1 6 ( ∫ 2 9 y x 2 d y ) d x
∫ 1 9 ( ∫ 4 2 x y 2 d y ) d x ∫ 1 9 ( ∫ 4 2 x y 2 d y ) d x
In the following exercises, evaluate the iterated integrals by choosing the order of integration.
∫ 0 π ∫ 0 π / 2 sin ( 2 x ) cos ( 3 y ) d x d y ∫ 0 π ∫ 0 π / 2 sin ( 2 x ) cos ( 3 y ) d x d y
∫ π / 12 π / 8 ∫ π / 4 π / 3 [ cot x + tan ( 2 y ) ] d x d y ∫ π / 12 π / 8 ∫ π / 4 π / 3 [ cot x + tan ( 2 y ) ] d x d y
∫ 1 e ∫ 1 e [ 1 x sin ( ln x ) + 1 y cos ( ln y ) ] d x d y ∫ 1 e ∫ 1 e [ 1 x sin ( ln x ) + 1 y cos ( ln y ) ] d x d y
∫ 1 e ∫ 1 e sin ( ln x ) cos ( ln y ) x y d x d y ∫ 1 e ∫ 1 e sin ( ln x ) cos ( ln y ) x y d x d y
∫ 1 2 ∫ 1 2 ( ln y x + x 2 y + 1 ) d y d x ∫ 1 2 ∫ 1 2 ( ln y x + x 2 y + 1 ) d y d x
∫ 1 e ∫ 1 2 x 2 ln ( x ) d y d x ∫ 1 e ∫ 1 2 x 2 ln ( x ) d y d x
∫ 1 3 ∫ 1 2 y arctan ( 1 x ) d y d x ∫ 1 3 ∫ 1 2 y arctan ( 1 x ) d y d x
∫ 0 1 ∫ 0 1 / 2 ( arcsin x + arcsin y ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 / 2 ( arcsin x + arcsin y ) d y d x
∫ 0 1 ∫ 1 2 x e x + 4 y d y d x ∫ 0 1 ∫ 1 2 x e x + 4 y d y d x
∫ 1 2 ∫ 0 1 x e x − y d y d x ∫ 1 2 ∫ 0 1 x e x − y d y d x
∫ 1 e ∫ 1 e ( ln y y + ln x x ) d y d x ∫ 1 e ∫ 1 e ( ln y y + ln x x ) d y d x
∫ 1 e ∫ 1 e ( x ln y y + y ln x x ) d y d x ∫ 1 e ∫ 1 e ( x ln y y + y ln x x ) d y d x
∫ 0 1 ∫ 1 2 ( x x 2 + y 2 ) d y d x ∫ 0 1 ∫ 1 2 ( x x 2 + y 2 ) d y d x
∫ 0 1 ∫ 1 2 y x + y 2 d y d x ∫ 0 1 ∫ 1 2 y x + y 2 d y d x
In the following exercises, find the average value of the function over the given rectangles.
f(x,y)=−x+2y,f(x,y)=−x+2y, R=[0,1]×[0,1]R=[0,1]×[0,1]
f(x,y)=x4+2y3,f(x,y)=x4+2y3, R=[1,2]×[2,3]R=[1,2]×[2,3]
f(x,y)=sinhx+sinhy,f(x,y)=sinhx+sinhy, R=[0,1]×[0,2]R=[0,1]×[0,2]
f(x,y)=arctan(xy),f(x,y)=arctan(xy), R=[0,1]×[0,1]R=[0,1]×[0,1]
Let f and g be two continuous functions such that 0≤m1≤f(x)≤M10≤m1≤f(x)≤M1 for any x∈[a,b]x∈[a,b] and 0≤m2≤g(y)≤M20≤m2≤g(y)≤M2 for any y∈[c,d].y∈[c,d]. Show that the following inequality is true:
m 1 m 2 ( b − a ) ( d − c ) ≤ ∫ a b ∫ c d f ( x ) g ( y ) d y d x ≤ M 1 M 2 ( b − a ) ( d − c ) . m 1 m 2 ( b − a ) ( d − c ) ≤ ∫ a b ∫ c d f ( x ) g ( y ) d y d x ≤ M 1 M 2 ( b − a ) ( d − c ) .
In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.
1e2≤∬Re−x2−y2dA≤1,1e2≤∬Re−x2−y2dA≤1, where R=[0,1]×[0,1]R=[0,1]×[0,1]
π2144≤∬RsinxcosydA≤π248,π2144≤∬RsinxcosydA≤π248, where R=[π6,π3]×[π6,π3]R=[π6,π3]×[π6,π3]
0≤∬Re−ycosxdA≤π22,0≤∬Re−ycosxdA≤π22, where R=[0,π2]×[0,π2]R=[0,π2]×[0,π2]
0≤∬R(lnx)(lny)dA≤(e−1)2,0≤∬R(lnx)(lny)dA≤(e−1)2, where R=[1,e]×[1,e]R=[1,e]×[1,e]
Let f and g be two continuous functions such that 0≤m1≤f(x)≤M10≤m1≤f(x)≤M1 for any x∈[a,b]x∈[a,b] and 0≤m2≤g(y)≤M20≤m2≤g(y)≤M2 for any y∈[c,d].y∈[c,d]. Show that the following inequality is true:
( m 1 + m 2 ) ( b − a ) ( d − c ) ≤ ∫ a b ∫ c d [ f ( x ) + g ( y ) ] d y d x ≤ ( M 1 + M 2 ) ( b − a ) ( d − c ) . ( m 1 + m 2 ) ( b − a ) ( d − c ) ≤ ∫ a b ∫ c d [ f ( x ) + g ( y ) ] d y d x ≤ ( M 1 + M 2 ) ( b − a ) ( d − c ) .
In the following exercises, use property v. of double integrals and the answer from the preceding exercise to show that the following inequalities are true.
2e≤∬R(e−x2+e−y2)dA≤2,2e≤∬R(e−x2+e−y2)dA≤2, where R=[0,1]×[0,1]R=[0,1]×[0,1]
π236≤∬R(sinx+cosy)dA≤π2336,π236≤∬R(sinx+cosy)dA≤π2336, where R=[π6,π3]×[π6,π3]R=[π6,π3]×[π6,π3]
π24e-π2≤∬R(cosx+e-y)dA≤π22,π24e-π2≤∬R(cosx+e-y)dA≤π22, where R=[0,π2]×[0,π2]R=[0,π2]×[0,π2]
0≤∬R(ln x+lny)dA≤2e-12,0≤∬R(ln x+lny)dA≤2e-12, where R=[1,e]×[1,e]R=[1,e]×[1,e]
In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.
Determine the explicit form of the function f.
Find the volume of the solid under the surface z=f(x,y)z=f(x,y) and above the region R.
Find the average value of the function f on R.
Use a computer algebra system (CAS) to plot z=f(x,y)z=f(x,y) and z=favez=fave in the same system of coordinates.
[T] f(x,y)=∫0y∫0x(xs+yt)dsdt,f(x,y)=∫0y∫0x(xs+yt)dsdt, where (x,y)∈R=[0,1]×[0,1](x,y)∈R=[0,1]×[0,1]
[T] f(x,y)=∫0x∫0y[cos(s)+cos(t)]dtds,f(x,y)=∫0x∫0y[cos(s)+cos(t)]dtds, where (x,y)∈R=[0,3]×[0,3](x,y)∈R=[0,3]×[0,3]
Show that if f and g are continuous on [a,b][a,b] and [c,d],[c,d], respectively, then
∫ a b ∫ c d [ f ( x ) + g ( y ) ] d y d x = ( d − c ) ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b ∫ c d [ f ( x ) + g ( y ) ] d y d x = ( d − c ) ∫ a b f ( x ) d x
+ ∫ a b ∫ c d g ( y ) d y d x = ( b − a ) ∫ c d g ( y ) d y + ∫ c d ∫ a b f ( x ) d x d y . + ∫ a b ∫ c d g ( y ) d y d x = ( b − a ) ∫ c d g ( y ) d y + ∫ c d ∫ a b f ( x ) d x d y .
Show that ∫ab∫cdyf(x)+xg(y)dydx=12(d2−c2)(∫abf(x)dx)+12(b2−a2)(∫cdg(y)dy).∫ab∫cdyf(x)+xg(y)dydx=12(d2−c2)(∫abf(x)dx)+12(b2−a2)(∫cdg(y)dy).
[T] Consider the function f(x,y)=e−x2−y2,f(x,y)=e−x2−y2, where (x,y)∈R=[−1,1]×[−1,1].(x,y)∈R=[−1,1]×[−1,1].
Use the midpoint rule with m=n=2,4,…,10m=n=2,4,…,10 to estimate the double integral I=∬Re−x2−y2dA.I=∬Re−x2−y2dA. Round your answers to the nearest hundredths.
For m=n=2,m=n=2, find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths.
Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by ∬Re−x2−y2dA∬Re−x2−y2dA and the plane z=fave.z=fave.
[T] Consider the function f(x,y)=sin(x2)cos(y2),f(x,y)=sin(x2)cos(y2), where (x,y)∈R=[−1,1]×[−1,1].(x,y)∈R=[−1,1]×[−1,1].
Use the midpoint rule with m=n=2,4,…,10m=n=2,4,…,10 to estimate the double integral I=∬Rsin(x2)cos(y2)dA.I=∬Rsin(x2)cos(y2)dA. Round your answers to the nearest hundredths.
For m=n=2,m=n=2, find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths.
Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by ∬Rsin(x2)cos(y2)dA∬Rsin(x2)cos(y2)dA and the plane z=fave.z=fave.
In the following exercises, the functions fnfn are given, where n≥1n≥1 is a natural number.
Find the volume of the solids SnSn under the surfaces z=fn(x,y)z=fn(x,y) and above the region R.
Determine the limit of the volumes of the solids SnSn as n increases without bound.
f n ( x , y ) = x n + y n + x y , ( x , y ) ∈ R = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] f n ( x , y ) = x n + y n + x y , ( x , y ) ∈ R = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ]
f n ( x , y ) = 1 x n + 1 y n , ( x , y ) ∈ R = [ 1 , 2 ] × [ 1 , 2 ] f n ( x , y ) = 1 x n + 1 y n , ( x , y ) ∈ R = [ 1 , 2 ] × [ 1 , 2 ]
Show that the average value of a function f on a rectangular region R=[a,b]×[c,d]R=[a,b]×[c,d] is fave≈1mn∑i=1m∑j=1nf(xij*,yij*),fave≈1mn∑i=1m∑j=1nf(xij*,yij*), where (xij*,yij*)(xij*,yij*) are the sample points of the partition of R, where 1≤i≤m1≤i≤m and 1≤j≤n.1≤j≤n.
Use the midpoint rule with m=nm=n to show that the average value of a function f on a rectangular region R=[a,b]×[c,d]R=[a,b]×[c,d] is approximated by
An isotherm map is a chart connecting points having the same temperature at a given time for a given period of time. Use the preceding exercise and apply the midpoint rule with m=n=2m=n=2 to find the average temperature over the region given in the following figure.