1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਸੀਮਤ ਇੱਕ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਹਰਾ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਹੈ। ਸੀਮਾ ਲੈ ਕੇ, ਇਹ ਠੋਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਦੋਹਰਾ ਅਨਿੱਖੜਵਾਂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੇ ਗੁਣ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਉੱਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ।
4. ਅਸੀਂ ਫੁਬਿਨੀ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
5. ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ, ਇੱਕ ਸਤਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਆਇਤਨ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
6. ਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ DD ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਖੇਤਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘੇਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਆਮ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
7. ਇੱਕ ਆਮ ਗੈਰ-ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਇੱਕ ਟਾਈਪ II ਖੇਤਰ ਵਜੋਂ ਜਾਂ ਕਈ ਟਾਈਪ I ਜਾਂ ਟਾਈਪ II ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਸੰਗਮ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਓਵਰਲੈਪ ਕਰਦੇ ਹਨ।
8. ਅਸੀਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਆਮ ਖੇਤਰਾਂ ਉੱਤੇ ਆਇਤਨ, ਖੇਤਰਫਲ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
9. ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਅਣਉਚਿਤ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਣਉਚਿਤ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਲਈ ਫੁਬਿਨੀ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਚੱਕਰੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਜਾਂ ਇੱਕ ਆਮ ਧਰੁਵੀ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਨਾਲ ਵਰਤੇ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
11. ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ dA, rdrdθ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
12. ਇੱਕ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ dA=rdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ r²=x²+y² ਅਤੇ θ=tan⁻¹(y/x) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
14. xy-ਤਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਤਹ z=f(r,θ) ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਤ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਆਇਤਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
15. ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫੁਬਿਨੀ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ f(x,y,z) ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬਾਕਸ B=[a,b]×[c,d]×[e,f] ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ, ਤਾਂ ∭Bf(x,y,z)dV=∫ef∫cd∫abf(x,y,z)dxdydz ਅਤੇ ਇਹ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਤੀਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਲਈ ਹੋਰ ਪੰਜ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਦੇ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
16. ਇੱਕ ਆਮ ਠੋਸ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ EE ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਤੀਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ V(E)=∭E1dV ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
17. ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਏਕੀਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਮਿਲ ਸਕਦੀ ਹੈ।
18. ਇੱਕ ਆਮ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਖੇਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ fave=1V(E)∭Ef(x,y,z)dV ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
19. ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ∫θ=αθ=β∫r=g1(θ)r=g2(θ)∫z=u1(r,θ)z=u2(r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
20. ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੀਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਨਿੱਖੜਵੇਂ ∫θ=αθ=β∫ρ=g1(θ)ρ=g2(θ)∫φ=u1(r,θ)φ=u2(r,θ)f(ρ,θ,φ)ρ²sinφdφdρdθ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
21. ਦੋਹਰੇ ਅਨਿੱਖੜਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ, ਮੋਮੈਂਟ, ਅਤੇ ਜੜਤਾ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ ਲੱਭਣਾ:
22. ਤਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ρ(x,y) ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ RR ਲਈ, ਪੁੰਜ m=∬Rρ(x,y)dA ਹੈ।
23. x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਮੋਮੈਂਟ Mx=∬Ryρ(x,y)dA ਅਤੇ My=∬Rxρ(x,y)dA ਹਨ।
24. ਪੁੰਜ ਦਾ ਕੇਂਦਰ x−=My/m, y−=Mx/m ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
The center of mass becomes the centroid of the plane when the density is constant.
The moments of inertia about the x−axis,x−axis, y−axis,y−axis, and the origin are Ix=∬Ry2ρ(x,y)dA,Iy=∬Rx2ρ(x,y)dA,andI0=Ix+Iy=∬R(x2+y2)ρ(x,y)dA.Ix=∬Ry2ρ(x,y)dA,Iy=∬Rx2ρ(x,y)dA,andI0=Ix+Iy=∬R(x2+y2)ρ(x,y)dA.
Finding the mass, center of mass, moments, and moments of inertia in triple integrals:
For a solid object QQ with a density function ρ(x,y,z)ρ(x,y,z) at any point (x,y,z)(x,y,z) in space, the mass is m=∭Qρ(x,y,z)dV.m=∭Qρ(x,y,z)dV.
The moments about the xy-plane,xy-plane, the xz-plane,xz-plane, and the yz-planeyz-plane are Mxy=∭Qzρ(x,y,z)dV,Mxz=∭Qyρ(x,y,z)dV,Myz=∭Qxρ(x,y,z)dV.Mxy=∭Qzρ(x,y,z)dV,Mxz=∭Qyρ(x,y,z)dV,Myz=∭Qxρ(x,y,z)dV.
The center of mass is given by x−=Myzm,y−=Mxzm,z−=Mxym.x−=Myzm,y−=Mxzm,z−=Mxym.
The center of mass becomes the centroid of the solid when the density is constant.
The moments of inertia about the yz-plane,yz-plane, the xz-plane,xz-plane, and the xy-planexy-plane are Ix=∭Q(y2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iy=∭Q(x2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iz=∭Q(x2+y2)ρ(x,y,z)dV.Ix=∭Q(y2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iy=∭Q(x2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iz=∭Q(x2+y2)ρ(x,y,z)dV.
A transformation TT is a function that transforms a region GG in one plane (space) into a region RR in another plane (space) by a change of variables.
A transformation T:G→RT:G→R defined as T(u,v)=(x,y)T(u,v)=(x,y) (orT(u,v,w)=(x,y,z))(orT(u,v,w)=(x,y,z)) is said to be a one-to-one transformation if no two points map to the same image point.
If ff is continuous on R,R, then ∬Rf(x,y)dA=∬Sf(g(u,v),h(u,v))|∂(x,y)∂(u,v)|dudv.∬Rf(x,y)dA=∬Sf(g(u,v),h(u,v))|∂(x,y)∂(u,v)|dudv.
If FF is continuous on R,R, then ∭RF(x,y,z)dV=∭GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|∂(x,y,z)∂(u,v,w)|dudvdw=∭GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.∭RF(x,y,z)dV=∭GF(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w))|∂(x,y,z)∂(u,v,w)|dudvdw=∭GH(u,v,w)|J(u,v,w)|dudvdw.